2020-2022年湖南中考數(shù)學(xué)3年真題匯編 專題21 與二次函數(shù)有關(guān)的壓軸題（學(xué)生卷+教師卷）

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?專題21 與二次函數(shù)有關(guān)的壓軸題
一、單選題
1．（2022·四川涼山）已知拋物線y＝ax2＋bx＋c（a0）經(jīng)過點(diǎn)（1，0）和點(diǎn)（0，－3），且對稱軸在y軸的左側(cè)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（???????）
A．a(chǎn)＞0
B．a(chǎn)＋b＝3
C．拋物線經(jīng)過點(diǎn)（－1，0）
D．關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
2．（2022·四川成都）如圖，二次函數(shù)的圖像與軸相交于，兩點(diǎn)，對稱軸是直線，下列說法正確的是（???????）

A． B．當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而增大
C．點(diǎn)的坐標(biāo)為 D．
3．（2021·山東濟(jì)南）新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)和點(diǎn)，若滿足時(shí)，；時(shí)，，則稱點(diǎn)是點(diǎn)的限變點(diǎn)．例如：點(diǎn)的限變點(diǎn)是，點(diǎn)的限變點(diǎn)是．若點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，則當(dāng)時(shí)，其限變點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是（???????）
A． B．
C． D．
4．（2021·遼寧盤錦）如圖，四邊形ABCD是菱形，BC＝2，∠ABC＝60°，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，線段BD沿射線AD方向平移，平移后的線段記為PQ，射線PQ與射線AC交于點(diǎn)M，連結(jié)PC，設(shè)OM長為，△PMC面積為．下列圖象能正確反映出與的函數(shù)關(guān)系的是（ ）

A． B． C． D．
5．（2021·四川雅安）定義：，若函數(shù)，則該函數(shù)的最大值為（???????）
A．0 B．2 C．3 D．4
6．（2021·湖北黃石）二次函數(shù)（、、是常數(shù)，且）的自變量與函數(shù)值的部分對應(yīng)值如下表：

…

0
1
2
…

…

2
2

…

且當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值．有以下結(jié)論：①；②；③關(guān)于的方程的負(fù)實(shí)數(shù)根在和0之間；④和在該二次函數(shù)的圖象上，則當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，．其中正確的結(jié)論是（???????）A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
7．（2021·湖北恩施）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于，頂點(diǎn)是，則以下結(jié)論：①；②；③若，則或；④．其中正確的有（???????）個(gè)．

A．1 B．2
C．3 D．4
8．（2021·黑龍江大慶）已知函數(shù)，則下列說法不正確的個(gè)數(shù)是（???????）
①若該函數(shù)圖像與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則
②方程至少有一個(gè)整數(shù)根
③若，則的函數(shù)值都是負(fù)數(shù)
④不存在實(shí)數(shù)，使得對任意實(shí)數(shù)都成立
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（2020·四川）已知不等式ax+b0的解集為x2，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（　?。?br /> （1）2a+b＝0；
（2）當(dāng)ca時(shí)，函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸沒有公共點(diǎn)；
（3）當(dāng)c0時(shí)，拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)在直線y＝ax+b的上方；
（4）如果b3且2a﹣mb﹣m＝0，則m的取值范圍是﹣m0．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2020·湖南岳陽）對于一個(gè)函數(shù)，自變量取時(shí)，函數(shù)值等于0，則稱為這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)．若關(guān)于的二次函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的非零實(shí)數(shù)根，則下列關(guān)系式一定正確的是（???????）
A． B． C． D．
11．（2020·黑龍江牡丹江）如圖，拋物線與x軸正半軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C．若點(diǎn)，則下列結(jié)論中：①；②；③與是拋物線上兩點(diǎn)，若，則；④若拋物線的對稱軸是直線，m為任意實(shí)數(shù)，則；⑤若，則，正確的個(gè)數(shù)是（???????）

A．5 B．4 C．3 D．2
12．（2020·四川南充）關(guān)于二次函數(shù)的三個(gè)結(jié)論：①對任意實(shí)數(shù)m，都有與對應(yīng)的函數(shù)值相等；②若3≤x≤4，對應(yīng)的y的整數(shù)值有4個(gè)，則或；③若拋物線與x軸交于不同兩點(diǎn)A，B，且AB≤6，則或．其中正確的結(jié)論是（?????）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空題
13．（2022·黑龍江大慶）已知函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為
14．（2022·四川成都）距離地面有一定高度的某發(fā)射裝置豎直向上發(fā)射物體，物體離地面的高度（米）與物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（秒）之間滿足函數(shù)關(guān)系，其圖像如圖所示，物體運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)離地面20米，物體從發(fā)射到落地的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3秒．設(shè)表示0秒到秒時(shí)的值的“極差”（即0秒到秒時(shí)的最大值與最小值的差），則當(dāng)時(shí)，的取值范圍是_________；當(dāng)時(shí)，的取值范圍是_________．

15．（2022·遼寧營口）如圖1，在四邊形中，，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)P以的速度沿向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)即停止），點(diǎn)Q以的速度沿折線向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，的面積為，若y與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖像如圖2所示，當(dāng)時(shí)，則____________．

16．（2022·廣西貴港）已知二次函數(shù)，圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，對稱軸為直線．對于下列結(jié)論：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在該函數(shù)圖象上，且，則．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)共有_______個(gè)．

17．（2021·湖北武漢）如圖（1），在中，，，邊上的點(diǎn)從頂點(diǎn)出發(fā)，向頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，邊上的點(diǎn)從頂點(diǎn)出發(fā)，向頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的大小相等，設(shè)，，關(guān)于的函數(shù)圖象如圖（2），圖象過點(diǎn)，則圖象最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)是__________．

18．（2021·四川南充）關(guān)于拋物線，給出下列結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，拋物線與直線沒有交點(diǎn)；②若拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則其中一定有一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（0，0）與（1，0）之間；③若拋物線的頂點(diǎn)在點(diǎn)（0，0），（2，0），（0，2）所圍成的三角形區(qū)域內(nèi)（包括邊界），則．其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．
19．（2021·江蘇連云港）某快餐店銷售A、B兩種快餐，每份利潤分別為12元、8元，每天賣出份數(shù)分別為40份、80份．該店為了增加利潤，準(zhǔn)備降低每份A種快餐的利潤，同時(shí)提高每份B種快餐的利潤．售賣時(shí)發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，每份A種快餐利潤每降1元可多賣2份，每份B種快餐利潤每提高1元就少賣2份．如果這兩種快餐每天銷售總份數(shù)不變，那么這兩種快餐一天的總利潤最多是______元．
20．（2020·山東煙臺(tái)）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根為1，另一個(gè)根為﹣．其中正確結(jié)論的序號(hào)是_____．

21．（2020·四川內(nèi)江）已知拋物線（如圖）和直線．我們規(guī)定：當(dāng)x取任意一個(gè)值時(shí)，x對應(yīng)的函數(shù)值分別為和．若，取和中較大者為M；若，記．①當(dāng)時(shí)，M的最大值為4；②當(dāng)時(shí)，使的x的取值范圍是；③當(dāng)時(shí)，使的x的值是，；④當(dāng)時(shí)，M隨x的增大而增大．上述結(jié)論正確的是____（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）

22．（2020·湖北荊門）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為C，對稱軸為直線，給出下列結(jié)論：①；②若點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則的面積可以等于2；③是拋物線上兩點(diǎn)，若，則；④若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則方程的兩根為，3其中正確結(jié)論的序號(hào)為_______．

23．（2020·湖北武漢）拋物線（，，為常數(shù)，）經(jīng)過，兩點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論：
①一元二次方程的根為，；
②若點(diǎn)，在該拋物線上，則；
③對于任意實(shí)數(shù)，總有；
④對于的每一個(gè)確定值，若一元二次方程（為常數(shù)，）的根為整數(shù)，則的值只有兩個(gè)．
其中正確的結(jié)論是________（填寫序號(hào)）．
24．（2020·四川樂山）我們用符號(hào)表示不大于的最大整數(shù)．例如：，．那么：
（1）當(dāng)時(shí)，的取值范圍是______；
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象始終在函數(shù)的圖象下方．則實(shí)數(shù)的范圍是______．
三、解答題
25．（2022·湖南益陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的頂點(diǎn)P在拋物線F：y＝ax2上，直線x＝t與拋物線E，F(xiàn)分別交于點(diǎn)A，B．

(1)求a的值；
(2)將A，B的縱坐標(biāo)分別記為yA，yB，設(shè)s＝y(tǒng)A﹣yB，若s的最大值為4，則m的值是多少？
(3)Q是x軸的正半軸上一點(diǎn)，且PQ的中點(diǎn)M恰好在拋物線F上．試探究：此時(shí)無論m為何負(fù)值，在y軸的負(fù)半軸上是否存在定點(diǎn)G，使∠PQG總為直角？若存在，請求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

26．（2022·四川綿陽）如圖，平行四邊形ABCD中，DB＝，AB＝4，AD＝2，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)E沿著A→D→B的路線勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿著A→B→D的路線勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．

(1)如圖1，設(shè)點(diǎn)E的速度為1個(gè)單位每秒，點(diǎn)F的速度為4個(gè)單位每秒，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，設(shè)CE與DF交于點(diǎn)P，求線段EP與CP長度的比值；
(2)如圖2，設(shè)點(diǎn)E的速度為1個(gè)單位每秒，點(diǎn)F的速度為個(gè)單位每秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，ΔAEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出當(dāng)x為何值時(shí)，y的值最大，最大值為多少？
(3)如圖3，H在線段AB上且AH＝HB，M為DF的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在線段AD、AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究點(diǎn)E、F在什么位置能使EM＝HM．并說明理由．





27．（2022·湖南湘西）定義：由兩條與x軸有著相同的交點(diǎn)，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”，如圖①，拋物線C1：y＝x2+2x﹣3與拋物線C2：y＝ax2+2ax+c組成一個(gè)開口向上的“月牙線”，拋物線C1和拋物線C2與x軸有著相同的交點(diǎn)A（﹣3，0）、B（點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)），與y軸的交點(diǎn)分別為G、H（0，﹣1）．

(1)求拋物線C2的解析式和點(diǎn)G的坐標(biāo)．
(2)點(diǎn)M是x軸下方拋物線C1上的點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，交拋物線C2于點(diǎn)D，求線段MN與線段DM的長度的比值．
(3)如圖②，點(diǎn)E是點(diǎn)H關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)，連接EG，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．






28．（2022·山東濟(jì)寧）已知拋物線與x軸有公共點(diǎn)．

(1)當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí)，求自變量x的取值范圍；
(2)將拋物線先向上平移4個(gè)單位長度，再向右平移n個(gè)單位長度得到拋物線（如圖所示），拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．當(dāng)OC＝OA時(shí)，求n的值；
(3)D為拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)C作拋物線的對稱軸l的垂線，垂足為G，交拋物線于點(diǎn)E，連接BE交l于點(diǎn)F．求證：四邊形CDEF是正方形．




29．（2022·廣東）如圖，拋物線（b，c是常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，，，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過P作//交于點(diǎn)Q．


(1)求該拋物線的解析式；
(2)求面積的最大值，并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．







30．（2022·廣東廣州）己知直線：經(jīng)過點(diǎn)（0，7）和點(diǎn)（1，6）．
(1)求直線的解析式；
(2)若點(diǎn)P（，）在直線上，以P為頂點(diǎn)的拋物線G過點(diǎn)（0，-3），且開口向下
①求的取值范圍；
②設(shè)拋物線G與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，當(dāng)點(diǎn)Q向左平移1個(gè)單長度后得到的點(diǎn)Q' 也在G上時(shí)，求G在≤≤的圖象的最高點(diǎn)的坐標(biāo)．



31．（2022·遼寧營口）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．


(1)求拋物線和直線的解析式；
(2)如圖，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作，垂足為D，作軸，垂足為E，交于點(diǎn)F，設(shè)的面積為，的面積為，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)N為拋物線對稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)N，使得直線垂直平分線段？若存在，請直接寫出點(diǎn)N坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．




32．（2022·吉林長春）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（b是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)．點(diǎn)A在拋物線上，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m（）．以點(diǎn)A為中心，構(gòu)造正方形，，且軸．
(1)求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式：
(2)若點(diǎn)B是拋物線上一點(diǎn)，且在拋物線對稱軸左側(cè)．過點(diǎn)B作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)C，連接．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(3)若，當(dāng)拋物線在正方形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨x的增大而增大時(shí)，或者y隨x的增大而減小時(shí)，求m的取值范圍；
(4)當(dāng)拋物線與正方形的邊只有2個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為時(shí)，直接寫出m的值．

33．（2022·廣西河池）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線L1：y＝ax2+2x+b與x軸交于兩點(diǎn)A，B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．

(1)求拋物線L1的函數(shù)解析式，并直接寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)如圖，連接BD，若點(diǎn)E在線段BD上運(yùn)動(dòng)（不與B，D重合），過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)EF＝m，問：當(dāng)m為何值時(shí)，△BFE與△DEC的面積之和最??；
(3)若將拋物線L1繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°得拋物線L2，其中C，D兩點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別記作M，N．問：在拋物線L2的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得以B，M，P為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．





34．（2022·山東泰安）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，其對稱軸為直線，與x軸的另一交點(diǎn)為C．


(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)M在直線上，且在第四象限，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N．
①若點(diǎn)N在線段上，且，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②以為對角線作正方形（點(diǎn)P在右側(cè)），當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．








35．（2022·內(nèi)蒙古通遼）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線方程為．

(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，若，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．






36．（2022·山東煙臺(tái)）如圖，已知直線y＝x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，對稱軸為直線x＝﹣1．

(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)D是第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，求四邊形ABCD面積S的最大值及此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)P在拋物線對稱軸上，是否存在點(diǎn)P，Q，使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為對角線的菱形？若存在，請求出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．













37．（2022·湖南）如圖，已知拋物線的圖像與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)若四邊形為矩形，．點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一點(diǎn)隨之停止．當(dāng)以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值；
(3)拋物線的對稱軸與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)，點(diǎn)是軸下方拋物線圖像上的動(dòng)點(diǎn)．若過點(diǎn)的直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，且分別與線段、相交于點(diǎn)、，求證：為定值．










38．（2022·廣西梧州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與x，y軸交于點(diǎn)A，B，拋物線恰好經(jīng)過這兩點(diǎn)．

(1)求此拋物線的解析式；
(2)若點(diǎn)C的坐標(biāo)是，將繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E．
①寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)E是否在此拋物線上；
②若點(diǎn)P是y軸上的任一點(diǎn)，求取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)．




39．（2022·遼寧）如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)和，交y軸于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)D是直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)N，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(3)P為拋物線上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)P作交拋物線對稱軸于點(diǎn)Q，當(dāng)時(shí)，請直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．









40．（2022·貴州貴陽）已知二次函數(shù)y=ax2+4ax+b．

(1)求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含a，b的代數(shù)式表示）；
(2)在平面直角坐標(biāo)系中，若二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，AB=6，且圖象過(1，c)，(3，d)，(?1，e)，(?3，f)四點(diǎn)，判斷c，d，e，f的大小，并說明理由；
(3)點(diǎn)M(m，n)是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?2≤m≤1時(shí)，n的取值范圍是?1≤n≤1，求二次函數(shù)的表達(dá)式．



41．（2022·江蘇常州）已知二次函數(shù)的自變量的部分取值和對應(yīng)函數(shù)值如下表：

…

0
1
2
3
…

…
4
3
0


…

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)將二次函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，得到二次函數(shù)的圖像，使得當(dāng)時(shí)，隨增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨增大而減小，請寫出一個(gè)符合條件的二次函數(shù)的表達(dá)式______，實(shí)數(shù)的取值范圍是_______；
(3)、、是二次函數(shù)的圖像上互不重合的三點(diǎn)．已知點(diǎn)、的橫坐標(biāo)分別是、，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于該函數(shù)圖像的對稱軸對稱，求的度數(shù)．

















42．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特）如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，連接、．

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)如圖1，若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接，在軸上是否存在點(diǎn)，使得是以為斜邊的直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
(3)如圖2，點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，分別交、軸于點(diǎn)、，當(dāng)中有某個(gè)角的度數(shù)等于度數(shù)的2倍時(shí)，請求出滿足條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)．















43．（2022·四川內(nèi)江）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，2）．

(1)求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)的表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)D為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線AC上方，求點(diǎn)D到直線AC的距離的最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，連接CP，直線CP把四邊形CBPA的面積分為1：5兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
















44．（2022·廣西桂林）如圖，拋物線y＝﹣x2+3x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，拋物線的對稱軸l與x軸交于點(diǎn)N，長為1的線段PQ（點(diǎn)P位于點(diǎn)Q的上方）在x軸上方的拋物線對稱軸上運(yùn)動(dòng)．

(1)直接寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)求CP+PQ+QB的最小值；
(3)過點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，當(dāng)CPM和QBN相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．















45．（2022·黑龍江哈爾濱）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求a，b的值；
(2)如圖1，點(diǎn)D在該拋物線上，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)D向y軸作垂線，垂足為點(diǎn)E．點(diǎn)P為y軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接、設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為t，的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；
(3)如圖2，在（2）的條件下，連接，點(diǎn)F在上，過點(diǎn)F向y軸作垂線，垂足為點(diǎn)H，連接交y軸于點(diǎn)G，點(diǎn)G為的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作y軸的平行線與過點(diǎn)P所作的x軸的平行線相交于點(diǎn)N，連接，，延長交于點(diǎn)M，點(diǎn)R在上，連接，若，，求直線的解析式．












46．（2022·山東威海）探索發(fā)現(xiàn)


(1)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D，連接AD．
①如圖1，直線DC交直線x＝1于點(diǎn)E，連接OE．求證：AD∥OE；
②如圖2，點(diǎn)P（2，﹣5）為拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PG⊥x軸，垂足為點(diǎn)G．直線DP交直線x＝1于點(diǎn)H，連接HG．求證：AD∥HG；
(2)通過上述兩種特殊情況的證明，你是否有所發(fā)現(xiàn)？請仿照（1）寫出你的猜想，并在圖3上畫出草圖．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0），頂點(diǎn)為點(diǎn)D．點(diǎn)M為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B，D重合），_______．









47．（2022·內(nèi)蒙古包頭）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是，M是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，直線與y軸交于點(diǎn)G．

(1)求該拋物線的解析式；
(2)如圖1，N是拋物線上一點(diǎn)，且位于第二象限，連接，記的面積分別為．當(dāng)，且直線時(shí)，求證：點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于y軸對稱；
(3)如圖2，直線與y軸交于點(diǎn)H，是否存在點(diǎn)M，使得．若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．













48．（2022·遼寧沈陽）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)與x軸另一個(gè)交點(diǎn)A．拋物線與y軸交于點(diǎn)C，作直線AD．

(1)①求拋物線的函數(shù)表達(dá)式
②并直接寫出直線AD的函數(shù)表達(dá)式．
(2)點(diǎn)E是直線AD下方拋物線上一點(diǎn)，連接BE交AD于點(diǎn)F，連接BD，DE，的面積記為，的面積記為，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)G為拋物線的頂點(diǎn)，將拋物線圖象中x軸下方部分沿x軸向上翻折，與拋物線剩下部分組成新的曲線為，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)G的對應(yīng)點(diǎn)，將曲線，沿y軸向下平移n個(gè)單位長度（）．曲線與直線BC的公共點(diǎn)中，選兩個(gè)公共點(diǎn)作點(diǎn)P和點(diǎn)Q，若四邊形是平行四邊形，直接寫出P的坐標(biāo)．













49．（2022·黑龍江綏化）如圖，拋物線交y軸于點(diǎn)，并經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)A作軸交拋物線于點(diǎn)B，拋物線的對稱軸為直線，D點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，，.點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長度的速度沿著射線運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為m秒，過點(diǎn)E作于F，以為對角線作正方形．
　　

(1)求拋物線的解析式；
(2)當(dāng)點(diǎn)G隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到達(dá)上時(shí)，求此時(shí)m的值和點(diǎn)G的坐標(biāo)；
(3)在運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在以B，G，C和平面內(nèi)的另一點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，如果存在，直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由．











50．（2022·福建）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線經(jīng)過A（4，0），B（1，4）兩點(diǎn)．P是拋物線上一點(diǎn)，且在直線AB的上方．

(1)求拋物線的解析式；
(2)若△OAB面積是△PAB面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)如圖，OP交AB于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D．記△CDP，△CPB，△CBO的面積分別為，，．判斷是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．

















51．（2021·山東德州）小剛在用描點(diǎn)法畫拋物線：時(shí)，列出了下面的表格：


0
1
2
3
4



3
6
7
6
3


(1)請根據(jù)表格中的信息，寫出拋物線的一條性質(zhì)：　　；
(2)求拋物線的解析式；
(3)將拋物線先向下平移3個(gè)單位長度，再向左平移4個(gè)單位長度，得到新的拋物線；
①若直線與兩拋物線，共有兩個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍；
②拋物線的頂點(diǎn)為A，與軸交點(diǎn)為點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合）在第二象限內(nèi)，且為上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為，直線交軸于點(diǎn)，連接，，求證：．







52．（2021·遼寧沈陽）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)B坐標(biāo)是．拋物線與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線的頂點(diǎn)，連接．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式并直接寫出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）直線與拋物線對稱軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)Q為直線上一動(dòng)點(diǎn)．
①當(dāng)?shù)拿娣e等于面積的2倍時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
②在①的條件下，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，過點(diǎn)Q作直線l垂直于，直線交直線l于點(diǎn)F，點(diǎn)G在直線上，且時(shí)，請直接寫出的長．














53．（2021·山東濱州）如下列圖形所示，在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，在其繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過程中，兩直角邊所在直線分別與拋物線相交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．
（1）如圖1，若點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為-3、，求線段AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）如圖2，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4，求線段AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖3，若線段AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（4）若線段AB中點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為6，求線段AB的長．














54．（2021·江蘇鎮(zhèn)江）將一張三角形紙片ABC放置在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(﹣6，0)，點(diǎn)B(0，2)，點(diǎn)C(﹣4，8)，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，B，該拋物線的對稱軸經(jīng)過點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)M在邊AC上（異于點(diǎn)A，C），將三角形紙片ABC折疊，使得點(diǎn)A落在直線AB上，且點(diǎn)M落在邊BC上，點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)N，折痕所在直線l交拋物線的對稱軸于點(diǎn)P，然后將紙片展開．
①請作出圖中點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)N和折痕所在直線l；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
②連接MP，NP，在下列選項(xiàng)中：A．折痕與AB垂直，B．折痕與MN的交點(diǎn)可以落在拋物線的對稱軸上，C.＝，D.＝，所有正確選項(xiàng)的序號(hào)是　　．
③點(diǎn)Q在二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象上，當(dāng)PDQ～PMN時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．














55．（2021·遼寧盤錦）如圖，拋物線與軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)C，直線與軸交于點(diǎn)D，與軸交于點(diǎn)E，與直線BC交于點(diǎn)F．

（1）點(diǎn)F的坐標(biāo)是________；
（2）如圖1，點(diǎn)P為第一象限拋物線上的一點(diǎn)，PF的延長線交OB于點(diǎn)Q，PM⊥BC于點(diǎn)M，QN⊥BC于點(diǎn)N，，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，點(diǎn)S為第一象限拋物線上的一點(diǎn)，且點(diǎn)S在射線DE上方，動(dòng)點(diǎn)G從點(diǎn)E出發(fā)，沿射線DE方向以每秒個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)SE＝SG，且時(shí)，求點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．















56．（2020·廣西賀州）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）平行于軸的直線與拋物線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右邊），若，求兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)，連接，求的面積的最大值和最小值．














57．（2020·四川廣安）如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（一1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l交拋物線于點(diǎn)C（2，m）．
（1）求拋物線的解析式．
（2）點(diǎn)P是線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)E，求線段PE最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)D，使得以點(diǎn)A，C，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

















58．（2020·廣西柳州）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，批物線y＝x2﹣4x＋a（a＜0）與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于E、F兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的右側(cè)），頂點(diǎn)為M．直線與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，與直線AM交于點(diǎn)D．
（1）求拋物線的對稱軸；
（2）在y軸右側(cè)的拋物線上存在點(diǎn)P，使得以P、A、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求a的值；
（3）如圖②，過拋物線頂點(diǎn)M作MN⊥x軸于N，連接ME，點(diǎn)Q為拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QG⊥x軸于G，連接QE．當(dāng)a＝﹣5時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使得以Q、E、G為頂點(diǎn)的三角形與△MNE相似（不含全等）？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．














59．（2020·四川）如圖1，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A，B．與y軸交于點(diǎn)C．連接AC，BC．已知△ABC的面積為2．
（1）求拋物線的解析式；
（2）平行于x軸的直線與拋物線從左到右依次交于P，Q兩點(diǎn)．過P，Q向x軸作垂線，垂足分別為G，H．若四邊形PGHQ為正方形，求正方形的邊長；
（3）如圖2，平行于y軸的直線交拋物線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N （2，0）．點(diǎn)D是拋物線上A，M之間的一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)D不與A，M重合，連接DB交MN于點(diǎn)E．連接AD并延長交MN于點(diǎn)F．在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，3NE+NF是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請說明理由．















60．（2020·江蘇鎮(zhèn)江）如圖①，直線l經(jīng)過點(diǎn)（4，0）且平行于y軸，二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c（a、c是常數(shù)，a＜0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)M(﹣1，1)，交直線l于點(diǎn)N，圖象的頂點(diǎn)為D，它的對稱軸與x軸交于點(diǎn)C，直線DM、DN分別與x軸相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)及的值；
（2）隨著a的變化，的值是否發(fā)生變化？請說明理由；
（3）如圖②，E是x軸上位于點(diǎn)B右側(cè)的點(diǎn)，BC＝2BE，DE交拋物線于點(diǎn)F．若FB＝FE，求此時(shí)的二次函數(shù)表達(dá)式．