?專題23 立體幾何中的壓軸小題
【題型歸納目錄】
題型一：球與截面面積問題
題型二：體積、面積、周長(zhǎng)、角度、距離定值問題
題型三：體積、面積、周長(zhǎng)、距離最值與范圍問題
題型四：立體幾何中的交線問題
題型五：空間線段以及線段之和最值問題
題型六：空間角問題
題型七：立體幾何裝液體問題
【典例例題】
題型一：球與截面面積問題
例1．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測(cè)（文））已知球O的體積為，高為1的圓錐內(nèi)接于球O，經(jīng)過圓錐頂點(diǎn)的平面截球O和圓錐所得的截面面積分別為，若，則（???????）
A．2 B． C． D．
【解析】球O半徑為R，由得，平面截球O所得截面小圓半徑，由得，
因此，球心O到平面的距離，而球心O在圓錐的軸上，則圓錐的軸與平面所成的角為，
因圓錐的高為1，則球心O到圓錐底面圓的距離為，于是得圓錐底面圓半徑，
令平面截圓錐所得截面為等腰，線段AB為圓錐底面圓的弦，點(diǎn)C為弦AB中點(diǎn)，如圖，

依題意，，，，弦，
所以．
故選：C
例2．（2022·廣西·南寧二中高三階段練習(xí)（理））已知正四棱柱中，，E為的中點(diǎn)，P為棱上的動(dòng)點(diǎn)，平面過B，E，P三點(diǎn)，有如下四個(gè)命題：
①平面平面；
②平面與正四棱柱表面的交線圍成的圖形一定是四邊形；
③當(dāng)P與A重合時(shí)，截此四棱柱的外接球所得的截面面積為；
④存在點(diǎn)P，使得AD與平面所成角的大小為．
則正確的命題個(gè)數(shù)為（???????）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】由題意可知，，，
所以，所以，

又因?yàn)槠矫?，且平面，所以?br /> 因?yàn)?，，平面，所以平面?br /> 又平面，所以平面平面，故①正確；
對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，可延長(zhǎng)BP交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，
延長(zhǎng)BE交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連結(jié)MN，分別交，于點(diǎn)R，Q，連結(jié)PR，EQ，

則截面為五邊形BPRQE，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，當(dāng)P與A重合時(shí)，可取的中點(diǎn)為點(diǎn)F，截面為圖示中的矩形ABEF，

則四棱柱的外接球半徑為，
設(shè)點(diǎn)為平面的中心，過作于，連接，
則可得，平面，
所以點(diǎn)到平面ABEM的距離，
所以截此四棱柱的外接球所得的截面圓的半徑，
所以截此四棱柱的外接球所得的截面的面積為，故③正確；
對(duì)于④，AD與平面所成角的大小，即為BC與平面所成角，可設(shè)為，
作于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為h，則，

所以，則，故④錯(cuò)誤．
綜上，正確的命題個(gè)數(shù)為2．
故選：B．
例3．（2022·四川資陽·高二期末（理））如圖，矩形BDEF所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直，，，點(diǎn)P在線段EF上．給出下列命題：

①存在點(diǎn)P，使得直線平面ACF；
②存在點(diǎn)P，使得直線平面ACF；
③直線DP與平面ABCD所成角的正弦值的取值范圍是；
④三棱錐的外接球被平面ACF所截得的截面面積是．
其中所有真命題的序號(hào)（???????）
A．①③ B．①④ C．①②④ D．①③④
【解析】取EF中點(diǎn)G，連DG，令，連FO，如圖，

在正方形ABCD中，O為BD中點(diǎn)，而BDEF是矩形，則且，即四邊形DGFO是平行四邊形，
即有，而平面ACF，平面ACF，于是得平面ACF，當(dāng)點(diǎn)P與G重合時(shí)，直線平面ACF，①正確；
假定存在點(diǎn)P，使得直線平面ACF，而平面ACF，則，又，從而有，
在中，，DG是直角邊EF上的中線，顯然在線段EF上不存在點(diǎn)與D連線垂直于DG，
因此，假設(shè)是錯(cuò)的，即②不正確；
因平面平面，平面平面，則線段EF上的動(dòng)點(diǎn)P在平面上的射影在直線BD上，
于是得是直線DP與平面ABCD所成角的，在矩形BDEF中，當(dāng)P與E不重合時(shí)，，
，而，則，
當(dāng)P與E重合時(shí)，，，因此，，③正確；
因平面平面，平面平面，，平面，則平面，
，在中，，顯然有，，
由正弦定理得外接圓直徑，，
三棱錐的外接球被平面ACF所截得的截面是的外接圓，其面積為，④正確，
所以所給命題中正確命題的序號(hào)是①③④．
故選：D
例4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，圓錐的軸截面是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，為中點(diǎn)．若底面所在平面上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終保持，過點(diǎn)作的垂線，垂足為．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，

①點(diǎn)在空間形成的軌跡為圓
②三棱錐的體積最大值為
③的最大值為2
④與平面所成角的正切值的最大值為
上述結(jié)論中正確的序號(hào)為（???????）．
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③
【解析】建系如圖，為等腰直角三角形，



在所在圓上，設(shè)，
，
，
則M的軌跡為圓，
是以O(shè)A為直徑在xoy面上的圓．
又隨著M運(yùn)動(dòng)，H軌跡是以O(shè)C為直徑的圓，故①正確
②由圖可得，B到面COH的距離為1，，

故②正確；
③設(shè)，則，，
，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
即當(dāng)H運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，，故③正確；
④由①知H在以O(shè)C為直徑的圓上，且該圓所在的平面與平面PAB垂直，由對(duì)稱性，只考慮C在上半圓，
如圖，

過H作，過B作，
則BH與平面PAB所成的角為，又，
，
故④錯(cuò)誤．
綜上所述，正確的序號(hào)為①②③
故選：D
例5．（2022·安徽省舒城中學(xué)一模（理））已知正三棱錐的高為3，側(cè)棱與底面所成的角為，為棱上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)作正三棱錐的外接球的截面，則截面面積的最小值為（???????）
A． B． C． D．
【解析】如圖①，∵三棱錐為正三棱錐，∴頂點(diǎn)在底面的射影為的中心，
連接，則三棱錐外接球的球心在上，連接，，．
顯然過點(diǎn)作球的截面中，面積最小的是垂直于的截面，
∵正三棱錐的高為，即，側(cè)棱與底面所成的角為，
在中，可解得，．
∵是正三角形，∴．
設(shè)正三棱錐的外接球半徑為，則，解得，
如圖②，在中，，，
由余弦定理得，
∴，
∴垂直于的截面半徑滿足，
∴，即截面最小面積為．
故選：A．

例6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，底面，，，，是線段上一點(diǎn)，且．過點(diǎn)作球的截面，若所得截面圓面積的最大值與最小值之差為，則球的表面積為（???????）
A． B． C． D．
【解析】平面，，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，如下圖所示：

設(shè)，連接、、，可知點(diǎn)為的中點(diǎn)，
因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，，則為的中點(diǎn)，所以，且，
設(shè)，且，，
所以，球的半徑為，
在中，，，，，
在中，，，
由余弦定理可得，
平面，平面，
平面，則，
，，
設(shè)過點(diǎn)的球的截面圓的半徑為，設(shè)球心到截面圓的距離為，設(shè)與截面圓所在平面所成的角為，則．
當(dāng)時(shí)，即截面圓過球心時(shí)，取最小值，此時(shí)取最大值，即；
當(dāng)時(shí)，即與截面圓所在平面垂直時(shí)，取最大值，即，
此時(shí)，取最小值，即．
由題意可得，，解得．
所以，，
因此，球的表面積為．
故選：B．
例7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直四棱柱，其底面是平行四邊形，外接球體積為，若，則其外接球被平面截得圖形面積的最小值為（???????）
A． B． C． D．
【解析】由直四棱柱內(nèi)接于球，則四點(diǎn)在球面上，
所以四邊形為球的一截面圓的內(nèi)接四邊形，所以對(duì)角互補(bǔ)．
又四邊形是平行四邊形，所以為矩形．
在直四棱柱中，平面，所以
又，，所以平面，所以
所以四邊形為正方形，所以直四棱柱為正四棱柱．
由外接球體積為，則球的半徑為，
由為該外接球的直徑，則
設(shè)，則，則
在中，，
由余弦定理可得
所以
設(shè)的外接圓的半徑為，由正弦定理可得
所以
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，即的最小值為
其外接球被平面截得圖形面積的最小值為：
故選：A

例8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知正三棱錐的外接球是球O，正三棱錐底邊，側(cè)棱，點(diǎn)E在線段上，且，過點(diǎn)E作球O的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（????????）
A． B． C． D．
【解析】如圖，

由題，設(shè)的中心為，球的半徑為，連接，則，，
在中，，解得，
所以，
因?yàn)?，所以?br /> 在中，，
所以，
過點(diǎn)作球的截面，當(dāng)截面與垂直時(shí)，截面的面積最小，此時(shí)截面的半徑為，則截面面積為，
當(dāng)截面過球心時(shí)，截面面積最大，最大面積為，
故選：D
例9．（2022·浙江省江山中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，在單位正方體中，點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，給出以下四個(gè)命題：

①異面直線與直線所成角的大小為定值；
②二面角的大小為定值；
③若Q是對(duì)角線上一點(diǎn)，則長(zhǎng)度的最小值為；
④若R是線段上一動(dòng)點(diǎn)，則直線與直線不可能平行．
其中真命題有（???????）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【解析】對(duì)于①，由正方體的性質(zhì)可知，平面，又平面，
故，異面直線與直線的所成的角為定值，①正確；
對(duì)于②，平面即為平面，平面與平面所成的二面角為定值，故二面角為定值，②正確；
對(duì)于③，將平面沿直線翻折到平面內(nèi)，平面圖如下，過點(diǎn)做，，，此時(shí)，的值最?。?br /> 由題可知，，，
，
則，，
故，又，
故的最小值為，故③正確．

對(duì)于④，在正方體中易證平面，設(shè)，則即為二面角的平面角，又正方體邊長(zhǎng)為1，故，則，由余弦定理得，故，同理，
故在上必然存在一點(diǎn)，使得二面角為，即平面平面，平面與平面的交線為，
則，過點(diǎn)作的垂線．此時(shí)平面，又平面，故．故④錯(cuò)誤．

故選：C．
例10．（2022·北京·人大附中模擬預(yù)測(cè)）已知正方體為對(duì)角線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），過點(diǎn)作垂直于直線的平面，平面與正方體表面相交形成的多邊形記為，下列結(jié)論不正確的是（???????）

A．只可能為三角形或六邊形
B．平面與平面的夾角為定值
C．當(dāng)且僅當(dāng)為對(duì)角線中點(diǎn)時(shí)，的周長(zhǎng)最大
D．當(dāng)且僅當(dāng)為對(duì)角線中點(diǎn)時(shí)，的面積最大
【解析】如下圖，在正方體中，體對(duì)角線與平面，平面，平面都垂直，由圖可知，在平面運(yùn)動(dòng)過程中只可能為三角形或六邊形，故A正確；由題可知平面與都垂直，所以平面在移動(dòng)過程中都是平行平面，與平面的夾角為定值，故B正確；如下圖，當(dāng)為對(duì)角線中點(diǎn)時(shí)，為正六邊形，而三角形為等邊三角形，根據(jù)中位線定理，可得兩個(gè)截面周長(zhǎng)相等，故C錯(cuò)誤；由圖可得，當(dāng)為對(duì)角線中點(diǎn)時(shí)，為正六邊形，設(shè)邊長(zhǎng)，面積為，當(dāng)向下剛開始移動(dòng)時(shí)，為六邊形，結(jié)合圖形可知兩鄰邊一條增大，一條減小且變化量相等，設(shè)，而且所有六邊形的高都相等且等于，兩鄰邊夾角都為，則六邊形梯形，當(dāng)為三角形時(shí)面積最大為，所以當(dāng)且僅當(dāng)為對(duì)角線中點(diǎn)時(shí)，的面積最大，故D正確．
故選：C．

例11．（2022·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）如圖，在正方體中，，，分別為，的中點(diǎn)，，分別為棱，上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積（???????）

A．存在最大值，最大值為 B．存在最小值，最小值為
C．為定值 D．不確定，與，的位置有關(guān)
【解析】如下圖，連接，在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，可得，，所以當(dāng)在棱移動(dòng)時(shí)，到平面的距離為定值，當(dāng)在棱移動(dòng)時(shí)，到的距離為定值，所以為定值，則三棱錐的體積為定值．平面即平面，作，由于，可得平面MABN，由，可得，而，．
故選：C．

例12．（2022·山西運(yùn)城·模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且，點(diǎn)P，Q分別為的中點(diǎn)，G在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且滿足G∥平面，以下命題錯(cuò)誤的是（　?。?br />
A．
B．多面體的體積為定值
C．側(cè)面上存在點(diǎn)G，使得
D．直線與直線BC所成的角可能為
【解析】對(duì)A：連接，作圖如下：

因?yàn)闉檎襟w，故可得//，又，與是同一條直線，
故可得，則，故A正確；
對(duì)B：根據(jù)題意，，且線段在上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)到直線的距離不變，
故△的面積為定值，又點(diǎn)到平面的距離也為定值，
故三棱錐的體積為定值，故B正確；
對(duì)C：取的中點(diǎn)分別為，連接，作圖如下：

容易知在△中，//，又//，，
面面，故面//面，
又G在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且滿足G∥平面，故的軌跡即為線段；
又因?yàn)闉檎襟w，故面面，故，
則當(dāng)與重合時(shí)，，故C正確；
對(duì)D：因?yàn)?/，故直線與所成角即為直線與所成角，即，
在中，，
故，而當(dāng)直線與直線BC所成的角為時(shí)，
，故直線與直線BC所成的角不可能為，故D錯(cuò)誤．
故選：D．
例13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在正方體中，過對(duì)角線的一個(gè)平面交于E，交于F，給出下面幾個(gè)命題：

①四邊形一定是平行四邊形；
②四邊形有可能是正方形；
③平面有可能垂直于平面；
④設(shè)與DC的延長(zhǎng)線交于M，與DA的延長(zhǎng)線交于N，則M?N?B三點(diǎn)共線；
⑤四棱錐的體積為定值．
以上命題中真命題的個(gè)數(shù)為（???????）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】因?yàn)槠矫媾c平面平行，截面與它們交于，BF，可得，
同樣可得，所以四邊形是一個(gè)平行四邊形，故①正確；
如果四邊形是正方形，則，
因?yàn)?，所以平面?br /> 又平面，E與A重合，此時(shí)不是正方形，故②錯(cuò)誤；
當(dāng)兩條棱上的交點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，四邊形為菱形，平面，
此時(shí)四邊形垂直于平面，故③正確；
由與DC的延長(zhǎng)線交于M，可得，且，
又因?yàn)槠矫?，平面ABCD，
所以平面，平面ABCD，
又因?yàn)槠矫?，平面ABCD，
所以平面平面，
同理平面平面，
所以BM，BN都是平面與平面ABCD的交線，
所以B，M，N三點(diǎn)共線，故④正確；
由于，平面，
則E，F(xiàn)到平面的距離相等，且為正方體的棱長(zhǎng)，三角形的面積為定值，
所以四棱錐的體積為定值，故⑤正確．
故選：C．
例14．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（???????）

A． B．三棱錐的體積為定值
C． D．的最小值為
【解析】由平面，可得，則
由，可得平面
又平面，則，所以A項(xiàng)命題正確；
由于M，N分別為中點(diǎn)，可得∥
因?yàn)辄c(diǎn)P在上，所以點(diǎn)P到平面的距離為定值，
則三棱錐的體積
由于和h都為定值所以三棱錐的體積為定值，所以B項(xiàng)命題正確；
設(shè)，由對(duì)稱性可得，則
當(dāng)P與C重合時(shí)，，此時(shí)，達(dá)到最小為，
當(dāng)交于P時(shí)，由等面積法可得，此時(shí)，達(dá)到最大為，所以C項(xiàng)命題正確；
將平面與平面沿展成平面圖，當(dāng)交于P時(shí)，可得，此時(shí)為最小值，
所以D項(xiàng)命題錯(cuò)誤；故選D．


例15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與，不重合），則下列說法不正確的是（???????）

A．
B．三棱錐的體積為定值
C．過，，三點(diǎn)作正方體的截面，截面圖形為三角形或梯形
D．DP與平面所成角的正弦值最大為
【解析】由題可知平面，所以，故A正確；
由等體積法得為定值，故B正確；
設(shè)的中點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，如下圖所示：

此時(shí)截面是三角形，
當(dāng)時(shí)，如下圖所示：

此時(shí)截面是梯形，故C正確；
選項(xiàng)D，在正方體中，連接，則為在平面上的射影，則為與平面所成的角，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，，則，，
當(dāng)取得最小值時(shí)，的值最大，即時(shí)，的值最小為，
所以的值最大為，故D不正確．
故選：D．
例16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正方體內(nèi)切球的表面積為，是空間中任意一點(diǎn)：
①若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則始終有；
②若是棱中點(diǎn)，則直線與是相交直線；
③若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，三棱錐體積為定值；
④為中點(diǎn)，過點(diǎn)，且與平面平行的正方體的截面面積為；
以上命題為真命題的個(gè)數(shù)為（???????）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】因?yàn)檎襟w內(nèi)切球的表面積為，
設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則，解得，
所以正方體的棱長(zhǎng)為，

因?yàn)?，且?br /> 所以面，因?yàn)槊妫?br /> 所以恒成立，故①是真命題；

由圖可知，直線與是異面直線，故②是假命題；

由圖可知：因?yàn)?，三棱錐體積等于三棱錐的體積，
由①知，面，所以點(diǎn)到面的距離為，
因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到直線的距離等于1，
所以的面積等于，
所以，故棱錐體積為定值，故③是真命題；

取中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，連接，
因?yàn)?，所以面面?br /> 所以過點(diǎn)，且與平面平行的正方體的截面為面，
由圖可知面是菱形，其中對(duì)角線長(zhǎng)為，
所以，故④是真命題；真命題的個(gè)數(shù)有3個(gè)，
故選：B；
例17．（2022·江西南昌·三模（理））已知長(zhǎng)方體中，，，，為矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)二面角為，直線與平面所成的角為，若，則三棱錐體積的最小值是（???????）
A． B． C． D．
【解析】如圖，作平面，垂足為，再作，垂足為，
連接，由題意可知，，所以，
由拋物線定義可知，的軌跡為拋物線一部分，所以的軌跡為拋物線一部分，
當(dāng)點(diǎn)到線段距離最短時(shí)，三角形面積最小，三棱錐體積最小，
建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則直線的方程為，
拋物線的方程為，，
由題意，，得，代入，得，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以到直線的最短距離為
，因?yàn)椋?br /> 所以，
所以三棱錐體積的最小值為．
故選：C


例18．（2022·浙江·高三階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，，為的中點(diǎn)．過作截面將此四棱錐分成上?下兩部分，記上?下兩部分的體積分別為，，則的最小值為（???????）

A． B． C． D．
【解析】

過作平面的垂線，垂足為，連，設(shè)的交點(diǎn)為，在中過作直線交于兩點(diǎn)，由相交直線確定平面，則四邊形為過的截面．由計(jì)算可得，得為正三角形，，所以為的重心，設(shè)，由向量運(yùn)算可得，又，可得，所以，由三點(diǎn)共線，得，即，易得到平面的距離為，到平面的距離為1，因?yàn)?，所以，，得，，由，，得，?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，所以，即的最小值為．
故選：A．
例19．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高二期中（理））已知四面體的所有棱長(zhǎng)均為，分別為棱的中點(diǎn)，為棱上異于的動(dòng)點(diǎn)．有下列結(jié)論：
①線段的長(zhǎng)度為；②點(diǎn)到面的距離范圍為；
③周長(zhǎng)的最小值為；④的余弦值的取值范圍為．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（???????）
A． B． C． D．
【解析】四面體所有棱長(zhǎng)均為，四面體為正四面體；
對(duì)于①，作平面，垂足為，
四面體為正四面體，為的中心，且；
取中點(diǎn)，連接，則，且平面；

，，；
平面，平面，，，①正確；
對(duì)于②，在上取點(diǎn)，使得，則，，
則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，，，
設(shè)，，
，，，，，
，，
設(shè)平面的法向量，
則，令，解得：，，
，
點(diǎn)到平面的距離，
令，則，，
，，即點(diǎn)到平面的距離的取值范圍為，②正確；
對(duì)于③，將等邊三角形與沿展開，可得展開圖如下圖所示，

則（當(dāng)且僅當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)取等號(hào)），
四邊形為菱形，分別為中點(diǎn)，，
，
則在四面體中，周長(zhǎng)的最小值為，③正確；
對(duì)于④，設(shè)為中點(diǎn)，若點(diǎn)在線段上，設(shè)，則，其中，

在中，；
在中，同理可得：，
；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，，
，；
的取值范圍為；
同理可得：當(dāng)在線段上時(shí)，的取值范圍為；
綜上所述：的余弦值的取值范圍為，④正確．
故選：D．
例20．（2022·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）如圖，在正方體中，，，分別為，的中點(diǎn)，，分別為棱，上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積（???????）

A．存在最大值，最大值為 B．存在最小值，最小值為
C．為定值 D．不確定，與，的位置有關(guān)
【解析】如下圖，連接，在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，可得，，所以當(dāng)在棱移動(dòng)時(shí)，到平面的距離為定值，當(dāng)在棱移動(dòng)時(shí)，到的距離為定值，所以為定值，則三棱錐的體積為定值．平面即平面，作，由于，可得平面MABN，由，可得，而，．
故選：C．

例21．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知某正四棱錐的體積是，該幾何體的表面積最小值是，我們?cè)诶L畫該表面積最小的幾何體的直觀圖時(shí)所畫的底面積大小是，則和的值分別是（???????）
A．3； B．4； C．4； D．3；
【解析】如圖，O為底面ABCD的中心，E為BC的中點(diǎn)，連接PO，OE，

設(shè)該正四棱錐底面邊長(zhǎng)為，高為，且，由題意，．
易有，，則，
所以，，將代入并化簡(jiǎn)得：，
于是，

．
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”．
易知，此時(shí)底面ABCD直觀圖的面積．
故選：C．
例22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知棱長(zhǎng)為的正方體，棱中點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)、、分別滿足：點(diǎn)到異面直線、的距離相等，點(diǎn)使得異面直線、所成角正弦值為定值，點(diǎn)使得．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)、兩點(diǎn)恰好在正方體側(cè)面內(nèi)時(shí)，則多面體體積最小值為（???????）

A． B． C． D．
【解析】由題意都在平面內(nèi)，其中為定點(diǎn)．
點(diǎn)到異面直線、的距離相等，
在正方體中，平面，故連接，有，所以為點(diǎn)到直線的距離．
所以在平面上，點(diǎn)滿足到點(diǎn)的距離等于到直線的距離．
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是為以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線在正方體側(cè)面內(nèi)的部分．
由，所以異面直線、所成角為（或其補(bǔ)角）
在正方體中，平面，又平面，所以
所以，又
所以，則
所以，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡是為以為圓心，為半徑的圓．
在四邊形中，，又

在平面內(nèi)，取的中點(diǎn)，連接，以為軸，為軸
則直線的方程為：，即，
則點(diǎn)到直線的距離的最值為：
所以的最小值為．
動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：，設(shè)
所以點(diǎn)到直線的距離（當(dāng)時(shí)取得等號(hào)）
所以面積最小值

所以四邊形面積

點(diǎn)滿足，又．
所以點(diǎn)在以為弦的劣弧上，由，則圓心角為．其半徑為2，圓心到的距離為．
所以圓弧上的點(diǎn)到的距離的最大值為．
當(dāng)劣弧所在的平面垂直于平面時(shí)，圓弧上的點(diǎn)到平面的距離最小值為
所以動(dòng)點(diǎn)到面距離最小值為，
所以多面體體積最小值為
故選：A
例23．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是對(duì)角線上的點(diǎn)（點(diǎn)與不重合），有以下四個(gè)結(jié)論：

①存在點(diǎn)，使得平面平面；
②存在點(diǎn)，使得平面；
③若的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，則L的最小值為；
④若的面積為，則．
則正確的結(jié)論為（???????）
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②④
【解析】

連接，設(shè)平面與體對(duì)角線交于點(diǎn)，
由，，，
平面，即平面，
平面，平面平面，
存在點(diǎn)，使得平面平面，故①對(duì)；

由，平面，平面，
所以平面，同理由可得平面，
又，所以平面平面，
設(shè)平面與交于點(diǎn)M，則平面，
所以平面，故②對(duì)；
將平面與平面展開到同一平面，如圖所示


則，
所以的周長(zhǎng)為L(zhǎng)的最小值為，故③對(duì)；
連接交于點(diǎn)O，過O作，


在正方體中，平面，
平面，，
由，
則，即，
此時(shí)面積為，
故④錯(cuò)；
故選：B．
例24．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（文））已知四面體的所有棱長(zhǎng)均為，、分別為棱、的中點(diǎn)，為棱上異于、的動(dòng)點(diǎn)．有下列結(jié)論：
①線段的長(zhǎng)度為；
②存在點(diǎn)，滿足平面；
③的余弦值的取值范圍為；
④周長(zhǎng)的最小值為．
其中所有正確結(jié)論的編號(hào)為（???????）
A．①③ B．①④ C．①②④ D．②③④
【解析】對(duì)于①，取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接、，
，為的中點(diǎn)，則，同理可得，
，平面，平面，，
、分別為、的中點(diǎn)，則且，
同理可知，且，
，由勾股定理可得，①正確；
對(duì)于②，假設(shè)平面，由于平面，則．
事實(shí)上，由①可知，且是以為直角的等腰直角三角形，
所以，與所成的角為，故假設(shè)不成立，即與平面不垂直，②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，取線段的中點(diǎn)，則，設(shè)，則．
當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，
則；
當(dāng)點(diǎn)在線段上（不包括端點(diǎn)、）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則，，，
由余弦定理可得
，
同理可得．


，則，
由余弦定理可得
；
當(dāng)點(diǎn)在線段上（不包括端點(diǎn)、）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，同理可知．
綜上所述，的余弦值的取值范圍是，③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，將側(cè)面和側(cè)面延展為同一平面，如下圖所示：

當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，
如上圖所示，由于四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，則且，
、分別為、的中點(diǎn)，則且，
所以，四邊形為平行四邊形，則，
即的最小值為，
所以，在正四面體中，的周長(zhǎng)為最小值為，④正確．
故選：B．
例25．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為的正方體中，是線段上的點(diǎn)，過的平面與直線垂直，當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面截正方體所得的截面面積的最小值是（???????）
A． B． C． D．
【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，


則、、、、、、、，
設(shè)點(diǎn)，其中．
①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，，，
所以，，，則，，
，平面，此時(shí)平面即為平面，
截面面積為；
②當(dāng)時(shí)，同①可知截面面積為；
③當(dāng)時(shí)，，，
，，則，
設(shè)平面交棱于點(diǎn)，，
，可得，不合乎題意．
設(shè)平面交棱于點(diǎn)，，
，可得，合乎題意，即，
同理可知，平面交棱于點(diǎn)，
，且與不重合，故四邊形為平行四邊形，
，，，
則，
所以，截面面積為．
綜上所述，截面面積的最小值為．
故選：C．
例26．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（文））如圖，正方形的中心為正方形的中心，，截去如圖所示的陰影部分后，翻折得到正四棱錐（，，，四點(diǎn)重合于點(diǎn)），則此四棱錐的體積的最大值為（???????）

A． B． C． D．
【解析】設(shè)，則所得的棱錐側(cè)面的高為，
棱錐的高為其體積為：

，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
即體積的最大值為，
故選：B．
例27．（2022·青?！ご笸ɑ刈逋磷遄灾慰h教學(xué)研究室二模（理））在棱長(zhǎng)為3的正方體中，P為內(nèi)一點(diǎn)，若的面積為，則四面體體積的最大值為（???????）
A． B．
C． D．
【解析】設(shè)與平面相交于點(diǎn)，連接交于，連接，則交于點(diǎn)，
因?yàn)槠矫?，平面?br /> 所以，
因?yàn)椋?br /> 所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br /> 所以，
同理可證得，
因?yàn)?br /> 所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br /> 所以是的高，
因?yàn)?，?br /> 所以，
所以點(diǎn)P的軌跡是以為原點(diǎn)，1為半徑的圓，
因?yàn)槠矫?，所以平面?br /> 所以平面，
所以，
因?yàn)闉槌?shù)，所以當(dāng)最大時(shí)，取得最大值，
在中，設(shè)到的距離為，
所以，
所以只要求出的最大值，就取得最大值，
在四邊形中，如下圖，

，，
所以，
所以，
，
在等邊三角形中，如下圖，
在高上，，
所以，
所以到的距離是到距離的，
因?yàn)榈骄嚯x為，所以到的距離，
所以的最大值為，
所以四面體體積的最大值為，
故選：D

例28．（2022·四川省宜賓市第四中學(xué)校三模（理））函數(shù)，設(shè)球O的半徑為，則（???????）
A．球O的表面積隨x增大而增大 B．球O的體積隨x增大而減小
C．球O的表面積最小值為 D．球O的體積最大值為
【解析】令，則，
故函數(shù)，，
即為單調(diào)增函數(shù)，
而在上遞增，在上遞減，
故在上遞增，在上遞減，
又在上遞增，在上遞減，
且是正值，也是正值，
故在上遞增，在上遞減，
即球O的半徑在上遞增，在上遞減，
故A，B錯(cuò)誤；
由以上分析可知當(dāng)時(shí)，球O的半徑取到最大值為，
故球O的表面積最大值為，無最小值，故C錯(cuò)誤；
同時(shí)球O的體積最大值為，故D正確；
故選：D
題型四：立體幾何中的交線問題
例29．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知正方體的棱長(zhǎng)為，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面中，，點(diǎn)在線段上，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（???????）

①點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為；
②線段的軌跡與平面的交線為圓??；
③的最小值為；
④過、、作正方體的截面，則該截面的周長(zhǎng)為
A． B． C． D．
【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，則點(diǎn)的軌跡是平面上以為圓心，以2為半徑的圓，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故①錯(cuò)誤；
連接，易知線段的軌跡是圓錐的側(cè)面，而平面與軸不垂直，所以線段的軌跡與平面的交線不是圓弧，故②錯(cuò)誤；
以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以水平向右、垂直平分為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，則所在的直線方程為，則點(diǎn)到直線的距離為，所以的最小值為，故③正確；
如下圖，過作正方體的截面，為五邊形，其中為的靠近的三等分點(diǎn)，為的靠近的四等分點(diǎn)．
可計(jì)算得，
，
所以該截面的周長(zhǎng)為，故④錯(cuò)誤．

故選：D．
例30．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在正四棱錐中，已知，為底面的中心，以點(diǎn)為球心作一個(gè)半徑為的球，則該球的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)度為（?????）
A． B． C． D．
【解析】如圖，取CD的中點(diǎn)為E，則有，，
，可得，，故，
為正三角形，球心O在平面PCD上的投影M即為的中心，
，球的半徑，
在中，則截面圓半徑，
在正三角形中，以點(diǎn)M為圓心，作半徑為的圓，圓與三角形截得的三部分，
圓心角都為，故該球的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)度為截面圓周長(zhǎng)的，
即為．
故選：A．

例31．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正四面體的中心與球心O重合，正四面體的棱長(zhǎng)為，球的半徑為，則正四面體表面與球面的交線的總長(zhǎng)度為
A． B． C． D．
【解析】考查正四面體的一個(gè)平面與球相交的截面如圖所示，

由題意結(jié)合幾何關(guān)系可知：，
球心到截面的距離：，
則，，
據(jù)此可得截面對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)為：，
則四面體的一個(gè)面截球面的弧長(zhǎng)為：，
則正四面體表面與球面的交線的總長(zhǎng)度為．
故選A．
例32．（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，△ABC為等腰直角三角形，斜邊上的中線AD＝3，E為線段BD中點(diǎn)，將△ABC沿AD折成大小為的二面角，連接BC，形成四面體C－ABD，若P是該四面體表面或內(nèi)部一點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（???????）

A．點(diǎn)P落在三棱錐E－ABC內(nèi)部的概率為
B．若直線PE與平面ABC沒有交點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡與平面ADC的交線長(zhǎng)度為
C．若點(diǎn)在平面上，且滿足PA＝2PD，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為
D．若點(diǎn)在平面上，且滿足PA＝2PD，則線段長(zhǎng)度為定值
【解析】如圖所示，由題意可知底面BCD，

由于E為線段BD中點(diǎn)，
故，
故P落在三棱錐內(nèi)部的概率為，故A正確；
若直線PE與平面ABC沒有交點(diǎn)，則P點(diǎn)在過點(diǎn)E和平面ABC平行的平面上，
如圖所示，設(shè)CD的中點(diǎn)為F，AD的中點(diǎn)為G，連接EF，F(xiàn)G，EG，
則平面EFG平面ABC，

則點(diǎn)P的軌跡與平面ADC的交線即為GF，
由于△ABC為等腰直角三角形，斜邊上的中線AD=3，故，
則，故B正確；
若點(diǎn)P在平面ACD上，且滿足，以D為原點(diǎn)，DC，DA為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，

則，設(shè)，則，
即，故P點(diǎn)在平面ADC上的軌跡即為該圓被平面ADC截得的圓?。ㄈ鐖D示），由可得，則，
則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為，故C正確；
由題意可知，故平面ADC，
故，由于P在圓弧上，圓心為M，
故PD的長(zhǎng)不是定值，如上圖，當(dāng)位于N點(diǎn)時(shí)，，
當(dāng)位于T點(diǎn)時(shí)，，故線段PB長(zhǎng)度不是定值，D錯(cuò)誤，
故選：D
例33．（2022·江蘇徐州·高二期中）如圖1，在正方形中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），將沿翻折，使得二面角為直二面角，得到圖2所示的四棱錐，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則在四棱錐中，下列說法正確的是（???????）

A．???四點(diǎn)一定共面
B．存在點(diǎn)，使得平面
C．側(cè)面與側(cè)面的交線與直線相交
D．三棱錐的體積為定值
【解析】A．假設(shè)???四點(diǎn)共面，則直線EC與BF共面，若EC與BF平行，又EC與AD平行，則AD與BF平行，這與AD與BF相交矛盾；若EC與BF相交，設(shè)交點(diǎn)為Q，則Q即在平面BAD內(nèi)，又在平面AECD內(nèi)，則點(diǎn)Q在交線AD上，這與EC與AD平行矛盾，所以假設(shè)不成立，所以B、E、C、F不共面，故錯(cuò)誤；
B．如圖所示：

在AD上取點(diǎn)G，使得AG=EC，當(dāng)時(shí)，，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，所以平面平面，則平面，故存在點(diǎn)，使得平面，故正確；
C．設(shè)側(cè)面與側(cè)面的交線為l，因?yàn)?，且面，面，所以面，則，所以，故錯(cuò)誤；
D．因?yàn)槎娼菫橹倍娼?，?dāng)點(diǎn)E移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)B到AE的距離即三棱錐的高變化，而是定值，故三棱錐的體積不是定值，故錯(cuò)誤；
故選：B
例34．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））已知正方體的棱長(zhǎng)是2，E，F(xiàn)分別是棱和的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方形（包括邊界）內(nèi)，當(dāng)平面時(shí)，長(zhǎng)度的最大值為a．以A為球心，a為半徑的球面與底面的交線長(zhǎng)為（???????）
A． B． C． D．
【解析】如圖所示：

分別取的中點(diǎn)M，N，連接MN，AM，AN，
所以，又平面，平面，
所以平面，
同理平面，又，
所以平面AMN平面，
因?yàn)辄c(diǎn)P在正方形（包括邊界）內(nèi)，且平面，
所以點(diǎn)P的軌跡是線段MN，
所以長(zhǎng)度的最大值為，
在平面內(nèi)取一點(diǎn)P，使得，則，
所以以A為球心，為半徑的球面與底面的交線為
以為圓心，以1為半徑的圓弧RPQ，
其長(zhǎng)度為，
故選：A
例35．（2022·湖南·臨澧縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知正四棱柱中，，為的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，平面過，，三點(diǎn)，則（???????）
A．平面平面
B．平面與正四棱柱表面的交線圍成的圖形一定是四邊形
C．當(dāng)與A重合時(shí)，截此四棱柱的外接球所得的截面面積為
D．存在點(diǎn)，使得與平面所成角的大小為
【解析】因?yàn)?，為的中點(diǎn)，底面ABCD為正方形，
所以，又因?yàn)槠矫?，平面?br /> 所以，
因?yàn)椋?br /> 所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br /> 所以平面平面，即A正確；

當(dāng)時(shí)，畫出平面與正四棱柱表面的交線圍成的圖形如下圖：
其中F在線段上，G在上，BP∥EG，BE∥PF，

可知交線圍成的圖形為五邊形，即B錯(cuò)誤；
如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB所在直線為，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
，，，，
設(shè)平面ABEF的法向量為，
則有，令，則，
則
球心到平面的距離，
此正四棱柱的外接球半徑為，
所以截面半徑，則截面積，

即C正確；
設(shè)，，
則平面的法向量為，則，
令，則，所以，
設(shè)與平面所成角為，
則，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以，

所以不存在點(diǎn)，使得與平面所成角的大小為，即D錯(cuò)誤．
故選：AC
例36．（2022·江蘇·南京師大附中模擬預(yù)測(cè)）如圖，圓柱的底面半徑和高均為1，線段是圓柱下底面的直徑，點(diǎn)是下底面的圓心．線段是圓柱的一條母線，且．已知平面經(jīng)過，，三點(diǎn)，將平面截這個(gè)圓柱所得到的較小部分稱為“馬蹄體”．記平面與圓柱側(cè)面的交線為曲線．則（???????）

A．曲線是橢圓的一部分 B．曲線是拋物線的一部分
C．二面角的大小為 D．馬蹄體的體積為滿足
【解析】


將相同的圓柱按如圖方式拼接在一起，將兩個(gè)球放入圓柱內(nèi)，使每一個(gè)球既與圓柱相切，又與曲線C所在平面相切，球與曲線C的切點(diǎn)為，取曲線C上一點(diǎn)，過點(diǎn)的圓柱母線與兩球交于兩點(diǎn)，由于同是下面球的切線，同是上面球的切線，可得，，則，由橢圓定義知：曲線是橢圓的一部分，A正確；B錯(cuò)誤；連接，由，，知面，故，則為二面角的平面角，又，則，C正確；由補(bǔ)成的幾何體知馬蹄體的體積為為圓柱體的，即為，D錯(cuò)誤．
故選：AC．
例37．（2022·江蘇·南京外國(guó)語學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD-A1B1C1D1邊長(zhǎng)為1，P是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是（???????）

A．BP的最小值為
B． 的最小值為
C．當(dāng)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐 的體積不變
D．以點(diǎn)B為球心，為半徑的球面與面 的交線長(zhǎng)為
【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，BP最小，由于到直線的距離對(duì)．
對(duì)于B，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建系，以分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，設(shè)，

，
表示平面上之間的距離，
表示平面上之間的距離，
錯(cuò)；
對(duì)于C，，平面，
平面到平面的距離為定值，
為定值，則為定值，對(duì)．
對(duì)于D，由于平面，設(shè)與平面交于點(diǎn)，
，設(shè)以為球心，為半徑的球與面交線上任一點(diǎn)為，在以為圓心，為半徑的圓上，由于為正三角形，邊長(zhǎng)為，其內(nèi)切圓半徑為，
故此圓恰好為的內(nèi)切圓，完全落在面內(nèi)，
交線長(zhǎng)為正確．
故選：ACD
例38．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正四棱柱的底面邊為1，側(cè)棱長(zhǎng)為a，M是的中點(diǎn)，則（???????）
A．任意，
B．存在，直線與直線BM相交
C．平面與底面交線長(zhǎng)為定值
D．當(dāng)時(shí)，三棱錐外接球表面積為
【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，，，，，平面，
∴平面，平面，∴，A對(duì)；
對(duì)于選項(xiàng)B，平面，平面，∴平面
∴與異面不相交，B錯(cuò)；
對(duì)于選項(xiàng)C，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，為中點(diǎn)，，

∴，∴，，∴，
平面平面，平面與底面交線為，
其中P為中點(diǎn)，，C對(duì)；
對(duì)于選項(xiàng)D，，是直角三角形，外接圓是以為直徑的圓，
半徑，此時(shí)三棱錐外接球的半徑，
可知外接球表面積應(yīng)大于等于，可知D錯(cuò)；
故選：AC．
題型五：空間線段以及線段之和最值問題
例39．（2022·山東·高一階段練習(xí)）已知三棱錐三條側(cè)棱，，兩兩互相垂直，且，?分別為該三棱錐的內(nèi)切球和外接球上的動(dòng)點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度的最小值為（???????）
A． B． C． D．
【解析】由已知將該三棱錐補(bǔ)成正方體，如圖所示．
設(shè)三棱錐內(nèi)切球球心為，外接球球心為，內(nèi)切球與平面的切點(diǎn)為，
易知：三點(diǎn)均在上，且平面，
設(shè)內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，則．

由等體積法：，得，
由等體積法：，得，
將幾何體沿截面切開，得到如下截面圖：大圓為外接球最大截面，小圓為內(nèi)切球最大截面，

∴兩點(diǎn)間距離的最小值為．
故選：B．
例40．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為，外接球表面積為，，點(diǎn)M，N分別是線段AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是線段SN和平面SCM上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（???????）
A． B． C． D．
【解析】依題意，，解得，
由是正三角形可知：其外接圓半徑為，
設(shè)點(diǎn)S到平面ABC的距離為h，故，
解得或，
則或（舍去），
故，則，而，故為等腰直角三角形，，
故為等腰直角三角形，，則，
又，故平面SCM，
取CB中點(diǎn)F，連接NF交CM于點(diǎn)O，則，則平面SCM，

故平面SCM，則，
要求最小，首先需PQ最小，此時(shí)可得平面SCM，則；
再把平面SON繞SN旋轉(zhuǎn)，與平面SNA共面，即圖中位置，
當(dāng)共線且時(shí)，的最小值即為的長(zhǎng)，
由為等腰直角三角形，
故，，
∴，即，∴，
可得，，
故選：B．
例41．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為3的正方體中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)在平面內(nèi)，則的最小值為（???????）
A． B． C． D．
【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸的正方向，
建立空間直角坐標(biāo)系，則，
因?yàn)?，且，則平面，
所以，同理得平面，所以，
而，所以平面，
記與平面交于點(diǎn)，連接，且，
則，易得，
從而得點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為，
所以的最小值為．
故選：B．

例42．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（???????）

A． B． C． D．3
【解析】連接，得，以所在直線為軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到平面，


設(shè)點(diǎn)的新位置為，連接，則有．
當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，則即為的最小值．
在三角形ABC中，，，由余弦定理得：，所以，即
在三角形中，，，由勾股定理可得：，且．
同理可求：
因?yàn)?，所以為等邊三角形，所以?br /> 所以在三角形中，，，
由余弦定理得：．
故選B．
例43．（2022·湖北·高一階段練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E為線段的中點(diǎn)，，其中，則下列選項(xiàng)正確的是（???????）
A．時(shí)， B．時(shí)，的最小值為
C．時(shí)，直線與面的交點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為 D．時(shí)，正方體被平面截的圖形最大面積是
【解析】取AD中點(diǎn)F，BC的中點(diǎn)G，連接，，，則，
因?yàn)?，?br /> 所以，即點(diǎn)在線段上，
因?yàn)镋為線段的中點(diǎn)，則，故，
所以，由于，
所以，
又⊥平面，平面，
所以⊥，
因?yàn)?，所以平面?br /> 因?yàn)槠矫妫?br /> 所以，A正確；

B選項(xiàng)，在AB上取點(diǎn)H，使得，在DC上取點(diǎn)K，
使得，
因?yàn)?，?br /> 所以點(diǎn)P在線段HK上，
將平面與平面沿著HK展開到同一平面內(nèi)，如圖1，
連接交HK于點(diǎn)P，即三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，
其中由勾股定理得：，所以，
所以，故B正確；


C選項(xiàng)，，，時(shí)，
由向量共線定理的推論可得：P點(diǎn)在線段BD上，
連接，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，連接MN，
則線段MN即為直線與面的交點(diǎn)軌跡，
其中三角形是等邊三角形，，
由三角形相似可知：，而，所以，
同理可得：，所以三角形是等邊三角形，所以，
直線與面的交點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為，C錯(cuò)誤；

由C選項(xiàng)的分析可知，：P點(diǎn)在線段BD上，
連接AC，BD相交于點(diǎn)Z，當(dāng)P位于線段DZ上時(shí)，連接AP并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)Q，
連接，則平面截正方體所得圖形為三角形，
則當(dāng)與重合時(shí)，Q與C重合，此時(shí)截面三角形面積最大，
面積為；
當(dāng)P位于線段BZ上時(shí)，如圖3，連接AP并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)W，
過點(diǎn)W做WR∥交于點(diǎn)R，連接，
則四邊形即為平面截正方體所得的截面，
設(shè)，則由平行性質(zhì)可知：，
則，所以四邊形為等腰梯形，
其中，設(shè)梯形的高為h，則，
則截面面積為，
如圖4所示，直角三角形，直角邊，
在上取一點(diǎn)，連接，
則三角形的面積即為，
顯然當(dāng)時(shí)，面積取得最大值，最大面積為，
因?yàn)?，所以時(shí)，正方體被平面截的圖形最大面積是，D正確．．



故選：ABD
例44．（2022·湖南岳陽·三模）如圖，在直棱柱中，各棱長(zhǎng)均為2，，則下列說法正確的是（???????）

A．三棱錐外接球的體積為
B．異面直線與所成角的正弦值為
C．當(dāng)點(diǎn)M在棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，最小值為
D．N是所在平面上一動(dòng)點(diǎn)，若N到直線與的距離相等，則N的軌跡為拋物線
【解析】因?yàn)樵谥崩庵?，各棱長(zhǎng)均為2，，
所以△ABC為等邊三角形，
設(shè)三棱錐外接球球心為O，則O在底面ABC的投影為△ABC的中心H，
設(shè)△ABC外接圓半徑為R，由正弦定理得：，
所以△ABC外接圓半徑為，
設(shè)三棱錐外接球的半徑為r，則，
故三棱錐外接球的體積為，A正確；
連接，，則，且從圖中可以看出為銳角，所以異面直線與所成角即為，
由勾股定理得：，
由余弦定理得：，
故在△中，由余弦定理得：，
所以，B錯(cuò)誤；

將平面與平面沿著公共邊折疊到同一平面內(nèi)，如圖

連接，與的交點(diǎn)即為取得最小值的M，此時(shí)的長(zhǎng)度即為最小值，
其中，，
由勾股定理得：，C正確；
因?yàn)槠矫鍭BCD，故點(diǎn)N到直線的距離即為的長(zhǎng)，
又因?yàn)槠矫鍭BCD，
故在平面ABCD上，到一點(diǎn)N的距離等于到直線BC的距離，
由拋物線的定義可知：N的軌跡為拋物線，D正確．
故選：ACD
例45．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)滿足，，，則以下說法正確的是（???????）
A．當(dāng)時(shí)，平面
B．當(dāng)時(shí)，存在唯一點(diǎn)使得與直線的夾角為
C．當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度的最小值為
D．當(dāng)時(shí)，與平面所成的角不可能為
【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)在線段上，利用正方體的性質(zhì)，易證平面平面，平面，平面，故A正確；

對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，設(shè)的中點(diǎn)為H，則，即，即點(diǎn)為中點(diǎn)，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，可知三點(diǎn)共線，線段在中，當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，最小，此時(shí)，，故長(zhǎng)度的最小值為，故C正確；

對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，可知三點(diǎn)共線，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為Q在線段上，則為與平面所成的角，，又，所以，而，所以與平面所成的角不可能為，故D正確；

故選：ACD
例46．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)M是棱長(zhǎng)為1的正方體中的側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包含邊界），則下列結(jié)論正確的是（???????）

A．存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)M滿足
B．當(dāng)點(diǎn)M在棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值為
C．在線段上存在點(diǎn)M，使異面直線與所成的角是
D．滿足的點(diǎn)M的軌跡是一段圓弧
【解析】對(duì)A，若M在上，此時(shí)必有，證明如下：平面，
所以，又，所以平面，
所以，所以A正確；
對(duì)B，如圖

，旋轉(zhuǎn)面使之與面共面，
連接交于，此時(shí)最短為，大小為，故B錯(cuò)誤，
對(duì)C，

當(dāng)在和交點(diǎn)處時(shí)，
此時(shí)直線與所成的角即直線與所成角，
此時(shí)此異面直線所成最小，其正切值為，
即最小角大于，故不存在，即C錯(cuò)誤，
對(duì)D，在面上建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)，設(shè)，
由整理可得：，
根據(jù)解析式可得M的軌跡是圓的一部分，故D正確，
故選：AD．
例47．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）如圖，斜三棱柱中，底面是正三角形，分別是側(cè)棱上的點(diǎn)，且，設(shè)直線與平面所成的角分別為，平面與底面所成的銳二面角為，則（???????）

A．
B．
C．
D．
【解析】

如圖：延長(zhǎng)EF，AB交于M，延長(zhǎng)EG，AC交于N，延長(zhǎng)FG，BC交于D，易得MN為平面ABC和平面EFG的交線，
又D在平面ABC和平面EFG上，則D在直線MN上，即M，N，D三點(diǎn)共線，由外角定理可得．
過A作面EFG，垂足為P，過A作，垂足為Q，連接，易得即為直線與平面所成的角，
則，又面EFG，面EFG，則，又，面，，
所以面，面，則，則即為平面與底面所成的銳二面角，則，
又，則，同理可得，則，
又由，
，
則，
故，A，C錯(cuò)誤；
故，由可知，所以，
即，整理可得，
即，即，
故，又，故，B正確，D錯(cuò)誤．
故選：B．
例48．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，頂點(diǎn)P在底面的射影為的垂心O（O在內(nèi)部），且PO中點(diǎn)為M，過AM作平行于BC的截面，過BM作平行于AC的截面，記，與底面ABC所成的銳二面角分別為，，若，則下列說法錯(cuò)誤的是（???????）
A．若，則
B．若，則
C．可能值為
D．當(dāng)取值最大時(shí)，
【解析】

如圖所示，連接延長(zhǎng)交與，連接延長(zhǎng)交與，設(shè)平面平面
頂點(diǎn)P在底面的射影為的垂心，平面，平面平面
則有：直線與平行
又，則
平面，則
又
則平面
從而
故為與平面的二面角，即
同理可得：
對(duì)選項(xiàng)A，，又，則有：
可得：與全等，則
又根據(jù)是的垂心，則，
綜上可得：直線垂直并平分線段
可得：，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)選項(xiàng)B，易知有如下角關(guān)系：


又，則有：



可得：
解得：
則，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)選項(xiàng)C，若，則有：
則有：
化簡(jiǎn)后可得：
令，則有：
則有：，此時(shí)方程無解，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)D，設(shè)（），則有：
可化簡(jiǎn)為：
令，則有：
則有：
解得：
故取得最大值時(shí)，，此時(shí)
同理可得：
故，且
則有：，故選項(xiàng)D正確；
故選：C
例49．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在三棱臺(tái)中，底面BCD，，，．若A是BD中點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)面內(nèi)，則直線與AP夾角的正弦值的最小值是（???????）
A． B． C． D．
【解析】如圖，分別取的中點(diǎn)，連接，
取的中點(diǎn)，連接
由三棱臺(tái)的性質(zhì)知，且，
所以四邊形為平行四邊形，
又，，故直線與AP的夾角為直線與AP的夾角，
要使直線與AP夾角的正弦值最小，需點(diǎn)到AP的距離最小，
又點(diǎn)P在側(cè)面內(nèi)，則需點(diǎn)到AP的距離最小，即點(diǎn)到面的距離，
設(shè)點(diǎn)到面的距離為，利用等體積法知
即，即，
在直角中，，，
又在中，，，，
，又
設(shè)直線與AP夾角的最小值為，則
故選：B

例50．（2022·浙江臺(tái)州·高三期末）已知在正方體中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，直線在平面內(nèi)．若二面角的平面角為，則的最小值為（???????）
A．
B．
C．
D．
【解析】連接AE，取AE的中點(diǎn)P，過點(diǎn)P作FG⊥AE交CD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，由勾股定理可知：，，同理，取的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，過點(diǎn)作MN⊥交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，則直線即為直線，此時(shí)，MF⊥CD，NG⊥AB，OP⊥底面ABCD，因?yàn)镕G平面ABCD，所以O(shè)P⊥FG，因?yàn)锳E∩OP=P，所以FG⊥平面AOP，連接OA，OE
，因?yàn)镺A平面AOP，所以O(shè)A⊥FG，因?yàn)镸N∥FG，所以O(shè)A⊥MN，同理可證：OE⊥MN，所以即為二面角的平面角，由對(duì)稱性可知：此角即為二面角的平面角的最大值，且，其中，由勾股定理得：，所以，則

故選：B
例51．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為3，為棱上的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)平面與平面和平面所成的角相等時(shí)，則的最小值為（???????）
A． B． C． D．
【解析】如圖1，為棱上靠近的三等分點(diǎn)，由正方體的對(duì)稱性可知平面與平面和平面所成角相等，取棱AB上靠近B的三等分點(diǎn)E，取棱DC上的三等分點(diǎn)N，M，容易證明：，則共面，即平面與平面和平面所成角相等，于是點(diǎn)P在線段FN上．

如圖2，過點(diǎn)作垂直于FN于，容易知道當(dāng)P位于時(shí)，最?。?br />
如圖3，由勾股定理可以求得，由等面積法，

．
故選：A．
例52．（2021·浙江·瑞安中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)P是正方體上底面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記面ADP與面BCP所成的銳二面角為，面ABP與面CDP所成的銳二面角為，若，則下列敘述正確的是（???????）
A． B．
C． D．
【解析】

如圖取正方體的下底面的各邊中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，上底面的中心為O，下底面的中心為O'，
ABP，BCP所成的角為α，ABP，CDP所成的角為β，α>β，
等價(jià)于P到HF的距離比到EG的距離大，
所以P在如圖所示的陰影范圍內(nèi)．
在△APC和△BPD中，AC=BD，PQ公用，Q為共同的中點(diǎn)，
∠APC，∠BPD的大小由PQ于AC，BD所成的角大小所決定，
所成角越小，則對(duì)應(yīng)角越大，
顯然PQ與AC和BD所成的角的大小關(guān)系不確定，當(dāng)P在靠近A'時(shí)PQ與直線AC所成的角較小，與直線BD所成的角則接近于90°，此時(shí)∠BPD>∠APC，同樣當(dāng)P接近于D'時(shí)∠APC>∠BPD，故A、B錯(cuò)誤；
∠APD與∠BPD的大小關(guān)系看P實(shí)在EG的左側(cè)還是右側(cè)．
若是在左側(cè)，則∠APD>∠BPC，若是在右側(cè)，則∠APD∠CPD，P在HF上，則∠APB=∠CPD，P在HF的后面，則∠APB

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