絕密★啟用前五市十校教研教改共同體  三湘名校教育聯(lián)盟  湖湘名校教育聯(lián)合體2022年下學期高二期中考試數(shù)學命題：雙峰一中數(shù)學備課組  審題：永州一中數(shù)學備課組本試卷共4頁。全卷滿分150分，考試時間120分鐘。注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在本試卷和答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應的答案標號涂黑，如有改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（    ）A. B. C. D.2.已知圓C的圓心坐標為，且過坐標原點，則圓C的方程為（    ）A. B.C. D.3.黨的十八大報告指出，必須堅持在發(fā)展中保障和改善民生，不斷實現(xiàn)人民對美好生活的向往，為響應中央號召，某社區(qū)決定在現(xiàn)有的休閑廣場內修建一個半徑為4m的圓形水池來規(guī)劃噴泉景觀.設計如下：在水池中心豎直安裝一根高出水面為2m的噴水管（水管半徑忽略不計），它噴出的水柱呈拋物線型，要求水柱在與水池中心水平距離為處達到最高，且水柱剛好落在池內，則水柱的最大高度為（    ）A. B. C. D.4.已知是等比數(shù)列的前n項和，，，成等差數(shù)列，則下列結論正確的是（    ）A. B. C. D.5.已知冪函數(shù)的圖象是等軸雙曲線C，且它的焦點在直線上，則下列曲線中，與曲線C的實軸長相等的雙曲線是（    ）A. B. C. D.6.已知函數(shù)，下列說法正確的是（    ）A.函數(shù)的最小正周期是 B.函數(shù)的最大值為C.函數(shù)的圖象關于點對稱 D.函數(shù)在區(qū)間上單調遞增7.如圖水平放置的邊長為1的正方形沿x軸正向滾動，初始時頂點A在坐標原點，（沿x軸正向滾動指的是先以頂點B為中心順時針旋轉，再以頂點C為中心順時針旋轉，如此繼續(xù)），設頂點的軌跡方程式，則（    ）A.0 B.1 C. D.8.已知三棱錐中，，，，若二面角的大小為120°，則三棱錐的外接球的表面積為（    ）A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（    ）A.命題“，”的否定為“，”B.在中，若“”，則“”C.若，則的充要條件是D.若直線與平行，則或210.已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列單調遞增，且，則（    ）A.公差d的取值范圍是 B.C.  D.的最小值為111.已知直線l與拋物線（）交于A，B兩點，，，則下列說法正確的是（    ）A.若點D的坐標為，則B.直線過定點C.D點的軌跡方程為（原點除外）D.設與x軸交于點M，則的面積最大時，直線的斜率為112.在正方體中，，點M在正方體內部及表面上運動，下列說法正確的是（    ）A.若M為棱的中點，則直線平面B.若M在線段上運動，則的最小值為C.當M與重合時，以M為球心，為半徑的球與側面的交線長為D.若M在線段上運動，則M到直線的最短距離為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.某中學高一年級有600人，高二年級有480人，高三年級有420人，因新冠疫情防控的需要，現(xiàn)用分層抽樣從中抽取一個容量為300人的樣本進行核酸檢測，則高三年級被抽取的人數(shù)為___________.14.設雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為、，P是漸近線上一點，且滿足，，則雙曲線C的離心率為___________.15.已知動點在運動過程中總滿足關系式，記，，則面積的最大值為___________.16.意大利數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時發(fā)現(xiàn)了數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，…，數(shù)列中的每一項被稱為斐波那契數(shù)，用符號表示（），已知，，（）.（1）若，則___________（2分）；（2）若，則___________（3分）.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.17.（本小題滿分10分）已知雙曲線C：（，）的左右焦點分別為，，點M在雙曲線C的右支上，且，離心率.（1）求雙曲線C的標準方程；（2）若，求的面積.18.（本小題滿分12分）10月9日晚，2022年世界乒乓球團體錦標賽在中國成都落幕.中國隊女團與男團分別完成了五連冠與十連冠的霸業(yè).乒乓球運動在我國一直有著光榮歷史，始終領先世界水平，被國人稱為“國球”，在某次團體選拔賽中，甲乙兩隊進行比賽，采取五局三勝制（即先勝三局的團隊獲得比賽的勝利），假設在一局比賽中，甲隊獲勝的概率為0.6，乙隊獲勝的概率為0.4，各局比賽結果相對獨立.（1）求這場選拔賽三局結束的概率；（2）若第一局比賽乙隊獲勝，求比賽進入第五局的概率.19.（本小題滿分12分）已知銳角三角形中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量，，且.（1）求角B的大??；（2）若，求面積的取值范圍.20.（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足，且，數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，為的前n項和，滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，記數(shù)列的前n項和為，求的取值范圍.21.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，，，，平面平面，E為中點.（1）求證：面；（2）求證：面；（3）點Q在棱上，設（），若二面角的余弦值為，求.22.（本小題滿分12分）已知橢圓C：（）過點，A為左頂點，且直線的斜率為.（1）求橢圓C的標準方程；（2）設在橢圓內部，在橢圓外部，過Ｍ作斜率不為0的直線交橢圓C于P，Q兩點，若，求證：為定值，并求出這個定值. 
五市十校教研教改共同體  三湘名校教育聯(lián)盟  湖湘名校教育聯(lián)合體2022年下學期高二期中考試數(shù)學參考答案、提示及評分細則一、選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.【答案】C【解析】∵，∴.2.【答案】B【解析】圓心，半徑，故圓C方程為.3.【答案】C【解析】取一截面建系如圖，設拋物線方程為（），記最大高度為h，如圖：，在拋物線上，故，兩式相除有，解得.4.【答案】AB【解析】若公比有，，，此時，故公比，由題意，化簡有，故有或，選答案AB.5.【答案】B【解析】由雙曲線幾何性質知，雙曲線的焦點在實軸上，實軸與雙曲線的交點，是雙曲線的頂點，故雙曲線C的實軸長，選答案B.6.【答案】D【解析】由知A，B錯誤.由，所以C錯誤.當時，，所以D正確.7.【答案】D【解析】A點運動軌跡最終構成圖象如圖：由圖可知.故，在B→D段時，A點的軌跡方程為（），∴.8.【答案】C【解析】由題意，取中點，中點，連接，則，分別是與的外心，且，分別過，作面，面，記，則O為外接球球心，在中，，∴，故，選C.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，在每小題給出的選項中，有多項符合要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）9.【答案】BC【解析】對A：否定為：，，所以A錯誤；對D，當時，兩直線重合，所以D錯誤.10.【答案】AB【解析】由題意得，，∴，故A正確；由，故B正確；由，知故C錯誤；由有，當且僅當時取到等號，但，故不能取“=”，所以D錯.11.【答案】ABC【解析】，由知方程為，聯(lián)立，消去x有，記，，則，由，∴，故A正確；對選項BCD，可設：，代入有，則，由，故直線為，過定點，即，故B正確；由，得D在以為直徑的圓：上運動（原點除外），故C正確；當時，面積最大，此時，有，故D錯誤.12.【答案】ACD【解析】易知A，D正確；對選項B：展開與到同一平面上如圖.知，故B錯誤；對選項C：M與重合時，在側面上的射影為，故交線是以為圓心的一段圓?。?/span>個圓），且圓半徑，故圓弧長，所以C正確.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.【答案】84【解析】由分層抽樣易得.14.【答案】【解析】不妨設P在第一象限，則，依題意：，∴離線率.15.【答案】18【解析】易得M在橢圓上運動，且B在橢圓上，A為左頂點，由方程：，設直線l：與橢圓相切于點M.聯(lián)立，消去x得，由，依題意，時，面積最大，此時直線l與距離為，又，∴.16.【答案】（1）11（2分）  （2）（3分）【解析】（1），∴；（2）.四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.【答案】（1）  （2）【解析】（1）由題意，································································1分∴，···············································································2分又，···············································································3分∴，···············································································4分故雙曲線C的方程為；··································································5分（2），，則由雙曲線定義可得  ①，由三角形余弦定理得  ②，······························································7分有，···············································································9分∴的面積.··········································································10分18.【答案】（1）0.28  （2）0.432【解析】設“第i局甲勝”為事件，“第j局乙勝”為事件（i，，2，3，4，5），（1）記“三局結束比賽”，則，·························································2分∴；·················································································6分（2）記“決勝局進入第五局比賽”，則，··················································8分∴.·················································································12分19.【答案】（1）  （2）【解析】（1）由，···································································2分由正弦定理得，······································································4分又，∴，···········································································6分（2）解法一：在銳角中，由（1）知，，有，令，則，，由正弦定理得，的面積  ································································8分，················································································10分由得，，則，于是得，所以面積的取值范圍是.································································12分解法二：由（1）可知，，故，又因為，所以，·············································································8分又因為，，所以，故，即有，則，·········································································10分又由，即，所以面積的取值范圍是.································································12分20【答案】（1）  （2）【解析】（1）由，···································································1分∴（常數(shù)），········································································2分故數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，且首項為，··········································································3分∴，···············································································4分故；···············································································5分（2）設公比為q（），由題意：，∴，解得或（舍），∴，∴，···············································································7分∴，有，兩式相減得，·················································································9分∴，··············································································10分由，知在上單調遞增，································································11分∴.···············································································12分21.【答案】（1）略  （2）略  （3）【解析】（1）證明：取中點F，連接，，則，又，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，又面，面，∴面；·············································································4分（2）證明：由題意：，，∴，同理，又，∴，∴，···············································································6分又面面，∴面，∴.又且，∴面；·············································································8分（3）以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，∴，，，由，有，··········································································10分令是面的法向量，則，令，有，··········································································11分取面的法向量，由.···············································································12分22.【答案】（1）  （2）為定值4，證明略【解析】（1）由題意：，∴，故橢圓C的標準方程為；································································4分（2）設：，聯(lián)立消去x，有，記，，則且，，···········································································7分若，則·············································································9分（），∴（定值），綜上：為定值4.····································································...12分

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