?專題19 三角函數(shù)圖象與性質(zhì)
【考點預測】
知識點一：用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖
(1)在正弦函數(shù)，的圖象中，五個關鍵點是：．
(2)在余弦函數(shù)，的圖象中，五個關鍵點是：．
函數(shù)



圖象



定義域



值域



周期性



奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
遞增區(qū)間



遞減區(qū)間


無
對稱中心



對稱軸方程


無
知識點二：正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中)
注：正(余)弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離是；正(余)弦曲線相鄰兩個對稱中心的距離是；
正(余)弦曲線相鄰兩條對稱軸與對稱中心距離；
知識點三：與的圖像與性質(zhì)
（1）最小正周期：.
（2）定義域與值域：，的定義域為R，值域為[-A,A].
（3）最值
假設.
①對于，

②對于，

（4）對稱軸與對稱中心.
假設.
①對于，

②對于，

正、余弦曲線的對稱軸是相應函數(shù)取最大（?。┲档奈恢?正、余弦的對稱中心是相應函數(shù)與軸交點的位置.
（5）單調(diào)性.
假設.
①對于，

②對于，

（6）平移與伸縮
由函數(shù)的圖像變換為函數(shù)的圖像的步驟；
方法一：.先相位變換，后周期變換，再振幅變換，不妨采用諧音記憶：我們“想欺負”（相一期一幅）三角函數(shù)圖像，使之變形.



方法二：.先周期變換，后相位變換，再振幅變換.



注：在進行圖像變換時，提倡先平移后伸縮（先相位后周期，即“想欺負”），但先伸縮后平移（先周期后相位）在題目中也經(jīng)常出現(xiàn)，所以必須熟練掌握，無論哪種變化，切記每一個變換總是對變量而言的，即圖像變換要看“變量”發(fā)生多大變化，而不是“角”變化多少.
【方法技巧與總結(jié)】
關于三角函數(shù)對稱的幾個重要結(jié)論；
（1）函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為；
（2）函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為；
（3）函數(shù)函數(shù)無對稱軸，對稱中心為；
（4）求函數(shù)的對稱軸的方法；令，得；對稱中心的求取方法；令，得，即對稱中心為.
（5）求函數(shù)的對稱軸的方法；令得，即對稱中心為

【題型歸納目錄】
題型一：五點作圖法
題型二：函數(shù)的奇偶性
題型三：函數(shù)的周期性
題型四：函數(shù)的單調(diào)性
題型五：函數(shù)的對稱性（對稱軸、對稱中心）
題型六：函數(shù)的定義域、值域（最值）
題型七：三角函數(shù)性質(zhì)的綜合
題型八：根據(jù)條件確定解析式
方向一：“知圖求式”，即已知三角形函數(shù)的部分圖像，求函數(shù)解析式.
方向二：知性質(zhì)（如奇偶性、單調(diào)性、對稱性、最值），求解函數(shù)解析式（即的值的確定）
題型九：三角函數(shù)圖像變換
【典例例題】
題型一：五點作圖法
例1．（2022·全國·模擬預測）已知函數(shù)，，.若，，且的最小值為，，求解下列問題.
(1)化簡的表達式并求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)請完善表格并利用五點作圖法繪制該函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象，并求在區(qū)間上的最值.



















【答案】(1)，單調(diào)遞增區(qū)間為；
(2)完善表格見解析；圖象見解析；最大值為，最小值為.
【解析】
【分析】
（1）利用最大值點和零點可確定最小正周期，由此可求得；利用可求得，由此可得解析式；令即可求得單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）令，利用五點作圖法即可完善表格并得到圖象，結(jié)合圖象可求得最值.
(1)
若，，即是的最大值點，是的零點，且的最小值為，設的最小正周期為，則，即，解得：.
由可得：，即有，
或，又，，
綜上所述：；
令，解得：，
的單調(diào)遞增區(qū)間為.
(2)
根據(jù)“五點作圖法”的要求先完成表格：令.

0


















由圖可知：當時，取到最大值；當時，取到最小值.
例2．（2022·全國·高三專題練習）把函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象關于直線對稱，記函數(shù).

（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）畫出函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象.
【答案】（1），單調(diào)增區(qū)間是.（2）圖見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換法則以及正弦函數(shù)的對稱性確定的解析式，從而可得的解析式，利用降冪公式與輔助角公式化簡，然后利用正弦函數(shù)的周期公式結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得結(jié)果；（2）利用“五點法”：列表、描點、連線，從而可得結(jié)果.
【詳解】
（1）由題意知，
根據(jù)函數(shù)的圖象關于直線對稱，
得，
即，
又，所以，則，
則
，
則函數(shù)的最小正周期，
令，得，
故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是.
（2）列表如下：
















0

0
1


2
1

1
3
2

故在區(qū)間上的大致圖象是：

【點睛】
三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的熱點之一，經(jīng)常考查定義域、值域、周期性、對稱性、奇偶性、單調(diào)性、最值等，其中公式運用及其變形能力、運算能力、方程思想等可以在這些問題中進行體現(xiàn)，在復習時要注意基礎知識的理解與落實．三角函數(shù)的性質(zhì)由函數(shù)的解析式確定，在解答三角函數(shù)性質(zhì)的綜合試題時要抓住函數(shù)解析式這個關鍵，在函數(shù)解析式較為復雜時要注意使用三角恒等變換公式把函數(shù)解析式化為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后利用正弦（余弦）函數(shù)的性質(zhì)求解
例3．（2022·廣東·佛山市順德區(qū)樂從中學高一期中）設函數(shù)（）的最小正周期為，且
(1)求和的值；
(2)填下表并在給定坐標系中作出函數(shù)在上的圖象；







x















【答案】(1)，；
(2)見解析
【解析】
【分析】
（1）先由最小正周期求出，再由解出即可；
（2）直接填出表格畫出圖像即可.
(1)
由題意知：，解得，又，又，解得.
(2)
由（1）知：，列表如下







x








1
0

0


圖像如圖：
.
【方法技巧與總結(jié)】
(1)在正弦函數(shù)，的圖象中，五個關鍵點是：．
(2)在余弦函數(shù)，的圖象中，五個關鍵點是：．
題型二：函數(shù)的奇偶性
例4．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù),在區(qū)間上的最大值為最小值為則_____.
【答案】
【解析】
【分析】
化簡,可得,令,可得奇函數(shù),結(jié)合已知條件,即可求得答案.
【詳解】


.
令
,且
為奇函數(shù),
設其最大值為,則其最小值為,
∴函數(shù)的最大值為,最小值為
則
.
故答案為:.
【點睛】
本題考查了求函數(shù)在指定區(qū)間上最值問題,解題關鍵是掌誘導公式和奇偶性的判斷方法,考查了分析能力和計算能力,屬于中等題.
例5．（2022·北京市十一學校高三階段練習）若為偶函數(shù)，則___________.（填寫符合要求的一個值）
【答案】，填寫符合Z的一個即可
【解析】
【分析】
把展開化簡，只要能化成的形式即為偶函數(shù).
【詳解】

，只要，就為偶函數(shù)，，
Z，填寫一個即可，如.
故答案為：，填寫符合Z的一個即可.
例6．（2022·四川德陽·三模（理））將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，所得到的圖象對應函數(shù)為奇函數(shù)，則m的最小值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由題可得函數(shù)為奇函數(shù)，進而可得，即得.
【詳解】
由，向左平移個單位，得到的圖象，
∴函數(shù)為奇函數(shù)，
∴
所以，即，
所以的最小值是．
故答案為：.
例7．（2022·貴州貴陽·高三期末（文））將函數(shù)的圖像向右平移個單位，所得函數(shù)圖象關于軸對稱，則正數(shù)的最小值為__________．
【答案】##
【解析】
【分析】
求出f(x)平移后的解析式，根據(jù)它是偶函數(shù)可求的值.
【詳解】
將函數(shù)的圖像向右平移個單位變?yōu)椋?br /> 要使其為偶函數(shù)，則Z，則，
∵，∴當時，為其最小值.
故答案為：.
例8．（2022·上?！つM預測）已知函數(shù)（、為常數(shù)，R）在處取得最小值，則函數(shù)是（???????）
A．偶函數(shù)，且圖象關于點對稱 B．偶函數(shù)，且圖象關于點對稱
C．奇函數(shù)，且圖象關于點對稱 D．奇函數(shù)，且圖象關于點對稱
【答案】D
【解析】
【分析】
由題意先求出的最簡形式，再根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)對選項逐一判斷
【詳解】
，若在處取得最小值，
則，，，
，
可得函數(shù)是奇函數(shù)，且圖象關于點對稱．
故選：D
例9．（2022·安徽淮南·二模（理））對任意的，函數(shù)滿足．若函數(shù)在區(qū)間上既有最大值又有最小值，則函數(shù)的最大值與最小值之和為（???????）
A．0 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
結(jié)合函數(shù)的奇偶性求得正確答案.
【詳解】
依題意對任意的，函數(shù)滿足，
，所以函數(shù)為奇函數(shù)，
，
令（），
，
所以為奇函數(shù)，
所以區(qū)間上的最大值與最小值之和為，
所以，所以函數(shù)的最大值與最小值之和.
故選：C
例10．（2022·山西太原·二模（理））已知函數(shù)，則下列說法正確的是（???????）
A．為奇函數(shù) B．為偶函數(shù)
C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)余弦的二倍角公式以及輔角公式，可得，在分別求出和的解析式，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.
【詳解】
因為
，
所以，
所以，所以為偶函數(shù)，故A錯誤，B正確；
又，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)函數(shù)，故C、D錯誤.
故選：B.

【方法技巧與總結(jié)】
由是奇函數(shù)和是偶函數(shù)可拓展得到關于三角函數(shù)奇偶性的重要結(jié)論：
（1）若為奇函數(shù)，則；
（2）若為偶函數(shù)，則；
（3）若為奇函數(shù)，則；
（4）若為偶函數(shù)，則；
若為奇函數(shù)，則，該函數(shù)不可能為偶函數(shù).
題型三：函數(shù)的周期性
例11．（2022·北京八十中模擬預測）已知函數(shù)與直線的交點中，距離最近的兩點間距離為，那么此函數(shù)的周期是___________.
【答案】且
【解析】
【分析】
利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)確定兩個距離最近且的兩個角，求出，進而求周期.
【詳解】
根據(jù)正弦型函數(shù)的周期性，當，則：
若，最近的另一個值為，
所以，而，可得.
故此函數(shù)的最小正周期是，則函數(shù)的周期為且.
故答案為：且
例12．設函數(shù)，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，所得的圖象與原圖象重合，則的最小值為　?。?br /> 【解答】解：函數(shù)，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，得到的圖象，
由于得到的函數(shù)的圖象與原圖象重合，
故，，
所以，，
當時，的最小值為3．
故答案為：3．
例13．（2022·陜西·模擬預測（文））若，則__________.
【答案】0
【解析】
【分析】
根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷的周期，利用周期性求值即可.
【詳解】
，時，，
，時，，
，時，，
，時，，
，時，，
，時，，
所以，且周期為6，
則.
故答案為：0
例14．（2022·全國·高三專題練習）下列函數(shù)中①；②；③；④，其中是偶函數(shù)，且最小正周期為的函數(shù)的個數(shù)為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由題意利用三角函數(shù)圖象，結(jié)合奇偶性和周期性，即可得出結(jié)果.
【詳解】
解：①的圖象如下，根據(jù)圖象可知，圖象關于軸對稱，是偶函數(shù)，
但不是周期函數(shù)，排除①；

②的圖象如下，根據(jù)圖象可知，圖象關于軸對稱，是偶函數(shù)，
最小正周期是，②正確；

③的圖象如下，根據(jù)圖象可知，圖象關于軸對稱，是偶函數(shù)，
最小正周期為，③正確；

④的圖象如下，根據(jù)圖象可知，圖象關于軸對稱，是偶函數(shù)，最小正周期為，排除④.

故選：B.
例15．（2022·廣東·深圳市光明區(qū)高級中學模擬預測）設函數(shù)，若時，的最小值為，則（???????）
A．函數(shù)的周期為
B．將函數(shù)的圖像向左平移個單位，得到的函數(shù)為奇函數(shù)
C．當，的值域為
D．函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)共有6個
【答案】D
【解析】
【分析】
由條件求出的最小正周期，由此判斷A，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)判斷B，C，D.
【詳解】
由題意，得，所以，則，所以選項A不正確；
對于選項B：將函數(shù)的圖像向左平移個單位，得到的函數(shù)是
為偶函數(shù)，所以選項B錯誤；
對于選項C：當時，則，所以的值域為，選項C不正確；
對于選項D：令，所以當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)共有6個，D正確，
故選：D.
例16．（2022·安徽·高三階段練習（理））設函數(shù)，，其中，.若，，且的最小正周期大于，則（???????）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】
【分析】
由題意求得，再由周期公式求得，再由可得，結(jié)合，求得值，即可得解．
【詳解】
由的最小正周期大于，得，
又，，得，
，則，即,
，
由，得,
，,
取，得,
，,
故選：．
例17．（2022·遼寧實驗中學模擬預測）函數(shù)的最小正周期和最小值分別為（???????）
A．，1 B．， C．，1 D．，1
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)正余弦函數(shù)的性質(zhì)及輔助角公式寫出的分段形式，進而畫出函數(shù)圖象，即可知答案.
【詳解】
由題設，，，
所以的部分圖象如下：

所以最小正周期和最小值分別為，1.
故選：C
例18．（2022·山西臨汾·一模（文））將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到的圖象，若則的最小值為（　　）
A． B． C．π D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)題意求出函數(shù)，由得到分別是函數(shù)的最小值點和最大值點，進而求出答案.
【詳解】
由已知，，而則分別是函數(shù)的最小值點和最大值點，而函數(shù)的周期，則的最小值為.
故選：A.
例19．（2022·山東德州·高三期末）若函數(shù)，，，又，，且的最小值為，則的值為（???????）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，由的最小值為函數(shù)的最小正周期的，可求得函數(shù)的最小正周期，進而可求得正數(shù)的值.
【詳解】
，
所以，
因為的最小值為函數(shù)的最小正周期的，
所以，函數(shù)的最小正周期為，
因此，.
故選：A
例20.（2022·浙江·高三專題練習）已知函數(shù)，將圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖像.若，且，則的最小值為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
應用輔助角公式化簡，再由圖像平移寫出的解析式，結(jié)合已知及正弦型函數(shù)的周期性確定的最小值.
【詳解】
由題設，，故，
要使且，則或，
∴的最小值為1個周期長度，則.
故選：B.
例21．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)，，若在區(qū)間，是單調(diào)函數(shù)，且，則的值為（???????）
A． B．1 C．2或 D．或2
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)在區(qū)間，是單調(diào)函數(shù)，得到 ，再根據(jù)，得到函數(shù)關于對稱和對稱中心為，，然后分與，在同一周期和不同一周期里面相鄰求解.
【詳解】
解：在區(qū)間，是有單調(diào)性，且，
，
；
，
函數(shù)關于對稱，
離最近對稱軸的距離為；
又，
有對稱中心為，；
若與，為不是同一周期里面相鄰的對稱軸與對稱中心．
則，可得，
．
若與，為同一周期里面相鄰的對稱軸與對稱中心．
則，可得，
．
故選：D．
例22．（2022·河南·模擬預測（理））已知函數(shù)在上單調(diào)，且，則的可能取值（???????）
A．只有1個 B．只有2個
C．只有3個 D．有無數(shù)個
【答案】C
【解析】
【分析】
設的最小正周期為T，由函數(shù)在上單調(diào)，判斷出．進而計算出為的一個對稱中心，為的一條對稱軸.結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，分類討論，①，②，③，分別求出的值.
【詳解】
設的最小正周期為T，則由函數(shù)在上單調(diào)，可得，即．
因為，所以.
由在上單調(diào)，且，得的一個零點為，即為的一個對稱中心.
因為，所以為的一條對稱軸.
因為，所以有以下三種情況：
①，則；
②當時，則，符合題意；
③，則，符合題意．
因為，不可能滿足其他情況.
故的可能取值只有3個．
故選：C
【方法技巧與總結(jié)】
關于三角函數(shù)周期的幾個重要結(jié)論：
（1）函數(shù)的周期分別為，.
（2）函數(shù)，的周期均為
（3）函數(shù)的周期均.
題型四：函數(shù)的單調(diào)性
例23．（2021?湖南模擬）函數(shù)，的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)遞增區(qū)間為　　

A．，， B．，，
C．，， D．，，
【解答】解：由圖象知，，，
，，
過點，
，，且，
，
，
當，即時，函數(shù)單調(diào)遞增，
的單調(diào)遞增區(qū)間為，
的單調(diào)遞增區(qū)間為．
故選：．
例24．（2022秋?梁園區(qū)校級期末）已知函數(shù)，，，若的最小值為，且，則的單調(diào)遞減區(qū)間為　　
A． B．
C． D．
【解答】解：函數(shù)，，，
的最小值為，．
，，，
故．
令，求得，
則的單調(diào)遞減區(qū)間為，，，
故選：．
例25．（2022·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模（文））函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（???????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先用三角恒等變換化簡得到，再用整體法求解單調(diào)遞減區(qū)間.
【詳解】
，令解得：Z，故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為
故選：C
例26．（2022·新疆·二模（理））設函數(shù)，其中，，若，，則在上的單調(diào)減區(qū)間是（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)的對稱中心、零點求得，進而求得，結(jié)合三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法求得正確答案.
【詳解】
據(jù)題意可以得出直線和點分別是的圖象的一條對稱軸和一個對稱中心，
所以，
即（），
所以；又由得，
即（），
，所以，所以；
由得的單調(diào)減區(qū)間為（），
所以在上的單調(diào)減區(qū)間是.
故選：C
例27．（2022·內(nèi)蒙古包頭·高三期末（文））下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求單調(diào)區(qū)間，判斷選項
【詳解】
，令
解得
故選：D
例28．（2022·青?！ご笸ɑ刈逋磷遄灾慰h教學研究室三模（文））已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（???????）

A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】
【分析】
先結(jié)合圖像求出，再由余弦函數(shù)的單增區(qū)間求解即可.
【詳解】
由圖象知，，∴，∴，，∴過點，
∴，，且，∴，∴.
令，，即，，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，.
故選：D.
例29．（2022·湖南·長郡中學高三階段練習）下列直線中，函數(shù)的對稱軸是（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)可得對稱軸方程為且，進而判斷各項是否為對稱軸即可.
【詳解】
令且，則對稱軸方程為且，
顯然時對稱軸為，不存在有對稱軸為、、.
故選：B.
例30．（2022·浙江·高三專題練習）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)求使成立的實數(shù)x的取值集合.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）由兩角差的正弦和余弦公式及降冪公式化簡函數(shù)解析式為，解不等式，即可得答案；
（2）利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解不等式即可得答案.
(1)
解：因為
，
由，，解得，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，；
(2)
解：由（1）知，
由，得，
所以，，
所以，，
所以x的取值集合為.
【方法技巧與總結(jié)】
三角函數(shù)的單調(diào)性，需將函數(shù)看成由一次函數(shù)和正弦函數(shù)組成的復合函數(shù)，利用復合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的單調(diào)方法轉(zhuǎn)化為解一元一次不等式.
如函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的確定基本思想是吧看做是一個整體，
如由解出的范圍，所得區(qū)間即為增區(qū)間；
由解出的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間.
若函數(shù)中，可用誘導公式將函數(shù)變?yōu)椋瑒t的增區(qū)間為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間為原函數(shù)的的增區(qū)間.
對于函數(shù)的單調(diào)性的討論與以上類似處理即可.
題型五：函數(shù)的對稱性（對稱軸、對稱中心）
例31．（2022春?河南期末）已知函數(shù)的圖象的一條對稱軸是，則　　
A．1 B． C． D．
【解答】解：函數(shù)的圖象的一條對稱軸是，
故，
整理得：，
所以，
即，
故選：．
例32．（2022·寧夏·固原一中一模（文））將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到圖像，則下列判斷錯誤的是
A．函數(shù)的最小正周期是 B．圖像關于直線對稱
C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．圖像關于點對稱
【答案】C
【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移關系求出的解析式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，對稱性分別進行判斷即可．
【詳解】
由題意，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，
可得，
對于,函數(shù)的最小正周期為，所以該選項是正確的；
對于，令，則為最大值，
函數(shù)圖象關于直線，對稱是正確的；
對于中，，則，，
則函數(shù)在區(qū)間上先減后增，不正確；
對于中，令，則，
圖象關于點對稱是正確的，
故選．
【點睛】
本題主要考查命題的真假判斷，涉及三角函數(shù)的單調(diào)性，對稱性，求出解析式是解決本題的關鍵．
例33．（2022·湖南岳陽·一模）已知函數(shù)，其中，，函數(shù)的周期為，且時，取得極值，則下列說法正確的是（???????）
A． B．
C．函數(shù)在單調(diào)遞增 D．函數(shù)圖象關于點對稱
【答案】D
【解析】
【分析】
利用周期公式可判斷A；利用極值的定義可判斷B；根據(jù)極值的不確定性可對單調(diào)性進行判斷；根據(jù)對稱性可判斷D.
【詳解】
對于A，函數(shù)，其中，，
因為函數(shù)的周期為，所以，故A不正確；
對于B，時，取得極值，
所以為函數(shù)的對稱軸方程，但是不能確定是取得極大值還是極小值，
所以，故B不正確；
對于C，因為不能確定是函數(shù)的極大值還是極小值，
所以無法確定函數(shù)的單調(diào)性，故C不正確；
對于D，因為為函數(shù)的對稱軸方程，
則，
解得，
所以，
所以，
所以函數(shù)圖象關于點對稱，故D正確.
故選：D
例34．（2022·黑龍江·大慶實驗中學模擬預測（文））已知函數(shù)的最小正周期為，將其圖象沿x軸向左平移個單位，所得圖象關于直線對稱，則實數(shù)m的最小值為（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知，先對函數(shù)進行化簡，根據(jù)最小正周期為，求解出，然后根據(jù)題意進行平移變換，得到平移后的解析式，再利用圖象關于直線對稱，建立等量關系即可求解出實數(shù)m最小值.
【詳解】
解：
，
即，由其最小正周期為，即，解得，
所以，
將其圖象沿軸向左平移（）個單位，所得圖象對應函數(shù)為，
其圖象關于對稱，所以，所以 ，
由，實數(shù)的最小值為.
故選：A.
例35．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)藝術高級中學模擬預測）已知直線和是曲線的兩條對稱軸，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的值是（???????）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)兩條對稱軸直線方程和單調(diào)遞減區(qū)間可知為最小值，然后解的值
【詳解】
由在上單調(diào)遞減可知 是最小值
由兩條對稱軸直線和可知也是對稱軸且，為最小值
故
又 ，解得
故選：A
例36．（2022·四川·宜賓市敘州區(qū)第一中學校模擬預測（理））已知，的最大值為，x＝m是的一條對稱軸，則的最小值為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得，進而可得，即得.
【詳解】
∵的最大值為，
∴，又，
∴，
∴，又x＝m是的一條對稱軸，
∴，即，
∴的最小值為.
故選：B.
例37．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預測（理））已知向量，，函數(shù)的圖象關于直線對稱，則實數(shù)m的值為（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標表示得到函數(shù)的表達式，再根據(jù)，賦值，即可求出的值．
【詳解】
，因為函數(shù)的圖象關于直線對稱，所以，令，即，解得：．
故選：C．
例38．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)桂華中學高三階段練習）將函數(shù)（其中）的圖像向右平移個單位長度，所得圖像關于直線對稱，則的最小值是（???????）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由條件根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對稱性可得，，即可求出，由此求得的最小值．
【詳解】
解：將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，
得，
的圖象關于直線對稱，
，，
，，
，的最小值為，
故選：D．
例39．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模（理））將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到的函數(shù)圖象關于直線對稱，則的最小值為（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，求得，結(jié)合，列出三角方程，即可求解.
【詳解】
將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，
可得，
因為的圖象關于直線對稱，，
即，可得，解得，
又因為，所以的最小值為.
故選：A.
例40．（2022·四川·內(nèi)江市教育科學研究所三模（理））若函數(shù)的圖象關于直線對稱，則（???????）
A． B．0 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由題可知為的最大值或最小值，可建立方程求得，進而求得.
【詳解】
由于函數(shù)的圖象關于直線對稱，所以，即，兩邊平方整理得，解得，則.
故選：B.
例41．（2022·四川·內(nèi)江市教育科學研究所三模（文））若函數(shù)的圖象關于直線對稱，則的最大值為（???????）
A． B． C．2 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用輔助角公式得到，再根據(jù)為的對稱軸，即可得到，從而求出的值，即可求出函數(shù)的最大值；
【詳解】
解：因為，所以，其中，；
因為為的對稱軸，，
所以，即，解得，
所以，則；
故選：C
例42．（2022·全國·高三開學考試（文））若函數(shù)對任意的x都有，則等于（???????）
A．3或0 B．或0 C．0 D．或3
【答案】D
【解析】
【分析】
是的一條對稱軸，故而為的最大值或最小值．
【詳解】
任意實數(shù)都有恒成立，
是的一條對稱軸，當時，取得最大值3或最小值．
故選：．
【方法技巧與總結(jié)】
關于三角函數(shù)對稱的幾個重要結(jié)論；
（1）函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為；
（2）函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為；
（3）函數(shù)函數(shù)無對稱軸，對稱中心為；
（4）求函數(shù)的對稱軸的方法；令，得；對稱中心的求取方法；令，得
，即對稱中心為.
（5）求函數(shù)的對稱軸的方法；令得，即對稱中心為
題型六：函數(shù)的定義域、值域（最值）
例43．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)的定義域為（　?。?br /> A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由被開方式非負，解三角不等式可得答案
【詳解】
由題意，得，
則．
故選：B．
例44．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)()的定義域是（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由函數(shù)解析式及x的取值范圍，根據(jù)根式、對數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)，列不等式求定義域即可.
【詳解】
由題意，得，則，即，
∴.
故選：A.
例45．（2022·陜西·西北工業(yè)大學附屬中學模擬預測（理））已知不等式對恒成立，則m的最小值為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
將問題轉(zhuǎn)化為不等式對恒成立，令求解.
【詳解】
解：因為不等式對恒成立，
所以不等式對恒成立，
令，
因為，所以，
則，
所以，
所以，解得，
所以m的最小值為，
故選：D
例46．（2022·河北邯鄲·二模）函數(shù)在上的值域為（???????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)正弦型函數(shù)的圖像和單調(diào)性即可求解.
【詳解】
當時，，當時，即 時，取最大值1，當，即 時，取最小值大于 ，故值域為
故選：C
例47．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的最大值為（???????）
A． B．3
C． D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
令，則，將原函數(shù)變形為，再根據(jù)的取值范圍及二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得；
【詳解】
解：根據(jù)題意，設，
則，
則原函數(shù)可化為，，
所以當時，函數(shù)取最大值.
故選：C.
例48．（2022·北京二中高一階段練習）函數(shù)在上的最小值是______.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)給定條件，利用輔助角公式變形，再在指定區(qū)間上求最小值作答.
【詳解】
函數(shù)，其中銳角由確定，
而，即有，顯然在上單調(diào)遞增，
所以當時，.
故答案為：
例49．（2022·天津·南開中學模擬預測）已知，當時，的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)余弦、正弦的二倍角公式，結(jié)合輔助角公式、正弦型函數(shù)的最值性質(zhì)進行求解即可.
【詳解】
，
當時，，所以，
即，
故答案為：
例50．（2022·廣東·二模）若函數(shù)的最大值為1，則常數(shù)的一個取值為_____．
【答案】（答案不唯一，取，均可）
【解析】
【分析】
依題意，知與同時取到最大值1，進而可得，令可得符合題意的的值．
【詳解】
函數(shù)的最大值為1，
可取與同時取到最大值1，
又時，，
時，也取到1，
，
不妨取，
此時的最大值為1，符合題意，
故常數(shù)的一個取值為，
故答案為：（不唯一）．
例51．（2022·北京·高三專題練習）設當時，函數(shù)取得最大值，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用輔助角公式化簡函數(shù)解析式，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求出θ，于是可求cosθ.
【詳解】
，
則，
則

故答案為：.
例52．（2022·全國·高三專題練習）當時，函數(shù)取得最大值，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用輔助角公式得出，分析可得出，利用誘導公式及兩角和的正切公式可求解.
【詳解】
利用輔助角公式，其中
當時，函數(shù)取得最大值，則，
所以，
所以
又，
所以
故答案為：.
例53．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)的最大值為1，則常數(shù)______．
【答案】或##或
【解析】
【分析】
利用兩角差的正弦公式及輔助角公式將函數(shù)解析式化為的形式，由最大值為1，可建立關于參數(shù)的方程，進而得解.
【詳解】
解：

（其中）
所以函數(shù)的最大值為，即
解得
又因為
所以或.
故答案為：或.
例54．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的最小值為______．
【答案】
【解析】
【分析】
通過換元，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最小值問題.
【詳解】
令，則，所以，
所以當，即時，函數(shù)取最小值.
故答案為：.
例55．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的最大值是__________．
【答案】##-0.25
【解析】
【詳解】
=，
所以當 時，有最大值．
故答案為.
例56．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的最大值為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由題意可得,令,
可得,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求f(x)的最大值．
【詳解】
解:,
令,可得,
當時,y取得最大值為,
故答案為:．
例57．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域 .
【答案】
【解析】
【分析】
運用二倍角公式及平方關系統(tǒng)一函數(shù)名稱與角度，再配方可求解.
【詳解】
因為==
，當時取得最大值，當時取得最小值，又因為， 所以的值域為.
例58．（2022秋?吉安期末）函數(shù)的值域是　　
A．， B． C． D．，
【解答】解：函數(shù)的定義域為，且，
即，所以是偶函數(shù)；
當時，，
所以當時，；
又為定義域上的偶函數(shù)，
所以的值域是，．
故選：．
例59．（2022秋?鏡湖區(qū)校級期末）已知函數(shù)，則的最大值為　　
A． B． C．0 D．1
【解答】解：，
令，，，則，
由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
當時，，時，，
所以函數(shù)的最大值為1．
故選：．
例60．（2022春?朝陽區(qū)校級月考）函數(shù)有最大值2，最小值，則等于　　
A．5 B．6 C．8 D．9
【解答】解：


函數(shù)的最大值為2，最小值為，
，，
．
故選：．
例61．（2022春?廣安期末）設函數(shù)．
①的最小正周期為；
②的最大值為；
③在區(qū)間上單調(diào)遞減；
④，都有成立；
⑤的一個對稱中心為．
其中真命題有 　?。ㄕ?zhí)顚懻婷}的編號）．
【解答】解：，，的最小正周期不是，即①錯；
，
當，即，時，單調(diào)遞增；
當，即，時，單調(diào)遞減；
在區(qū)間上單調(diào)遞減，故③對，
，故②錯；
由單調(diào)性知，不可能是函數(shù)的對稱中心，故⑤錯；
令，則，
故在上為增函數(shù)，
故，即，故④對；
故答案為：③④．
例62．（2018?新課標Ⅰ）已知函數(shù)，則的最小值是　　．
【解答】解：由題意可得是的一個周期，
故只需考慮在，上的值域，
先來求該函數(shù)在，上的極值點，
求導數(shù)可得
，
令可解得或，
可得此時，或；
的最小值只能在點，或和邊界點中取到，
計算可得，，，，
函數(shù)的最小值為，
故答案為：．
例63．求函數(shù)的最大值及最小值．
【解答】解：解析式表示過，的直線的斜率，由幾何意義，即過定點與單位圓相切時的切線斜率為最值，
所以設切線得斜率為，則直線方程為，即，，解得或，
所以函數(shù)的最大值為，最小值為0．
【方法技巧與總結(jié)】
求三角函數(shù)的最值，通常要利用正、余弦函數(shù)的有界性，一般是通過三角變換化歸為下列基本類型處理.
（1），設，化為一次函數(shù)在上的最值求解.
（2），引入輔助角，化為，求解方法同類型（1）
（3），設，化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解，也可以是或型.
（4），設，則，故，故原函數(shù)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解.
（5）與，根據(jù)正弦函數(shù)的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用數(shù)形結(jié)合法求最值.這里需要注意的是化為關于或的函數(shù)求解釋務必注意或的范圍.
（6）導數(shù)法
（7）權方和不等式
題型七：三角函數(shù)性質(zhì)的綜合
例64．（2022·天津·靜海一中高三階段練習）關于函數(shù)，有下列命題：
①函數(shù)是奇函數(shù)；
②函數(shù)的圖象關于直線對稱；
③函數(shù)可以表示為；
④函數(shù)的圖象關于點對稱
其中正確的命題的個數(shù)為（???????）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，對各個選項逐個分析判斷即可得解.
【詳解】
對①，，函數(shù)不是奇函數(shù)，故①錯誤；
對②，由，所以函數(shù)圖象關于直線對稱，故②正確；
對③，，故③正確；
對④，由函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關于點對稱，故④正確，
共有3個正確，
故選：B.
【點睛】
本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，主要考查了三角函數(shù)的對稱性，判斷過程中主要用了代入驗算法，屬于簡單題.
例65．（2022·全國·模擬預測（理））已知函數(shù)，且，則下列說法正確的是（???????）
A．當時，在上單調(diào)遞減 B．當時，在上單調(diào)遞增
C．當時， D．當時，的圖象的對稱軸方程為
【答案】D
【解析】
【分析】
當、和時，可得的最小正周期，由和可確定是的一個對稱軸，由此可構(gòu)造方程求得，驗證可得解析式，由正弦型函數(shù)單調(diào)性和對稱軸的求法可確定ABD正誤；將，代入解析式，驗證可知，知C錯誤.
【詳解】
對于A，當時，的最小正周期，
，，是的一個對稱軸；
即，解得：，又，，
，此時，，滿足題意；
當時，，在上單調(diào)遞增，A錯誤；
對于B，當時，的最小正周期；
，，是的一個對稱軸；
即，解得：，又，，
，此時，，滿足題意；
當時，，在上單調(diào)遞減，B錯誤；
對于C，當，時，，
此時，，即，不合題意，C錯誤；
對于D，當時，的最小正周期，
，，是的一個對稱軸，
即，解得：，又，，
，此時，，，滿足題意；
令，解得：，即的對稱軸方程為，D正確.
故選：D.
例66．（2022·全國·高三專題練習（文））已知函數(shù)，現(xiàn)有如下說法：
①為偶函數(shù)；
②函數(shù)在上單調(diào)遞增；
③，．
則上述說法正確的個數(shù)為（???????）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
對于①，利用奇偶性的定義判斷即可，對于②，先求出函數(shù)的周期，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后由對稱性判斷上的單調(diào)性即可，對于③，由函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性判斷
【詳解】
解：依題意，，故函數(shù)為偶函數(shù)，故①正確；
因為，所以為函數(shù)的一個周期；當時，，故，在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，由對稱性和周期性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故②正確；
結(jié)合②中單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性可知，函數(shù)的最大值為，故③錯誤；
故選：C．
例67．（2022·全國·高三專題練習）關于函數(shù)有下述四個結(jié)論：
①是偶函數(shù)；
②在區(qū)間上單調(diào)；
③函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則；
④若，則函數(shù)在上有4個零點．
其中所有正確結(jié)論的編號是（???????）
A．①④ B．①③ C．②④ D．①②③
【答案】A
【解析】
【分析】
①利用函數(shù)奇偶性的定義判斷；②③④由結(jié)合函數(shù)的對稱性和周期性，作出的大致圖象判斷；
【詳解】
由，可知為偶函數(shù)，①對.
由，得關于對稱；
由，得的周期為；當時，
其中且；作出在上的圖象，并根據(jù)的對稱性及周期性作出的大致圖象.

由圖可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上不單調(diào)，②錯；
的最大值，最小值，故，③錯；
若，則在上有4個零點，④對，
故選：A.
例68．（2022·山西朔州·高三期末（理））已知，是函數(shù)（，）相鄰的兩個零點，若函數(shù)在上的最大值為1，則的取值范圍是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
先利用三角函數(shù)的性質(zhì)得到，再根據(jù)已知零點得到，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)得到關于的不等式，求解即可得到結(jié)果．
【詳解】
設函數(shù)的最小正周期為，由題意可得，則，所以，
所以，則．令，則，，即，
又，所以，所以．
因為函數(shù)在上的最大值為1，且，如圖.
當時，，所以，
所以．
故選：C

【點睛】
關鍵點睛：本題考查根據(jù)正弦型函數(shù)的最大值求參數(shù)，解答本題的關鍵是，是函數(shù)的兩個相鄰的零點求出，再作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象分析定義域的區(qū)間，屬于中檔題.
例69．（2022·重慶巴蜀中學高三階段練習）若函數(shù)，則下列說法正確的是（???????）
A．是偶函數(shù)
B．的最小正周期是
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增
D．的圖象關于直線對稱
【答案】C
【解析】
【分析】
A選項，可以利用函數(shù)的奇偶性定義進行判斷；求出在的解析式，進而畫出函數(shù)在R上的圖象，從而判斷出BCD選項.
【詳解】
A選項，定義域為R，且
，
所以是奇函數(shù)，A錯誤；
當時，
畫出圖象，

顯然的最小正周期是，B錯誤；
在區(qū)間上單調(diào)遞增，選項C正確；
直線不是的對稱軸，D錯誤；
故選：C．
例70．（2022·江蘇·揚州中學模擬預測）聲音是由物體振動產(chǎn)生的波，每一個音都是由純音合成的.已知純音的數(shù)學模型是函數(shù).我們平常聽到的樂音是許多音的結(jié)合，稱為復合音.若一個復合音的數(shù)學模型是函數(shù)，則（???????）
A．的最大值為 B．2π為的一個周期
C．為曲線的對稱軸 D．為曲線的對稱中心
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合周期、對稱的性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】
A：因為，而，
所以一定有且，當時，有，此時
，，所以本選項說法不正確；
B：因為，
所以2π為的一個周期，因此本選項說法正確；
C：因為，，
所以，因此不是曲線的對稱軸，所以本選項說法不正確；
D：因為，，
所以，因此不是曲線的對稱中心，所以本選項說法不正確，
故選：B
（多選題）例71．（2022·湖北·荊州中學三模）已知函數(shù)，其中表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，關于有下述四個結(jié)論，其中錯誤的結(jié)論是（????????）
A．的一個周期是
B．是偶函數(shù)
C．在區(qū)間上單調(diào)遞減
D．的最大值大于
【答案】BC
【解析】
【分析】
利用函數(shù)周期性的定義可判斷A選項的正誤；利用和的值可判斷B選項的正誤；化簡函數(shù)在上的解析式，可判斷C選項的正誤；由的值可判斷D選項的正誤.
【詳解】
對于A選項，，
所以，函數(shù)的一個周期為，A選項正確；
對于B選項，，
，
，，
所以，函數(shù)不是偶函數(shù)，B選項錯誤；
對于C選項，當時，，，則，
則，所以，函數(shù)在是常函數(shù)，C選項錯誤；
對于D選項，，D選項正確.
故選：BC.
（多選題）例72．（2022·江蘇蘇州·模擬預測）已知函數(shù)，則（???????）
A．是周期函數(shù) B．是偶函數(shù)
C．是上的增函數(shù) D．的最小值為
【答案】BC
【解析】
【分析】
令，則，再分析的奇偶性、周期性與單調(diào)性，即可判斷；
【詳解】
解：因為，令，則，
對于A，因為是周期為的周期函數(shù)，關于軸對稱，不是周期函數(shù)，
所以不是周期函數(shù)，則也不是周期函數(shù)，故A錯誤；
對于B，的定義域為，
且，
所以為偶函數(shù)，則，故為偶函數(shù)，故B正確；
對于C，當時，，
，所以單調(diào)遞減，則單調(diào)遞增，故C正確；
對于D，當時，，則
故的最小值不為，故D錯誤．
故選：BC．
（多選題）例73．（2022·全國·高三階段練習）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（???????）．
A．直線為函數(shù)圖象的一條對稱軸
B．函數(shù)在上單調(diào)遞增
C．函數(shù)在上單調(diào)遞增
D．，
【答案】AC
【解析】
【分析】
由判斷A選項的正確性，結(jié)合復合函數(shù)單調(diào)性同增異減判斷BC選項的正確性，由的最大值小于來判斷D選項的正確性.
【詳解】
依題意，
，故A正確；
易知，故為函數(shù)的一個周期；
當時，，
故，在上單調(diào)遞減，
即在上單調(diào)遞減，
由對稱性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B錯誤，C正確；
，所以為偶函數(shù).
，
結(jié)合單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性可知，
函數(shù)的最大值為，故D錯誤．
故選：AC
（多選題）例74．（2022·全國·高三專題練習）聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波，純音的數(shù)學模型是函數(shù)，我們聽到的聲音是由純音合成的，稱之為復合音.若一個復合音的數(shù)學模型是函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（???????）
A．是偶函數(shù) B．的最小正周期為
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．的最小值為1
【答案】BC
【解析】
【分析】
由奇函數(shù)的定義即可判斷A；容易驗證π是函數(shù)的周期，進而判斷B；
當時，用輔助角公式將函數(shù)化簡，即可判斷C；
先考慮時，再分和兩種情況，求出函數(shù)的最小值，再根據(jù)函數(shù)的周期，即可求出函數(shù)在R上的最小值.
【詳解】
因為，，所以是偶函數(shù)，A正確；顯然是周期函數(shù)，
因為，所以B錯誤；因為當時，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，C錯誤；
因為
當時，設，則，
同理：當時，，
由B中解答知，是的周期，所以的最小值為1，D正確.
故選：BC.
（多選題）例75．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，下列敘述正確的有（???????）
A．的周期為2π； B．是偶函數(shù)；
C．在區(qū)間上單調(diào)遞減； D．x1，x2∈R，
【答案】BC
【解析】
【分析】
AB選項，可以分別研究與的奇偶性和周期性，從而判斷的周期性和奇偶性；C選項，在區(qū)間上，化簡整理得到，，進而得到在區(qū)間的單調(diào)性；D選項可以取特殊值代入，證明其不成立.
【詳解】
是偶函數(shù)，不是周期函數(shù)，是偶函數(shù)，是周期函數(shù)，最小正周期為，故不是周期函數(shù)，A錯誤，B正確；當時，，因為，在次區(qū)間上單調(diào)遞減，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，C正確；
當時，，，，即，D選項錯誤.
故選：BC
【方法技巧與總結(jié)】
三角函數(shù)的性質(zhì)（如奇偶性、周期性、單調(diào)性、對稱性）中，尤為重要的是對稱性.
因為對稱性奇偶性（若函數(shù)圖像關于坐標原點對稱，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖像關于軸對稱，則函數(shù)為偶函數(shù)）；對稱性周期性（相鄰的兩條對稱軸之間的距離是；相鄰的對稱中心之間的距離為；相鄰的對稱軸與對稱中心之間的距離為）；對稱性單調(diào)性（在相鄰的對稱軸之間，函數(shù)單調(diào)，特殊的，若，函數(shù)在上單調(diào)，且，設，則深刻體現(xiàn)了三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性、對稱性之間的緊密聯(lián)系）
題型八：根據(jù)條件確定解析式
方向一：“知圖求式”，即已知三角形函數(shù)的部分圖像，求函數(shù)解析式.
例76．（2022·浙江·樂清市知臨中學模擬預測）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用. 明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖1描繪了筒車的工作原理.假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.

如圖2，將筒車抽象為一個幾何圖形（圓），以筒車轉(zhuǎn)輪的中心為原點，過點的水平直線為軸建立如圖直角坐標系. 已知一個半徑為1.6m的筒車按逆時針方向每30s勻速旋轉(zhuǎn)一周，到水面的距離為0.8m.規(guī)定：盛水筒對應的點從水中浮現(xiàn)（時的位置）時開始計算時間，且設盛水筒從點運動到點時所經(jīng)過的時間為（單位：s），且此時點距離水面的高度為（單位：m）（在水面下則為負數(shù)），則關于的函數(shù)關系式為___________，在水輪轉(zhuǎn)動的任意一圈內(nèi)，點距水面的高度不低于1.6m的時長為___________s.
【答案】???? ???? 10
【解析】
【分析】
根據(jù)給定信息，求出以Ox為始邊，OP為終邊的角，求出點P的縱坐標即可列出函數(shù)關系，再解不等式作答.
【詳解】
依題意，點到x軸距離為0.8m，而，則，
從點經(jīng)s運動到點所轉(zhuǎn)過的角為，因此，以Ox為始邊，OP為終邊的角為，
點P的縱坐標為，于是得點距離水面的高度，
由得：，而，即，解得，
對于k的每個取值，，
所以關于的函數(shù)關系式為，水輪轉(zhuǎn)動的任意一圈內(nèi)，點距水面的高度不低于1.6m的時長為10s.
故答案為：；10
【點睛】
關鍵點睛：涉及三角函數(shù)實際應用問題，探求動點坐標，找出該點所在射線為終邊對應的角是關鍵，特別注意，始邊是x軸非負半軸.
例77．（2022·北京東城·三模）如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為，轉(zhuǎn)盤直徑為，開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周需要.游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙，開始轉(zhuǎn)動后距離地面的高度為，則在轉(zhuǎn)動一周的過程中，高度關于時間的函數(shù)解析式是（???????）


A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，設，進而結(jié)合題意求解即可.
【詳解】
解：根據(jù)題意設，，
因為某摩天輪最高點距離地面高度為，轉(zhuǎn)盤直徑為，
所以，該摩天輪最低點距離地面高度為，
所以，解得，
因為開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周需要，
所以，，解得，
因為時，，故，即，解得.
所以，
故選：B
例78．（2022·山東濰坊·模擬預測）函數(shù)的部分圖像如圖所示，現(xiàn)將的圖像向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則的表達式可以為（???????）


A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由最大值、和，結(jié)合五點作圖法可求得；根據(jù)三角函數(shù)平移變換，結(jié)合誘導公式可化簡得到結(jié)果.
【詳解】
由圖像可知：，；
又，，又，，
，由五點作圖法可知：，解得：，；
.
故選：B.
例79．（2022·河南開封·模擬預測（理））如圖為函數(shù)的部分圖像，將的圖像上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼膬杀?，再向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則（???????）


A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由周期求出，由五點法作圖求出的值，可得f(x)的解析式，再利用函數(shù)的圖像變換規(guī)律，得出結(jié)論.
【詳解】
根據(jù)函數(shù)的部分圖像，
可得∴
再根據(jù)五點法作圖，可得，
∴，∴.
將函數(shù)的圖像上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼膬杀叮?br /> 可得得圖像；
在向左平移個單位長度，
得到函數(shù)的圖像，
故選：D.
例80．（2022·全國·模擬預測（理））已知函數(shù)的部分圖像如圖，則的解析式為（???????）


A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
通過三角函數(shù)圖像的翻折可得的值，結(jié)合五點作圖的思想可得和的值，進而可得結(jié)果.
【詳解】
令，
由圖易得，所以，
，得，
當時，由五點作圖可得，
解得，，不滿足，故舍去，
所以，結(jié)合得，
此時應滿足，結(jié)合，解得，
故的解析式為，
故選：B.
例81．（2022·安徽·合肥一六八中學模擬預測（文））已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（???????）

A．該圖象對應的函數(shù)解析式為
B．函數(shù)的圖象關于直線對稱
C．函數(shù)的圖象關于點對稱
D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
【答案】C
【解析】
【分析】
先依據(jù)圖像求得函數(shù)的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷各選項的對錯.
【詳解】
由圖象可知，即，又，
所以，
又，可得，又因為所以，
所以，故A錯誤；
當時，.故B錯誤；
當時，，故C正確；
當時，則，函數(shù)不單調(diào)遞減.故D錯誤．
故選：C
例82．（2022·廣東惠州·高三階段練習）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則將的圖像向左平移個單位后，所得圖像的函數(shù)解析式為（???????）


A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先由圖像求出，然后利用平移變換和誘導公式計算出結(jié)果.
【詳解】
由題，
由圖，，

所以，向左平移個單位后，
得到
故選：B.
例83．（2022·安徽·合肥一中模擬預測（文））函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為（???????）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由函數(shù)的最小值可求得的值，由結(jié)合的取值范圍可求得的值，再由可求得的值，綜合可得出結(jié)果.
【詳解】
由圖象可得，可得，
，可得，
由于函數(shù)在附近單調(diào)遞減，且，，
由圖象可知，函數(shù)的最小正周期滿足，可得，
，則，
所以，解得，
，所以，，因此.
故選：D.
例84．（2022·安徽·安慶一中高三期末（理））已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式為___________.

【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
化簡可得，由函數(shù)的最大值可求得的值，由圖象可得出該函數(shù)的最小正周期，可求得的值，再由結(jié)合的取值范圍可求得的值，即可得出函數(shù)的解析式.
【詳解】
由己知，由圖象可知取，
函數(shù)的最小正周期為，則，
由，得，可得，
因為，則，所以，.
故答案為：（答案不唯一）.
例85．（2022·全國·高三專題練習（文））如圖是函數(shù)（，，）的圖象的一部分，則函數(shù)的解析式為__________________．

【答案】
【解析】
【分析】
由圖象最高點、最低點的縱坐標可求得A的值，由最高點、最低點的橫坐標求得周期T及ω的值，取特殊點可求得φ的值．
【詳解】
由圖象知，，，則，，
由，得.又，∴.
.
故答案為：.
【方法技巧與總結(jié)】
已知函數(shù)圖像求函數(shù)的解析式時，常用的解析方法是待定系數(shù)法，由圖中的最大值或最小值確定A，由周期確定，由適合解析式點的坐標確定，但有圖像求得的的解析式一般不唯一，只有限定的取值范圍，才能得出唯一解，將若干個點代入函數(shù)式，可以求得相關特定系數(shù)，這里需要注意的是，要認清選擇的點屬于“五點”中的哪一個位置點，并能正式代入式中，依據(jù)五點列表法原理，點的序號與式子的關系是：“第一點”（及圖像上升時與軸的交點）為；“第二點”（即圖像曲線的最高點）為；“第三點”（及圖像下降時與軸的交點），為；“第四點”（及圖像曲線的最低點）為；“第五點”（及圖像上升時與軸的交點）為.
方向二：知性質(zhì)（如奇偶性、單調(diào)性、對稱性、最值），求解函數(shù)解析式（即的值的確定）
例86．（2022·貴州·模擬預測（理））已知函數(shù)，，且，寫出一個滿足條件的函數(shù)的解析式：___________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
由題可得，進而可得，取，即得.
【詳解】
∵，，且，
∴，，
∴，，
令，，，，，
令，，.
故答案為：（答案不唯一）.
例87．（2022·遼寧撫順·一模）已知函數(shù)，①函數(shù)的圖象關于直線對稱，②當時，函數(shù)的取值范圍是，則同時滿足條件①②的函數(shù)的一個解析式為________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根據(jù)值域，求得A值，根據(jù)x范圍，求得周期，進而可得值，根據(jù)對稱軸，求得值，經(jīng)檢驗，即可得答案.
【詳解】
由題意，設，由的最小值為-2，得A=2，
若為半個周期長度，則，
則，
由①，不妨令，解得，
所以，經(jīng)檢驗，符合①②條件，
故答案為：（答案不唯一）
例88．（2022·海南中學高三階段練習）已知函數(shù)，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為一組已知條件，使的解析式唯一確定.
(1)求的解析式；
(2)設函數(shù)，求在區(qū)間上的最大值.
條件①：的最小正周期為；
條件②：；
條件③：圖象的一條對稱軸為.
注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分.
【答案】(1)條件選擇見解析，；
(2).
【解析】
【分析】
（1）可以選擇條件①②或條件①③，先由周期計算，再計算即可；
（2）先求出整體的范圍，再結(jié)合單調(diào)性求最大值即可.
(1)
選擇條件①②：
由條件①及已知得，所以.
由條件②，即，解得.
因為，所以，
所以，
經(jīng)檢驗符合題意.
選擇條件①③：
由條件①及已知得，所以．
由條件③得，
解得，因為，
所以，
所以．
若選擇②③：由條件②，即，解得，
因為，所以，
由條件③得，
∴，則的解析式不唯一，不合題意.
(2)
由題意得，
化簡得

因為，所以，
所以當，即時，的最大值為.
例89．（2022·浙江省杭州學軍中學模擬預測）已知函數(shù)滿足：
①的最大值為2；②；的最小正周期為．
(1)求的解析式；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間與最小值．
【答案】(1)
(2)，
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題干中的三個條件，可分別求出的值，即可求得的解析式；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，整體代入求解函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性及最值即可.
(1)
由條件③，得又，所以．
由條件①，得，又，所以．
由條件②，得，又，所以．
所以．
經(jīng)驗證，符合題意．
(2)
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．
由，得．又因為，
所以在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
因為，所以，
所以當，即時，取得最小值，．
故在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間為，最小值為.

【方法技巧與總結(jié)】
根據(jù)函數(shù)必關于軸對稱，在三角函數(shù)中聯(lián)想到的模型，從圖象、對稱軸、對稱中心、最值點或單調(diào)性來求解.
題型九：三角函數(shù)圖像變換
例90．（青海省玉樹州州直高中2021-2022學年高三下學期第四次大聯(lián)考數(shù)學（理科）試題）為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（???????）
A．向左平移個單位長度 B．向左平移個單位長度
C．向右平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)圖像平移的規(guī)律，算出答案即可.
【詳解】
由題意，由于函數(shù)，
觀察發(fā)現(xiàn)可由函數(shù)向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，
故選：A.
例91．（2022·全國·模擬預測（文））要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（???????）
A．向左平移 B．向右平移
C．向左平移 D．向右平移
【答案】D
【解析】
【分析】
利用誘導公式結(jié)合三角函數(shù)圖象變換可得出結(jié)論.
【詳解】
，
因此，為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度.
故選：D.
例92．（2022·新疆克拉瑪依·三模（理））為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（???????）
A．向左平移個單位 B．向右平移個單位
C．向右平移個單位 D．向左平移個單位
【答案】B
【解析】
【分析】
先通過誘導公式將化為，設平移了個單位，從而得到方程，求出，得到答案.
【詳解】
，
設平移了個單位，得到，
則，解得：，
即向右平移了個單位.
故選：B
【方法技巧與總結(jié)】
由函數(shù)的圖像變換為函數(shù)的圖像.
方法：先相位變換，后周期變換，再振幅變換.
的圖像的圖像
的圖像
的圖像
【過關測試】
一、單選題
1．（2022·河南·平頂山市第一高級中學模擬預測（理））已知直線是函數(shù)的圖像的一條對稱軸，為了得到函數(shù)的圖像，可把函數(shù)的圖像（???????）
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
【答案】B
【解析】
【分析】
首先由是函數(shù)的對稱軸可得，所以再由，求得，再化為，再通過左加右減即可得解.
【詳解】
依題意，直線是函數(shù)的圖像的一條對稱軸，
則，即，
解得，因為，所以，
所以函數(shù)．
將的圖像，
向右平移個單位長度得．
故選：B．
2．（2022·浙江·湖州市菱湖中學模擬預測）函數(shù)的大致圖象為（???????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先判斷函數(shù)的奇偶性，再利用特殊值及排除法判斷即可；
【詳解】
解：函數(shù)定義域為，
則，
即為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關于原點對稱，故排除A、B；
又，故排除D；
故選：C
3．（2022·青?！ず|市教育研究室一模（理））已知定義在上的函數(shù)，若的最大值為，則的取值最多有（???????）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】A
【解析】
【分析】
因為，討論或，結(jié)合函數(shù)圖像理解分析．
【詳解】
∵，則
若的最大值為，分兩種情況討論：
①當，即時，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，，解得；
②當，即時，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞增，所以，結(jié)合函數(shù)與在上的圖像可知，存在唯一的，使得.
綜上可知，若的最大值為，則的取值最多有2個.
故選：A．

4．（2022·河南·模擬預測（文））已知函數(shù)，若，則（???????）
A． B．2 C．5 D．7
【答案】C
【解析】
【分析】
令，利用函數(shù)奇偶性計算作答.
【詳解】
設，
則，即函數(shù)是奇函數(shù)，
，則，而
所以.
故選：C
5．（2022·天津·南開中學模擬預測）已知函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是（???????）
A．函數(shù)的最小正周期是
B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
C．函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再向下平移1個單位長度得到
D．函數(shù)的圖象關于對稱
【答案】C
【解析】
【分析】
A選項，利用三角恒等變換得到，從而求出最小正周期；B選項，整體代入檢驗是否是單調(diào)遞減區(qū)間；C選項，利用函數(shù)平移左加右減，上加下減進行平移，求出平移后的解析式；D選項，代入檢驗是否是對稱中心.
【詳解】
，
所以函數(shù)的最小正周期是，A正確；
當時，，所以單調(diào)遞減，故B正確；
函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再向下平移1個單位長度得到，故C錯誤；
當時，，所以，
所以的圖象關于中心對稱，D正確.
故選：C
6．（2022·浙江·模擬預測）智能主動降噪耳機工作的原理是通過耳機兩端的噪聲采集器采集周圍的噪音，然后通過聽感主動降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音（如圖）．已知某機器工作時噪音的聲波曲線（其中）的振幅為2，周期為，初相為，則通過聽感主動降噪芯片生成相等的反向波曲線為（???????）


A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求出噪音的聲波曲線函數(shù)表達式，則其相反數(shù)即為聽感主動降噪芯片生成的反向波曲線.
【詳解】
已知噪音的聲波曲線（其中）的振幅為2，
周期為，初相為，可得，，
所以噪音的聲被曲線為，
所以通過聽感主動降噪芯片生成相等的反向波曲線為：
；
故選：C．
7．（2022·貴州·貴陽一中高三階段練習（理））如圖是函數(shù)的圖像的一部分，則要得到該函數(shù)的圖像，只需要將函數(shù)的圖像（???????）


A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
【答案】A
【解析】
【分析】
先由圖像求得，再由輔助角公式化簡，最后由三角函數(shù)的平移變換即可求解.
【詳解】
由題圖知：，又，，
解得，又，
將向左平移得.
故選：A.
8．（2022·安徽蚌埠·模擬預測（理））阻尼器是一種以提供運動的阻力，耗減運動能量，從而達到減振效果的專業(yè)工程裝置.如圖，是被稱為“鎮(zhèn)樓神器”的我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器.由物理學知識可知，某阻尼器模型的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移S（cm）與時間t（s）的函數(shù)關系式為，若該阻尼器模型在擺動過程中連續(xù)三次位移為的時間分別為，，，且，，則下列為的單調(diào)區(qū)間的是（???????）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)，，得到周期和是函數(shù)的一條對稱軸方程，進而求得函數(shù)的解析式，然后求得其單調(diào)區(qū)間判斷.
【詳解】
解：因為且，，
所以，，
由，得是函數(shù)的一條對稱軸方程，
則，
即，取，
所以，
林，
解得，
故其單調(diào)增區(qū)間是，則減區(qū)間是，
故選：A
二、多選題
9．（2022·河北石家莊·模擬預測）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用（圖1），明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖2）．一半徑為2米的筒車水輪如圖3所示，水輪圓心O距離水面1米，已知水輪每60秒逆時針勻速轉(zhuǎn)動一圈，如果當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖中點）開始計時，則（???????）

A．點P再次進入水中時用時30秒
B．當水輪轉(zhuǎn)動50秒時，點P處于最低點
C．當水輪轉(zhuǎn)動150秒時，點P距離水面2米
D．點P第二次到達距水面米時用時25秒
【答案】BCD
【解析】
【分析】
以O為原點，以與水平面平行的直線為x軸建立平面直角坐標系，則點P距離水面的高度，逐一分析各選項即可求解.
【詳解】
解：由題意，角速度弧度/秒，
又由水輪的半徑為2米，且圓心O距離水面1米，可知半徑與水面所成角為，點P再次進入水中用時為秒，故A錯誤；
當水輪轉(zhuǎn)動50秒時，半徑轉(zhuǎn)動了弧度，而，點P正好處于最低點，故B正確；
以O為原點，以與水平面平行的直線為x軸建立平面直角坐標系，設點P距離水面的高度，

由，所以，
又角速度弧度/秒，時，，所以，，
所以點P距離水面的高度，當水輪轉(zhuǎn)動150秒時，將代入，得，點P距離水面2米，故C正確；
將代入中，得，或，即，或．
所以點P第二次到達距水面米時用時25秒，故D正確．
故選：BCD．
10．（2022·湖南·長沙縣第一中學模擬預測）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（???????）
A．直線為函數(shù)f(x)圖像的一條對稱軸
B．函數(shù)f(x)圖像橫坐標縮短為原來的一半，再向左平移后得到
C．函數(shù)f(x)在[－，]上單調(diào)遞增
D．函數(shù)的值域為[－2，]
【答案】AD
【解析】
【分析】
由函數(shù)的對稱性，利用驗證可判斷A； 由函數(shù)伸縮、平移變換，可判斷B；將f(x)變?yōu)榉侄魏瘮?shù)，求解其單調(diào)性，可判斷C；將定義域轉(zhuǎn)化為一個周期[－，]后，探究f(x)值域判斷D．
【詳解】
解：對于A：，選項A正確；
對于B：函數(shù)f(x)圖像橫坐標縮短為原來的一半，得到，再向左平移后得到，選項B錯誤；
對于C：當時，，其中，不妨令為銳角，
當即，時，f(x)單調(diào)遞增，
當，即時，f(x)單調(diào)遞減，選項C錯誤；
對于D：2π是函數(shù)的周期，可取一個周期[－，]探究f(x)值域．
而函數(shù)f(x)的對稱軸為：．
因此：可取區(qū)間[－，]探究f(x)值域，
當時，，其中，
即：，選項D正確．
故選：AD.
11．（2022·廣東·潮州市瓷都中學三模）設函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（???????）
A．的圖象關于點對稱 B．的圖象關于直線對稱
C．在上單調(diào)遞減 D．在上的最小值為0
【答案】ABC
【解析】
【分析】
AB選項，代入檢驗是否是對稱中心和對稱軸，C選項，求出，由數(shù)形結(jié)合驗證單調(diào)性，D選項，求出，結(jié)合求出最小值.
【詳解】
當時，，所以的圖象關于點對稱，A正確；
當時，，所以的圖象關于直線對稱，B正確；
當時，，在上單調(diào)遞減，故C正確；
當時，，在上的最小值為，D錯誤.
故選：ABC
12．（2022·福建省廈門集美中學模擬預測）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（???????）
A．
B．的圖象關于原點對稱
C．若，則
D．對，，，有成立
【答案】ACD
【解析】
【分析】
利用正弦型函數(shù)的周期公式求周期判斷A，利用正弦型函數(shù)的對稱性可判斷B，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷C，利用正弦型函數(shù)的值域可判斷D.
【詳解】
∵函數(shù)的周期，所以恒成立，
故A正確；
又，所以，，所以，
所以的圖象不關于原點對稱，故B錯誤；
當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C正確；
因為 ，所以，故，
，又，即，
所以對有成立，故D正確.
故選：ACD.
三、填空題
13．（2022·福建省福州格致中學模擬預測）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)___________；已知函數(shù)滿足：①；②；③函數(shù)在上單調(diào)遞減；
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
由條件得函數(shù)性質(zhì)后求解
【詳解】
對于①，若，則的圖象關于中心對稱，
對于②，若，則的圖象關于對稱，
設，則，，
又的圖象關于對稱，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則，得
故答案為：（答案不唯一）
14．（2022·山東日照·三模）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則________．

【答案】##
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)的周期求出的值，再根據(jù)五點法求出即得解.
【詳解】
解：由知，，由五點法可知，
，即，又，所以
故答案為：
15．（2022·四川成都·模擬預測（理））已知函數(shù)，若，且在上有最大值，沒有最小值，則的最大值為______．
【答案】17
【解析】
【分析】
利用三角函數(shù)的零點以及函數(shù)的單調(diào)性可知，，再結(jié)合函數(shù)的周期列式，即可求解.
【詳解】
由，且在上有最大值，沒有最小值，可得， 所以.
由在上有最大值，沒有最小值，可得，解得，又，當時，，則的最大值為17，,
故答案為：17
16．（2022·北京·人大附中三模）已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：
①是偶函數(shù)；
②有4個零點；
③的最小值為；
④的解集為.
其中，所有正確結(jié)論的序號為___________.
【答案】①②
【解析】
【分析】
對于①：利用函數(shù)的奇偶性的定義直接判斷；
對于②：令，直接解得；
對于③：利用圖像法直接判斷；
對于④：直接解不等式即可判斷.
【詳解】
對于①：因為函數(shù)的定義域為，且，所以是偶函數(shù).故①正確；
對于②：在，令，解得：，，，.所以有4個零點.故②正確；
對于③：因為是偶函數(shù)，所以只需研究的情況. 如圖示，作出（）和的圖像如圖所示：

在上，有，所以，即的最小值大于.故③錯誤；
對于④：當時，可化為：
當時，，解得：；
當時，，解得：；
綜上所述：的解集為.故④不正確.
故答案為：①②
【點睛】
（1）函數(shù)奇偶性的判斷，通常用定義法；
（2）解三角不等式（方程），利用三角函數(shù)的單調(diào)性和特殊角的三角函數(shù)值.
四、解答題
17．（2022·浙江·湖州市菱湖中學模擬預測）已知函數(shù)
(1)求的值；
(2)求函數(shù)在上的增區(qū)間和值域．
【答案】(1)
(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，值域為
【解析】
【分析】
（1）利用和差角公式化簡函數(shù)解析式，再代入由誘導公式及特殊角的三角函數(shù)值計算可得；
（2）首先求出的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；
(1)
解：因為，
所以


，
即，
所以
(2)
解：由（1）可得，
因為，所以，所以，則，
令，解得，即函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為；
18．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學模擬預測）設內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，函數(shù)．
(1)若，求的面積；
(2)當時，取最大值，求在上的值域.
【答案】(1)若，的面積為，
若，的面積為；
(2)
【解析】
【分析】
(1)由條件求出，由正弦定理求，利用兩角和正弦公式求,再由三角形面積公式求的面積；(2)化簡函數(shù)解析式，由條件求，再求在上的值域.
(1)
因為，
所以，即，
或，
由正弦定理可得,又，所以，
若則
所以，
，
當則
所以，
，
(2)


．
因為在處取得最大值，所以，
即．因為，所以，所以．
因為，所以，所以，
在上的值域為.
19．（2022·全國·哈師大附中模擬預測（文））已知函數(shù)，從下面兩個條件：條件①、條件②中選擇一個作為已知．
(1)求時函數(shù)的值域；
(2)若函數(shù)圖像向右平移m個單位長度后與函數(shù)的圖像重合，求正數(shù)m的最小值．
【答案】(1)答案見解析；
(2)答案見解析.
【解析】
【分析】
（1）若選擇①：根據(jù)余弦二倍角公式、誘導公式，結(jié)合正弦型函數(shù)的最值性質(zhì)進行求解即可；
若選擇②：根據(jù)正弦二倍角公式、誘導公式，結(jié)合余弦型函數(shù)的最值性質(zhì)進行求解即可；
（2）若選擇①：根據(jù)正弦型函數(shù)圖像的變換性質(zhì)進行求解即可；
若選擇②：根據(jù)余弦型函數(shù)圖像的變換性質(zhì)進行求解即可；
(1)
若選擇條件①作為已知：，
時，，
，
故函數(shù)的值域為；
若選擇條件②作為已知：

時，，，
故函數(shù)的值域為；
(2)
若選擇條件①作為已知：
函數(shù)圖像向右平移個單位長度后，
得到函數(shù)，即的圖像，
∵的圖像與函數(shù)的圖像重合．
∴，，即，，
當為正數(shù)時，．
若選擇條件②作為已知：
函數(shù)圖像向右平移個單位長度后，
得到函數(shù)，即的圖像．
的圖像與函數(shù)的圖像重合．
∴，，即，，
當為正數(shù)時，．
20．（2022·重慶八中模擬預測）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．

(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將函數(shù)的圖象上所有的點向右平移個單位，再將所得圖象上每一個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象．當時，方程恰有三個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍和的值．
【答案】(1)
(2)，
【解析】
【分析】
(1) 根據(jù)圖示，即可確定A和的值，再由周期確定，最后將點帶入；即可求出答案.
(2) 先根據(jù)題意寫出，再根據(jù)的取值范圍求出的取值范圍.即可根據(jù)的對稱性求出與的值.即可求出答案.
(1)
解：由圖示得：，
又，所以，所以，所以，
又因為過點，所以，即，
所以，解得，又，所以，
所以；
(2)
解：由已知得，
當時，，令，則，
令，則
，，，，
所以，
因為有三個不同的實數(shù)根，則，
所以，即，
所以．
21．（2022·浙江·杭州高級中學模擬預測）設.
(1)若，求使函數(shù)為偶函數(shù)；
(2)在（1）成立的條件下，當，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)降冪公式，結(jié)合輔助角公式化簡，再根據(jù)三角函數(shù)為偶函數(shù)時滿足的條件列式求解即可；
（2）根據(jù)（1）化簡可得，再結(jié)合區(qū)間的范圍求解三角函數(shù)值的范圍即可
(1)


因為函數(shù)為偶函數(shù)，
所以，即，
因為，所以
(2)
在（1）成立的條件下，，
因為，所以，
所以
所以
22．（2022·浙江·溫州中學模擬預測）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若函數(shù)關于點中心對稱，求在上的值域．
【答案】(1)最小正周期為，
(2)
【解析】
【分析】
（1）先利用倍角公式化簡得，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最小正周期即可求解；
（2）先寫出，由關于點中心對稱解出，再結(jié)合正弦函數(shù)的值域即可求解.
(1)

．∴的最小正周期為，
令，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為
(2)
．
∵關于點中心對稱，∴，∵，∴．
∴．當∴．
23．（2022·全國·高三專題練習（理））已知函數(shù)．
(1)若，當時，求證：為單調(diào)遞減函數(shù)；
(2)若在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）若，當時，對求導，令，解不等式即可求出答案.
（2）在上恒成立轉(zhuǎn)化為，
令，求在的最小值即可.
(1)
若，則，
，
因為，，
，，
，在為單調(diào)遞減函數(shù)；
(2)
，即，
令，，
則，
令，
，，，單調(diào)遞減，
，，單調(diào)遞增，
而，，
故在恒成立，
故在恒成立，
所以在為減函數(shù)，
所以，故，
所以實數(shù)a的取值范圍是．


相關教案

專題13 ω的取值范圍與最值問題 （解析版）-2023年新高考數(shù)學大一輪復習講義之方法技巧與題型全歸納：

這是一份專題13 ω的取值范圍與最值問題 （解析版）-2023年新高考數(shù)學大一輪復習講義之方法技巧與題型全歸納，共64頁。教案主要包含了考點預測，方法技巧與總結(jié)，題型歸納目錄，典例例題，過關測試等內(nèi)容，歡迎下載使用。

專題15 三角形中的范圍與最值問題（解析版）-2023年新高考數(shù)學大一輪復習講義之方法技巧與題型全歸納：

這是一份專題15 三角形中的范圍與最值問題（解析版）-2023年新高考數(shù)學大一輪復習講義之方法技巧與題型全歸納，共132頁。教案主要包含了方法技巧與總結(jié)，題型歸納目錄，典例例題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

專題39 圓錐曲線中的定點、定值問題（解析版）-2023年新高考數(shù)學大一輪復習講義之方法技巧與題型全歸納：

這是一份專題39 圓錐曲線中的定點、定值問題（解析版）-2023年新高考數(shù)學大一輪復習講義之方法技巧與題型全歸納，共77頁。教案主要包含了方法技巧與總結(jié)，題型歸納目錄，典例例題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關教案 更多

專題01 玩轉(zhuǎn)指對冪比較大?。ń馕霭妫?2023年新高考數(shù)學大一輪復習講義之方法技巧與題型全歸納

專題01 玩轉(zhuǎn)指對冪比較大小（解析版）-2023年新高考數(shù)學大一輪復習講義之方法技巧與題型全歸納
專題12 函數(shù)與方程（解析版）-2023年新高考數(shù)學大一輪復習講義之方法技巧與題型全歸納

專題12 函數(shù)與方程（解析版）-2023年新高考數(shù)學大一輪復習講義之方法技巧與題型全歸納
專題23 立體幾何中的壓軸小題（解析版）-2023年新高考數(shù)學大一輪復習講義之方法技巧與題型全歸納

專題23 立體幾何中的壓軸小題（解析版）-2023年新高考數(shù)學大一輪復習講義之方法技巧與題型全歸納
專題20 玩轉(zhuǎn)外接球、內(nèi)切球、棱切球（解析版）-2023年新高考數(shù)學大一輪復習講義之方法技巧與題型全歸納

專題20 玩轉(zhuǎn)外接球、內(nèi)切球、棱切球（解析版）-2023年新高考數(shù)學大一輪復習講義之方法技巧與題型全歸納
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部