2022~2023學年山西省名校高一上學期期中聯(lián)合考試數(shù)  學考生注意：1. 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時間120分鐘.2. 請將各題答案填寫在答題卡上.3. 本試卷主要考試內容：人教A版必修第一冊第一章至第四章第2節(jié).第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 設集合，，則（    ）A.  B.  C.  D. 2. 若函數(shù)滿足，則（    ）A. －4 B. 4 C. －2 D. 23. 函數(shù)的大致圖象為（    ）A.  B.  C.  D. 4. 十九世紀德國數(shù)學家狄利克雷提出了“狄利克雷函數(shù)”“狄利克雷函數(shù)”在現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展過程中有著重要意義.已知，則“”是“”的（    ）A. 必要不充分條件 B. 充分不必要條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件5. 已知函數(shù)的圖象如圖所示，則關于的不等式的解集為（    ）A.  B.  C.  D. 6. 已知在上是增函數(shù)，，，，則（    ）A.  B.  C.  D. 7. 已知圓錐的體積為，其中為圓錐的底面積，為圓錐的高.現(xiàn)有一個空杯子，盛水部分為圓錐（底面半徑為，高為），現(xiàn)向杯中以的速度勻速注入水，則注水后，杯中水的高度為（    ）A.  B.  C.  D. 8. 已知偶函數(shù)的定義域為，若對任意的，，當時，總有，則滿足不等式的的取值范圍為（    ）A.  B.  C.  D. 二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9. 下列說法中正確的為（    ）A. 若：，，則：，B. 若：，，則：，C. 若：，，則：，D. 若：，，則：，10. 已知集合，，則下列結論正確的是（    ）A. 若，則 B. 若，則C. 若，則的子集個數(shù)為16 D. 若，則11. 已知冪函數(shù)的定義域為，則使得成立的充分不必要條件可以為（    ）A.  B.  C.  D. 12. 設表示，兩者中較小的一個，表示，兩者中較大的一個.若函數(shù)在上有最大值，則（    ）A. 在上的最大值為2 B. 在上的最大值為C. 的取值范圍為 D. 的取值范圍為第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13. 已知，，則_________.14. 已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域為_________.15. 請寫出一個同時滿足下列條件①②③的函數(shù)：_________.①；②對任意，當時，總有；③.16. 若非零實數(shù)，滿足，則的最大值為_________.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已知為實數(shù)，，.（1）當時，求；（2）當時，求的取值集合.18.（12分）（1）化簡：.（結果用分數(shù)指數(shù)冪表示）（2）化簡：.（結果用分數(shù)指數(shù)冪表示）（3）求值：.19.（12分）已知二次函數(shù)滿足.（1）若，求；（2）若，證明：.20.（12分）據(jù)環(huán)保部門測定，某處的污染指數(shù)與附近污染源的強度成正比，與到污染源的距離成反比，比例常數(shù)為，其關系式為.現(xiàn)已知相距的，兩家化工廠（污染源）的污染強度分別為5，2，它們連線上任意一點處的污染指數(shù)等于兩化工廠對該處的污染指數(shù)之和.設，.當為的中點時，處的污染指數(shù)為1.4.（1）試將表示為的函數(shù)；（2）求的最小值.21.（12分）已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且.（1）求，的解析式；（2）判斷在上的單調性，并用定義證明；（3）若對任意的，恒成立，求的取值范圍.22.（12分）定義：若存在正數(shù)，，當時，函數(shù)的值域為，則稱是“第類函數(shù)”.已知函數(shù).（1）若函數(shù)是第類函數(shù)，求的取值范圍；（2）若函數(shù)是第3類函數(shù)，求，的值. 2022~2023學年山西省名校高一上學期期中聯(lián)合考試數(shù)學參考答案1. B  因為，所以.2. C  令，得，故.3. D  因為，所以為奇函數(shù)，排除C選項.的定義域為，排除A選項.根據(jù)，可排除B選項.4. A  若，則，但當時，，不一定相等，所以“”是“”的必要不充分條件.5. B  由二次函數(shù)的圖象可知，，，得，，不等式可化為，即，因為，所以.6. D  由題意可知，，，因為在上是增函數(shù)，，所以.7. D  假設注水后，杯中水的水面半徑為，則杯中水的高度，則，解得，故杯中水的高度.8. C  令函數(shù).因為對任意的，當時，總有，即對任意的，當時，恒成立，所以在上單調遞減.因為為偶函數(shù)，所以在上為奇函數(shù)，在上單調遞減.又因為，所以，所以，解得.9. BD  對于A，B選項，若：，，則：，，所以B正確.對于C，D選項，若：，，則：，，故D正確.10. BC  當時，，所以A錯誤.當時，，，則，所以B正確.因為，則，的子集個數(shù)為16，所以C正確.因為，所以D錯誤.11. BC  令，解得或.當時，的定義域不為，故舍去.當時，在上單調遞增.若，則.推不出，選項A不符合.由得，可以推出，但推不出，選項B符合.由，得，但推不出，選項C符合.推不出，推不出，選項D不符合.12. AC  如圖所示，，，，，由圖可知在上有最大值2，且的取值范圍為.13.   .14.   要使函數(shù)有意義，則，解得，即的定義域為，所以在函數(shù)中，，所以，所以函數(shù)的定義域為.15. （答案不唯一，其他滿足條件的函數(shù)均可） 根據(jù)題意知的圖象經過點，且在上單調遞減，又，所以符合題意.16.   令，，則，所以，因為，所以，所以，從而，當且僅當時，取得最大值.17. 解：（1）當時，，，故.（2）因為，所以.當時，，顯然不滿足題意；當時，，要使，則，即.綜上所述，的取值集合為.18. 解：（1）.（2）.（3）.19. 解法一：（1）解：設二次函數(shù)，因為，所以，得，所以，故.因為，所以，.（2）證明：由（1）得，因為，所以，得.，因為，所以.解法二：（1）解：令，得；令，得；令，得.（2）證明：設二次函數(shù)，因為，所以，得，所以，故.因為，所以，得.，因為，所以，所以.20. 解：（1）由題設知，，點受到處的污染指數(shù)為，受到處的污染指數(shù)為，所以處的污染指數(shù)，.當時，，解得，所以.（2），當且僅當時，等號成立.21. 解：（1）因為為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且，所以，即，則，解得，.（2）在上單調遞增.證明如下：由（1）得，令，則，由，，得，即，故，所以在上單調遞增.（3）由（2）得在上單調遞增，則，所以對任意的，恒成立，即，則，即，解得，所以的取值范圍是.22. 解：（1）因為在上是增函數(shù)，且在上的值域是，所以，即，由此得到是方程的兩個根，則，解得，所以的取值范圍是.（2）根據(jù)題意可得.當時，在上單調遞增，因為是第3類函數(shù)，所以，即.因為，所以，.當時，在上單調遞減，因為是第3類函數(shù)，所以，則，因為，所以，即，將代入，得，因為，所以沒有實數(shù)解.當時，所以當時，.因為是第3類函數(shù)，所以，解得（舍去）.綜上所述，，.

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