高考數(shù)學二輪專題復習《球的表面積和體積》選題練習一????????????? 、選擇題1.正方體的內切球和外接球的體積之比為(　　)A.1:               B.1:3        C.1:3              D.1:9答案為：C；解析：關鍵要清楚正方體內切球的直徑等于棱長a，外接球的直徑等于a.2.長方體的一個頂點上的三條棱長分別為3,4,5，且它的8個頂點都在同一個球面上，則這個球的表面積為(　　)A.25π           B.50π            C.125π          D.以上都不對答案為：B；解析：外接球的直徑2R=長方體的體對角線=(a、b、c分別是長、寬、高).3.已知三棱錐P－ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，PC為球O的直徑，該三棱錐的體積為，則球O的表面積為(　　)A.4π        B.8π       C.12π        D.16π答案為：A解析：依題意，設球O的半徑為R，球心O到平面ABC的距離為d，則由O是PC的中點得，點P到平面ABC的距離等于2d，所以VP－ABC=2VO－ABC=2×S△ABC×d=××12×d=，解得d=.又R2=d2＋()2=1，所以球O的表面積等于4πR2=4π.故選A.4.一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個正三角形，則這個幾何體的外接球的表面積為(　　)A.         B.         C.4π        D.π答案為：A解析：由三視圖可知，該幾何體為一個三棱錐，令其為三棱錐A－BCD，由俯視圖可知，底面BCD是一個等腰直角三角形，∠BCD為直角.平面ABD⊥平面BCD，易知外接球的球心O為△ABD的中心，則球O的半徑R=，外接球的表面積等于4πR2=4π×2=.5.若三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，則球O的表面積為(　　)A.64π         B.63π       C.65π         D.32π答案為：A；解析：設球O的半徑為R，∵AB=1，AC=2，∠BAC=60°，∴BC2=1＋4－2×1×2×cos 60°=3，所以AB2＋BC2=AC2.即△ABC為直角三角形，那么△ABC所在截面圓的直徑為AC，所以(2R)2=SA2＋AC2=64.所以S球=4πR2=64π.6.已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB=90°，C為該球面上的動點，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為(　　)A.36π         B.64π       C.144π         D.256π答案為：C；解析：如圖所示，當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐O-ABC的體積最大，設球O的半徑為R，此時VO-ABC=VC-AOB=×R2×R=R3=36，故R=6，則球O的表面積為S=4πR2=144π.  7.現(xiàn)有一塊半球形原料，若通過切削將該原料加工成一個正方體工件，則所得工件體積與原料體積之比的最大值為(　　)A.         B.        C.         D.答案為：A；解析：當正方體的下底面在半球的大圓面上，上底面的四個頂點在球的表面上時，所得工件體積與原材料體積之比取得最大值，設此時正方體的棱長為a，則球的半徑為R==a，所以所求體積比為=，故選A.8.已知一個封閉的長方體容器中裝有兩個大小相同的鐵球，若該長方體容器的三個相鄰側面的面積分別為6，8，12，則鐵球的直徑最大只能為(　　)A.        B.2             C.        D.4答案為：B；解析：設長方體三條棱的長分別為a，b，c，由題意得，解得.再結合題意可得，鐵球的直徑最大只能為2.故選B.9.已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB=90°，C為該球面上的動點，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為(　　)A．36π            B．64π         C．144π           D．256π答案為：C.解析：如圖所示，當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐O-ABC的體積最大，設球O的半徑為R，此時VO-ABC=VC-AOB=×R2×R=R3=36，故R=6，則球O的表面積為S=4πR2=144π.10.已知一個三棱柱，其底面是正三角形，且側棱與底面垂直，一個體積為的球體與棱柱的所有面均相切，那么這個三棱柱的表面積是(　　)A.6         B.12       C.18         D.24答案為：C解析：根據(jù)已知可得球的半徑等于1，故三棱柱的高等于2，底面三角形內切圓的半徑等于1，即底面三角形的高等于3，邊長等于2，所以這個三棱柱的表面積等于3×2×2＋2××2×3=18.11.設A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐D-ABC體積的最大值為(　　)A．12           B．18          C．24           D．54答案為：B；解析：由等邊△ABC的面積為9，可得AB2=9，所以AB=6，所以等邊△ABC的外接圓的半徑為r=AB=2.設球的半徑為R，球心到等邊△ABC的外接圓圓心的距離為d，則d===2.所以三棱錐D-ABC高的最大值為2＋4=6，所以三棱錐D-ABC體積的最大值為×9×6=18.12.已知三棱錐P-ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC滿足AB=2，∠ACB=90°，PA為球O的直徑且PA=4，則點P到底面ABC的距離為(　 　)A.         B.2       C.         D.2答案為：B.解析：取AB的中點O1，連接OO1，如圖，在△ABC中，AB=2，∠ACB=90°，所以△ABC所在小圓O1是以AB為直徑的圓，所以O1A=，且OO1⊥AO1，又球O的直徑PA=4，所以OA=2，所以OO1==，且OO1⊥底面ABC，所以點P到平面ABC的距離為2OO1=2.二????????????? 、填空題13.若體積為4的長方體的一個面的面積為1，且這個長方體8個頂點都在球O的球面上，則球O表面積的最小值為      ．【解答】解：設長方體的三度為a，b，c，則ab=1，abc=4，∴c=4．長方體的對角線的長度，就是外接球的直徑，所以2r=≥=3，當且僅當a=b時，r的最小值為，所以球O表面積的最小值為：4πr2=18π．故答案為：18π．14.在三棱錐A﹣BCD中，側棱AB、AC、AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面積分別為，，，則三棱錐A﹣BCD的外接球的體積為　    　.答案為：π解析：三棱錐A﹣BCD中，側棱AB、AC、AD兩兩垂直，補成長方體，兩者的外接球是同一個，長方體的對角線就是球的直徑，設長方體的三度為a，b，c，則由題意得：ab=，ac=，bc=，解得：a=，b=，c=1，所以球的直徑為： =所以球的半徑為，所以三棱錐A﹣BCD的外接球的體積為=π15.在三棱錐P-ABC中，PA=PB=2，AB=4，BC=3，AC=5，若平面PAB⊥平面ABC，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為________.答案為：25π解析：取AB的中點O′，AC的中點O，連接O′O，因為PA2＋PB2=AB2，所以△PAB是以AB為斜邊的等腰直角三角形，從而點O′為△PAB外接圓的圓心，又AB2＋BC2=AC2，所以△ABC是以AC為斜邊的直角三角形，從而點O為△ABC外接圓的圓心，又因為O′O∥BC，所以O′O⊥AB，又因為平面PAB⊥平面ABC，且平面PAB∩平面ABC=AB，所以O′O⊥平面PAB，所以點O為三棱錐P-ABC外接球的球心，所以外接球的半徑R=OA=AC=，故外接球的表面積S=4πR2=25π.16.在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內有一個體積為V的球. 若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，則V的最大值是        . 答案為：.解析：[當球的半徑最大時，球的體積最大. 在直三棱柱內，當球和三個側面都相切時，因為AB⊥BC，AB=6，BC=8，所以AC=10，底面的內切圓的半徑即為此時球的半徑r==2，直徑為4>側棱. 所以球的最大直徑為3，半徑為，此時體積V=.] 

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