2022-2023學(xué)年北京市昌平區(qū)南小興十馬陽融合學(xué)區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共8道小題，每小題2分，共16分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.1．（2分）已知2x＝3y（y≠0），那么下列比例式中正確的是（　　）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝2．（2分）拋物線y＝（x+2）2﹣1的對稱軸是（　?。?/span>A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝23．（2分）生活中到處可見黃金分割的美．如圖，在設(shè)計人體雕像時，使雕像的腰部以下a與全身b的高度比值接近0.618，可以增加視覺美感．若圖中b為2米，則a約為（　?。?/span>A．1.24米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.62米4．（2分）若將拋物線先向左平移3個單位，再向下平移2個單位，得到新的拋物線，則新拋物線的表達(dá)式是（　?。?/span>A． B． C．y＝（x+3）2﹣2 D．5．（2分）如圖，AD、BC相交于點O，由下列條件不能判定△AOB與△DOC相似的是（　?。?/span>A．AB∥CD B．∠A＝∠D C． D．6．（2分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E，F分別是邊AD，BC上的點，AF與BE交于點O，AE＝3，BF＝1，則△AOE與△BOF的面積之比為（　?。?/span>A． B． C．3 D．97．（2分）若函數(shù)y＝x2+2x+m的圖象與x軸沒有交點，則m的取值范圍是（　?。?/span>A．m＞1 B．m＜1 C．m≤1 D．m＝18．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在拋物線y＝ax2﹣2ax+c上，當(dāng)a＞0時，下列說法一定正確的是（　?。?/span>A．若y1y2＜0，則y3＞0 B．若y2y3＞0，則y1＜0 C．若y1y3＜0，則y2＞0 D．若y1y2y3＝0，則y2＝0二、填空題（共8道小題，每小題2分，共16分）9．（2分）請寫出以直線x＝2為對稱軸，且經(jīng)過點（0，1）的二次函數(shù)表達(dá)式 　   　．10．（2分）如圖，在△ABC中，點D，E分別是邊AB，AC上的點，DE∥BC，AD＝1，BD＝AE＝2，則EC的長為　   　．11．（2分）將二次函數(shù)y＝x2﹣2x+3寫成y＝a（x﹣h）2+k的形式為　   　．12．（2分）若點A（﹣1，y1），B（2，y2）在拋物線．y＝2x2上，則y1，y2的大小關(guān)系為：y1　   　y2．（選填“＞”“＜或“＝”）13．（2分）如圖，直線y1＝kx+n（k≠0）與拋物線y2＝ax2+bx+c（a≠0）分別交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）兩點，那么當(dāng)y1＞y2時，x的取值范圍是　   　．14．（2分）在同車道行駛的機(jī)動車，后車應(yīng)當(dāng)與前車保持足以采取緊急制動措施的安全距離．如圖，在一個路口，一輛長為10m的大巴車遇紅燈后停在距交通信號燈20m的停止線處，小張駕駛一輛小轎車跟隨大巴車行駛．設(shè)小張距大巴車尾xm，若大巴車車頂高于小張的水平視線0.8m，紅燈下沿高于小張的水平視線3.2m，若小張能看到整個紅燈，則x的最小值為　   　．15．（2分）已知△ABC，AB＝6，AC＝8，點D在邊AB上，AD＝2．若要在AC邊上找一點E，使△ADE與原三角形相似，則AE＝　   　．16．（2分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點，其中點B的坐標(biāo)為B（4，0），拋物線的對稱軸交x軸于點D，CE∥AB，并與拋物線的對稱軸交于點E．現(xiàn)有下列結(jié)論：①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE＝4．其中所有正確結(jié)論的序號是　   　．三、解答題（本題共12道小題，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27、28題，每小題5分，共68分）17．（5分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3．（1）在網(wǎng)格中，畫出該函數(shù)的圖象．（2）（1）中圖象與x軸的交點記為A，B，若該圖象上存在一點C，且△ABC的面積為3，求點C的坐標(biāo)．18．（5分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D在邊AC上，且DE⊥AB于點E．求證：△ABC∽△ADE．19．（5分）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對稱軸懸x＝﹣1，求這個二次函數(shù)的表達(dá)式．20．（5分）如圖，在由邊長均為1的小正方形組成的網(wǎng)格中有△ABC和△DEF，求證：△ABC∽△DEF．21．（5分）二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表：x…﹣4—3﹣2﹣1012…y…50﹣3﹣4﹣305…（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）在圖中畫出這個二次函數(shù)的圖象；（3）當(dāng)﹣3＜x＜0時，直接寫出y的取值范圍．22．（5分）如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，∠DAC＝∠B．點E在AD邊上，CD＝CE．（1）求證：△ABD∽△CAE；（2）若AB＝6，AC＝，BD＝2，求AE的長．23．（6分）在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，點E為DC的中點，連接BE，過點A作AF⊥BE，垂足為點F．（1）求證：△BEC∽△ABF；（2）求AF的長．24．（6分）如圖，是一座古拱橋的截面圖，拱橋橋洞的上沿是拋物線形狀，當(dāng)水面的寬度為10m時，橋洞與水面的最大距離是5m．（1）經(jīng)過討論，同學(xué)們得出三種建立平面直角坐標(biāo)系的方案（如圖），你選擇的方案是　   　（填方案一，方案二，或方案三），則B點坐標(biāo)是　   　，求出你所選方案中的拋物線的表達(dá)式；（2）因為上游水庫泄洪，水面寬度變?yōu)?/span>6m，求水面上漲的高度．25．（6分）古代阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家泰比特?伊本?奎拉對勾股定理進(jìn)行了推廣研究：如圖（圖1中∠BAC為銳角，圖2中∠BAC為直角，圖3中∠BAC為鈍角）．在△ABC的邊BC上取B'，C'兩點，使∠AB'B＝∠AC'C＝∠BAC，則△ABC∽△B'BA∽△C'AC，＝，＝，進(jìn)而可得AB2+AC2＝　   　；（用BB'，CC'，BC表示）若AB＝4，AC＝3，BC＝6，則B'C'＝　   　．26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點（1，m）和點（3，n）在二次函數(shù)y＝x2+bx的圖象上．（1）當(dāng)m＝﹣3時．①求這個二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)；②若點（﹣1，y1），（a，y2）在二次函數(shù)的圖象上，且y2＞y1，則a的取值范圍是 　   　；（2）當(dāng)mn＜0時，求b的取值范圍．27．（7分）如圖，在正方形ABCD中，點E是CD邊上一動點（點E與點C、D不重合），連接AE，過點A作AE的垂線交CB延長線于點F，連接EF．（1）依據(jù)題意，補(bǔ)全圖形；（2）求∠AEF的度數(shù)；（3）連接AC交EF于點H，若＝a，用含a的等式表示線段CF和CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
2022-2023學(xué)年北京市昌平區(qū)南小興十馬陽融合學(xué)區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案一、選擇題（共8道小題，每小題2分，共16分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.1．D    2．C   3．A   4．D   5．D   6．D   7．A    8．A二、填空題（共8道小題，每小題2分，共16分）9．答案為：y＝（x﹣2）2﹣3（答案不唯一）．10．答案為：4．11．答案為y＝（x﹣1）2+2．12．答案為：＜．13．答案為：﹣1＜x＜214．答案為1015．答案為：．16．答案為：②④三、解答題（本題共12道小題，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27、28題，每小題5分，共68分）17．解：（1）（2）令y＝0，代入y＝x2﹣4x+3，則x＝1，3，∴A（0，1），B（0，3），∴AB＝2，∵△ABC的面積為3，∴AB為底的高為3，令y＝3，代入y＝x2﹣4x+3，則x＝0，4，∴C（0，3）或（4，3）．18．證明：∵DE⊥AB于點E，∴∠AED＝∠C＝90°．∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE．19．解：由圖象知拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）2+k，將（﹣3，0）、（0，3）代入，得：，解得：，則拋物線解析式為y＝﹣（x+1）2+4．20．解：根據(jù)網(wǎng)格可知：△ABC三邊的長分別為：AB＝＝，BC＝2，AC＝＝，△DEF三邊的長分別為：DF＝＝2，DE＝4，EF＝＝2，∵，∴△ABC∽△DEF．21．解：（1）∵x＝﹣2和x＝0的函數(shù)值相同，∴對稱軸為直線x＝﹣1，∴頂點為（﹣1，﹣4），設(shè) y＝a（x+1）2﹣4，將（0，﹣3）代入得a﹣4＝﹣3，解得a＝1，∴拋物線解析式為y＝（x+1）2﹣4；（2）如圖，（3）當(dāng)﹣3＜x＜0時，y的取值范圍是﹣4≤y＜0．22．（1）證明：∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED．∵∠AEC+∠CED＝180°＝∠BDA+∠CDE，∴∠AEC＝∠BDA．又∵∠DAC＝∠B，∴△ABD∽△CAE．（2）∵△ABD∽△CAE，∴＝，∴AE＝?BD＝×2＝．23．解：（1）在矩形ABCD中，有∠C＝∠ABC＝∠ABF+∠EBC＝90°∵AF⊥BE，∴∠AFB＝∠C＝90°，∴∠BAF＝∠EBC∴△BEC∽△ABF（2）在矩形ABCD中，AB＝10，∴CD＝AB＝10，∵E為DC的中點，∴CE＝5，又BC＝12，在Rt△BEC中，由勾股定理得：BE＝13，由△ABF∽△BEC得：即：＝，∴解得：AF＝24．解：（1）選擇方案二，根據(jù)題意知點B的坐標(biāo)為（10，0），由題意知，拋物線的頂點坐標(biāo)為（5，5），且經(jīng)過點O（0，0），B（10，0），設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣5）2+5，把點（0，0）代入得：0＝a（0﹣5）2+5，即a＝﹣，∴拋物線解析式為y＝﹣（x﹣5）2+5，故答案為：方案二，（10，0）； （2）由題意知，當(dāng)x＝5﹣3＝2時，﹣（x﹣5）2+5＝，所以水面上漲的高度為米．25．解：∵△ABC∽△B'BA∽△C'AC∴＝，＝，∴AB2＝BC?B′B，AC2＝BC?C′C，∴AB2+AC2＝BC?B′B+BC?C′C＝BC（BB′+C′C）；∵AB＝4，AC＝3，BC＝6，∴42+32＝6（BB′+C′C），即6（BC﹣B′C′）＝25，∴6﹣B′C′＝，∴B′C′＝．故答案為BC（BB'+CC'）；．26．解：（1）當(dāng)m＝﹣3時．①把點（1，﹣3）代入y＝x2+bx，得b＝﹣4，二次函數(shù)表達(dá)式為y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，所以頂點坐標(biāo)為（2，﹣4）；②∵拋物線y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4．∴開口向上，對稱軸為直線x＝2，∴點（﹣1，y1）關(guān)于直線x＝2的對稱點為（5，y1），∵點（﹣1，y1），（a，y2）在二次函數(shù)的圖象上，且y2＞y1，∴a＜﹣1或a＞5，故答案為：a＜﹣1或a＞5；（2）將點（1，m），（3，n）代入y＝x2+bx，可得m＝1+b，n＝9+3b．當(dāng)mn＜0時，有兩種情況：①若把m＝1+b，n＝9+3b代入可得此時不等式組無解．②若把m＝1+b，n＝9+3b代入可得解得﹣3＜b＜﹣1．所以﹣3＜b＜﹣1．27．解：（1）補(bǔ)全圖形如下：（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠D＝∠BAC＝90°，AD＝AB，∴∠D＝∠ABF＝90°，∵AE⊥AF，∴∠FAB＝90°﹣∠BAE＝∠EAD，∴△ABF≌△ADE（AAS），∴AF＝AE，∴△AEF是等腰直角三角形，∴∠AEF＝45°；（3）過H作HG⊥BC于G，過H作HM⊥CD于M，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，∴△CGH是等腰直角三角形，∴HG＝CG，∵HG⊥BC，HM⊥CD，∠BCD＝90°，∴四邊形HGCM是正方形，∴HG＝CG＝HM，∵HG∥CE，HM∥CF，∴△EHM∽△EFC，△FHG∽△FEC，∵＝a，∴＝＝，＝＝，∴CF＝（a+1）HM，CE＝HG，而HM＝HG，∴CE＝，即＝a．

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