函數(shù)的奇偶性的概念、判斷或證明 一、單選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）    已知函數(shù)，有以下結(jié)論：①的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；②的圖象關(guān)于y軸對稱；③在R上單調(diào)遞增；④的值域?yàn)?/span>其中所有正確結(jié)論的序號是(    )A. ② B. ①④ C. ②④ D. ①③④   函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是(    )A.  B.  C.  D.    設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(    )A.  B.  C.  D.    定義在區(qū)間的奇函數(shù)為增函數(shù)；偶函數(shù)在區(qū)間的圖象與的圖象重合，設(shè)，給出下列不等式：
①；
②；
③；
④，
其中成立的是(    )A. ①與④ B. ②與③ C. ①與③ D. ②與④ 二、多選題（本大題共3小題，共15.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）   已知函數(shù)，，則(    )A. 是增函數(shù) B. 是偶函數(shù) C.  D.    關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)描述，正確的是(    )A. 的定義域?yàn)?/span> B. 的值域?yàn)?/span>
C. 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱 D. 在定義域上是增函數(shù)   已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(    )A.  B.  C.  D.  三、填空題（本大題共3小題，共15.0分）   已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，它們的定義域?yàn)?/span>，且它們在上的圖象如圖所示，則函數(shù)是__________填“奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)”中的一個；不等式的解集是__________.
   設(shè)偶函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，當(dāng)時，的圖象如圖所示，則不等式的解是__________.
已知偶函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且在區(qū)間上的圖象如圖所示，則的x的取值范圍是__________.
  四、解答題（本大題共3小題，共36.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）本小題分
已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，且
用定義法證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;
設(shè)，求證：是偶函數(shù)，是奇函數(shù).本小題分
已知函數(shù)
若函數(shù)的圖象過點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的值，并證明函數(shù)為奇函數(shù)；
若，用單調(diào)性的定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞增.本小題分已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，現(xiàn)已畫出函數(shù)在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示.請補(bǔ)充完整函數(shù)的圖象；根據(jù)圖象寫出使的x的取值范圍.當(dāng)時，請寫出的表達(dá)式.
答案和解析 1.【答案】C 【解析】【分析】本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性以及函數(shù)的值域，屬于中檔題.
易得函數(shù)為奇函數(shù)，可判斷①②，，通過判斷的單調(diào)性，得出的單調(diào)性，可判斷③，結(jié)合可得可判斷④，從而得出結(jié)果.【解答】解：的定義域?yàn)?/span> R，，即函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，故①不正確，②正確；，又由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故③不正確；，
 即函數(shù)的值域?yàn)?/span>故④正確.
故選  2.【答案】C 【解析】【分析】本題考查判斷函數(shù)的奇偶性和充要條件及其判斷，屬于中檔題．
若是奇函數(shù)，則恒成立，根據(jù)恒等式成立的條件即可求得a、b的值．【解答】解：若是奇函數(shù)，則，
即恒成立，
恒成立，
要使上式恒成立，只需，即，
故函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是
故選  3.【答案】B 【解析】【分析】本題考查了函數(shù)奇偶性和函數(shù)的圖象變換，解題的關(guān)鍵是確定的對稱中心，考查了邏輯推理能力，屬于中檔題．
先根據(jù)函數(shù)的解析式，得到的對稱中心，然后通過圖象變換，使得變換后的函數(shù)圖象的對稱中心為，從而得到答案．【解答】解：因?yàn)?/span>，
所以函數(shù)的對稱中心為，
所以將函數(shù)向右平移一個單位，向上平移一個單位，
得到函數(shù)，該函數(shù)的對稱中心為，
故函數(shù)為奇函數(shù)．
故選：  4.【答案】C 【解析】【分析】
根據(jù)，，，，對①②③④進(jìn)行逐一驗(yàn)證即可得答案．
本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用．【解答】解：由題意知，
又，，，；
①，
故①對②不對．
③，
故③對④不對．
故選  5.【答案】ABD 【解析】【分析】本題考查分段函數(shù)單調(diào)性的判定，考查函數(shù)值的求法，屬于中檔題．
分別判斷兩段函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合端點(diǎn)值間的關(guān)系判斷A；由偶函數(shù)的定義判斷B；求解函數(shù)值判斷C與【解答】解：當(dāng)時，，函數(shù)在上為增函數(shù)，且，
當(dāng)時，，其對稱軸為，在上單調(diào)遞增，且
是增函數(shù)，故A正確；
函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，且，
是偶函數(shù)，故B正確；
，
，故C錯誤；
，
，故D正確．
故選  6.【答案】ABC 【解析】【分析】本題考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，函數(shù)的定義域和值域的應(yīng)用問題，屬于中檔題.
化簡函數(shù)，對選項(xiàng)中的結(jié)論進(jìn)行分析判斷即可．【解答】解：對于A：要使函數(shù)有意義可得，解得且，
故函數(shù)的定義域?yàn)?/span>故A正確;
對于B：，
在上單調(diào)遞增，，
在上單調(diào)遞增，，
所以值域?yàn)?/span>，故B正確;
對于C：當(dāng)，，所以，
同理時，，
綜上所述：，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故C正確，
對于D：函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，但是在x軸左側(cè)的函數(shù)值比右側(cè)的函數(shù)值大，所以在定義域上不是增函數(shù)，故D不正確;
故選：  7.【答案】AB 【解析】【分析】本題主要考查函數(shù)的奇偶性，屬于中檔題．
根據(jù)為奇函數(shù)，可得，再逐項(xiàng)分析可得結(jié)果．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的奇函數(shù)，
所以，
對于A：，故A為奇函數(shù)；
對于B：，故B為奇函數(shù)；
對于C：，故C為偶函數(shù)；
對于D：定義域是沒有奇偶性，
故選  8.【答案】奇函數(shù) 【解析】【分析】本題主要考查函數(shù)的奇偶性在解不等式中的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化，等思想方法
首先由是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，得到是奇函數(shù)，再將不等式轉(zhuǎn)化為，觀察圖象選擇函數(shù)值異號的部分，從而求得答案【解答】 解：為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，，，
，為奇函數(shù)；
由題圖可知當(dāng)時，與異號，
的解集為
故答案為：奇函數(shù)；  9.【答案】 【解析】【分析】本題考查利用函數(shù)的奇偶性求解不等式，屬于中檔題.
由為偶函數(shù)可以補(bǔ)全函數(shù)在上的圖象，結(jié)合圖象可解得不等式的解集.【解答】解：因?yàn)?/span>為偶函數(shù)，所以可以補(bǔ)全函數(shù)在上的圖象，如圖，

由，得：
當(dāng)時，，得；
當(dāng)時，，得， 
綜上：不等式的解是
故答案為  10.【答案】 【解析】【分析】本題考查奇偶函數(shù)圖像特征的應(yīng)用，屬于較易題.
根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱畫出函數(shù)圖象即可解.【解答】解：是偶函數(shù)，
其圖象關(guān)于y軸對稱，
由在上的圖象作出在上的圖象，
如圖，得到在上的圖象．

的x的取值范圍為
故答案為  11.【答案】解：為定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，
，
又，
檢驗(yàn)：當(dāng)，時，，，
為奇函數(shù)，符合題意，

對任意的，

，
，，
又，，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;
易知定義在，由于，因此也必有
可見的定義域也是若設(shè)，
則與的定義域也是

，
所以為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，
即是偶函數(shù)，是奇函數(shù). 【解析】本題考查定義法證明函數(shù)單調(diào)性，奇偶性，屬于中檔題.
 12.【答案】解：根據(jù)題意，函數(shù)的圖象過點(diǎn)，
則有，解可得，則，
其定義域?yàn)?/span>，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
且，
則函數(shù)為奇函數(shù)
證明：若，則，
設(shè)，
則，
又由，則，，
則，即，
則函數(shù)在上為增函數(shù)． 【解析】由的圖象過點(diǎn)可求得m的值，利用函數(shù)奇偶性的定義即可證明函數(shù)為奇函數(shù)；
利用單調(diào)性的定義即可得證．
本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的證明．
 13.【答案】解：因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，故圖象關(guān)于y軸對稱，補(bǔ)出完整函數(shù)圖象如圖所示：
解：由圖象得的x的取值范圍為解：設(shè)，則，所以，
因?yàn)?/span>是定義在R上的偶函數(shù)，所以，所以時， 【解析】本題主要考查奇偶函數(shù)的圖像特征，考查函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，考查利用奇偶性求函數(shù)的解析式，屬于中檔題.由函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，故直接補(bǔ)出完整函數(shù)的圖象即可;由圖象直接可寫出的x的取值范圍；直接利用偶函數(shù)的性質(zhì)求解析式.
 

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