?天津外國語大學附屬外國語學校（小外）2018-2019年度初三
第一次月考數(shù)學試卷
一、選擇題（3×10＝30）
1．下面圖形中，是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知0≤x≤，那么函數(shù)y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（　?。?br /> A．﹣10.5 B．2 C．﹣2.5 D．﹣6
3．在平面直角坐標系中，將拋物線y＝x2+2x+3繞著原點旋轉(zhuǎn)180°，所得拋物線的解析式是（　　）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣2 B．y＝﹣（x+1）2﹣2
C．y＝﹣（x﹣1）2+2 D．y＝﹣（x+1）2+2
4．已知二次函數(shù)y＝3（x﹣1）2+k的圖象上有三點A（，y1），B（2，y2），C（﹣，y3），則y1、y2、y3的大小關系為（　?。?br /> A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
5．在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y＝mx+n與y＝mx2﹣nx的圖象可能是（　?。?br /> A． B．
C． D．
6．如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC經(jīng)過中心對稱變換得到△A′B′C′，那么對稱中心的坐標為（　?。?br />
A．（0，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（0，﹣1）
7．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：①abc＜0，②b＜a+c，③4a+2b+c＞0，④2c＜3b，⑤a+b＜m（am+b）（m≠1）中正確的是（　?。?br />
A．②④⑤ B．①②④ C．①③④ D．①③④⑤
8．如圖，拋物線經(jīng)過A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三點，點D是直線BC上方的拋物線上的一個動點，連結(jié)DC，DB，則△BCD的面積的最大值是（　?。?br />
A．7 B．7.5 C．8 D．9
9．如圖是拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象，其頂點坐標為（1，n），且與x軸的一個交點在點（3，0）和（4，0）之間．則下列結(jié)論：
①a﹣b+c＞0；
②3a+b＝0；
③b2＝4a（c﹣n）；
④一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有兩個不相等的實數(shù)根．
其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
10．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點M是CD的中點，動點E從點B出發(fā)，沿BC運動，到點C時停止運動，速度為每秒1個長度單位；動點F從點M出發(fā)，沿M→D→A遠動，速度也為每秒1個長度單位：動點G從點D出發(fā)，沿DA運動，速度為每秒2個長度單位，到點A后沿AD返回，返回時速度為每秒1個長度單位，三個點的運動同時開始，同時結(jié)束．設點E的運動時間為x，△EFG的面積為y，下列能表示y與x的函數(shù)關系的圖象是（　?。?br />
A． B．
C． D．
二、填空題：（4x8＝32）
11．已知二次函數(shù)y＝x2+（2m﹣1）x，當﹣2＜x＜0時，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是　 ?。?br /> 12．若函數(shù)y＝mx2+（m+2）x+m+1的圖象與x軸只有一個交點，那么m的值為　 ?。?br /> 13．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象上部分點的坐標滿足如表：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣3
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11
…
若關于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是　 ?。?br /> 14．當0≤x≤1時，二次函數(shù)y＝x2+ax﹣+有最大值2，則a的值為　 　．
15．如圖，平行于x軸的直線AC分別交拋物線y1＝x2（x≥0）與y2＝（x≥0）于B、C兩點，過點C作y軸的平行線交y1于點D，直線DE∥AC，交y2于點E，則＝　 　．

16．二次函數(shù)y＝x2+bx的圖象如圖，對稱軸為直線x＝1．若關于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t為實數(shù)）在﹣1＜x＜4的范圍內(nèi)有解，則t的取值范圍是　 　．

17．如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，將線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連接BQ．若PA＝6，PB＝8，PC＝10，則四邊形APBQ的面積為　 ?。?br />
18．小剛家、公交車站、學校在一條筆直的公路旁（小剛家、學校到這條公路的距離忽略不計）．一天，小剛從家出發(fā)去上學，沿這條公路步行到公交站恰好乘上一輛公交車，公交車沿這條公路勻速行駛，小剛下車時發(fā)現(xiàn)還有4分鐘上課，于是他沿著這條公路跑步趕到學校（上、下車時間忽略不計），小剛與學校的距離s（單位：米）與他所用的時間t（單位：分鐘）之間的函數(shù)關系如圖所示．已知小剛從家出發(fā)7分鐘時與家的距離是1200米，從上公交車到他到達學校共用10分鐘．下列說法：
①公交車的速度為400米/分鐘；
②小剛從家出發(fā)5分鐘時乘上公交車；
③小剛下公交車后跑向?qū)W校的速度是100米/分鐘；
④小剛上課遲到了1分鐘．
其中正確的序號是　 　．

三.解答題
19．（9分）已知關于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有兩個實數(shù)根x1，x2．
（1）求k的取值范圍；
（2）若|x1+x2|＝x1x2﹣1，求k的值．
20．（9分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P為拋物線對稱軸上一點，求△PBC周長取得最小值時點P的坐標；
（3）設拋物線的頂點為D，DE⊥x軸于點E，在y軸上是否存在點M使得ADM是直角三角形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

21．（10分）已知天津市某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶進行小龍新養(yǎng)殖．已知每千克小龍蝦養(yǎng)殖成本為6元，在整個銷售旺季的80天里，銷售單價P（元/千克）與時間t（t為整數(shù)）的函數(shù)關系為日銷量y是時間第t天的一次函數(shù)，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)第1天的銷量是198千克，第80天的銷量是40千克．
（1）求日銷量y與時間t的函數(shù)解析式；
（2）哪一天的日銷售利潤最大？最大利潤是多少？
（3）該養(yǎng)殖戶有多少天利潤不低于2400元．
22．（10分）拋物線y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（﹣1，0），B（0，﹣3）．

（Ⅰ）求這個拋物線的解析式；
（Ⅱ）拋物線與x軸的另一交點為C，拋物線的頂點為D，判斷△CBD的形狀；
（Ⅲ）直線BN∥x軸，交拋物線于另一點N，點P是直線BN下方的拋物線上的一個動點（點P不與點B和點N重合），過點P作x軸的垂線，交直線BC于點Q，當四邊形BPNQ的面積最大時，求出點P的坐標．

參考答案
一、選擇題
1．解：A、不是中心對稱圖形，本選項錯誤；
B、是中心對稱圖形，本選項正確；
C、不是中心對稱圖形，本選項錯誤；
D、不是中心對稱圖形，本選項錯誤．
故選：B．
2．解：∵y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2．
∴該拋物線的對稱軸是x＝2，且在x＜2上y隨x的增大而增大．
又∵0≤x≤，
∴當x＝時，y取最大值，y最大＝﹣2（﹣2）2+2＝﹣2.5．
故選：C．
3．解：y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，拋物線y＝x2+2x+3的頂點坐標為（﹣1，2），點（﹣1，2）關于原點的對稱點為（1，﹣2），
所以拋物線y＝x2+2x+3繞著原點旋轉(zhuǎn)180°，所得拋物線的解析式是y＝﹣（x﹣1）2﹣2．
故選：A．
4．解：A（，y1），B（2，y2）在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，
因為＜2，故y1＜y2，
根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性可知，C（﹣，y3）中，|﹣﹣1|＞|2﹣1|，故有y3＞y2；
于是y3＞y2＞y1．
故選：D．
5．解：若函數(shù)y＝mx+n經(jīng)過一二三象限，m＞0，n＞0，則二次函數(shù)y＝mx2﹣nx的圖象開口向上，對稱軸x＝﹣＞0，在y軸的右側(cè)；
若函數(shù)y＝mx+n經(jīng)過一二四象限，m＜0，n＞0，則二次函數(shù)y＝mx2﹣nx的圖象開口向下，對稱軸x＝﹣＜0，在y軸的左側(cè)；
故選：C．
6．解：由圖可知，點A與點A'關于（﹣1，0）對稱，點B與點B'關于（﹣1，0）對稱，點C與點C′關于（﹣1，0）對稱，
所以△ABC與△A′B′C′關于點（﹣1，0）成中心對稱，
故選：B．
7．解：①由圖象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故此選項正確；
②當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＜0，即b＞a+c，錯誤；
③由對稱知，當x＝2時，函數(shù)值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故此選項正確；
④當x＝3時函數(shù)值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x＝﹣＝1，
即a＝﹣b，代入得9（﹣b）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此選項正確；
⑤當x＝1時，y的值最大．此時，y＝a+b+c，
而當x＝m時，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此選項錯誤．
故①③④正確．
故選：C．
8．解：設拋物線的解析式是y＝ax2+bx+c，
∵拋物線經(jīng)過A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三點，
∴
解得，
∴y＝﹣x2+5x﹣4，
設過點B（4，0），C（0，﹣4）的直線的解析式為y＝kx+m

解得，
即直線BC的直線解析式為：y＝x﹣4，
設點D的坐標是（x，﹣x2+5x﹣4）
∴＝﹣2（x﹣2）2+8，
∴當x＝2時，△BCD的面積取得最大值，最大值是8．
故選：C．
9．解：∵拋物線與x軸的一個交點在點（3，0）和（4，0）之間，而拋物線的對稱軸為直線x＝1，
∴拋物線與x軸的另一個交點在點（﹣2，0）和（﹣1，0）之間．
∴當x＝﹣1時，y＞0，
即a﹣b+c＞0，所以①正確；
∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
∴3a+b＝3a﹣2a＝a，所以②錯誤；
∵拋物線的頂點坐標為（1，n），
∴＝n，
∴b2＝4ac﹣4an＝4a（c﹣n），所以③正確；
∵拋物線與直線y＝n有一個公共點，
∴拋物線與直線y＝n﹣1有2個公共點，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有兩個不相等的實數(shù)根，所以④正確．
故選：C．
10．解：（1）當x≤2時，各點位置與原圖所示，
此時，BE＝x，MF＝x，GD＝2x，
則y＝S△EFG＝S正方形ABCD﹣S梯形ABGE﹣S△EFC﹣S△GFD，
將有關數(shù)據(jù)代入整理得：y＝S△EFG＝1.5x2﹣x+4，對應圖象是二次函數(shù)；
（2）當x＞2時，各點位置與下圖所示，

此時y＝S△EFG＝?GF?AB＝﹣4x+16，對應圖象是直線，
故選：A．
二、填空題：（4x8＝32）
11．解：二次函數(shù)y＝x2+（2m﹣1）x的對稱軸是直線x＝﹣＝﹣，
∵二次函數(shù)y＝x2+（2m﹣1）x中a＝1＞0，
∴函數(shù)的圖象的開口向上，
∴當x時，y隨x的增大而減小，
∵當﹣2＜x＜0時，y隨x的增大而減小，
∴﹣≥0，
解得：m，
故答案為：m．
12．解：當m＝0時，函數(shù)為y＝2x+1，其圖象與x軸只有一個交點．
當m≠0時，△＝0，即（m+2）2﹣4m（）＝0．
解得：m＝±2．
∴當m＝0，或m＝±2時，函數(shù)y＝mx2+（m+2）x+m+1的圖象與x軸只有一個交點．
故答案為：0或2或﹣2．
13．解：∵x＝﹣3和x＝﹣1時，y＝﹣3，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣2，拋物線的頂點坐標為（﹣2，﹣2），拋物線開口向上，
∴拋物線有最小值為﹣2，
即一元二次方程ax2+bx+c＝﹣2有兩個相等的實數(shù)根，
∵關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m有兩個不相等的實數(shù)根，
∴m＞﹣2．
故答案為m＞﹣2．
14．解：∵二次函數(shù)y＝x2+ax﹣+＝（x+）2﹣﹣+，當0≤x≤1時，二次函數(shù)y＝x2+ax﹣+有最大值2，
∴當＞1時，得a＜﹣2，在0≤x≤1中，當x＝0時，該函數(shù)取得最大值，即﹣+＝2，得a＝﹣6，
當＜0時，得a＞0，在0≤x≤1中，當x＝1時，該函數(shù)取得最大值，即1+a﹣+＝2，得a＝，
由上可得，a的值是﹣6或，
故答案為：﹣6或．
15．解：設A點坐標為（0，a），（a＞0），
則x2＝a，解得x＝，
∴點B（，a），＝a，
則x＝，
∴點C（，a），
∴BC＝﹣．
∵CD∥y軸，
∴點D的橫坐標與點C的橫坐標相同，為，
∴y1＝（）2＝5a，
∴點D的坐標為（，5a）．
∵DE∥AC，
∴點E的縱坐標為5a，
∴＝5a，
∴x＝5，
∴點E的坐標為（5，5a），
∴DE＝5﹣，
∴＝＝5﹣．
故答案是：5﹣．
16．解：∵對稱軸為直線x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2，
∴二次函數(shù)解析式為y＝x2﹣2x．
當x＝﹣1時，y＝1+2＝3；
當x＝4時，y＝16﹣2×4＝8；
當x＝1時，y＝1﹣2＝﹣1．
∵x2+bx﹣t＝0相當于y＝x2+bx與直線y＝t的交點的橫坐標，
∴當﹣1≤t＜8時，在﹣1＜x＜4的范圍內(nèi)有解．
故答案為：﹣1≤t＜8．
17．解：連結(jié)PQ，如圖，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，
∴AP＝PQ＝6，∠PAQ＝60°，
∴△APQ為等邊三角形，
∴PQ＝AP＝6，
∵∠CAP+∠BAP＝60°，∠BAP+∠BAQ＝60°，
∴∠CAP＝∠BAQ，
在△APC和△ABQ中，
，
∴△APC≌△ABQ，
∴PC＝QB＝10，
在△BPQ中，∵PB2＝82＝64，PQ2＝62，BQ2＝102，
而64+36＝100，
∴PB2+PQ2＝BQ2，
∴△PBQ為直角三角形，∠BPQ＝90°，
∴S四邊形APBQ＝S△BPQ+S△APQ＝×6×8+×62＝24+9．
故答案為24+9．

18．解：∵小剛從家出發(fā)7分鐘時與家的距離是1200米，即小剛從家出發(fā)7分鐘時距離學校3500﹣1200＝2300m，
∴公交車的速度為：＝400米/分鐘，故①正確；
由①知公交車速度為400米/分鐘，
∴公交車行駛的時間為＝7分鐘，
∴小剛從家出發(fā)乘上公交車是在第12﹣7＝5分鐘時，故②正確；
∵從上公交車到他到達學校共用10分鐘，
∴小剛下公交車后跑向?qū)W校的速度是＝100米/分鐘，故③正確；
∵小剛從下車至到達學校所用時間為5+10﹣12＝3分鐘，
而小剛下車時發(fā)現(xiàn)還有4分鐘上課，
∴小剛下車較上課提前1分鐘，故④錯誤；
故答案為：①②③
三.解答題
19．解：（1）由方程有兩個實數(shù)根，可得
△＝b2﹣4ac＝4（k﹣1）2﹣4k2＝4k2﹣8k+4﹣4k2＝﹣8k+4≥0，
解得，k≤；

（2）依據(jù)題意可得，x1+x2＝2（k﹣1），x1?x2＝k2，
由（1）可知k≤，
∴2（k﹣1）＜0，x1+x2＜0，
∴﹣x1﹣x2＝﹣（x1+x2）＝x1?x2﹣1，
∴﹣2（k﹣1）＝k2﹣1，
解得k1＝1（舍去），k2＝﹣3，
∴k的值是﹣3．
答：（1）k的取值范圍是k≤；（2）k的值是﹣3．
20．解：（1）由于拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣3，0），B（1，0），可設拋物線的解析式為：y＝a（x+3）（x﹣1），
將C點坐標（0，﹣3）代入，得：
a（0+3）（0﹣1）＝﹣3，解得 a＝1，
則y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，
所以拋物線的解析式為：y＝x2+2x﹣3；

（2）如圖1中，連接AC交對稱軸于P，

∵PB＝PA，
∴PB+PC＝PB+PA，
∴此時PB+PC最短，△PBC的周長最短，
設直線AC解析式為y＝kx+b，則．
解得，
∴直線AC解析式為y＝﹣x﹣3，
∵對稱軸x＝﹣1，
∴點P坐標（﹣1，﹣2）．

（3）在y軸上是存在點M，能夠使得△ADM是直角三角形．理由如下：
∵y＝x2+2x﹣3＝y(tǒng)＝（x+1）2﹣4，
∴頂點D的坐標為（﹣1，﹣4），
∵A（﹣3，0），
∴AD2＝（﹣1+3）2+（﹣4﹣0）2＝20．
設點M的坐標為（0，t），分三種情況進行討論：
①當A為直角頂點時，如圖2，

由勾股定理，得AM2+AD2＝DM2，即（0+3）2+（t﹣0）2+20＝（0+1）2+（t+4）2，
解得t＝，
所以點M的坐標為（0，）；
②當D為直角頂點時，如圖3，

由勾股定理，得DM2+AD2＝AM2，即（0+1）2+（t+4）2+20＝（0+3）2+（t﹣0）2，
解得t＝﹣，
所以點M的坐標為（0，﹣）；
③當M為直角頂點時，如圖4，

由勾股定理，得AM2+DM2＝AD2，即（0+3）2+（t﹣0）2+（0+1）2+（t+4）2＝20，
解得t＝﹣1或﹣3，
所以點M的坐標為（0，﹣1）或（0，﹣3）；
綜上可知，在y軸上存在點M，能夠使得△ADM是直角三角形，此時點M的坐標為（0，）或（0，﹣）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．
21．解：（1）設日銷量y與時間t的函數(shù)解析式為y＝kt+b
將（1，198），（80，40）代入得：

解得：
∴y＝﹣2t+200（1≤x≤80，t為整數(shù)）．
（2）設日銷售利潤為w，則w＝（P﹣6）y
①當1≤t≤40時
w＝（+16﹣6）（﹣2t+200）
＝﹣（t﹣30）2+2450
∴當t＝30時，日銷售利潤最大，最大利潤是2450元．
②當41≤t≤80時
w＝（﹣t+46﹣6）（﹣2t+200）
＝（t﹣90）2﹣100
∴當t＝41時，日銷售利潤最大，最大利潤為2301元
∵2450＞2301
∴第30天的日銷售利潤最大，最大利潤為2450元．
（3）由（2）得：當1≤t≤40時，w＝﹣（t﹣30）2+2450
令w＝2400，即﹣（t﹣30）2+2450＝2400
解得：t1＝20，t2＝40
由函數(shù)w＝﹣（t﹣30）2+2450的二次項系數(shù)為負值，對稱軸為t＝30，
可知當20≤t≤40時，日銷售利潤不低于2400元；
當41≤t≤80時，w的最大值為2301，2301＜2400
∴t的取值范圍是20≤t≤40時
∴該養(yǎng)殖戶有21天利潤不低于2400元．
22．解：（Ⅰ）根據(jù)題意得，解得
∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；

（Ⅱ）如圖1，當y＝0時，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
則C（3，0），
∴OC＝3，
∵B（0，﹣3），
∴OB＝3＝OC，
∴∠OBC＝45°，
由（1）知，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴拋物線的頂點D的坐標為（1，﹣4），
過點D作DE⊥y軸于E，
∴DE＝1，OE＝4，
∴BE＝OE﹣OB＝1＝DE，
∴∠DBE＝45°，
∴∠CBD＝180°﹣∠DBE﹣∠OBC＝90°，
∴△BCD是直角三角形；

（Ⅲ）如圖，由拋物線的對稱性知，N（2，﹣3），
∴BN＝2，
∵BN∥x軸，PQ⊥x軸，
∴BN⊥PQ，
設P（m，m2﹣2m﹣3）（0＜m＜2），
∵B（0，﹣3），C（3，0），
∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，
∴Q（m，m﹣3），
∴PQ＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，
∴S四邊形BPNQ＝S△PBQ+S△PNQ＝PQ?BN＝ [﹣（m﹣）2+]×2＝﹣（m﹣）2+，
當m＝時，S四邊形BPNQ最大，最大值為，此時P（，﹣）．




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