?2022-2023學(xué)年重慶市南岸區(qū)珊瑚初級中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
一.選擇題。（共12小題，每題4分，共48分）
1．﹣的倒數(shù)是（　　）
A．﹣ B．﹣5 C． D．5
2．下面圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
3．在比例尺為1：5000000的地圖上，甲、乙兩地間的圖上距離為25厘米，則兩地間的實際距離用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．1.25×105米 B．12.5×105米 C．1.25×106米 D．1.25×107米
4．下列計算正確的是（　?。?br /> A．（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3 B．a(chǎn)6÷a3+a2＝2a2
C．2a+3b＝5ab D．a(chǎn)2?a4＝a8
5．如圖，要擰開一個邊長為a（a＝6mm）的正六邊形，扳手張開的開口b至少為（　　）

A．4mm B．6mm C．4mm D．12mm
6．如圖所示，D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊的中點，添加下列條件后，不能得到四邊形DBFE是菱形的是（　?。?br />
A．AB＝BC B．BE平分∠ABC C．BE⊥AC D．AB＝AC
7．受疫情反彈的影響，某景區(qū)今年3月份游客人數(shù)比2月份下降了40%，4月份又比3月份下降了50%，隨著疫情逐步得到控制，預(yù)計5月份游客人數(shù)將比2月份翻一番（即是2月份的2倍），設(shè)5月份與4月份相比游客人數(shù)的增長率為x，則下列關(guān)系正確的是（　?。?br /> A．（1﹣40%﹣50%）（1+x）＝2
B．（1﹣40%﹣50%）（1+x）2＝2
C．（1﹣40%）（1﹣50%）（1+x）2＝2
D．（1﹣40%）（1﹣50%）（1+x）＝2
8．直角三角形兩直角邊是方程x2﹣8x+14＝0的兩根，則它的斜邊為（　?。?br /> A．8 B．7 C．6 D．2
9．下列圖形都是由●按照一定規(guī)律組成的，其中第①個圖中共有4個●，第②個圖中共有8個●，第③個圖中共有13個●，第④個圖中共有19個●，…，照此規(guī)律排列下去，則第⑨個圖中●的個數(shù)為（　?。?br />
A．50 B．53 C．64 D．73
10．若整數(shù)a使得關(guān)于x的方程2﹣＝的解為非負(fù)數(shù)，且使得關(guān)于y的一元一次不等式組至少有3個整數(shù)解，則所有符合條件的整數(shù)a的和為（　?。?br /> A．23 B．25 C．27 D．28
11．如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點P是AB上一動點（不與A、B重合），對角線AC、BD相交于點O，過點P分別作AC、BD的垂線，分別交AC、BD于點E、F，交AD、BC于點M、N．下列結(jié)論：
①△APE≌△AME；②PE+PF＝2；③PE2+PF2＝PO2；④△POF∽△BNF；⑤四邊形OEPF的面積可以為3．⑥EF的最小值為2，其中正確的隹是（　?。?br />
A．6 B．5 C．4 D．3
12．已知：M＝x2+ax﹣3，N＝x+1（其中a為整數(shù)，且a≠0）；有下列結(jié)論，其中正確的結(jié)論個數(shù)有（　?。?br /> ①M?N中不含x2項，則a＝﹣1；
②若為整式，則a＝±2；
③若a是M+N＝0的一個根，則a2+；
④若關(guān)于x的方程M＝0的兩個解分別是x1＝t2，x2＝2t﹣3，則實數(shù)a的最大值為4．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二.填空題。（共4小題，每題4分，共16分）
13．計算：＝　 ?。?br /> 14．已知兩個相似三角形的周長比為2：3，若較大三角形的面積等于18cm2，則較小三角形面積等于 　 ?。?br /> 15．下面是小李同學(xué)探索的近似數(shù)的過程：
∵面積為107的正方形邊長是，且，
∴設(shè)，其中0＜x＜1，畫出如圖示意圖，
∵圖中S正方形＝102+2×10?x+x2，S正方形＝107，
∴102+2×10?x+x2＝107
當(dāng)x2較小時，省略x2，得20x+100≈107，得到x≈0.35，即．
仿照上述方法，探究的近似值為 　 ?。?br />
16．小李和小張一起承包36畝的土地作為果園基地．他們將36畝土地分成一號、二號、三號區(qū)域，三個區(qū)域的土地面積均為整數(shù)畝，分別用于種植蘋果樹、桃樹、梨樹其中的一種（每塊區(qū)域可任意選擇三種果樹的一種，同一塊區(qū)域只能種同一種果樹）．小李和小張?zhí)岢鰞煞N種植方案，小李的方案為：在一號區(qū)域種蘋果、二號區(qū)域種桃樹、三號區(qū)域種梨樹；小張的方案為：在一號區(qū)域種蘋果、在二號區(qū)域種梨樹、在三號區(qū)域種桃樹，每種樹苗按畝計價，且單價為整數(shù)，蘋果樹苗每畝100元，桃樹苗比梨樹苗貴，且每畝差價不大于14元，不小于8元，蘋果樹苗占整個種植樹苗的十二分之五，小李方案中，桃樹和梨樹共花費1590元，小張的方案比小李的方案少花30元．應(yīng)如何安排三個區(qū)域種植樹苗的類型，可以使花費最少，最少花費為 　 　元．
三、解答題。（共9小題，17-18題8分，19-25題10分，共86分）
17．（8分）計算：
（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）．
18．（8分）如圖，已知正方形ABCD，點E為AD邊上一點，連接BE．
（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）
①在AB邊上截取線段BF，使BF＝AE，連接CF，與BE交于點G；
②過點A作BE的垂線，垂足為H；
（2）在（1）所作圖形中，求證：BF：FA＝BG：GH，請補全下面的證明過程．
證明：
∵　 　，
∴AB＝BC，∠BAE＝∠CBF＝90°．
由（1）知BF＝AE，在△ABE與△BCF中，

∴△ABE≌△BCF（SAS）．
∴　 ?。?br /> ∵∠1+∠2＝∠CBF＝90°，
∴∠BCF+∠2＝90°．
∵∠FGB是△BGC的一個外角，
∴　 　．
由（1）知AH⊥BE，
∴∠AHB＝∠FGB＝90°．
∴　 ?。?br /> ∴BF：FA＝BG：GH．

19．（10分）為慶祝中國共產(chǎn)黨建黨100周年，某校加強了學(xué)生對黨史知識的學(xué)習(xí)，并組織學(xué)生參加《黨史知識》測試（滿分100分）．為了解學(xué)生對黨史知識的掌握程度，從七、八年級中各隨機抽取10名學(xué)生的測試成績，進(jìn)行統(tǒng)計、分析，過程如下：
收集數(shù)據(jù)：
七年級：86 88 95 90 100 95 95 99 93 100
八年級：100 98 98 89 87 98 95 90 90 89
整理數(shù)據(jù)：
成績x（分）
年級
85＜x≤90
90＜x≤95
95＜x≤100
七年級
3
4
3
八年級
5
a
b
分析數(shù)據(jù)：
統(tǒng)計量
年級
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
七年級
94.1
95
d
八年級
93.4
c
98
應(yīng)用數(shù)據(jù)：
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　，d＝　 ?。?br /> （2）若八年級共有200人參與答卷，請估計八年級測試成績大于95分的人數(shù)；
（3）從測試成績優(yōu)秀的學(xué)生中選出5名語言表達(dá)能力較強的學(xué)生，其中八年級3名，七年級2名．現(xiàn)從這5名學(xué)生中隨機抽取2名到當(dāng)?shù)厣鐓^(qū)擔(dān)任黨史宣講員．請用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好抽到同年級學(xué)生的概率．
20．（10分）在同一平面內(nèi)，如圖①，將兩個全等的等腰直角三角形擺放在一起，其中AB＝AC，DE＝AE，點A為公共頂點，∠BAC＝∠AED＝90°．如圖②，若△ABC固定不動，把△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使AD、AE與邊BC的交點分別為M、N，點M不與點B重合，點N不與點C重合．
（1）求證：△BAN∽△CMA；
（2）已知等腰直角三角形的斜邊長為4．
①請求出BN?CM的值；
②若BM＝CN，請求出MN的長．


21．（10分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2兩實數(shù)根．
（1）若x1＝1，求x2及m的值；
（2）是否存在實數(shù)m，滿足（x1﹣1）（x2﹣1）＝？若存在，求出實數(shù)m的值；若不存在，請說明理由．
22．（10分）2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在一開售時，就深受大家的喜歡．某供應(yīng)商今年2月第一周購進(jìn)一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一個冰墩墩的進(jìn)價比一個“雪容融”的進(jìn)價多40元，進(jìn)貨20個“冰墩墩”和30個“雪容融”的金額相同．
（1）今年2月第一周每個“冰墩墩”和“雪容融”的進(jìn)價分別是多少元？
（2）今年2月第一周，供應(yīng)商以150元每個售出“冰墩墩”120個，以100元每個售出“雪容融”150個．第二周供應(yīng)商決定調(diào)整價格，每個“冰墩墩”的價格不變，每個“雪容融”的售價在第一周的基礎(chǔ)上下降了m元，由于冬奧賽事的火熱進(jìn)行，第二周“冰墩墩”的銷量比第一周增加了個，“雪容融”的銷量比第一周增加了m個，最終商家獲利6600元，求m．
23．（10分）一個四位自然數(shù)m，若它的千位數(shù)字與百位數(shù)字的差等于5，十位數(shù)字與個位數(shù)字的差等于4，則稱這個四位自然數(shù)m為“青年數(shù)”．“青年數(shù)”m的千位數(shù)字與百位數(shù)字的和的2倍與十位數(shù)字及個位數(shù)字的和記為P（m）；“青年數(shù)”m的千位數(shù)字與4的差記為Q（m），令F（m）＝．
例如：∵對7240，7﹣2＝5，4﹣0＝4，∴7240是“青年數(shù)”．
∵P（7240）＝2×（7+2）+4+0＝22，Q（7240）＝7﹣4＝3，
∴F（7240）＝＝．
又如：∵對5093，5﹣0＝5，但9﹣3≠4，∴5093不是“青年數(shù)”．
（1）請判斷8273，9462是否為“青年數(shù)”？并說明理由；如果是，請求出對應(yīng)的F（m）的值；
（2）若一個“青年數(shù)”m，當(dāng)F（m）能被10整除時，求出所有滿足條件的m．
24．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸交于點B，與y軸交于點A，OA＝1，，直線交直線AB于點C．

（1）求直線AB的解析式及C點的坐標(biāo)；
（2）如圖1，P為直線OC上一動點且在第一象限內(nèi)，M、Q為x軸上動點，Q在M右側(cè)且，當(dāng)時，求PQ+QM+MA最小值；
（3）如圖2，將△AOB沿著射線CO方向平移，平移后A、O、B三點分別對應(yīng)D、E、F三點，當(dāng)DF過O點時，在平面內(nèi)是否存在H點，在第一象限內(nèi)是否存在N點，使得以H、N、D、F四個點為頂點的四邊形為正方形，若存在，請直接寫出H點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
25．（10分）如圖，在?ABCD中，AC是一條對角線，且AB＝AC＝5，BC＝6，E，F(xiàn)是AD邊上兩點，點F在點E的右側(cè)，AE＝DF，連接CE，CE的延長線與BA的延長線相交于點G．
（1）如圖1，M是BC邊上一點，連接AM，MF，MF與CE相交于點N．
①若AE＝，求AG的長；
②在滿足①的條件下，若EN＝NC，求證：AM⊥BC；
（2）如圖2，連接GF，H是GF上一點，連接EH．若∠EHG＝∠EFG+∠CEF，且HF＝2GH，求EF的長．



2022-2023學(xué)年重慶市南岸區(qū)珊瑚初級中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（參考答案與詳解）
一.選擇題。（共12小題，每題4分，共48分）
1．﹣的倒數(shù)是（　?。?br /> A．﹣ B．﹣5 C． D．5
【分析】倒數(shù)：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)．
【解答】解：﹣的倒數(shù)是﹣5．
故選：B．
2．下面圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，進(jìn)行判斷即可．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．
【解答】解：A．該圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；
B．該圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
C．該圖形既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
D．該圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
故選：A．
3．在比例尺為1：5000000的地圖上，甲、乙兩地間的圖上距離為25厘米，則兩地間的實際距離用科學(xué)記數(shù)法表示為（　　）
A．1.25×105米 B．12.5×105米 C．1.25×106米 D．1.25×107米
【分析】根據(jù)圖上距離與比例尺，求實際距離，即圖上距離除以比例尺．
【解答】解：根據(jù)題意，0.25÷（1：5000000）
＝1250000
＝1.25×106（米）．
故選：C．
4．下列計算正確的是（　?。?br /> A．（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3 B．a(chǎn)6÷a3+a2＝2a2
C．2a+3b＝5ab D．a(chǎn)2?a4＝a8
【分析】利用積的乘方的法則，同底數(shù)冪的除法的法則，同底數(shù)冪的乘法的法則，合并同類項的法則對各項進(jìn)行運算即可．
【解答】解：A、（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3，故A符合題意；
B、a6÷a3+a2＝a3+a2，故B不符合題意；
C、2a與3b不屬于同類項，不能合并，故C不符合題意；
D、a2?a4＝a6，故D不符合題意；
故選：A．
5．如圖，要擰開一個邊長為a（a＝6mm）的正六邊形，扳手張開的開口b至少為（　　）

A．4mm B．6mm C．4mm D．12mm
【分析】根據(jù)題意，即是求該正六邊形的邊心距的2倍．構(gòu)造一個由半徑、半邊、邊心距組成的直角三角形，且其半邊所對的角是30度，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的知識求解．
【解答】解：設(shè)正多邊形的中心是O，其一邊是AB，
∴∠AOB＝∠BOC＝60°，
∴OA＝OB＝AB＝OC＝BC，
∴四邊形ABCO是菱形，
∵AB＝6mm，∠AOB＝60°，
∴cos∠BAC＝，
∴AM＝6×＝3（mm），
∵OA＝OC，且∠AOB＝∠BOC，
∴AM＝MC＝AC，
∴AC＝2AM＝6（mm）．
解法2：連接OC、OD，過O作OM⊥CD于M，如圖1所示：
則∠COD＝＝60°，
∴∠COM＝90°﹣60°＝30°，△OCD是等邊三角形，
∴OC＝OD＝CD＝6mm，
∵OM⊥CD，
∴CM＝DM＝CD＝3（mm），OM＝CM＝3（mm），
∴b＝2OM＝6（mm），
故選：B．


6．如圖所示，D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊的中點，添加下列條件后，不能得到四邊形DBFE是菱形的是（　　）

A．AB＝BC B．BE平分∠ABC C．BE⊥AC D．AB＝AC
【分析】當(dāng)AB＝BC時，四邊形DBFE是菱形．根據(jù)三角形中位線定理證明即可；當(dāng)BE平分∠ABC時，可證BD＝DE，可得四邊形DBFE是菱形，當(dāng)BE⊥AC，可證AB＝BC，可得四邊形DBFE是菱形，由此即可判斷；
【解答】解：當(dāng)AB＝BC時，四邊形DBFE是菱形；
理由：∵點D、E、F分別是邊AB、AC、BC的中點，
∴DE∥BC，EF∥AB，
∴四邊形DBFE是平行四邊形，
∵DE＝BC，EF＝AB，
∴DE＝EF，
∴四邊形DBFE是菱形，故A正確，不符合題意，
當(dāng)BE平分∠ABC時，可證BD＝DE，可得四邊形DBFE是菱形，故B正確，不符合題意，
當(dāng)BE⊥AC，可證AB＝BC，可得四邊形DBFE是菱形，故C正確，不符合題意．
故選：D．
7．受疫情反彈的影響，某景區(qū)今年3月份游客人數(shù)比2月份下降了40%，4月份又比3月份下降了50%，隨著疫情逐步得到控制，預(yù)計5月份游客人數(shù)將比2月份翻一番（即是2月份的2倍），設(shè)5月份與4月份相比游客人數(shù)的增長率為x，則下列關(guān)系正確的是（　?。?br /> A．（1﹣40%﹣50%）（1+x）＝2
B．（1﹣40%﹣50%）（1+x）2＝2
C．（1﹣40%）（1﹣50%）（1+x）2＝2
D．（1﹣40%）（1﹣50%）（1+x）＝2
【分析】根據(jù)“5月份游客人數(shù)將比2月份翻一番（即是2月份的2倍）”列方程即可．
【解答】解：根據(jù)題意，得（1﹣40%）（1﹣50%）（1+x）＝2，
故選：D．
8．直角三角形兩直角邊是方程x2﹣8x+14＝0的兩根，則它的斜邊為（　?。?br /> A．8 B．7 C．6 D．2
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求出兩根之積與兩根之和的值，再根據(jù)勾股定理列出直角三角形三邊之間的關(guān)系式，然后將此式化簡為兩根之積與兩根之和的形式，最后代入兩根之積與兩根之和的值進(jìn)行計算．
【解答】解：設(shè)直角三角形的斜邊為c，兩直角邊分別為a與b．
∵直角三角形兩直角邊是方程x2﹣8x+14＝0的兩根，
∴a+b＝8，ab＝14．
根據(jù)勾股定理可得：c2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝64﹣28＝36，
∴c＝6．
故選：C．
9．下列圖形都是由●按照一定規(guī)律組成的，其中第①個圖中共有4個●，第②個圖中共有8個●，第③個圖中共有13個●，第④個圖中共有19個●，…，照此規(guī)律排列下去，則第⑨個圖中●的個數(shù)為（　?。?br />
A．50 B．53 C．64 D．73
【分析】根據(jù)已知圖形得出圖n中點的個數(shù)為（n+1）2﹣（1+2+3+…+n﹣1），據(jù)此可得．
【解答】解：因為圖①中點的個數(shù)為4＝22﹣0，
圖②中點的個數(shù)為8＝32﹣1，
圖③中點的個數(shù)為13＝42﹣（1+2），
圖④中點的個數(shù)為19＝52﹣（1+2+3），
……
所以圖⑨中點的個數(shù)為102﹣（1+2+3+…+8）＝100﹣36＝64，
故選：C．
10．若整數(shù)a使得關(guān)于x的方程2﹣＝的解為非負(fù)數(shù)，且使得關(guān)于y的一元一次不等式組至少有3個整數(shù)解，則所有符合條件的整數(shù)a的和為（　?。?br /> A．23 B．25 C．27 D．28
【分析】表示出分式方程的解，根據(jù)解為非負(fù)數(shù)確定出a的范圍，表示出不等式組的解集，由解集中至少有3個整數(shù)解，確定出a的范圍，進(jìn)而求出a的具體范圍，確定出整數(shù)a的值，求出之和即可．
【解答】解：分式方程去分母得：2（x﹣2）﹣3＝﹣a，
整理得：2x﹣4﹣3＝﹣a，
解得：x＝，
∵分式方程的解為非負(fù)數(shù)，且a為整數(shù)，
∴≥0且≠2，即a≤7且a≠3，
不等式組整理得：，即﹣2＜y≤a，
∵不等式組至少有3個整數(shù)解，
∴a≥1，
綜上，a的范圍為1≤a≤7，即a＝1，2，4，5，6，7，
則滿足條件的a之和為1+2+4+5+6+7＝25．
故選：B．
11．如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點P是AB上一動點（不與A、B重合），對角線AC、BD相交于點O，過點P分別作AC、BD的垂線，分別交AC、BD于點E、F，交AD、BC于點M、N．下列結(jié)論：
①△APE≌△AME；②PE+PF＝2；③PE2+PF2＝PO2；④△POF∽△BNF；⑤四邊形OEPF的面積可以為3．⑥EF的最小值為2，其中正確的隹是（　?。?br />
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】①根據(jù)ASA可證明△APE≌△AME；
②證明四邊形OFPE是矩形，利用勾股定理計算BD的長，從而得OB的長，可得結(jié)論；
③利用勾股定理和矩形的對邊相等可得結(jié)論；
③證明△BFN是等腰直角三角形和△OPF是直角三角形可作判斷；
⑤根據(jù)矩形的面積＝長×寬列式，將S＝3代入解方程，方程無解可作判斷．
【解答】解：①∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°．
∵PM⊥AC，
∴∠AEM＝∠AEP＝90°，
在△APE和△AME中，
，
∴△APE≌△AME，故①正確；

②∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝4，∠ABC＝∠AOB＝90°，
∴OB＝BD＝＝2，
∵∠AOB＝∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴四邊形OFPE是矩形，
∴OF＝PE，
∵∠FBP＝45°，∠BFP＝90°，
∴△BFP是等腰直角三角形，
∴BF＝PF，
∴PE+PF＝OF+BF＝OB＝2，故②正確；
③在直角△OPF中，OF2+PF2＝PO2，
由PE＝OF，
∴PE2+PF2＝PO2，故③正確；
④∵∠CBF＝45°，∠BFN＝90°，
∴△BFN是等腰直角三角形，
而△OPF是直角三角形，
∴△POF與△BNF不相似；故④錯誤；
⑤∵四邊形OFPE是矩形，
∴四邊形OEPF的面積＝PE?PF，
設(shè)PE＝x，則PF＝2﹣x，
若四邊形OEPF的面積為3，則x（2﹣x）＝3，
x2﹣2x+3＝0，
Δ＝﹣4×1×3＝8﹣12＝﹣4＜0，
此方程無實數(shù)解，
∴四邊形OEPF的面積不可以為3，故⑤錯誤；
⑥當(dāng)OP⊥AB時，OP最?。?，當(dāng)EF＝OP時，EF最小，
EF的最小值為2，故⑥正確．
其中正確的是①②③⑥．
故選：C．
12．已知：M＝x2+ax﹣3，N＝x+1（其中a為整數(shù)，且a≠0）；有下列結(jié)論，其中正確的結(jié)論個數(shù)有（　?。?br /> ①M?N中不含x2項，則a＝﹣1；
②若為整式，則a＝±2；
③若a是M+N＝0的一個根，則a2+；
④若關(guān)于x的方程M＝0的兩個解分別是x1＝t2，x2＝2t﹣3，則實數(shù)a的最大值為4．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】求得MN＝x3+（a+1）x2+（a﹣3）x﹣3，根據(jù)題意a+1＝0，求得a＝﹣1，即可判斷①正確；由為整式，可知M能夠分解出（x+1）這個因式，從而求得a＝﹣2，即可判斷②錯誤；由題意求得2a2+a﹣2＝0，變形為a2＝，代入a2+，通過計算分式的加法，從而求得a2+＝，即可判斷③錯誤；關(guān)于x的方程M＝0的兩個解分別是x1＝t2，x2＝2t﹣3，則方程為（x﹣t2）（x﹣2t+3）＝0，整理得到a＝﹣t2﹣2t+3，配方即可得出a的最大值．
【解答】解：①M?N＝（x2+ax﹣3）（x+1）
＝x3+ax2﹣3x+x2+ax﹣3
＝x3+（a+1）x2+（a﹣3）x﹣3，
∵不含x2項，
∴a+1＝0，
∴a＝﹣1，故①符合題意；
②∵為整式，
∴M＝x2+ax﹣3＝（x﹣3）（x+1）＝x2﹣2x﹣3，
∴a＝﹣2，故②不符合題意；
③若a是M+N＝0的一個根，
則a是x2+ax﹣3+x+1＝0的一個根，
∴a是x2+（a+1）x﹣2＝0的一個根，
∴a2+（a+1）a﹣2＝0，
∴2a2+a﹣2＝0，
∴a2＝，
∴a2+
＝+
＝
＝+2
＝+2
＝+2
＝，故③不合題意；
∵關(guān)于x的方程M＝0的兩個解分別是x1＝t2，x2＝2t﹣3，
則方程為（x﹣t2）（x﹣2t+3）＝0，
整理得x2﹣2tx+3x﹣t2x+2t3﹣3t2＝0，
∴a＝﹣t2﹣2t+3，
∴a＝﹣t2﹣2t+3
＝﹣（t+1）2+4，
故a有最大值為4．故④符合題意．
故選：B．
二.填空題。（共4小題，每題4分，共16分）
13．計算：＝　1?。?br /> 【分析】先化簡各式，然后再進(jìn)行計算即可解答．
【解答】解：
＝2﹣2+3+（﹣2）
＝1，
故答案為：1．
14．已知兩個相似三角形的周長比為2：3，若較大三角形的面積等于18cm2，則較小三角形面積等于 　8cm2?。?br /> 【分析】根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方求出面積比，根據(jù)題意計算即可．
【解答】解：∵兩個相似三角形的周長之比為2：3，
∴兩個相似三角形的相似比是2：3，
∴兩個相似三角形的面積比是4：9，
又較大三角形的面積等于18cm2，
∴較小三角形的面積為8cm2，
故答案為：8cm2．
15．下面是小李同學(xué)探索的近似數(shù)的過程：
∵面積為107的正方形邊長是，且，
∴設(shè)，其中0＜x＜1，畫出如圖示意圖，
∵圖中S正方形＝102+2×10?x+x2，S正方形＝107，
∴102+2×10?x+x2＝107
當(dāng)x2較小時，省略x2，得20x+100≈107，得到x≈0.35，即．
仿照上述方法，探究的近似值為 　8.75　．

【分析】根據(jù)題目提供的方法進(jìn)行計算即可．
【解答】解：∵82＝64，92＝81而64＜76＜81，
∴＜＜，即8＜＜9，
∴設(shè)＝8+x，其中0＜x＜1，畫出如圖示意圖，
∵圖中S正方形＝82+2×8?x+x2，S正方形＝76，
∴82+2×8?x+x2＝76，
當(dāng)x2較小時，省略x2，得16x+64≈76，得到x≈0.75，
∴≈8.75，
故答案為：8.75．

16．小李和小張一起承包36畝的土地作為果園基地．他們將36畝土地分成一號、二號、三號區(qū)域，三個區(qū)域的土地面積均為整數(shù)畝，分別用于種植蘋果樹、桃樹、梨樹其中的一種（每塊區(qū)域可任意選擇三種果樹的一種，同一塊區(qū)域只能種同一種果樹）．小李和小張?zhí)岢鰞煞N種植方案，小李的方案為：在一號區(qū)域種蘋果、二號區(qū)域種桃樹、三號區(qū)域種梨樹；小張的方案為：在一號區(qū)域種蘋果、在二號區(qū)域種梨樹、在三號區(qū)域種桃樹，每種樹苗按畝計價，且單價為整數(shù)，蘋果樹苗每畝100元，桃樹苗比梨樹苗貴，且每畝差價不大于14元，不小于8元，蘋果樹苗占整個種植樹苗的十二分之五，小李方案中，桃樹和梨樹共花費1590元，小張的方案比小李的方案少花30元．應(yīng)如何安排三個區(qū)域種植樹苗的類型，可以使花費最少，最少花費為 　2910　元．
【分析】由蘋果樹苗占整個種植樹苗的十二分之五，知一號區(qū)域面積為15畝，設(shè)二號區(qū)域x畝，則三號區(qū)域（21﹣x）畝，設(shè)桃樹每畝a元，梨樹每畝b元，則，可得：（a﹣b）（2x﹣21）＝30，又8≤a﹣b≤14，a、b、x都是整數(shù)，故a﹣b＝10，2x﹣21＝3，從而可得x＝12，b＝70，a＝80，即可得最少花費為2910元．
【解答】解：∵蘋果樹苗占整個種植樹苗的十二分之五，
∴一號區(qū)域面積為36×＝15（畝），
∴二號、三號區(qū)域共36﹣15＝21（畝），
設(shè)二號區(qū)域x畝，則三號區(qū)域（21﹣x）畝，設(shè)桃樹每畝a元，梨樹每畝b元，
根據(jù)題意可得：，
①﹣②得：（a﹣b）（2x﹣21）＝30，
∵8≤a﹣b≤14，a、b、x都是整數(shù)，
∴a﹣b、2x﹣21是30的因數(shù)，
∴a﹣b＝10，2x﹣21＝3，
∴x＝12，a＝b+10，
把x＝12代入①得12a+9b＝1590，
∴12（b+10）+9b＝1590，
解得b＝70，
∴a＝80，
∴二號區(qū)域12畝，則三號區(qū)域9畝，桃樹每畝80元，梨樹每畝70元，
∴面積最大的一號區(qū)域15畝種植每畝70元的梨樹，面積最小的三號區(qū)域9畝種植每畝100元的蘋果樹，可以使花費最少，
最少花費為15×70+9×100+12×80＝2910（元），
故答案為：2910．
三、解答題。（共9小題，17-18題8分，19-25題10分，共86分）
17．（8分）計算：
（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）．
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）根據(jù)分式的除法法則進(jìn)行計算，再根據(jù)分式的減法法則進(jìn)行計算，即可求出答案．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝2，即（x﹣1）2＝2，
∴x﹣1＝±，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）原式＝﹣?
＝﹣1
＝
＝．
18．（8分）如圖，已知正方形ABCD，點E為AD邊上一點，連接BE．
（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）
①在AB邊上截取線段BF，使BF＝AE，連接CF，與BE交于點G；
②過點A作BE的垂線，垂足為H；
（2）在（1）所作圖形中，求證：BF：FA＝BG：GH，請補全下面的證明過程．
證明：
∵　正方形ABCD為正方形　，
∴AB＝BC，∠BAE＝∠CBF＝90°．
由（1）知BF＝AE，在△ABE與△BCF中，

∴△ABE≌△BCF（SAS）．
∴　∠1＝∠BCF?。?br /> ∵∠1+∠2＝∠CBF＝90°，
∴∠BCF+∠2＝90°．
∵∠FGB是△BGC的一個外角，
∴　∠FGB＝∠2+∠BCF＝90　．
由（1）知AH⊥BE，
∴∠AHB＝∠FGB＝90°．
∴　FG∥AH?。?br /> ∴BF：FA＝BG：GH．

【分析】（1）①在BA上截取BF＝AE；②過A點作BE的垂線得到AH；
（2）先利用正方形的性質(zhì)得到AB＝BC，∠BAE＝∠CBF＝90°，再證明△ABE≌△BCF得到∠1＝∠BCF，接著證明∠FGB＝90°，所以AH∥CF，根據(jù)利用平行線分線段成比例定理得到結(jié)論．
【解答】（1）解：如圖，CF、AH為所作；

（2）證明：∵正方形ABCD為正方形，
∴AB＝BC，∠BAE＝∠CBF＝90°，
由（1）知BF＝AE，在△ABE與△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠1＝∠BCF，
∵∠1+∠2＝∠CBF＝90°，
∴∠BCF+∠2＝90°，
∵∠FGB是△BGC的一個外角，
∴∠FGB＝∠2+∠BCF＝90°，
由（1）知AH⊥BE，
∴∠AHB＝∠FGB＝90°，
∴FG∥AH，
∴BF：FA＝BG：GH，
故答案為：正方形ABCD為正方形，∠1＝∠BCF，∠FGB＝∠2+∠BCF＝90°，F(xiàn)G∥AH，
19．（10分）為慶祝中國共產(chǎn)黨建黨100周年，某校加強了學(xué)生對黨史知識的學(xué)習(xí)，并組織學(xué)生參加《黨史知識》測試（滿分100分）．為了解學(xué)生對黨史知識的掌握程度，從七、八年級中各隨機抽取10名學(xué)生的測試成績，進(jìn)行統(tǒng)計、分析，過程如下：
收集數(shù)據(jù)：
七年級：86 88 95 90 100 95 95 99 93 100
八年級：100 98 98 89 87 98 95 90 90 89
整理數(shù)據(jù)：
成績x（分）
年級
85＜x≤90
90＜x≤95
95＜x≤100
七年級
3
4
3
八年級
5
a
b
分析數(shù)據(jù)：
統(tǒng)計量
年級
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
七年級
94.1
95
d
八年級
93.4
c
98
應(yīng)用數(shù)據(jù)：
（1）填空：a＝　1　，b＝　4　，c＝　92.5　，d＝　95??；
（2）若八年級共有200人參與答卷，請估計八年級測試成績大于95分的人數(shù)；
（3）從測試成績優(yōu)秀的學(xué)生中選出5名語言表達(dá)能力較強的學(xué)生，其中八年級3名，七年級2名．現(xiàn)從這5名學(xué)生中隨機抽取2名到當(dāng)?shù)厣鐓^(qū)擔(dān)任黨史宣講員．請用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好抽到同年級學(xué)生的概率．
【分析】（1）利用唱票的形式得到a、b的值，根據(jù)中位數(shù)的定義確定c的值，根據(jù)眾數(shù)的定義確定d的值；
（2）用200乘以樣本中八年級測試成績大于95分所占的百分比即可；
（3）畫樹狀圖展示所有20種等可能的結(jié)果，找出兩同學(xué)為同年級的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．
【解答】解：（1）a＝1，b＝4，
八年級成績按由小到大排列為：87，89，89，90，90，95，98，98，98，100，
所以八年級成績的中位數(shù)c＝＝92.5，
七年級成績中95出現(xiàn)的次數(shù)最多，則d＝95；
故答案為1，4，92.5，95；
（2）200×＝80，
估計八年級測試成績大于95分的人數(shù)為80人；
（3）畫樹狀圖為：

共有20種等可能的結(jié)果，其中兩同學(xué)為同年級的結(jié)果數(shù)為8，
所以抽到同年級學(xué)生的概率＝＝．
20．（10分）在同一平面內(nèi)，如圖①，將兩個全等的等腰直角三角形擺放在一起，其中AB＝AC，DE＝AE，點A為公共頂點，∠BAC＝∠AED＝90°．如圖②，若△ABC固定不動，把△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使AD、AE與邊BC的交點分別為M、N，點M不與點B重合，點N不與點C重合．
（1）求證：△BAN∽△CMA；
（2）已知等腰直角三角形的斜邊長為4．
①請求出BN?CM的值；
②若BM＝CN，請求出MN的長．


【分析】（1）利用三角形外角的性質(zhì)可證∠BAN＝∠AMC，又由∠B＝∠C＝45°，可證明結(jié)論；
（2）①首先求出等腰直角三角形的直角邊長，再由△BAN∽△CMA，得，則BN?CM＝8；
②由BM＝CN，得BN＝CM，由（1）知BN?CM＝8，得BN＝CM＝2，從而得出答案．
【解答】（1）證明：∵△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
同理，∠DAE＝45°，
∵∠BAN＝∠BAM+∠DAE＝∠BAM+45°，
∠AMC＝∠BAM+∠B＝∠BAM+45°，
∴∠BAN＝∠AMC，
∴△BAN∽△CMA；

（2）解：①∵等腰直角三角形的斜邊長為4，
∴AB＝AC＝2，
∵△BAN∽△CMA，
∴，
∴＝，
∴BN?CM＝8，
故BN?CM的值為8；

（2）∵BM＝CN，
∴BN＝CM，
∵BN?CM＝8，
∴BN＝CM＝2，
∴MN＝BN+CM﹣BC＝4﹣4，
故MN的長為4﹣4．
21．（10分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2兩實數(shù)根．
（1）若x1＝1，求x2及m的值；
（2）是否存在實數(shù)m，滿足（x1﹣1）（x2﹣1）＝？若存在，求出實數(shù)m的值；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）先利用判別式的意義得到m≤5，再利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，然后利用x1＝1可求出x2和m的值；
（2）利用（x1﹣1）（x2﹣1）＝得到2m﹣1﹣6＝，整理得m2﹣8m+12＝0，解得m1＝2，m2＝6，然后利用m的范圍確定m的值．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得Δ＝（﹣6）2﹣4（2m﹣1）≥0，解得m≤5，
x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，
∵x1＝1，
∴1+x2＝6，x2＝2m﹣1，
∴x2＝5，m＝3；
（2）存在．
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝，
即2m﹣1﹣6+1＝，
整理得m2﹣8m+12＝0，解得m1＝2，m2＝6，
經(jīng)檢驗m1＝2，m2＝6為原方程的解，
∵m≤5且m≠5，
∴m＝2．
22．（10分）2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在一開售時，就深受大家的喜歡．某供應(yīng)商今年2月第一周購進(jìn)一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一個冰墩墩的進(jìn)價比一個“雪容融”的進(jìn)價多40元，進(jìn)貨20個“冰墩墩”和30個“雪容融”的金額相同．
（1）今年2月第一周每個“冰墩墩”和“雪容融”的進(jìn)價分別是多少元？
（2）今年2月第一周，供應(yīng)商以150元每個售出“冰墩墩”120個，以100元每個售出“雪容融”150個．第二周供應(yīng)商決定調(diào)整價格，每個“冰墩墩”的價格不變，每個“雪容融”的售價在第一周的基礎(chǔ)上下降了m元，由于冬奧賽事的火熱進(jìn)行，第二周“冰墩墩”的銷量比第一周增加了個，“雪容融”的銷量比第一周增加了m個，最終商家獲利6600元，求m．
【分析】（1）設(shè)今年2月第一周每個“冰墩墩”的進(jìn)價是x元，每個“雪容融”的進(jìn)價是y元，根據(jù)一個冰墩墩的進(jìn)價比一個“雪容融”的進(jìn)價多40元且進(jìn)貨20個“冰墩墩”和30個“雪容融”的金額相同，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）利用總利潤＝每個的銷售利潤×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)今年2月第一周每個“冰墩墩”的進(jìn)價是x元，每個“雪容融”的進(jìn)價是y元，
依題意得：，
解得：．
答：今年2月第一周每個“冰墩墩”的進(jìn)價是120元，每個“雪容融”的進(jìn)價是80元．
（2）依題意得：（150﹣120）（120+m）+（100﹣m﹣80）（150+m）＝6600，
整理得：m2﹣10m＝0，
解得：m1＝10，m2＝0（不符合題意，舍去）．
答：m的值為10．
23．（10分）一個四位自然數(shù)m，若它的千位數(shù)字與百位數(shù)字的差等于5，十位數(shù)字與個位數(shù)字的差等于4，則稱這個四位自然數(shù)m為“青年數(shù)”．“青年數(shù)”m的千位數(shù)字與百位數(shù)字的和的2倍與十位數(shù)字及個位數(shù)字的和記為P（m）；“青年數(shù)”m的千位數(shù)字與4的差記為Q（m），令F（m）＝．
例如：∵對7240，7﹣2＝5，4﹣0＝4，∴7240是“青年數(shù)”．
∵P（7240）＝2×（7+2）+4+0＝22，Q（7240）＝7﹣4＝3，
∴F（7240）＝＝．
又如：∵對5093，5﹣0＝5，但9﹣3≠4，∴5093不是“青年數(shù)”．
（1）請判斷8273，9462是否為“青年數(shù)”？并說明理由；如果是，請求出對應(yīng)的F（m）的值；
（2）若一個“青年數(shù)”m，當(dāng)F（m）能被10整除時，求出所有滿足條件的m．
【分析】（1）根據(jù)題中的定義進(jìn)行判斷；
（2）根據(jù)題意列方程，再根據(jù)10倍，20倍，30倍進(jìn)行討論，求出滿足條件的整數(shù)解．
【解答】解：（1）7240不是“青年數(shù)”，9462是“青年數(shù)”，
理由：∵對5093，5﹣0＝5，9﹣3＝6≠4，
∴7240不是“青年數(shù)”；
∵對9462，9﹣4＝5，6﹣2＝4，
∴9462是“青年數(shù)”，
∵P（9462）＝2×（9+4）+6+2＝34，Q（9462）＝9﹣4＝5，
∴F（9462）＝＝；
（2）設(shè)“青年數(shù)”m的千位數(shù)是a，十位數(shù)是b，則m的百位數(shù)是a﹣5，個位數(shù)是b﹣4，（5≤a≤9，4≤b≤9），
則P（m）＝2（a+a﹣5）+b+b﹣4＝4a+3b﹣14，
Q（m）＝a﹣4，
∵F（m）能被10整除，
當(dāng)P（m）＝10Q（m），有4a+3b﹣14＝10（a﹣4），
解得：a＝6，b＝5，或者a＝7，b＝8，
∴m＝6151或m＝7284；
當(dāng)P（m）＝20Q（m），有4a+3b﹣14＝20（a﹣4），
解得：a＝5，b＝7，
∴m＝5073；
∴所有滿足條件的m值為：6151或7284或5073．
24．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸交于點B，與y軸交于點A，OA＝1，，直線交直線AB于點C．

（1）求直線AB的解析式及C點的坐標(biāo)；
（2）如圖1，P為直線OC上一動點且在第一象限內(nèi)，M、Q為x軸上動點，Q在M右側(cè)且，當(dāng)時，求PQ+QM+MA最小值；
（3）如圖2，將△AOB沿著射線CO方向平移，平移后A、O、B三點分別對應(yīng)D、E、F三點，當(dāng)DF過O點時，在平面內(nèi)是否存在H點，在第一象限內(nèi)是否存在N點，使得以H、N、D、F四個點為頂點的四邊形為正方形，若存在，請直接寫出H點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）先求出點A和點B的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，聯(lián)立直線AB和OC的解析式，即可求得點C的坐標(biāo)；
（2）先求出△OBC的面積，證明點P在點C的上方，設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，m），其中m＞0，由，求得m，得到點P的坐標(biāo)，作四邊形PP1MQ是平行四邊形，則PQ＝P1M，證得PQ+QM+MA的最小值為P2A+MQ，由勾股定理求出答案即可；
（3）分兩種情況：DF是正方形的邊和DF為對角線，分別進(jìn)行求解即可．
【解答】解：（1）∵OA＝1，
∴點A的坐標(biāo)是（0，1），
∵，
∴OB＝，
∴點B的坐標(biāo)為（，0），
設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，
把點A 和點B的坐標(biāo)代入可得，，
解得，
∴直線AB的解析式為，
聯(lián)立直線和直線AB的解析式得，，
解得，
∴點C的坐標(biāo)是（，）；

（2）∵OB＝，OA＝1，
∴AB＝＝2，
∴AB＝2OA，
∴∠OBA＝30°，∠OAB＝60°，
∵直線OC：y＝x交直線AB于點C．
∴∠COB＝60°，
∴∠OCB＝90°，
∵，
∴點P在點C的上方，
∵P為直線OC上一動點且在第一象限內(nèi)，
設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，m），其中m＞0，
∴點P到x軸的距離為m，
∵，
∴，
解得m＝，
∴m＝3，
∴點P的坐標(biāo)是（，3），
如圖，過點P向左作PP1∥x軸，且PP1＝，則P1的坐標(biāo)為（，3），再作點P1關(guān)于x軸的對稱點P2，則P2的坐標(biāo)為（，﹣3），則連接AP2交x軸于點M，在x軸上截取，連接PQ，

由作圖過程知四邊形PP1MQ是平行四邊形，則PQ＝P1M，
∴PQ+QM+MA的最小值為P1M+QM+MA＝P2M+QM+MA＝P2A+MQ，
作AA1⊥P1P2于點A1，則A1的坐標(biāo)為（，1），則AA1＝，A1P2＝4，
∴PQ+QM+MA的最小值為P2A+MQ＝
＝
＝．
即PQ+QM+MA最小值為；

（3）存在，理由如下：
第一種情況，DF是正方形的邊，由勾股定理得AB＝，
由點C的坐標(biāo)是（，），點C沿OC移動到點O（0，0），由于平移規(guī)律相同，可得點A（0，1）平移到點D（﹣，），點B（，0）平移到點F（，﹣），
如圖，以AB為邊作正方形ABH2H1，過點H2作H2B1⊥x于點B1，

∵∠ABO+∠H2BB1＝∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠H2BB1＝∠OAB，
∵AB＝BH2，∠AOB＝∠BB1H2＝90°，
∴△ABO≌△BH2B1（AAS），
∴BB1＝AO＝1，H2B1＝BO＝，
∴OB1＝+1，
∴點H2的坐標(biāo)為（+1，），
同理可得點H1的坐標(biāo)為（1，+1），
點C的坐標(biāo)是（，），點C沿OC移動到點O（0，0），
由于平移規(guī)律相同，可知點H1（1，+1），點H2（+1，），平移后的坐標(biāo)即點H的坐標(biāo)分別為（1﹣，+），（+1，﹣）；
②DF為對角線時，如圖，

由題意可得DF＝AB＝2，
在Rt△DHF中，DH2+HF2＝DF2＝4，
∴DH2＝HF2＝2，
∴，
由點D（﹣，），F(xiàn)（，﹣），可知點K的坐標(biāo)為（，﹣），
設(shè)HN的表達(dá)式為y＝k1x+b1，
∵HN⊥DF，OC⊥DF，
∴HN∥OC，
∴k1＝，
把點K的坐標(biāo)代入y＝x+b1得，
﹣＝×+b1，
解得b1＝﹣1，
∴HN的表達(dá)式為y＝x﹣1，
設(shè)點H的坐標(biāo)為（h，h﹣1），
由兩點間距離公式得，DH＝，
∴，
解得（舍去），，
∴，
∴h﹣1＝，
∴點H的坐標(biāo)為（，），
綜上所述，點H的坐標(biāo)是（1﹣，+）或（+1，﹣）或（，）．
25．（10分）如圖，在?ABCD中，AC是一條對角線，且AB＝AC＝5，BC＝6，E，F(xiàn)是AD邊上兩點，點F在點E的右側(cè)，AE＝DF，連接CE，CE的延長線與BA的延長線相交于點G．
（1）如圖1，M是BC邊上一點，連接AM，MF，MF與CE相交于點N．
①若AE＝，求AG的長；
②在滿足①的條件下，若EN＝NC，求證：AM⊥BC；
（2）如圖2，連接GF，H是GF上一點，連接EH．若∠EHG＝∠EFG+∠CEF，且HF＝2GH，求EF的長．


【分析】（1）①根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定定理解答即可；
②根據(jù)全等三角形的判定定理和等腰三角形的性質(zhì)解答即可；
（2）連接CF，通過相似三角形的判定定理和方程思想解答即可．
【解答】解：（1）①∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，DC＝AB＝5，AD＝BC＝6，
∴∠GAE＝∠CDE，∠AGE＝∠DCE，
∴△AGE∽△DCE，
∴＝，
∵AE＝，
∴DE＝，
∴AG＝5×，
∴AG＝．
②證明：∵AD∥BC，
∴∠EFN＝∠CMN，
∵∠ENF＝∠CNM，EN＝NC，
∴△ENF≌△CNM（AAS），
∴EF＝CM，
∵AE＝，AE＝DF，
∴DF＝，
∴EF＝AD﹣AE﹣DF＝3，
∴CM＝3，
∵BC＝6，
∴BM＝3，
∴BM＝MC，
∴AB＝AC，
∴AM⊥BC．
（2）連接CF，
∵AB＝AC，AB＝DC，
∴AC＝DC，
∴∠CAD＝∠CDA，
∵AE＝DF，
∴△AEC≌△DFC（SAS），
∴CE＝CF，
∴∠CFE＝∠CEF，
∵∠EHG＝∠EFG+∠CEF，
∴∠EHG＝∠EFG+∠CFE＝∠CFG，
∴EH∥CF，
∴＝，
∵HF＝2GH，
∴＝，
∵AB∥CD，
∴∠GAE＝∠CDE，∠AGE＝∠DCE，
∴△AGE∽△DCE，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝2AE，
設(shè)AE＝x，則DE＝2x，
∵AD＝6，
∴x+2x＝6，
∴x＝2，
即AE＝2，
∴DF＝2，
∴EF＝AD﹣AE﹣DF＝2．



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