?2022-2023學(xué)年吉林省白城市大安市九年級(jí)第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（每小題2分，共12分）
1．下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
2．若拋物線y＝ax2與y＝﹣x2+3x﹣1的形狀相同，則a的值為（　　）
A．﹣1 B．±1 C．1 D．±3
3．下列關(guān)于x的一元二次方程中，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根的是（　　）
A．x2﹣8x+16＝0 B．2x2+1＝0 C．x2﹣2x﹣3＝0 D．x2﹣5＝0
4．如圖，將△AOB繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△COD（點(diǎn)C落在△AOB外），若∠AOB＝30°，∠BOC＝10°，則旋轉(zhuǎn)角度是（　?。?br />
A．20° B．30° C．40° D．50°
5．如圖，C、D是⊙O上直徑AB兩側(cè)的點(diǎn)，若∠D＝75°，則∠ABC等于（　?。?br />
A．35° B．25° C．20° D．15°
6．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c開(kāi)口向上，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（﹣1，0），對(duì)稱軸為直線x＝1．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　　）

A．a(chǎn)bc＞0 B．b2＞4ac C．4a+2b+c＞0 D．2a+b＝0
二、填空題（每小題3分，共24分）
7．在平面直角整標(biāo)系中，若點(diǎn)A（3，2）與點(diǎn)B（m，﹣2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則m的值是 　 ?。?br /> 8．拋物線y＝﹣3（x+8）2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 　 ?。?br /> 9．如圖所示，這個(gè)圖案繞精它的中心旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°）后能夠與它本身重合，則α可以為 　 　（寫(xiě)出一個(gè)即可）．

10．已知點(diǎn)（﹣4，y1）、（﹣1，y2）、（，y3）都在函數(shù)y＝﹣x2+5的圖象上，則y1、y2、y3的大小關(guān)系為 　 　（用“＞”連接）．
11．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，小東想測(cè)算一個(gè)圓形齒輪內(nèi)圈圓的半徑，如圖所示，小東首先在內(nèi)圈圓上取點(diǎn)A，B，再作弦AB的垂直平分線，垂足為C，交于點(diǎn)D，連接CD，經(jīng)測(cè)量AB＝8cm，CD＝2cm，那么這個(gè)齒輪內(nèi)圈圓的半徑為 　 　cm．

12．如圖，將△ABC繞點(diǎn)C（0，﹣1）旋轉(zhuǎn)180°得到△A′B′C，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，﹣3），則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為　 　．

13．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠CBE是它的一個(gè)外角，若∠CBE＝58°，則∠AOC＝　 　度．

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+2x+c與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD∥x軸，交拋物線于另一點(diǎn)D，若AB+CD＝3，則c的值為 　 ?。?br />
三、解答題（每小題5分，共20分）
15．解方程：x2﹣3x﹣3＝0．
16．在平面直角坐標(biāo)系中，求拋物線y＝x2﹣2x﹣1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．
17．某市2019年底，城市樹(shù)木花草的綠化面積約350萬(wàn)畝，為持續(xù)保護(hù)和改善生態(tài)環(huán)境，經(jīng)過(guò)兩年的努力，到2021年底綠化面積約423.5萬(wàn)畝．求這兩年綠化面積的年平均增長(zhǎng)率．
18．如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°得到△AED．使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在邊BC上，求∠AEC的度數(shù)．

四、解答題（每小題7分，共28分）
19．圖1、圖2、圖3均為5×5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)和點(diǎn)D均在格點(diǎn)上，僅用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求面圖、并保留作圖痕跡、

（1）在圖1中，畫(huà)出將△ABC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的△A1B1C1．
（2）在圖2中，畫(huà)出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC關(guān)于點(diǎn)D成中心對(duì)稱；
（3）在圖3中，以AB為一邊畫(huà)出一個(gè)?ABEF、使?ABEF的面積是△ABC的面積的4倍．

20．如圖，正常水位時(shí)，拋物線形拱橋下的水面寬AB為20m，此時(shí)拱橋的最高點(diǎn)到水面的距離為4m．
（1）把拱橋看作一個(gè)二次函數(shù)的圖象，建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)水面寬10m時(shí)，達(dá)到警戒水位，如果水位以0.2m/h的速度持續(xù)上漲，那么達(dá)到警戒水位后，再過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間此橋孔將被淹沒(méi)？

21．如圖，在⊙O中，B、C是AD的三等分點(diǎn)，弦AC、BD相交于點(diǎn)E．
（1）求證：AC＝BD；
（2）連接AB，若∠BAC＝25，求∠BEC的度數(shù)．

22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C1：y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣3，0）、（3，3），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線C1的解析式；
（2）將拋物線C1先向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到拋物線C2，拋物線C2的頂點(diǎn)為D，求△ODC的面積．

五、解答題（每小題8分，共16分）
23．如圖，用40m的篙色圍成一個(gè)邊靠墻的矩形場(chǎng)地，墻長(zhǎng)15m．垂直于墻的邊長(zhǎng)為xm．圍成的矩形場(chǎng)地的面積為ym2．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（2）求這個(gè)矩形場(chǎng)地面積的最大值．

24．[猜想]如圖1，在⊙O中，點(diǎn)C在優(yōu)弧ACB上，連接AO、BO，得到圓心角∠AOB，發(fā)現(xiàn)，∠ACB與∠AOB對(duì)著同一條弧AB，則∠AOB＝2∠ACB；
[特例探究]為證明圖1中的結(jié)論，我們不妨使點(diǎn)O在∠ACB的邊AC上，如圖2．若BC＝OC，則∠AOB＝　 　度；
[證明結(jié)論]請(qǐng)結(jié)合圖2的特例探究，用圖1證明[猜想]中的結(jié)論；
[結(jié)論應(yīng)用]在圖1中，若∠C＝65°，點(diǎn)P在⊙O上，且△BAP是等腰三角形，直接寫(xiě)出該等腰三角形的頂角的度數(shù)．

六、解答題（每小題10分，共20分）
25．[操作]如圖1．△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是其內(nèi)部的一點(diǎn)，連接CD．將CD繞點(diǎn)（順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，連接DE，作直線AD交BE于點(diǎn)F．
（1）求證：△ADC≌△BEC；
（2）求∠AFE的度數(shù)；
[探究]如圖2，連接圖1中的AE，分別取AB、DE、AE的中點(diǎn)M、N、P，作△MNP．若BE＝8，則△MNP的周長(zhǎng)為 　 ?。?br />
26．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，﹣3）在拋物線y＝x2+bx+c上，其對(duì)稱軸是直線x＝2．點(diǎn)P、Q為該拋物線上的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為m，m+3，設(shè)該拋物線在點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間部分（含點(diǎn)P和點(diǎn)Q）的圖象記為G，圖象G的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為h．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)圖象G的最低點(diǎn)是該拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，①求h與m之間的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)h＝5時(shí)，直接寫(xiě)出m的值．



參考答案
一、選擇題（每小題2分，共12分）
1．下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可．
解：A．是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
B．是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
C．不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
D．既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
2．若拋物線y＝ax2與y＝﹣x2+3x﹣1的形狀相同，則a的值為（　?。?br /> A．﹣1 B．±1 C．1 D．±3
【分析】?jī)蓷l拋物線的形狀相同，即二次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值相等，據(jù)此求解即可．
解：∵拋物線y＝ax2與y＝﹣x2+3x﹣1的形狀相同，
∴|a|＝1，
∴a＝±1．
故選：B．
3．下列關(guān)于x的一元二次方程中，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根的是（　?。?br /> A．x2﹣8x+16＝0 B．2x2+1＝0 C．x2﹣2x﹣3＝0 D．x2﹣5＝0
【分析】根據(jù)根的判別式Δ＝b2﹣4ac的值的符號(hào)，即可判定方程實(shí)數(shù)根的情況．
解：A、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×1×16＝0，
∴此方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
故本選項(xiàng)符合題意；
B、∵Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×2×1＝﹣8＜0，
∴此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，
故本選項(xiàng)不符合題意；
C、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，
∴此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故本選項(xiàng)不符合題意；
D、∵Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×（﹣5）＝20＞0，
∴此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：A．
4．如圖，將△AOB繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△COD（點(diǎn)C落在△AOB外），若∠AOB＝30°，∠BOC＝10°，則旋轉(zhuǎn)角度是（　?。?br />
A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可直接求解．
解：∵將△AOB繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，
∴∠AOC是旋轉(zhuǎn)角，
∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝30°+10°＝40°，
∴旋轉(zhuǎn)角度為40°，
故選：C．
5．如圖，C、D是⊙O上直徑AB兩側(cè)的點(diǎn)，若∠D＝75°，則∠ABC等于（　?。?br />
A．35° B．25° C．20° D．15°
【分析】由AB是直徑可得∠ACB＝90°，根據(jù)圓周角定理由∠D＝75°可知∠CAB＝75°，再根據(jù)直角三角形銳角互余可得∠ABC的度數(shù)．
解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵∠D＝75°，
∴∠CAB＝75°，
∴∠ABC＝90°﹣75°＝15°．
故選：D．
6．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c開(kāi)口向上，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（﹣1，0），對(duì)稱軸為直線x＝1．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　?。?br />
A．a(chǎn)bc＞0 B．b2＞4ac C．4a+2b+c＞0 D．2a+b＝0
【分析】利用函數(shù)圖象的開(kāi)口，與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，和對(duì)稱軸，分別判斷出a，b，c的正負(fù)，可以判斷出A選項(xiàng)，由拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可以判斷Δ＝b2﹣4ac的正負(fù)，可以判斷出B選項(xiàng)，又當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4a+2b+c，根據(jù)圖象可以判斷C選項(xiàng)，由對(duì)稱軸為x＝1，可以判斷D選項(xiàng)．
解：由圖象可得，拋物線開(kāi)口向上，故a＞0，
由于拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c），
由圖象可得，c＜0，
對(duì)稱軸為x＝，
∴，
∴b＝﹣2a，
∵a＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，
故A選項(xiàng)正確；
∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，
故B選項(xiàng)正確；
由圖象可得，當(dāng)x＝2時(shí)，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
∵拋物線的對(duì)稱軸為x＝1，
∴，
∴2a+b＝0，
故D選項(xiàng)正確，
故選：C．
二、填空題（每小題3分，共24分）
7．在平面直角整標(biāo)系中，若點(diǎn)A（3，2）與點(diǎn)B（m，﹣2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則m的值是 　﹣3　．
【分析】直接利用兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)是P′（﹣x，﹣y），進(jìn)而得出答案．
解：∵點(diǎn)（3，2）與點(diǎn)（m，﹣2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴m＝﹣3．
故答案為：﹣3．
8．拋物線y＝﹣3（x+8）2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 　（﹣8，0）?。?br /> 【分析】由二次函數(shù)解析式可得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)．
解：∵y＝﹣3（x+8）2，
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣8，0），
故答案為：（﹣8，0）．
9．如圖所示，這個(gè)圖案繞精它的中心旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°）后能夠與它本身重合，則α可以為 　90°（答案不唯一）?。▽?xiě)出一個(gè)即可）．

【分析】把此圖案繞看作正方形，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)求解．
解：圖形看作正方形，
而正方形的中心角為90°，
所以此圖案繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)90°的整數(shù)倍時(shí)能夠與自身重合，
故α可以為90°（答案不唯一）（寫(xiě)出一個(gè)即可）．
故答案為：90°（答案不唯一）．
10．已知點(diǎn)（﹣4，y1）、（﹣1，y2）、（，y3）都在函數(shù)y＝﹣x2+5的圖象上，則y1、y2、y3的大小關(guān)系為 　y2＞y3＞y1?。ㄓ谩埃尽边B接）．
【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式求出函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是y軸，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得出圖象的開(kāi)口向下，當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性和增減性即可得到．
解：∵y＝﹣x2+5，
∴函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是y軸，圖象的開(kāi)口向下，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大，
∵點(diǎn)（﹣4，y1）、（﹣1，y2）、（，y3）都在函數(shù)y＝﹣x2+5的圖象上，
∴點(diǎn)（，y3）關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣，y3）在函數(shù)y＝﹣x2+5的圖象上，
∵﹣4＜﹣＜﹣1，
∴y2＞y3＞y1，
故答案為：y2＞y3＞y1．
11．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，小東想測(cè)算一個(gè)圓形齒輪內(nèi)圈圓的半徑，如圖所示，小東首先在內(nèi)圈圓上取點(diǎn)A，B，再作弦AB的垂直平分線，垂足為C，交于點(diǎn)D，連接CD，經(jīng)測(cè)量AB＝8cm，CD＝2cm，那么這個(gè)齒輪內(nèi)圈圓的半徑為 　5　cm．

【分析】設(shè)這個(gè)齒輪內(nèi)圈圓的圓心為O，半徑為Rcm，連接OA、OC，由垂徑定理得O、C、D三點(diǎn)共線，則OC＝（R﹣2）cm，然后在Rt△AOC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：設(shè)這個(gè)齒輪內(nèi)圈圓的圓心為O，半徑為Rcm，連接OA、OC，

則O、C、D三點(diǎn)共線，OC＝（R﹣2）cm，
∵CD是AB的垂直平分線，AB＝8cm，
∴AC＝AB＝4（cm），
在Rt△AOC中，由勾股定理得：42+（R﹣2）2＝R2，
解得：R＝5，
即這個(gè)齒輪內(nèi)圈圓的半徑為5cm，
故答案為：5．
12．如圖，將△ABC繞點(diǎn)C（0，﹣1）旋轉(zhuǎn)180°得到△A′B′C，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，﹣3），則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為　（4，1）　．

【分析】分別過(guò)A，A′向y軸引垂線，可得△A′EC≌△ADC，利用全等得到A到x軸，y軸的距離，進(jìn)而根據(jù)所在象限可得相應(yīng)坐標(biāo)．
解：作A′E⊥y軸于點(diǎn)E，AD⊥y軸于點(diǎn)D，則∠A′EC＝∠ADC，
∵∠A′CE＝∠ACD，AC＝A′C，
∴△A′EC≌△ADC（AAS），
∴AD＝A′E＝4，CE＝CD，
∵OD＝3，OC＝1，
∴CD＝2，
∴CE＝2，
∴OE＝1，
∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（4，1）．
故答案為：（4，1）．
13．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠CBE是它的一個(gè)外角，若∠CBE＝58°，則∠AOC＝　116　度．

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、鄰補(bǔ)角的定義求出∠ADC，再根據(jù)圓周角定理解答即可．
解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠CBE+∠ABC＝180°，∠CBE＝58°，
∴∠ADC＝∠CBE＝58°，
由圓周角定理得：∠AOC＝2∠ADC＝116°，
故答案為：116．
14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+2x+c與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD∥x軸，交拋物線于另一點(diǎn)D，若AB+CD＝3，則c的值為 　﹣?。?br />
【分析】先用根與系數(shù)的關(guān)系求出AB＝2，再根據(jù)CD∥x求出CD，然后由AB+CD＝3得到關(guān)于c的方程，解方程求出c即可．
解：設(shè)A（x1，0），B（x2，0），
令y＝0，則y＝﹣x2+2x+c＝0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得：x1+x2＝2，x1?x2＝﹣c，
則AB＝|x1﹣x2|＝＝＝2，
令x＝0，則y＝c，
∴C（0，c），
∵CD∥x軸，
∴點(diǎn)D縱坐標(biāo)為c，
當(dāng)y＝c時(shí)，則﹣x2+2x+c＝c，
解得：x＝2，或x＝0，
∴D（2，c），
∴CD＝2，
∵AB+CD＝3，
∴2+2＝3，
解得：c＝﹣，
故答案為：﹣．
三、解答題（每小題5分，共20分）
15．解方程：x2﹣3x﹣3＝0．
【分析】先計(jì)算出根的判別式的值，然后利用求根公式計(jì)算方程的根．
解：x2﹣3x﹣3＝0，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣3，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣3）＝21＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
16．在平面直角坐標(biāo)系中，求拋物線y＝x2﹣2x﹣1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．
【分析】令y＝0，得x的一元二次方程，解方程便可求得結(jié)果．
解：令y＝0，得x2﹣2x﹣1＝0，
解得x＝﹣1±，
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1﹣，0）或（1+，0）．
17．某市2019年底，城市樹(shù)木花草的綠化面積約350萬(wàn)畝，為持續(xù)保護(hù)和改善生態(tài)環(huán)境，經(jīng)過(guò)兩年的努力，到2021年底綠化面積約423.5萬(wàn)畝．求這兩年綠化面積的年平均增長(zhǎng)率．
【分析】設(shè)這兩年綠化面積的年平均增長(zhǎng)率為x，利用該市2021年底綠化面積＝該市2019年底綠化面積×（1+這兩年綠化面積的年平均增長(zhǎng)率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
解：設(shè)這兩年綠化面積的年平均增長(zhǎng)率為x，
依題意得：350（1+x）2＝423.5，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合題意，舍去）．
答：這兩年綠化面積的年平均增長(zhǎng)率為10%．
18．如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°得到△AED．使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在邊BC上，求∠AEC的度數(shù)．

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AE＝AB，∠BAE＝40°，求出∠AEB可得結(jié)論．
解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AE＝AB，∠BAE＝40°，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣40°）＝70°
∴∠AEC＝180°﹣∠AEB＝110°．
四、解答題（每小題7分，共28分）
19．圖1、圖2、圖3均為5×5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)和點(diǎn)D均在格點(diǎn)上，僅用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求面圖、并保留作圖痕跡、

（1）在圖1中，畫(huà)出將△ABC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的△A1B1C1．
（2）在圖2中，畫(huà)出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC關(guān)于點(diǎn)D成中心對(duì)稱；
（3）在圖3中，以AB為一邊畫(huà)出一個(gè)?ABEF、使?ABEF的面積是△ABC的面積的4倍．

【分析】（1）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫(huà)出A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1、B1、C1即可；
（2）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和中心對(duì)稱的性質(zhì)畫(huà)出A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2、B2、C2即可；
（3）利用三角形面積公式和平行四邊形的性質(zhì)，把AB向上平移可得到滿足條件的平行四邊形．
解：（1）如圖1，△A1B1C1為所作；
（2）如圖2，△A2B2C2為所作；
（3）如圖3，?ABEF為所作．

20．如圖，正常水位時(shí)，拋物線形拱橋下的水面寬AB為20m，此時(shí)拱橋的最高點(diǎn)到水面的距離為4m．
（1）把拱橋看作一個(gè)二次函數(shù)的圖象，建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)水面寬10m時(shí)，達(dá)到警戒水位，如果水位以0.2m/h的速度持續(xù)上漲，那么達(dá)到警戒水位后，再過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間此橋孔將被淹沒(méi)？

【分析】（1）建立如圖所示坐標(biāo)系，根據(jù)題意設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+4，把A點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式求出a即可；
（2）首先求出警戒水位到橋面的距離，再求出時(shí)間t．
解：（1）以水面所在直線AB為x軸，以過(guò)拱頂垂直于AB的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

∴A（﹣10，0），C（0，4），
設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+4（a≠0），
把點(diǎn)A坐標(biāo)代入解析式得：100a+4＝0，
解得：a＝﹣，
∴這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣x2+4；
（2）當(dāng)水面寬10m時(shí)，即x＝5時(shí)，y＝﹣×52+4＝3，
此時(shí)水面離拱頂4﹣3＝1（m），
1÷0.2＝5（h），
答：達(dá)到警戒水位后，再過(guò)5h此橋孔將被淹沒(méi)．
21．如圖，在⊙O中，B、C是AD的三等分點(diǎn)，弦AC、BD相交于點(diǎn)E．
（1）求證：AC＝BD；
（2）連接AB，若∠BAC＝25，求∠BEC的度數(shù)．

【分析】（1）根據(jù)同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的弦相等即可得解；
（2）根據(jù)圓周角定理及三角形三角形外角的性質(zhì)求解即可
【解答】（1）證明：∵B，C是的三等分點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴AC＝BD；
（2）解：∵∠BAC＝25°，，
∴∠BAC＝∠CAD＝∠BDA＝25°，
∵∠AED+∠CAD+∠BDA＝180°，
∴∠AED＝180°﹣∠CAD﹣∠BDA＝130°，
∴∠BEC＝∠AED＝130°．

22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C1：y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣3，0）、（3，3），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線C1的解析式；
（2）將拋物線C1先向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到拋物線C2，拋物線C2的頂點(diǎn)為D，求△ODC的面積．

【分析】（1）把點(diǎn)（﹣3，0）、（3，3）代入y＝﹣x2+bx+c，解方程組即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)平移規(guī)律得到D點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣3，0）、（3，3），
∴，
解得，
∴拋物線C1的解析式為y＝﹣x2+x+；
（2）∵y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+4，
∴拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），y軸交于點(diǎn)C（0，），
∵將拋物線C1先向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到拋物線C2，
∴拋物線C2的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，2），
∴△ODC的面積為2×＝．
五、解答題（每小題8分，共16分）
23．如圖，用40m的篙色圍成一個(gè)邊靠墻的矩形場(chǎng)地，墻長(zhǎng)15m．垂直于墻的邊長(zhǎng)為xm．圍成的矩形場(chǎng)地的面積為ym2．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（2）求這個(gè)矩形場(chǎng)地面積的最大值．

【分析】（1）表示出矩形的長(zhǎng)和寬可得出y和x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）利用配方法和函數(shù)的性質(zhì)求得最大面積．
解：（1）∵垂直于墻的邊長(zhǎng)為xm，平行于墻的邊長(zhǎng)為（40﹣2x）m，
∴y＝x（40﹣2x），
根據(jù)題意得：，
解得≤x＜20，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣2x2+40x（≤x＜20）；
（2）∵y＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200，
∵﹣2＜0，≤x＜20，
∴當(dāng)x＝時(shí)，y最大，最大值為187.5，
答：這個(gè)矩形場(chǎng)地面積的最大值為187.5m2．
24．[猜想]如圖1，在⊙O中，點(diǎn)C在優(yōu)弧ACB上，連接AO、BO，得到圓心角∠AOB，發(fā)現(xiàn)，∠ACB與∠AOB對(duì)著同一條弧AB，則∠AOB＝2∠ACB；
[特例探究]為證明圖1中的結(jié)論，我們不妨使點(diǎn)O在∠ACB的邊AC上，如圖2．若BC＝OC，則∠AOB＝　120　度；
[證明結(jié)論]請(qǐng)結(jié)合圖2的特例探究，用圖1證明[猜想]中的結(jié)論；
[結(jié)論應(yīng)用]在圖1中，若∠C＝65°，點(diǎn)P在⊙O上，且△BAP是等腰三角形，直接寫(xiě)出該等腰三角形的頂角的度數(shù)．

【分析】[特例探究]由OC＝OB＝BC，可得△BOC是等邊三角形，有∠BOC＝60°，即得∠AOB＝180°﹣∠BOC＝120°；
[證明結(jié)論]連接并延長(zhǎng)CO交⊙O于D，由OA＝OC，得∠OAC＝∠OCA，即得∠AOD＝2∠OCA，同理∠BOD＝2∠OCB，故∠AOB＝2∠ACB；
[結(jié)論應(yīng)用]分三種情況畫(huà)出圖形：①當(dāng)P在優(yōu)弧ACB上，AP＝BP時(shí)，連接OA，OB，由∠AOB＝2∠C，∠AOB＝2∠P，得∠P＝∠C＝65°，即等腰三角形BAP的頂角是65°；②當(dāng)P在劣弧AB上，AP＝BP時(shí)，連接OA，OB，OP，由∠AOB＝2∠C，∠C＝65°，得∠AOB＝130°，有∠OAP+∠OPA+∠OPB+∠OBP＝230°，而OA＝OP＝OB，證△OAP≌△OBP（SSS），即得∠OAP＝∠OPA＝∠OPB＝∠OBP＝＝57.5°，故∠APB＝∠OPA+∠OPB＝57.5°+57.5°＝115°，即等腰三角形BAP的頂角是115°；③當(dāng)AB＝PB時(shí)，可得∠PAB＝∠P＝65°，有∠PBA＝180°﹣∠P﹣∠PAB＝50°，即等腰三角形BAP的頂角是50°．
【解答】[特例探究]
解：如圖：

∵OC＝OB＝BC，
∴△BOC是等邊三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOB＝180°﹣∠BOC＝120°，
故答案為：120；
[證明結(jié)論]
證明：連接并延長(zhǎng)CO交⊙O于D，如圖：

∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠AOD＝∠OAC+∠OCA，
∴∠AOD＝2∠OCA，
同理∠BOD＝2∠OCB，
∴∠AOD+∠BOD＝2∠OCA+2∠OCB＝2（∠OCA+∠OCB）＝2∠ACB，
即∠AOB＝2∠ACB；
[結(jié)論應(yīng)用]
解：①當(dāng)P在優(yōu)弧ACB上，AP＝BP時(shí)，連接OA，OB，如圖：

∵∠AOB＝2∠C，∠AOB＝2∠P，
∴∠P＝∠C＝65°，即等腰三角形BAP的頂角是65°；
②當(dāng)P在劣弧AB上，AP＝BP時(shí)，連接OA，OB，OP，如圖：

∵∠AOB＝2∠C，∠C＝65°，
∴∠AOB＝130°，
∴∠OAP+∠OPA+∠OPB+∠OBP＝360°﹣130°＝230°，
∵OA＝OP＝OB，
∴∠OAP＝∠OPA，∠OPB＝∠OBP，
∵OA＝OB，AP＝BP，OP＝OP，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OAP＝∠OBP，
∴∠OAP＝∠OPA＝∠OPB＝∠OBP＝＝57.5°，
∴∠APB＝∠OPA+∠OPB＝57.5°+57.5°＝115°，即等腰三角形BAP的頂角是115°；
③當(dāng)AB＝PB時(shí)，如圖：

∵∠P＝∠AOB＝∠C＝65°，AB＝PB，
∴∠PAB＝∠P＝65°，
∴∠PBA＝180°﹣∠P﹣∠PAB＝50°，即等腰三角形BAP的頂角是50°；
同理AB＝AP'時(shí)，∠P'AB＝50°，等腰三角形BAP'頂角是50°；
綜上所述，△BAP是等腰三角形，該等腰三角形的頂角的度數(shù)是65°或115°或50°．
六、解答題（每小題10分，共20分）
25．[操作]如圖1．△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是其內(nèi)部的一點(diǎn)，連接CD．將CD繞點(diǎn)（順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，連接DE，作直線AD交BE于點(diǎn)F．
（1）求證：△ADC≌△BEC；
（2）求∠AFE的度數(shù)；
[探究]如圖2，連接圖1中的AE，分別取AB、DE、AE的中點(diǎn)M、N、P，作△MNP．若BE＝8，則△MNP的周長(zhǎng)為 　8+4?。?br />
【分析】[操作]（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠DCE＝90°，CD＝CE，再證∠ACD＝∠BCE，然后由SAS證△ADC≌△BEC即可；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得∠CAD＝∠CBE，再由三角形的外角性質(zhì)得∠HFB＝∠ACB＝90°，即可得出結(jié)論；
[探究]由全等三角形的性質(zhì)得AD＝BE＝8，再由三角形中位線定理得PM∥BE，PM＝BE＝4，PN∥AD，PN＝AD＝4，則PM＝PN，然后證PM⊥PN，則△MNP是等腰直角三角形，即可解決問(wèn)題．
【解答】[操作]（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠DCE＝90°，CD＝CE，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ADC≌△BEC（SAS）；
（2）解：如圖1，設(shè)AF與BC交于點(diǎn)H，
由（1）可知，△ADC≌△BEC，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠AHB＝∠CBE+∠HFB＝∠CAD+∠ACB，
∴∠HFB＝∠ACB＝90°，
∴∠AFE＝180°﹣∠HFB＝90°；
[探究]解：由（1）可知，△ADC≌△BEC，
∴AD＝BE＝8，
∵M(jìn)、N、P分別是AB、DE、AE的中點(diǎn)，
∴PM是△ABE的中位線，PN是△ADE的中位線，
∴PM∥BE，PM＝BE＝4，PN∥AD，PN＝AD＝4，
∴PM＝PN，
由（2）可知，∠AFE＝90°，
∴AF⊥BE，
∴PM⊥PN，
∴∠MPN＝90°，
∴△MNP是等腰直角三角形，
∴MN＝PM＝4，
∴△MNP的周長(zhǎng)＝PM+PN+MN＝4+4+4＝8+4，
故答案為：8+4．

26．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，﹣3）在拋物線y＝x2+bx+c上，其對(duì)稱軸是直線x＝2．點(diǎn)P、Q為該拋物線上的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為m，m+3，設(shè)該拋物線在點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間部分（含點(diǎn)P和點(diǎn)Q）的圖象記為G，圖象G的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為h．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)圖象G的最低點(diǎn)是該拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，①求h與m之間的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)h＝5時(shí)，直接寫(xiě)出m的值．

【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
（2）把y＝2代入解析式求出m的值，再求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）①求出拋物線的對(duì)稱軸，再根據(jù)圖象G的最低點(diǎn)是該拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，根據(jù)﹣1≤m≤和≤m≤2兩種情況求出h關(guān)于m的解析式；
②把h＝5代入①中解析式，求出m的值即可．
解：（1）根據(jù)題意得，
解得b＝﹣4，c＝﹣3，
∴拋物線的解析式為y＝x2﹣4x﹣3；
（2）當(dāng)y＝2時(shí)，2＝m2﹣4m﹣3，
解得m1＝﹣1，m2＝5，
當(dāng)m＝﹣1時(shí)，m+3＝2，
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4﹣8﹣3＝﹣7，
當(dāng)m＝5時(shí)，m+3＝8，
當(dāng)x＝8時(shí)，y＝64﹣32﹣3＝29，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，﹣7）或（8，29）；
（3）①∵y＝x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2﹣7，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣7），
當(dāng)圖象G的最低點(diǎn)是該拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，m≤2≤m+3，
∴﹣1≤m≤2，
當(dāng)﹣1≤m≤時(shí)，在圖象G中當(dāng)x＝m時(shí)取得最大值m2﹣4m﹣3，
∴h＝m2﹣4m﹣3﹣（﹣7）＝m2﹣4m+4；
當(dāng)≤m≤2時(shí)，在圖象G中當(dāng)x＝m+3時(shí)取得最大值（m+3）2﹣4（m+3）﹣3＝m2+2m﹣6，
∴h＝m2+2m﹣6﹣（﹣7）＝m2+2m+1，
∴h與m之間的函數(shù)關(guān)系式為h＝m2﹣4m+4或h＝m2+2m+1；
②當(dāng)h＝5時(shí)，m2﹣4m+4＝5或m2+2m+1＝5，
解得m1＝2+（舍去），m2＝2﹣或m3＝﹣1﹣（舍去），m3＝﹣1+，
∴m＝2﹣或m＝﹣1+．

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