2022-2023學(xué)年廣東省廣州市祈福教育集團(tuán)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷  一、選擇題（本大題共10小題，共30分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）   在一些美術(shù)字中，有的漢字是軸對稱圖形，下面個(gè)漢字中，不能看作是軸對稱圖形的是(    )A. 迎 B. 二 C. 十 D. 大   如圖，小明書上的三角形被墨跡污染了一部分，他根據(jù)所學(xué)的知識很快就畫出了一個(gè)與書上完全一樣的三角形，那么小明畫圖的依據(jù)是(    )A.
B.
C.
D.    如圖，窗戶打開后，用窗鉤可將其固定，其所運(yùn)用的幾何原理是(    )A. 兩點(diǎn)之間，線段最短
B. 兩點(diǎn)確定一條直線
C. 垂線段最短
D. 三角形具有穩(wěn)定性
    如圖，若≌，四個(gè)點(diǎn)、、、在同一直線上，，，則的長是(    )
A.  B.  C.  D.    一個(gè)正多邊的內(nèi)角和是外角和的倍，這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是(    )A.  B.  C.  D.    如圖，在中，為的平分線，于，于，的面積是，，，則的長(    )
 A.  B.  C.  D.    如圖，已知，，，則等于(    )A.
B.
C.
D.    如圖，在中，點(diǎn)，分別在邊，上，將沿折疊至位置，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為若，，則的度數(shù)為(    )
 A.  B.  C.  D.    如圖，的三邊長均為整數(shù)，且周長為，是邊上的中線，的周長比的周長大，則長的可能值有個(gè)．(    )A.
B.
C.
D. 已知：如圖，中，為的角平分線，且，為延長線上的一點(diǎn)，，過作，為垂足．下列結(jié)論：≌；；；其中正確的個(gè)數(shù)是(    )
 A. 個(gè) B. 個(gè) C. 個(gè) D. 個(gè) 二、填空題（本大題共6小題，共18分）如圖，已知，，于，且，若，，則的長為______．
 等腰三角形中，，，則的長為______．如圖，小明從點(diǎn)出發(fā)，前進(jìn)到點(diǎn)處后向右轉(zhuǎn)，再前進(jìn)到點(diǎn)處后又向右轉(zhuǎn)，，這樣一直走下去，他第一次回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，一共走了______如圖，在中，已知，，分別為，，的中點(diǎn)，且，則圖中陰影部分的面積等于______．
 如圖，線段、的垂直平分線、相交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)是______．
 如圖，中，，，，直線經(jīng)過點(diǎn)且與邊相交．動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿路徑向終點(diǎn)運(yùn)動；動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿路徑向終點(diǎn)運(yùn)動．點(diǎn)和點(diǎn)的速度分別為和，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)并開始計(jì)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)計(jì)時(shí)結(jié)束．在某時(shí)刻分別過點(diǎn)和點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為秒，則當(dāng)______秒時(shí)，與全等． 三、解答題（本大題共9小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）本小題分
已知，如圖，是的邊上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，
求證：．
本小題分
如圖，兩條公路，相交于點(diǎn)，在內(nèi)部有兩個(gè)村莊，為方便群眾接種新冠疫苗，該地決定在內(nèi)部再啟動一個(gè)方艙式接種點(diǎn)，要求同時(shí)滿足：
到兩條公路，的距離相等．
到兩村莊，的距離相等．
請你用直尺和圓規(guī)作出接種點(diǎn)的位置保留作圖痕跡．
本小題分
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、．
作出關(guān)于軸對稱的圖形，并寫出頂點(diǎn)的坐標(biāo)．
求的面積．
本小題分
如圖，中，是高，、是角平分線，它們相交于點(diǎn)，，，求和的度數(shù)．
本小題分
如圖在四邊形中，平分，且與的角平分線交于點(diǎn)，若，，求的度數(shù)．
本小題分
如圖，在中，，交于點(diǎn)，且分別平分，．
求的度數(shù)；
連接，求證：是等腰三角形．
本小題分
等邊，為外一點(diǎn)，，，，射線與直線相交于點(diǎn)，射線與直線相交于點(diǎn)．
當(dāng)點(diǎn)、在邊、上，且時(shí)，猜想、、之間的數(shù)量關(guān)系，并且請證明．
當(dāng)點(diǎn)、在邊、的延長線上時(shí)，請畫出圖形，并寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系．
本小題分
如圖，等腰直角三角形中，，、分別為、邊上的點(diǎn)，，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
求證：≌；
判斷是什么三角形，并證明你的結(jié)論；
判斷線段、與的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論．
本小題分
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知、且、滿足．
求證：；
如圖，若，求的度數(shù)；
如圖，若是的中點(diǎn)，，在的延長線上，，連接，試探究和的數(shù)量和位置關(guān)系．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，，選項(xiàng)中的圖形都能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；
選項(xiàng)中的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
故選：．
根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．
本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
 2.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意，三角形的兩角和它們的夾邊是完整的，所以可以利用“角邊角”定理作出完全一樣的三角形．
故選：．
根據(jù)圖象，三角形有兩角和它們的夾邊是完整的，所以可以根據(jù)“角邊角”畫出即可．
本題考查了三角形全等的判定的實(shí)際運(yùn)用，熟練掌握判定定理并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】解：一扇窗戶打開后，用窗鉤將其固定，正好形成三角形的形狀，
所以，主要運(yùn)用的幾何原理是三角形的穩(wěn)定性．
故選：．
根據(jù)點(diǎn)、、組成一個(gè)三角形，利用三角形的穩(wěn)定性解答．
本題考查三角形穩(wěn)定性的實(shí)際應(yīng)用．三角形的穩(wěn)定性在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用．
 4.【答案】 【解析】解：≌，
，
，
，
，
．
故選：．
根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到，計(jì)算即可．
本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等、全等三角形的對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】【分析】
此題主要考查了多邊形的內(nèi)角和和外角和，關(guān)鍵是掌握內(nèi)角和為設(shè)多邊形有條邊，則內(nèi)角和為，再根據(jù)內(nèi)角和等于外角和倍可得方程，再解方程即可．
【解答】
解：設(shè)多邊形有條邊，由題意得：
，
解得：，
故選：  6.【答案】 【解析】解：為的平分線，，，
，
，即，
解得，
故選：．
根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．
本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：連接，如右圖所示，
，，，
，
，
，
故選：．
根據(jù)三角形內(nèi)角和，可以得到和的和，再根據(jù)三角形內(nèi)角和，可以得到和的關(guān)系，然后即可求得的度數(shù)．
本題考查三角形內(nèi)角和，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
 8.【答案】 【解析】解：由題意得，，，
，
，
，
，
沿折疊至位置，
，
故選：．
由折疊的性質(zhì)可得，，由鄰補(bǔ)角定義可解得，繼而解得，再由三角形內(nèi)角和解得，最后由折疊的性質(zhì)解答即可．
本題考查三角形的內(nèi)角和、折疊的性質(zhì)等知識，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：的周長為，的周長比的周長大，
，
解得，
又的三邊長均為整數(shù)，的周長比的周長大，
為整數(shù)，
邊長為偶數(shù)，
，，，，
故選：．
依據(jù)的周長為，的周長比的周長大，可得，再根據(jù)的三邊長均為整數(shù)，即可得到，，，．
本題主要考查了三角形三邊關(guān)系的運(yùn)用，解題時(shí)注意：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊．
 10.【答案】 【解析】解：為的角平分線，
，
在和中，
，
≌，
故選項(xiàng)正確；
，
，
，
，
為的角平分線，
，
，
即，
故選項(xiàng)正確；
，，
，
，
≌，
，
，
故選項(xiàng)正確；
過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示：

是的角平分線上的點(diǎn)，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
故選項(xiàng)正確，
綜上所述，正確的選項(xiàng)有個(gè)，
故選：．
根據(jù)由可證≌，可判斷選項(xiàng)；由三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義可判斷選項(xiàng)；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)；通過證明≌，≌，可得，，可判斷選項(xiàng)．
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，本題綜合性較強(qiáng)．
 11.【答案】 【解析】解：，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故答案為：．
利用證明≌，得，從而解決問題．
本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，同角的余角相等等知識，證明≌是解題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意得，
即，
因?yàn)槿切?/span>是等腰三角形，
所以．
故答案為：．
根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到，然后找出此范圍內(nèi)的奇數(shù)即可．
本題考查了三角形三邊的關(guān)系：三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．
 13.【答案】 【解析】解：由題意可知，當(dāng)她第一次回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，所走過的圖形是一個(gè)正多邊形，
由于正多邊形的外角和是，且每一個(gè)外角為，
，
所以它是一個(gè)正邊形，
因此所走的路程為，
故答案為：．
根據(jù)多邊形的外角和及每一個(gè)外角的度數(shù)，可求出多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)題意求出正多邊形的周長即可．
本題考查多邊形的外角和，掌握多邊形的外角和定理以及正多邊形的判定是解決問題的前提．
 14.【答案】 【解析】解：點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，，
，
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，

故答案為：．
根據(jù)三角形的中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形解答．
本題考查了三角形的面積，主要利用了三角形的中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形，原理為等底等高的三角形的面積相等．
 15.【答案】 【解析】解：如圖：連接，

，
，
，
線段、的垂直平分線、相交于點(diǎn)，
，
，，
，，
，
，
故答案為：．
連接，先利用平角定義求出，從而可得，然后利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得，從而利用等腰三角形的性質(zhì)可得，，進(jìn)而可得，最后利用周角定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】或或 【解析】解：由題意得，，，
，，
，，
如圖，在上，點(diǎn)在上時(shí)，作，，
，
，
，
當(dāng)≌時(shí)，
則，
即，
解得：；
如圖，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，
當(dāng)≌，
則，
．
解得：；
如圖，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，
，
當(dāng)≌，
則，
即，
解得：；
當(dāng)綜上所述：當(dāng)秒或秒或秒時(shí)，與全等，
故答案為：或或．
點(diǎn)在上，點(diǎn)在上；點(diǎn)與點(diǎn)重合；與重合三種情況；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)列式計(jì)算．
本題考查的是全等三角形的判定、掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】證明：，
，，
在和中，，
≌，
． 【解析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得，，然后利用“角角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可．
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，比較簡單，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】解：如圖，點(diǎn)即為所求．
 【解析】作線段的垂直平分線，作的角平分線，交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求．
本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．
 19.【答案】解：如圖，即為所求，點(diǎn)；


． 【解析】利用軸對稱變換的性質(zhì)分別作出，，的對應(yīng)點(diǎn)，，即可；
把三角形的面積看成矩形的面積減去周圍的三個(gè)三角形面積即可．
本題考查作圖軸對稱變換，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱變換的性質(zhì)，屬于中考常考題型．
 20.【答案】解：，
，
又是高，
，
，
、是角平分線，
，，
，
，
，
故，． 【解析】先利用三角形內(nèi)角和定理可求，在直角三角形中，易求；再根據(jù)角平分線定義可求、，可得的度數(shù)；然后利用三角形外角性質(zhì)，可先求，再次利用三角形外角性質(zhì)，容易求出．
本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線定義、三角形外角性質(zhì)．關(guān)鍵是利用角平分線的性質(zhì)解出、，再運(yùn)用三角形外角性質(zhì)求出．
 21.【答案】解：如圖，延長，交于點(diǎn)．

，，
，
平分，平分，
，，
，，
，即，
，
． 【解析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線性質(zhì)，先求出、的等式，推出，最后代入求出即可．
此題考查三角形內(nèi)角和定理以及角平分線性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解此題的關(guān)鍵是求出．
 22.【答案】解：，
，
平分，平分，
，，
，
；

證明：在上截取，連接，

在和中，
，
≌，
，，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
是等腰三角形． 【解析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出，根據(jù)角平分線定義得出，，求出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出答案即可；
在上截取，連接，根據(jù)全等三角形的判定得出≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，，求出，根據(jù)全等三角形的判定得出≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，求出即可．
本題考查了三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定和全等三角形的性質(zhì)和判定，能求出的度數(shù)是解的關(guān)鍵，能正確作出輔助線是解的關(guān)鍵．
 23.【答案】解：、、之間的數(shù)量關(guān)系：．
證明：在的反向延長線上截取，連接．

是等邊三角形，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
如圖：．

證明：在上截取，連接．
同理≌，
，
同可得≌，
，
． 【解析】在的延長線上截取，連接可證≌，即可得，易證得，則可證得≌，然后由全等三角形的性質(zhì)，即可得結(jié)論；
首先在上截取，連接，可證≌，即可得，然后證得，易證得≌，則可得．
此題考查了等邊三角形，直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的作法．
 24.【答案】證明：等腰直角三角形中，，
，，
在和中

≌，

為等腰三角形；
理由：≌，
，
，
，，

，
，
，
，
，為等腰三角形．

線段、與的數(shù)量關(guān)系為．
理由：如圖所示：過點(diǎn)作的垂線，交的延長線于點(diǎn)，
，，
．
，
，
，
，，
由可得，
，
在和中

≌，
，，
又，
，
，
又，
． 【解析】首先得出，再利用，得出≌即可；
利用≌，得出，再由，可得，結(jié)合可得出，，繼而可得出結(jié)論；
先大致觀察三者的關(guān)系，過點(diǎn)作的垂線，交的延長線于點(diǎn)，利用的結(jié)論可將轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為，從而在一條直線上得出三者的關(guān)系．
本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，難度較大，尤其是第問的證明，要學(xué)會要判斷三條線段之間的關(guān)系，一般都需要轉(zhuǎn)化到同一條直線上進(jìn)行．
 25.【答案】解：、滿足．

，
、，
，
為等腰直角三角形
，
如圖，過點(diǎn)作交于，

，
，
，

又

在和中，
≌

為等腰直角三角形

過點(diǎn)作交的延長線于，過點(diǎn)作交軸于，延長交于，

，，
、為等腰直角三角形，
，
，
在和中，
≌
，
為等腰直角三角形，
又

在和中，
≌

且三線合一． 【解析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理，解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)建全等三角形，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等得到相等的線段．
根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到，解得，確定、，得到，所以為等腰直角三角形，即可解答；
如圖，過點(diǎn)作交于，利用已知條件證明≌，得到，即為等腰直角三角形，即可解答；
過點(diǎn)作交的延長線于，過點(diǎn)作交軸于，延長交于，利用已知條件證明≌，得到，，進(jìn)而得到為等腰直角三角形，再證明≌得到，進(jìn)而且三線合一．
 

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