第二十一講 三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)A組一、選擇題1．（2017年高考全國1卷理）已知曲線C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，則下面結(jié)論正確的是A. 把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2B. 把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2C. 把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2D. 把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2【答案】D【解析】因?yàn)?/span>函數(shù)名不同，所以先將利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化成與相同的函數(shù)名，則，則由上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍變?yōu)?/span>，再將曲線向左平移個單位長度得到，故選D.2.函數(shù)的部分圖象如圖所示，的值為（   ）A．0      B．       C．       D．答案A解析：由圖知，，所以，所以．由正弦函數(shù)的對稱性知，所以＝，故選A．3．如果函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，那么的最小值為（   ）A．        B．        C．        D．答案C解析：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，所以，根據(jù)誘導(dǎo)公式可得，所以，即，，令得故選C.4．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值分別是（     ）A、        B、        C、        D、答案A解析：由圖可知，，即，所以由可得，，所以函數(shù)，又因?yàn)楹瘮?shù)圖像過點(diǎn)，所以，即，又因?yàn)?/span>，所以，故應(yīng)選．5．關(guān)于函數(shù)，下列命題正確的是（   ）A．由可得是的整數(shù)倍B．的表達(dá)式可改寫成C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D．的圖象關(guān)于直線對稱答案C解析：A中，令，則，即，所以若有是的整數(shù)倍，故A不正確；B中，＝＝，故B不正確；C中，令，得（），所以函數(shù)的圖象的對稱點(diǎn)為，故C正確；D中令＝（）可得，所以函數(shù)圖象的對稱軸為直線，故D不正確，故選C．二、填空題6．如圖，已知分別是函數(shù)在軸右側(cè)圖象上的第一個最高點(diǎn)和第一個最低點(diǎn)，且則該函數(shù)的周期是      ．答案解析：由題意可設(shè)，又所以7．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)解析式         ．答案解析：由圖可知，所以，所以．把代入，得，結(jié)合，得，所以．三、解答題8．設(shè)函數(shù)．（1）若，求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在銳角中，角的對邊分別為，若，求面積的最大值．解析：（1）由題意可知，，由，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是和．（2）由，可得，由題意知為銳角，所以，由余弦定理，可得：，即，且當(dāng)時等號成立，因此，所以面積的最大值為．9．設(shè)函數(shù)，其中，，若且圖像的兩條對稱軸間的最近距離是．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若是△的三個內(nèi)角，且，求的取值范圍．．解析：（1）由條件，．∵，∴，∴，∴．又圖象的兩條對稱軸間的最近距離是，所以周期為，∴，∴．（2）由，知，∵是的內(nèi)角，∴，∴，∴，∴，從而．由，∵，∴，∴，即．10．已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)取得最大值和最小值時的值；（Ⅱ）設(shè)銳角的內(nèi)角的對應(yīng)邊分別是，且，若向量與向量平行，求的值．解析：（Ⅰ），∵，∴，∴當(dāng)時，即，得，取得最大值；當(dāng)時，即，得，取得最小值；（Ⅱ）向量與向量平行，所以，根據(jù)正弦定理的推論，得，，由余弦定理經(jīng)檢驗(yàn)符合三角形要求，的值為．11．已知向量，，設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)取得最大值時取值的集合；（Ⅱ）設(shè)，，為銳角三角形的三個內(nèi)角．若，，求 的值。解析:（Ⅰ） 要使取得最大值，須滿足取得最小值．  當(dāng)取得最大值時，取值的集合為（Ⅱ）由題意，得．，B組一、選擇題1．將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖象，則的最小值為（     ）A．      B．       C．         D．答案C解析:將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖象，可得，求得的最小值為，故選：B．2．如圖是函數(shù)圖像的一部分，對不同的，若，有，則（   ）A．在上是減函數(shù)      B．在上是減函數(shù) C．在上是增函數(shù)     D．在上是增函數(shù)答案C解析:由圖可知，又由，知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以．由五點(diǎn)法作圖，得，，所以，則＝，即，所以，所以，在上，，所以在上是增函數(shù)，故選C．3．在中，，若函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，則下列命題正確的是（  ）A． B． C． D．答案D解析:由題在中，由，可得 從而可得，即，根據(jù)題意函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，故，選D4．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（   ）A．向右平移個單位長度     B．向右平移個單位長度 C．向左平移個單位長度     D．向左平移個單位長度答案B解析:，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度．故選B．二、填空題5．設(shè)函數(shù)，的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是     ．答案解析:因?yàn)?/span>，所以，而函數(shù)的值域?yàn)?/span>，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.6．已知函數(shù)，將圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，若對任意，都有成立，則的值為      ．答案2解析:（其中，）．將圖象向右平移個單位長度得，所以，，解得．三、解答題7．已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)時，函數(shù)的最小值是，求的最大值．解析:（Ⅰ）令，得，的單調(diào)遞減區(qū)間 （Ⅱ） ,令 得，所以8．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時，若恒成立，求的取值范圍.解析：（1）  函數(shù)最小正周期是, 解得，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為（2），∴的最小值，由恒成立，得恒成立.所以的取值范圍為9．已知函數(shù),的部分圖象如圖所示．  (1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．解析:(1)由題設(shè)圖象知，周期因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)圖象上,所以  即又從而,即.  又點(diǎn)在函數(shù)圖象上，所以 故函數(shù)的解析式為.(2) ,由得 的單調(diào)遞增區(qū)間是 10．已知函數(shù)(1)求的最小正周期和最大值；(2)討論在上的單調(diào)性.解析：(1),因此的最小正周期為，最大值為.(2)當(dāng)時，，從而當(dāng)，即時，單調(diào)遞增，當(dāng)，即時，單調(diào)遞減.綜上可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.C組一、   選擇題1．如圖所示的是函數(shù)和函數(shù)的部分圖象，則函數(shù)的解析式是（    ）A．              B．C．            D．答案C.解析：由題意得，，故排除B，D；又∵，故排除A，故選C.2．將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖象，則的取值不可能是（    ）A．      B．     C．     D．答案C解析：，沿軸向右平移個單位后得到為偶函數(shù)，因此，從而選C.3．為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)（   ）A．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變B．橫坐標(biāo)伸長到原來的倍，縱坐標(biāo)不變C．縱坐標(biāo)縮短到原來的倍，橫坐標(biāo)不變D．縱坐標(biāo)縮短到原來的倍，橫坐標(biāo)不變答案A解析：這是一個三角函數(shù)的圖象變換問題，一般的為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（）或縮短（）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）即可，因此為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，故選A.4．函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像（    ）A．有相同的對稱軸但無相同的對稱中心B．有相同的對稱中心但無相同的對稱軸C．既有相同的對稱軸也有相同的對稱中心D．既無相同的對稱中心也無相同的對稱軸答案A解析：函數(shù)的對稱軸為函數(shù)的對稱軸為；當(dāng)時，二者有相同的對稱軸；同理，由三角函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的對稱中心為，函數(shù)的對稱中心為，二者沒有相同的對稱中心二、   填空題5．函數(shù)的最小正周期是___________.答案解析：因?yàn)楹瘮?shù)，所以最小正周期是，故答案為.6．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的值為_______答案解析：方法一：可以利用輔角公式變形為的形式，但是由于系數(shù)含參，所以輔角只能用一個抽象的代替：因?yàn)?/span>關(guān)于直線對稱，  方法二：本題還可以利用特殊值法求出的值，再進(jìn)行驗(yàn)證即可：因?yàn)?/span>關(guān)于直線對稱，所以代入一組特殊值：，再代入驗(yàn)證，其一條對稱軸為，符合題意三、   解答題7．設(shè)函數(shù)，其中． （I）若是函數(shù)的一條對稱軸，求函數(shù)周期； （II）若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，求的最大值．解析:由題意得，．（I）因?yàn)?/span>是函數(shù)的一條對稱軸，所以，即． 又，所以．所以函數(shù)，周期， （II）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，整理得．依題意函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，故取，則有即，所以， 又，所以的最大值為．8．已知函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，且在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解析:（Ⅰ）由題可得，解得，，，．（Ⅱ）∵，數(shù)列的周期為．前三項(xiàng)依次為，∴，∴．  9．設(shè)函數(shù).   (1)寫出的最大值，最小值，最小正周期；(2)試求正整數(shù)的最小值，使得當(dāng)自變量在任意兩相鄰整數(shù)間(包括整數(shù)本身)變化時，函數(shù)至少有一個值是，一個值是. 解析：（1）   (2)由題意知在相鄰兩整數(shù)之間（包括整數(shù)本身）至少有一個和一個，最小正周期，則，，又為正整數(shù)，正整數(shù)的最小值為.10．已知函數(shù) (其中)，對任意實(shí)數(shù)，在區(qū)間上要使函數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)不少于次且不多于次，求值．解析：由，得.∵函數(shù)在每個周期內(nèi)出現(xiàn)函數(shù)值為的有兩次，而區(qū)間長度為，為了使長度為的區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)函數(shù)值不少于次且不多于次，必須使不小于個周期長度且不大于個周期長度，即，且..又，故

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