湖南省五市十校教研教改共同體2022-2023年高一下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題一?單選題1. 復數(shù)的虛部是（    ）A.  B.  C. －1 D. 1【答案】D【解析】【分析】利用復數(shù)虛部的定義即可求解.【詳解】由已知條件得，復數(shù)的虛部是，故選：.2. 若正實數(shù)、滿足，則當取最大值時，的值是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式等號成立的條件可求得取最大值時的值.【詳解】因為正實數(shù)、滿足，則，可得，當且僅當時，即當時，等號成立.故選：A.3. 如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面向量的線性運算計算即可.【詳解】因為，所以則．故選：B.4. 已知，，，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先求出，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性和對數(shù)函數(shù)的單調性結合中間量法即可得解.【詳解】∵，，，∴．故選：A.5. 下列關于平面圖形的直觀圖的敘述中，正確的是（    ）A. 等腰三角形的直觀圖仍是一個等腰三角形B. 若某一平面圖形的直觀圖面積為，則原圖形面積為C. 原圖形中相等的線段，其直觀圖也一定相等D. 若三角形的周長為12，則其直觀圖的周長為6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)斜二測畫法相關知識可解.【詳解】等腰三角形的直觀圖仍是一個三角形，但不一定有兩邊相等，故A，C說法錯誤；原圖形中，平行于y軸的線段，在直觀圖中長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，?/span>D說法錯誤；直觀圖的面積是原面積的倍，故B正確．故選：B6. 函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用零點存在定理求解.【詳解】解：因為，，，所以，所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間為，故選：C．7. 若為銳角三角形，則（    ）A  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)銳角三角形內角的取值范圍，由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質進行辨析即可.【詳解】∵為銳角三角形，∴，，∵在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，∴對于A，當時，，故選項A錯誤；對于B，當時，，故選項B錯誤；對于C，∵，，，∴，∴，∴，即，∴，故選項C錯誤；對于D，由選項C中判斷，，∴，故選項D正確.故選：D.8. 已知向量，，設函數(shù)，若為圖象的對稱軸，為圖象的對稱中心，且在區(qū)間 上單調，則ω的值為（    ）A. 5 B. 7 C. 9 D. 11【答案】A【解析】【分析】由兩角的正弦公式可知，先利用對稱軸與對稱中心的距離和函數(shù)周期的關系可知為正奇數(shù)，再利用函數(shù)的單調性與周期的關系求出，由函數(shù)的對稱中心可知，即可知或，最后帶入驗證即可求解.【詳解】，∵的一條對稱軸為，一個對稱中心為，∴,,∴，，∴為正奇數(shù)，∵函數(shù)在區(qū)間上具有單調性，∴，∴，∴，又∵為圖象的對稱中心，∴，∴，，，，∴或，∴當時，，∵，∴，此時與在上單調矛盾；綜上可得：∴，故選：.二?多選題9. 下列說法正確的是（    ）A. 以三角形的一邊所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐B. 棱臺的側面都是等腰梯形C. 底面半徑為r，母線長為2r的圓錐的軸截面為等邊三角形D. 棱柱的側棱長都相等，但側棱不一定都垂直于底面【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)圓錐、棱臺、棱柱的定義及結構特征逐一判斷即可.【詳解】圓錐是以直角三角形的某一條直角邊所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體，當繞斜邊旋轉時，不是棱錐，故A錯誤；棱臺的側面都是梯形，但棱臺的側棱不一定都相等，故B錯誤；圓錐的軸截面是等腰三角形，其腰長為2r，又底面半徑為r，故等腰三角形的底邊為2r，即該圓錐的軸截面為等邊三角形，故C正確；棱柱的側面都為平行四邊形，所以側棱都相等，棱柱包含直棱柱與斜棱柱，故側棱不一定都垂直于底面，故D正確.故選：CD.10. 下列命題錯誤的是（    ）A. 復數(shù)不能比較大小B. ，C. 若實數(shù)a，b互為相反數(shù)，則在復平面內對應的點位于第二或第四象限D. 若復數(shù)，，其中a，b，c都實數(shù)，則可能為實數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的定義及分類，復數(shù)的乘方及復數(shù)的幾何意義逐一分析判斷即可.【詳解】復數(shù)包含實數(shù)和虛數(shù)，實數(shù)可以比較大小，故A錯誤；若，則，故B錯誤；當時，，其在復平面的對應點為原點，不在第二象限，也不在第四象限，故C錯誤；，若，則為實數(shù)，若，則為純虛數(shù)，故D正確．故選：ABC.11. 下列說法正確的是（    ）A. 方向為北偏西60°的向量與方向為東偏南30°的向量是共線向量B. 的內角A，B，C的對邊分別a，b，c，若，則△ABC一定是等腰直角三角形C. 若，則△ABC是銳角三角形D. 記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，若△ABC有兩解，則b的取值范圍是【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)共線向量定義判斷A選項，應用正弦定理邊角互化判斷B選項，結合向量的數(shù)量積判斷C選項，根據(jù)解的數(shù)量與邊角的關系判斷D選項.【詳解】對于A，因為這兩個向量的方向是相反的，所以是共線向量，故A正確；對于B，在中，若，由正弦定理可得，∴，∴或，∴或，則△ABC是等腰三角形或直角三角形，B錯誤；對于C，由，得，又，所以角A為銳角，但不一定為銳角三角形，故C錯誤．對于D，若有兩解，則，所以，故D正確．故選：AD.12. 已知函數(shù)，若對滿足的，，且的最小值為，則下列結論正確的是（    ）A. B. 若函數(shù)為偶函數(shù)，則C. 方程在上有4個相異的實數(shù)根D. 若函數(shù)在上的最小值為－2，則【答案】ABD【解析】【分析】對于A，利用輔助角公式化簡為，根據(jù)題意可得，從而求得即可判斷；對于B，得到，令即可判斷；對于C，由可得，從而可確定根的個數(shù)即可判斷；對于D，由可得，從而令求解即可判斷.【詳解】∵，且的最小值為，∴，∴，∴， ∴，對于A，，故A正確；對于B，∵為偶函數(shù)，∴，∴，∵，∴，故B正確；對于C，∵，，∵，∴，∴方程在上有3個相異的實數(shù)根，故C錯誤；對于D，∵，∴，∴，∴，故D正確．故選：ABD三?填空題13. 寫出一個最小正周期為的偶函數(shù)：_________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】結合余弦型函數(shù)的奇偶性和最小正周期可確定滿足題意的函數(shù).【詳解】為偶函數(shù)，令其最小正周期，解得：，滿足題意的一個函數(shù)為.故答案為：（答案不唯一）.14. 已知向量，滿足，，與的夾角為，則在上的投影向量為_____（用坐標表示）．【答案】【解析】【分析】直接利用向量在向量上的投影向量的定義求解.【詳解】向量在向量上的投影向量是，故答案為：.15. 已知函數(shù)，若，恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】由，，分離參數(shù)可得，再由函數(shù)單調性可求t的取值范圍.【詳解】，，，，∵在上遞減，，∴．故答案為：16. 如圖，在Rt△AOC中，，圓O為單位圓．（1）若點P在圓O上，，則______________（2）若點P在△AOC與圓O的公共部分的圓弧上運動，則的取值范圍為__________【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】（1）根據(jù)結合數(shù)量積的運算律即可求出；（2）法一：根據(jù)，結合余弦函數(shù)的性質即可得解.法二：以O為原點，OA所在直線為y軸，OC所在直線為x軸建立坐標系，設，再根據(jù)數(shù)量積的坐標運算結合三角函數(shù)的性質即可得解.【詳解】（1）在△AOP中，，，，，則，即（2）法一：，因為，所以，故的取值范圍為．法二：以O為原點，OA所在直線為y軸，OC所在直線為x軸建立坐標系，設，，，所以，，則，∵，則，∴，，即．故答案為：（1）；（2）.【點睛】方法點睛：求向量模的常見思路與方法：（1）求模問題一般轉化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應用，勿忘記開方；（2）或，此性質可用來求向量的模，可實現(xiàn)實數(shù)運算與向量運算的相互轉化；（3）一些常見的等式應熟記：如，等.四?解答題17. 已知角θ的頂點在坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經過點．（1）求，的值；（2）求的值．【答案】（1），；    （2）【解析】【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義求解；（2）利用誘導公式化簡求值即可.小問1詳解】由題意知，，∴，；小問2詳解】原式，由（1）知，，∴．18. 已知向量，，．（1）求與垂直的單位向量的坐標；（2）若，求實數(shù)的值．【答案】（1）或    （2）【解析】【分析】（1）設，利用向量模長和垂直關系的坐標表示可構造方程組求得結果；（2）利用向量平行的坐標表示可構造方程求得的值.【小問1詳解】設與垂直的單位向量，則，解得：或，或.【小問2詳解】，，又，，解得：.19. 已知復數(shù)，其中為實數(shù)且．（1）若，求；（2）若為純虛數(shù)，且，求的取值范圍．【答案】（1）或    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)共軛復數(shù)定義、復數(shù)運算法則和復數(shù)相等的條件可構造方程組求得結果；（2）根據(jù)復數(shù)運算法則化簡得到，由純虛數(shù)定義可構造方程求得，由復數(shù)模長的范圍可求得結果.【小問1詳解】，，，，解得：或，或.【小問2詳解】為純虛數(shù)，，又，，則，即，，，解得：，即的取值范圍為.20. 年湖南省油菜花節(jié)，益陽市南縣羅文村（湖南省首個涂鴉藝術村）通過層層遴選，最終在全省個申辦村莊中脫穎而出，取得了此次活動的會場承辦權，主辦方為了讓油菜花種植區(qū)與觀賞路線布局最優(yōu)化、合理，設計者們首先規(guī)劃了一個平面圖（如圖）．已知：四點共圓，，，，，其中（不計寬度）是觀賞路線，與是油菜花區(qū)域．（1）求觀賞路線的長度；（2）因為場地原因，只能使，求區(qū)域面積的最大值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）在中，利用正弦定理可求得；在中，利用余弦定理可求得，由此可得結果；（2）在中，利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，代入三角形面積公式即可求得結果.【小問1詳解】四點共圓，，，，；在中，由正弦定理得：，，，，；在中，由余弦定理知：，即，解得：或（舍），【小問2詳解】在中，，；在中，由余弦定理得：，（當且僅當時取等號），，即區(qū)域面積的最大值為.21. 對于函數(shù)，，若存在實數(shù)k使得函數(shù)，那么稱函數(shù)為，的k積函數(shù)．（1）設函數(shù)，，，試判斷是否為，的k積函數(shù)？若是，請求出k的值；若不是，請說明理由；（2）設函數(shù)（其中，，），且函數(shù)圖象的最低點坐標為，若函數(shù)，是，的1積函數(shù)，且對于任意實數(shù)，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）是，    （2）【解析】【分析】（1）化簡，根據(jù)與的關系得出結論；（2）根據(jù)函數(shù)圖象的最低點求出，化簡的解析式，再換元令，根據(jù)對勾函數(shù)的調性求出最小值即可得解.【小問1詳解】因為，，所以是、的k積函數(shù)，且；【小問2詳解】由題意可得（，，），因為函數(shù)圖象的最低點坐標為，由基本不等式得，當且僅當，即當時，等號成立，則，解得，所以，，令，，由對勾函數(shù)的單調性知，函數(shù)在上單調遞減，則，所以，因此，實數(shù)a的取值范圍為．22. 在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．已知，．（1）求角B；（2）若M是△ABC內的一動點，且滿足，則是否存在最大值？若存在，請求出最大值及取最大值的條件；若不存在，請說明理由；（3）若D是△ABC中AC上的一點，且滿足，求的取值范圍．【答案】（1）    （2）當且僅當時等號成立，；    （3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角以及三角恒等變形即可求解，或者先利用余弦定理可得，再利用正弦定理邊化角即可求解；（2）先利用向量的線性運算將用△的邊長表示出來，再利用余弦定理以及基本不等式即可求解；（3）由可知BD平分∠ABC，利用三角形面積公式可得，最后利用正弦定理及三角恒等變形即可求解.【小問1詳解】法1：∵，∴，由正弦定理得,即，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴；法2：∵，∴，∴①，在△ABC中，由余弦定理得，②，由①②得，即∴由正弦定理得，又∵，∴，∴，又∵，∴；【小問2詳解】點是△內一動點，，∴，∴，∴，由余弦定理知,由基本不等式可得，即，，∴，當且僅當時等號成立，∴；【小問3詳解】∵，∴，∴，又∵余弦函數(shù)在上單調，∴，即BD平分∠ABC，又∵，，∴①，又∵，，∴②，由①②可得，所以，又∵，且△為銳角三角形，∴，∴，∴，∴．
 

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