?九上第三次月考真題精選2022版
一．試題（共42小題）
1．（2021秋?開福區(qū)校級(jí)月考）某校師生植樹節(jié)積極參加以組為單位的植樹活動(dòng)，七個(gè)小組植樹情況如下：則本組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)分別為（　?。?br />
第一組
第二組
第三組
第四組
第五組
第六組
第七組
數(shù)量（棵）
5
6
5
4
6
5
7
A．5，4 B．6，5 C．7，6 D．5，5
2．（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）一個(gè)不透明的盒子里有9個(gè)黃球和若干個(gè)紅球，紅球和黃球除顏色外其他完全相同，每次摸球前先將盒子里的球搖勻，任意摸出一個(gè)球記下顏色后再放回盒子，通過大量重復(fù)摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在30%，那么估計(jì)盒子中紅球的個(gè)數(shù)為 　 ?。?br /> 3．（2021秋?芙蓉區(qū)校級(jí)月考）如圖，甲為四等分?jǐn)?shù)字轉(zhuǎn)盤，乙為三等分?jǐn)?shù)字轉(zhuǎn)盤．同時(shí)自由轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)后（若指針指在邊界處則重轉(zhuǎn)），兩個(gè)轉(zhuǎn)盤指針指向數(shù)字之和不超過4的概率是（　　）

A． B． C． D．
4．（2021秋?開福區(qū)校級(jí)月考）下列命題是假命題的是（　?。?br /> A．平行四邊形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形
B．同角（或等角）的余角相等
C．線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等
D．正方形的對(duì)角線相等，且互相垂直平分
5．（2021秋?芙蓉區(qū)校級(jí)月考）如圖①，正方形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，E是OD的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿著E→O→B→A的路徑以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，在此過程中線段AP的長(zhǎng)度y隨著運(yùn)動(dòng)時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系如圖②所示，則AB的長(zhǎng)為（　?。?br />
A．4 B．4 C．3 D．2
6．（2021秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）如圖，用一段長(zhǎng)為30m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形苗圃園，墻長(zhǎng)為18m，設(shè)這個(gè)苗圃園垂直于墻的一邊AB的長(zhǎng)為xm．
（1）用含有x的式子表示BC，并直接寫出x的取值范圍；
（2）若苗圃園的面積為72m2，求AB的長(zhǎng)．


7．（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）某商家準(zhǔn)備銷售一種防護(hù)品，進(jìn)貨價(jià)格為每件40元，并且每件的售價(jià)不低于進(jìn)貨價(jià)．經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查，每月的銷售量y（件）與每件的售價(jià)x（元）之間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系．
（1）求每月的銷售量y（件）與每件的售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（不必寫出自變量的取值范圍）
（2）物價(jià)部門規(guī)定，該防護(hù)品每件的利潤(rùn)不允許高于進(jìn)貨價(jià)的50%．設(shè)這種防護(hù)品每月的總利潤(rùn)為w（元），那么售價(jià)定為多少元可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？










8．（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（abc≠0）的圖象如圖所示，反比例函數(shù)與正比例函數(shù)y＝ax在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象是（　?。?br />
A． B． C．D．
9．（2021秋?望城區(qū)校級(jí)月考）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)y的部分對(duì)應(yīng)值見表格，則下列結(jié)論：①c＝2；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的兩根為x1＝﹣2，x2＝0；④7a+c＜0．其中正確的有（　?。?br /> x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
1.875
3
m
1.875
0
…
A．①④ B．②③ C．③④ D．②④
10．（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）若ab＜0，則反比例函數(shù)y＝與一次函數(shù)y＝ax+b在同一坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（　?。?br /> A． B．
C． D．
11．（2021秋?望城區(qū)校級(jí)月考）如圖，平行于y軸的直線分別交y＝與y＝的圖象（部分）于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，則△ABC的面積為（　?。?br />
A．k1﹣k2 B．（k1﹣k2） C．k2﹣k1 D．（k2﹣k1）

12．（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）如圖，第一象限內(nèi)的點(diǎn)A在反比例函數(shù)上，第二象限的點(diǎn)B在反比例函數(shù)上，且OA⊥OB，，BC、AD垂直于x軸于C、D，則k的值為 　 ?。?br />
13．（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為1，OA⊥AB，則k的值為 　 　．

14．（2021秋?天心區(qū)校級(jí)月考）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸正半軸上，反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象分別與矩形OABC兩邊AB，BC交于點(diǎn)D，E，沿直線DE將△DBE翻折得到△DFE，且點(diǎn)F恰好落在直線OA上．下列四個(gè)結(jié)論：①DE∥AC；②CE＝AD；③tan∠FED＝；④S△EOF＝k．其中結(jié)論正確的有 　 　.（僅填序號(hào)即可）

15．（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知矩形OABC的面積為18，它的對(duì)角線OB與雙曲線相交于點(diǎn)D，且OD：DB＝2：1，則k＝　 　．

16．（2021秋?望城區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象上，且點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為a和2a（a＞0）．過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為C，連接OA，△AOC的面積為2．
（1）求反比例函數(shù)表達(dá)式；
（2）求△AOB的面積；
（3）點(diǎn)P，Q在這個(gè)雙曲線位于第三象限的一支上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣2．若△POQ與△AOB的面積相等，寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)　 ?。?br />


17．（2021秋?長(zhǎng)沙月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0）．若反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過線段OC的中點(diǎn)A（3，2），交DC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．設(shè)直線EF的解析式為y＝k2x+b．
（1）求反比例函數(shù)和直線EF的解析式；
（2）求△OEF的面積；
（3）請(qǐng)結(jié)合圖象直接寫出不等式k2x+b＞0的解集．


18．（2021秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）如圖，直線y＝﹣x+b分別與x軸，y軸相交于A，B，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象與直線AB相交于C，D兩點(diǎn)，且C點(diǎn)坐標(biāo)是（2，n），tan∠BOC＝．
（1）求直線AB及反比例函數(shù)的表達(dá)式．
（2）若x軸上有一點(diǎn)P，使∠ODP＝90°，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．






19．（2021秋?長(zhǎng)沙月考）已知反比例函數(shù)y＝，一次函數(shù)y＝mx﹣m+1．
（1）求證：這兩個(gè)函數(shù)一定有交點(diǎn)；
（2）我們定義：若兩個(gè)函數(shù)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、x2（x1＞x2），滿足2＜＜3，則稱這兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)“夢(mèng)想交點(diǎn)”，如果y＝與y＝mx﹣m+1有兩個(gè)“夢(mèng)想交點(diǎn)”，求m的取值范圍．

20．（2021秋?開福區(qū)校級(jí)月考）“圓材埋壁”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小．以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺．問：徑幾何？”轉(zhuǎn)化為現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言就是：如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，AE＝1寸，CD＝10寸，則直徑AB的長(zhǎng)為　 　寸．

21．（2021秋?望城區(qū)校級(jí)月考）如圖，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝3，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是 　 　．

22．（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，點(diǎn)A、D在以BC為直徑的半圓上，D是弧的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)E．若AE＝3，CD＝2，則CE等于（　?。?br />
A．5 B．4 C．2 D．12

23．（2021秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）如圖，AB是⊙O的直徑，AB⊥CD于點(diǎn)E，連接CO，AD．若∠BAD＝20°，則（　?。?br />
A．AD＝2OB B．CE＝EO C．∠OCE＝40° D．∠BOC＝2∠BAD
24．（2021秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，點(diǎn)B、C在⊙O上，邊AB、AC分別交⊙O于D、E兩點(diǎn)，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，則∠ABE＝　 ?。?br />
25．（2021秋?天心區(qū)月考）如圖，從一塊半徑為1m的圓形鐵皮上剪出一個(gè)圓周角為120°的扇形ABC，如果將剪下來的扇形圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的底面圓的半徑為　 　m．

26．（2021秋?長(zhǎng)沙月考）如圖，矩形ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，M，N分別為BC，OC的中點(diǎn)，若MN＝3，則BD＝　 ?。?br />

27．（2021秋?開福區(qū)校級(jí)月考）如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，點(diǎn)E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足為F．
（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；
（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，cosB＝，求BF和AD的長(zhǎng)．







28．（2021秋?望城區(qū)校級(jí)月考）如圖，AC是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，連接PB、AB，∠PBA＝∠C．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）連接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半徑為2，求BC的長(zhǎng)．


29．（2021秋?天心區(qū)月考）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，AD平分∠CAE交⊙O于點(diǎn)D，且AE⊥CD，垂足為點(diǎn)E．
（1）求證：直線CE是⊙O的切線；
（2）求證：CD2＝CB?CA；
（3）若BC＝3，CD＝，求弦AD的長(zhǎng)．







30．（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知等腰三角形ABC的底角為30°，以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點(diǎn)D，過D作DE⊥AC，垂足為E．
（1）證明：DE為⊙O的切線；
（2）若BC＝4，求DE的長(zhǎng)．


31．（2021秋?開福區(qū)校級(jí)月考）如圖，把矩形ABCD沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕交CD于E，若AE＝10，tan∠EFC＝，則矩形ABCD的面積為　 ?。?br />
32．（2021秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝3，將△ABC以點(diǎn)C為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DEC，連接BE、AD．下列說法錯(cuò)誤的是（　?。?br />
A．S△ABD＝6 B．S△ADE＝3 C．BE⊥AD D．∠AED＝135°
33．（2021秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMN，點(diǎn)C和點(diǎn)N是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，若AB＝2，則BM＝　 ?。?br />
34．（2021秋?天心區(qū)月考）如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（　　）

A． B． C． D．

35．（2021秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，P是AC的中點(diǎn)，過P點(diǎn)的直線交AB于點(diǎn)Q，若以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形和以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似，則AQ的長(zhǎng)為　 ?。?br />
36．（2021秋?望城區(qū)校級(jí)月考）如圖，矩形ABCD中，F(xiàn)是DC上一點(diǎn)，BF⊥AC，垂足為E，＝，△CEF的面積為S1，△AEB的面積為S2，則的值等于　 ?。?br />
37．（2021秋?長(zhǎng)沙月考）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，點(diǎn)B在x軸正半軸上，以點(diǎn)O為位似中心，在第三象限內(nèi)與△OAB的位似比為的位似圖形△OCD．若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，﹣），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（　?。?br />
A．（，2） B．（2，3） C．（3，） D．（3，2）
38．（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）如圖，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，若BD＝3，CD＝2，則tanB的值為（　?。?br />
A． B． C． D．
39．（2021秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）如圖是凈月潭國(guó)家森林公園一段索道的示意圖．已知A、B兩點(diǎn)間的距離為30米，∠A＝α，則纜車從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)，上升的高度（BC的長(zhǎng)）為（　?。?br />
A．30sinα米 B．米 C．30cosα米 D．米
40．（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）如圖，某大樓的頂部豎有一塊廣告牌CD，小馬同學(xué)在山坡的坡腳A處測(cè)得廣告牌底部D的仰角為53°，沿坡面AB向上走到B處測(cè)得廣告牌頂部C的仰角為45°，已知山坡AB的坡比i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．（測(cè)角器的高度忽略不計(jì)，參考數(shù)據(jù)：，tan53°
（1）求點(diǎn)B距水平地面AE的高度．
（2）若市政規(guī)定廣告牌的高度不得大于7米，請(qǐng)問該公司的廣告牌是否符合要求，并說明理由．


41．（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）如圖，D為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑BA的延長(zhǎng)線上，且CD2＝CA?CB．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）過點(diǎn)B作⊙O的切線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若BC＝10，，求BE的長(zhǎng)．






42．（2020秋?開福區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DE是⊙O的切線．
（1）求證：∠CDE＝∠BAC；
（2）連接AD，若tan∠CAD＝，CE＝4，求⊙O的半徑．


二．幾何壓軸（共9小題）
43．（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，AF交對(duì)角線BD于點(diǎn)E，點(diǎn)G是BC上的一點(diǎn)且AE＝EG，連結(jié)AG，交BD于點(diǎn)H．滿足AH2＝HE?HD，現(xiàn)給出下列結(jié)論：①EG⊥AF；②BG+DF＝FG；③若tan∠DAF＝，則．其中正確的有（　?。﹤€(gè)．

A．0 B．1 C．2 D．3
44．（2021秋?長(zhǎng)沙月考）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，C、E是⊙O上的兩點(diǎn)，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）求證：CE＝CF；
（3）若BD＝1，CD＝，求弦AC的長(zhǎng)．


45．（2021秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，AD與過點(diǎn)C的切線垂直，垂足為點(diǎn)D，直線DC與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，弦CE平分∠ACB，交AB點(diǎn)F，連接BE．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）求證：PC＝PF；
（3）若tan∠ABC＝，AB＝14，求線段PC的長(zhǎng)．




46．（2021秋?天心區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知AB是⊙O的直徑．BC是⊙O的弦，弦ED垂直AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G．過點(diǎn)C作⊙O的切線交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P
（1）求證：PC＝PG；
（2）判斷PG2＝PD?PE是否成立？若成立，請(qǐng)證明該結(jié)論；
（3）若G為BC中點(diǎn)，OG＝，sinB＝，求DE的長(zhǎng)．


47．（2021秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，CD為⊙O的切線，過D作ED⊥AD，與AC的延長(zhǎng)線相交于E，BD＝1，DE＝．
（1）求證：CD＝DE；
（2）求⊙O的半徑；
（3）若∠ACB的平分線與⊙O交于點(diǎn)F，P為△ABC的內(nèi)心，求PF的長(zhǎng)．










48．（2021秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）有一邊是另一邊的倍的三角形叫做智慧三角形，這兩邊中較長(zhǎng)邊稱為智慧邊，這兩邊的夾角叫做智慧角．
（1）已知Rt△ABC為智慧三角形，且Rt△ABC的一邊長(zhǎng)為，則該智慧三角形的面積為　 ?。?br /> （2）如圖①，在△ABC中，∠C＝105°，∠B＝30°，求證：△ABC是智慧三角形；
（3）如圖②，△ABC是智慧三角形，BC為智慧邊，∠B為智慧角，A（3，0），點(diǎn)B，C在函數(shù)y＝上（x＞0）的圖象上，點(diǎn)C在點(diǎn)B的上方，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為．當(dāng)△ABC是直角三角形時(shí)，求k的值．


49．（2021秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）定義：如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)內(nèi)角α，β滿足α+2β＝90°，那我們稱這個(gè)三角形為“近直角三角形”．
（1）若△ABC是“近直角三角形”，∠B＞90°，∠C＝50°，則∠A＝　 　°；
（2）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．若BD是∠ABC的平分線，
①求證：△BDC是“近直角三角形”；
②在邊AC上是否存在點(diǎn)E（異于點(diǎn)D），使得△BCE也是“近直角三角形”？若存在，請(qǐng)求出CE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為AC邊上一點(diǎn)，以BD為直徑的圓交BC于點(diǎn)E，連結(jié)AE交BD于點(diǎn)F，若△BCD為“近直角三角形”，且AB＝5，AF＝3，求AD的長(zhǎng)．


50．（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）如圖所示的一張矩形紙片ABCD（AD＞AB），將紙片折疊一次，使點(diǎn)A與C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點(diǎn)E，交BC邊于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)O，分別連接AF和CE．
（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）過E點(diǎn)作AD的垂線EP交AC于點(diǎn)P，求證：2AE2＝AC?AP；
（3）若AE＝10cm，△ABF的面積為24cm2，求△ABF的周長(zhǎng)．


51．（2021秋?開福區(qū)校級(jí)月考）如圖，在等邊△ABC中，AB＝20，點(diǎn)P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），以PA長(zhǎng)為半徑的⊙P與邊AB的另一個(gè)交點(diǎn)為D，過點(diǎn)D作DE⊥CB于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)⊙P與邊BC相切時(shí)，求⊙P的半徑；
（2）連結(jié)BP交DE于點(diǎn)F，設(shè)AP的長(zhǎng)為x，PF的長(zhǎng)為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫出x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)以PE長(zhǎng)為直徑的⊙Q與⊙P相交于AC邊上的點(diǎn)G時(shí)，求相交所得的公共弦的長(zhǎng)．


三．函數(shù)壓軸（共9小題）
52．（2021秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）二次函數(shù)y＝ax2+bx+4（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣4，0），B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接BP、AC，交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）連接BC，當(dāng)∠DPB＝2∠BCO時(shí)，求直線BP的表達(dá)式；
（3）請(qǐng)判斷：是否有最大值，如有請(qǐng)求出有最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，如沒有請(qǐng)說明理由．


53．（2021秋?長(zhǎng)沙月考）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（3，6），并與y軸交于點(diǎn)B（0，3），點(diǎn)A是對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖①所示，P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，連接BP，AP，求△ABP的面積的最大值；
（3）如圖②所示，在對(duì)稱軸AC的右側(cè)作∠ACD＝30°交拋物線于點(diǎn)D，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；并探究：在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使∠CQD＝60°？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．


54．（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的邊AB在x軸上，且OB＞OA，以AB為直徑的圓過點(diǎn)C，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），且AB＝10．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P是拋物線上在第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（不與C，B重合），過點(diǎn)P作PD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過程中，以P，D，C為頂點(diǎn)的三角形與△COA相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若∠ACB的平分線所在的直線l交x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)E任作一直線l分別交射線CA，CB（點(diǎn)C除外）于點(diǎn)M，N，則是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．



55．（2021秋?長(zhǎng)沙月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝x﹣2的圖象分別交x、y軸于點(diǎn)A、B，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B，點(diǎn)P為第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖1所示，過點(diǎn)P作PM∥y軸，分別交直線AB、x軸于點(diǎn)C、D，若以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)A、C、D為頂點(diǎn)的三角形相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2所示，過點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，連接PB，當(dāng)△PBQ中有某個(gè)角的度數(shù)等于∠OAB度數(shù)的2倍時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．


56．（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)（b為常數(shù)）與函數(shù)（k為常數(shù)，k＞0，x＞0）交于A，B兩點(diǎn)（B在A右側(cè)），與x軸，y軸分別交于C，D兩點(diǎn)．
（1）求tan∠DCO的值；
（2）如圖1，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，1），在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△ACP與△CDO相似，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖2，將直線AB平移到直線EF，其中點(diǎn)E為（0，1），點(diǎn)F在x軸上，連接AE，若AE⊥EF且AB＝2EF，求k的值．



57．（2021秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣5x+5與x軸，y軸分別交于A、C兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B．
（1）求拋物線解析式；
（2）若點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，△ABM的面積等于△ABC面積的，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）如圖2，以B為圓心，2為半徑的⊙B與x軸交于E、F兩點(diǎn)（F在E右側(cè)），若P點(diǎn)是⊙B上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，以PA為腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三點(diǎn)為逆時(shí)針順序），連接FD．求FD長(zhǎng)度的取值范圍．


58．（2021秋?開福區(qū)校級(jí)月考）定義：T函數(shù)的圖象是由一次函數(shù)部分圖象與二次函數(shù)部分圖象組合而成．現(xiàn)有T函數(shù)：y＝．
（1）當(dāng)m＝6時(shí)，點(diǎn)P（5，n）在此函數(shù)圖象上，求n的值；
（2）已知線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（2，2）、B（4，2），當(dāng)此函數(shù)的圖象與線段AB只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直接寫出m的取值范圍；
（3）當(dāng)此函數(shù)圖象上恰好有3個(gè)點(diǎn)到x軸的距離等于4，求m的取值范圍．

59．（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）若函數(shù)y1、y2滿足y＝y(tǒng)1+y2，則稱函數(shù)y是y1、y2的“融合函數(shù)”．例如，一次函數(shù)y1＝2x+1和二次函數(shù)y2＝x2+3x﹣4，則y1、y2的“融合函數(shù)”為y＝y(tǒng)1+y2＝x2+5x﹣3．
（1）若反比例函數(shù)y1＝和一次函數(shù)y2＝kx﹣3，它們的“融合函數(shù)”過點(diǎn)（1，5），求k的值；
（2）若y1＝ax2+bx+c為二次函數(shù)，且a+b+c＝5，在x＝t時(shí)取得最值，y2是一次函數(shù)，且y1y2的“融合函數(shù)”為y＝2x2+x﹣4，當(dāng)﹣1≤x≤2時(shí)，求函數(shù)y1的最小值（用含t的式子表示）；
（3）若二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c與一次函數(shù)y2＝﹣ax﹣b，其中a+b+c＝0且a＞b＞c，若它們的“融合函數(shù)”與x軸交點(diǎn)為A（x1，0）、B（x2，0），求|的取值范圍．

60．（2020秋?長(zhǎng)沙月考）已知拋物線y＝（2m﹣1）x2+（m+1）x+3（m為常數(shù)）．
（1）若該拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，m+7），求m的值；
（2）若拋物線上始終存在不重合的兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求滿足條件的最大整數(shù)m；
（3）將該拋物線向下平移若干個(gè)單位長(zhǎng)度，所得的新拋物線經(jīng)過P（﹣5，y1），Q（7，y2）（其中y1＜y2）兩點(diǎn)，當(dāng)﹣5≤x≤3時(shí)，點(diǎn)P是該部分函數(shù)圖象的最低點(diǎn)，求m的取值范圍．

九上第三次月考真題精選2022版
參考答案與試題解析
一．試題（共42小題）
1．（2021秋?開福區(qū)校級(jí)月考）某校師生植樹節(jié)積極參加以組為單位的植樹活動(dòng)，七個(gè)小組植樹情況如下：則本組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)分別為（　　）

第一組
第二組
第三組
第四組
第五組
第六組
第七組
數(shù)量（棵）
5
6
5
4
6
5
7
A．5，4 B．6，5 C．7，6 D．5，5
【解答】解：∵5出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，
∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是5棵；
把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：4，5，5，5，6，6，7，最中間的數(shù)是5；
則中位數(shù)為5．
故選：D．
2．（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）一個(gè)不透明的盒子里有9個(gè)黃球和若干個(gè)紅球，紅球和黃球除顏色外其他完全相同，每次摸球前先將盒子里的球搖勻，任意摸出一個(gè)球記下顏色后再放回盒子，通過大量重復(fù)摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在30%，那么估計(jì)盒子中紅球的個(gè)數(shù)為 　21?。?br /> 【解答】解：設(shè)盒子中紅球的個(gè)數(shù)為m個(gè)．
根據(jù)題意得＝30%，
解得：m＝21，
經(jīng)檢驗(yàn)，m＝21是分式方程的解，
所以這個(gè)不透明的盒子中紅球的個(gè)數(shù)為21個(gè)．
故答案為：21．
3．（2021秋?芙蓉區(qū)校級(jí)月考）如圖，甲為四等分?jǐn)?shù)字轉(zhuǎn)盤，乙為三等分?jǐn)?shù)字轉(zhuǎn)盤．同時(shí)自由轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)后（若指針指在邊界處則重轉(zhuǎn)），兩個(gè)轉(zhuǎn)盤指針指向數(shù)字之和不超過4的概率是（　?。?br />
A． B． C． D．
【解答】解：

由樹狀圖可知共有4×3＝12種可能，兩個(gè)轉(zhuǎn)盤指針指向數(shù)字之和不超過4的有6種，
∴兩個(gè)轉(zhuǎn)盤指針指向數(shù)字之和不超過4的概率是，
故選：D．
4．（2021秋?開福區(qū)校級(jí)月考）下列命題是假命題的是（　?。?br /> A．平行四邊形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形
B．同角（或等角）的余角相等
C．線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等
D．正方形的對(duì)角線相等，且互相垂直平分
【解答】解：A．平行四邊形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形；假命題；
B．同角（或等角）的余角相等；真命題；
C．線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等；真命題；
D．正方形的對(duì)角線相等，且互相垂直平分；真命題；
故選：A．
5．（2021秋?芙蓉區(qū)校級(jí)月考）如圖①，正方形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，E是OD的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿著E→O→B→A的路徑以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，在此過程中線段AP的長(zhǎng)度y隨著運(yùn)動(dòng)時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系如圖②所示，則AB的長(zhǎng)為（　?。?br />
A．4 B．4 C．3 D．2
【解答】解：如圖，連接AE．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝OD＝OB，
由題意DE＝OE，設(shè)DE＝OE＝x，則OA＝OD＝2x，
∵AE＝2，
∴x2+（2x）2＝（2）2，
解得x＝2或﹣2（不合題意舍棄），
∴OA＝OD＝4，
∴AB＝AD＝4，
故選：A．
6．（2021秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）如圖，用一段長(zhǎng)為30m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形苗圃園，墻長(zhǎng)為18m，設(shè)這個(gè)苗圃園垂直于墻的一邊AB的長(zhǎng)為xm．
（1）用含有x的式子表示BC，并直接寫出x的取值范圍；
（2）若苗圃園的面積為72m2，求AB的長(zhǎng)．

【解答】解：（1）∵AB＝CD＝xm，且籬笆的長(zhǎng)為30m，
∴BC＝（30﹣2x）m．
又∵，
∴6≤x＜15．
（2）依題意得：x（30﹣2x）＝72，
整理得：x2﹣15x+36＝0，
解得：x1＝3，x2＝12．
又∵6≤x＜15，
∴x＝12．
答：AB的長(zhǎng)為12m．
7．（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）某商家準(zhǔn)備銷售一種防護(hù)品，進(jìn)貨價(jià)格為每件40元，并且每件的售價(jià)不低于進(jìn)貨價(jià)．經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查，每月的銷售量y（件）與每件的售價(jià)x（元）之間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系．
（1）求每月的銷售量y（件）與每件的售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（不必寫出自變量的取值范圍）
（2）物價(jià)部門規(guī)定，該防護(hù)品每件的利潤(rùn)不允許高于進(jìn)貨價(jià)的50%．設(shè)這種防護(hù)品每月的總利潤(rùn)為w（元），那么售價(jià)定為多少元可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？

【解答】解：（1）設(shè)每月的銷售量y（件）與每件的售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝kx+b，
∵點(diǎn)（60，600），（80，400）在該函數(shù)圖象上，
∴，
解得，
即每月的銷售量y（件）與每件的售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝﹣10x+1200；
（2）由題意可得，
w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣10x+1200）＝﹣10（x﹣80）2+16000，
∴該函數(shù)圖象開口向下，當(dāng)x＜80時(shí)，w隨x的增大而增大，
∵該防護(hù)品每件的利潤(rùn)不允許高于進(jìn)貨價(jià)的50%．
∴x﹣40≤40×50%，
解得x≤60，
∴當(dāng)x＝60時(shí)，w取得最大值，此時(shí)w＝12000，
答：售價(jià)定為60元可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是12000元．
8．（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（abc≠0）的圖象如圖所示，反比例函數(shù)與正比例函數(shù)y＝ax在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：由二次函數(shù)的圖象可得，a＞0，b＜0，c＞0．
∴bc＜0，
∴反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，正比例函數(shù)y＝ax的圖象過一、三象限，
故選：B．
9．（2021秋?望城區(qū)校級(jí)月考）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)y的部分對(duì)應(yīng)值見表格，則下列結(jié)論：①c＝2；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的兩根為x1＝﹣2，x2＝0；④7a+c＜0．其中正確的有（　　）
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
1.875
3
m
1.875
0
…
A．①④ B．②③ C．③④ D．②④
【解答】解：由表格可以得到，二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，1.875）和點(diǎn)（1，1.875），
∵點(diǎn)（﹣3，1.875）與點(diǎn)（1，1.875）是關(guān)于二次函數(shù)對(duì)稱軸對(duì)稱的，
∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x＝＝﹣1，
∴設(shè)二次函數(shù)解析式為y＝a（x+1）2+h，
代入點(diǎn)（﹣2，3），（2，0）得，
，
解得，
∴二次函數(shù)的解析式為：，
∵，
∴c＝3，
∴①是錯(cuò)誤的，
∵b2﹣4ac＝＞0，
∴②是正確的，
方程ax2+bx＝0為，
即為x2+2x＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝0，
∴③是正確的，
∵7a+c＝＝＞0，
∴④是錯(cuò)誤的，
∴②③是正確的，
故選：B．
10．（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）若ab＜0，則反比例函數(shù)y＝與一次函數(shù)y＝ax+b在同一坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【解答】解：∵ab＜0，
∴反比例函數(shù)y＝的圖象在二、四象限，故A、C選項(xiàng)不合題意，
∵ab＜0，
∴一次函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過第一、三、四象限或經(jīng)過一、二、四象限，故B選項(xiàng)不合題意，D選項(xiàng)符合題意，
故選：D．
11．（2021秋?望城區(qū)校級(jí)月考）如圖，平行于y軸的直線分別交y＝與y＝的圖象（部分）于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，則△ABC的面積為（　?。?br />
A．k1﹣k2 B．（k1﹣k2） C．k2﹣k1 D．（k2﹣k1）
【解答】解：由題意可知，AB＝﹣，AB邊上的高為x，
∴S△ABC＝×（﹣）?x＝（k1﹣k2），
故選：B．
12．（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）如圖，第一象限內(nèi)的點(diǎn)A在反比例函數(shù)上，第二象限的點(diǎn)B在反比例函數(shù)上，且OA⊥OB，，BC、AD垂直于x軸于C、D，則k的值為 　﹣　．

【解答】解：如圖，∵第一象限內(nèi)的點(diǎn)A在反比例函數(shù)上，BC、AD垂直于x軸于C、D，
∴S△AOD＝×4＝2，
∵OA⊥OB，
∴∠AOD+∠BOC＝90°，
∴∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠BOC＝∠OAD，
∵∠BCO＝∠ODA＝90°，
∴Rt△AOD∽R(shí)t△OBC，
∵，
∴＝（）＝，
∴S△OBC＝S△AOD＝×2＝，
∴?|k|＝，
而k＜0，
∴k＝﹣．
故答案為：﹣．

13．（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為1，OA⊥AB，則k的值為 　8?。?br />
【解答】解：過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥AM于N，
∵∠OAB＝90°，
∴∠OAM+∠BAN＝90°，
∵∠AOM+∠OAM＝90°，
∴∠BAN＝∠AOM，
∴△AOM∽△BAN，
∴＝，
∵點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為1，
∴A（2，），B（k，1），
∴OM＝2，AM＝，AN＝﹣1，BN＝k﹣2，
∴＝，
解得k1＝2（舍去），k2＝8，
∴k的值為8，
故答案為：8．

14．（2021秋?天心區(qū)校級(jí)月考）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸正半軸上，反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象分別與矩形OABC兩邊AB，BC交于點(diǎn)D，E，沿直線DE將△DBE翻折得到△DFE，且點(diǎn)F恰好落在直線OA上．下列四個(gè)結(jié)論：①DE∥AC；②CE＝AD；③tan∠FED＝；④S△EOF＝k．其中結(jié)論正確的有 　①③④　.（僅填序號(hào)即可）

【解答】解：設(shè)OA＝a，OC＝b，
E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為b，A的橫坐標(biāo)為a，分別代入y＝，
得E（，b），D（a，），
∴CE＝，AD＝，
∵四邊形OABC是矩形，
∴OA＝BC＝a，OC＝AB＝b，
∴BE＝a﹣，BD＝b﹣，
∴＝，＝，
∴＝，
∴DE∥AC，故①正確；
∵＝，
∴＝，
∵BC≠AB，
∴CE≠AD，故②錯(cuò)誤；
過點(diǎn)E作EG⊥OA于點(diǎn)G，

∴∠EGA＝∠FAD＝90°，
∵∠B＝∠EFD＝90°，
∴∠GEF+∠GFE＝90°，
∵∠GFE+∠AFD＝90°，
∴∠GEF＝∠AFD，
∴△EGF∽△FAD，
∴DF：EF＝AF：EG，
∵∠EGA＝∠GAB＝90°，
∴四邊形EGAB是矩形，
∴EB＝AG，EG＝AB，
∴DF：EF＝AF：AB，
在Rt△EFD中，tan∠FED＝，
∴tan∠FED＝，故③正確；
∵BE＝EF＝a﹣，BD＝FD＝b﹣，且△EGF∽△FAD，
∴＝，
∴GF＝，
∴CE＝OG＝，
∴OG＝GF，
∴OF＝2OG＝，
∴S△EOF＝?OF?EG＝??b＝k，
故④正確．
故答案為：①③④．
15．（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知矩形OABC的面積為18，它的對(duì)角線OB與雙曲線相交于點(diǎn)D，且OD：DB＝2：1，則k＝　8?。?br />
【解答】解：由題意，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（xD，yD），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（xD，yD）．
∴矩形OABC的面積＝|xD×yD|＝18，
∵圖象有第一象限，
∴k＝xD?yD＝8．
故答案為：8．
16．（2021秋?望城區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象上，且點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為a和2a（a＞0）．過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為C，連接OA，△AOC的面積為2．
（1）求反比例函數(shù)表達(dá)式；
（2）求△AOB的面積；
（3）點(diǎn)P，Q在這個(gè)雙曲線位于第三象限的一支上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣2．若△POQ與△AOB的面積相等，寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)　（﹣1，﹣4），（﹣4，﹣1）?。?br />
【解答】解：（1）∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象上，過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為C，△AOC的面積為2，
∴k＝2，
∴k＝4，
∴反比例函數(shù)表達(dá)式為y＝；

（2）如圖，作BD⊥x軸于點(diǎn)D，則S△AOC＝S△BOD＝×4＝2．
∵點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，且點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為a和2a（a＞0），
∴A（a，），B（2a，），
∴S△AOB＝S梯形ABDC+S△AOC﹣S△BOD
＝S梯形ABDC
＝（BD+AC）?CD
＝（+）×（2a﹣a）
＝3；

（3）∵點(diǎn)P在反比例函數(shù)y＝的圖象上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣2，
∴y＝＝﹣2，即P（﹣2，﹣2）．
設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，）．
如圖，作PM⊥x軸于點(diǎn)M，QN⊥x軸于點(diǎn)N，
由（2）知S△POQ＝S梯形PMNQ＝3，
所以（2﹣）×|m+2|＝3，
①如果m＜﹣2，那么（2﹣）×（﹣m﹣2）＝3，
化簡(jiǎn)整理得，m2+3m﹣4＝0，
解得m1＝﹣4，m2＝1（不合題意舍去），
所以Q點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，﹣1）；
②如果m＞﹣2，那么（2﹣）×（m+2）＝3，
化簡(jiǎn)整理得，m2﹣3m﹣4＝0，
解得m1＝﹣1，m2＝4（不合題意舍去），
所以Q點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣4）；
綜上所述，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣4），（﹣4，﹣1）．
故答案為（﹣1，﹣4），（﹣4，﹣1）．


17．（2021秋?長(zhǎng)沙月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0）．若反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過線段OC的中點(diǎn)A（3，2），交DC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．設(shè)直線EF的解析式為y＝k2x+b．
（1）求反比例函數(shù)和直線EF的解析式；
（2）求△OEF的面積；
（3）請(qǐng)結(jié)合圖象直接寫出不等式k2x+b＞0的解集．

【解答】解：（1）∵四邊形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0），
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（6，4），
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），
∴k1＝3×2＝6，
∴反比例函數(shù)解析式為y＝；
把x＝6代入y＝得x＝1，則F點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，1）；
把y＝4代入y＝ 得x＝，則E點(diǎn)坐標(biāo)為（，4），
把F（6，1）、E（，4）代入y＝k2x+b，
得 ，
解得，，
∴直線EF的解析式為y＝﹣x+5；
（2）△OEF的面積＝S矩形BCDO﹣S△ODE﹣S△OBF﹣S△CEF
＝4×6﹣×4×﹣×6×1﹣×（6﹣）×（4﹣1）
＝；
（3）由圖象得：不等式k2x+b﹣＞0的解集為＜x＜6．
18．（2021秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）如圖，直線y＝﹣x+b分別與x軸，y軸相交于A，B，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象與直線AB相交于C，D兩點(diǎn)，且C點(diǎn)坐標(biāo)是（2，n），tan∠BOC＝．
（1）求直線AB及反比例函數(shù)的表達(dá)式．
（2）若x軸上有一點(diǎn)P，使∠ODP＝90°，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

【解答】解：（1）如圖1，
過點(diǎn)C作CE⊥OB于E，
∴∠OEC＝90°，
∵C（2，n），
∴CE＝2，OE＝n，
∵tan∠BOC＝，
∴，
∴＝，
∴n＝4，
∴C（2，4），
將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入直線AB：y＝﹣x+b中，得4＝﹣×2+b，
∴b＝5，
∴直線AB的解析式為y＝﹣x+5，
將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y＝中，得k＝2×4＝8，
∴反比例函數(shù)的解析式為y＝；

（2）如圖2，由（1）知，直線AB的解析式為y＝﹣x+5①，
反比例函數(shù)的解析式為y＝②，
聯(lián)立①②解得，或，
∴D（8，1），
過點(diǎn)D作DF⊥OA于F，
∴∠OFD＝90°，
∴∠DOF+∠ODF＝90°，
∵∠ODP＝90°，
∴∠ODF+∠PDF＝90°，
∴∠DOF＝∠PDF，
∴△OFD∽△DFP，
∴，
∵D（8，1），
∴OF＝8，DF＝1，
∴，
∴PF＝，
∴OP＝OF+PF＝8+＝，
∴P（，0）．

19．（2021秋?長(zhǎng)沙月考）已知反比例函數(shù)y＝，一次函數(shù)y＝mx﹣m+1．
（1）求證：這兩個(gè)函數(shù)一定有交點(diǎn)；
（2）我們定義：若兩個(gè)函數(shù)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、x2（x1＞x2），滿足2＜＜3，則稱這兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)“夢(mèng)想交點(diǎn)”，如果y＝與y＝mx﹣m+1有兩個(gè)“夢(mèng)想交點(diǎn)”，求m的取值范圍．
【解答】解：（1）聯(lián)立，
整理得mx2﹣（m﹣1）x﹣1＝0．
∴a＝m，b＝﹣（m﹣1），c＝﹣1，
∴Δ＝[﹣（m﹣1）]2﹣4m（﹣1）＝m2﹣2m+1+4m，
∴Δ＝（m+1）2≥0，
∴這兩個(gè)函數(shù)一定有交點(diǎn)；
（2）∵mx2﹣（m﹣1）x﹣1＝0，
∴x＝1或﹣，
由題意得：2＜﹣m＜3或2＜﹣＜3，
解得：﹣3＜m＜﹣2或﹣＜m＜﹣．
綜上所述，m的取值范圍為：﹣＜m＜﹣或﹣3＜m＜﹣2．
20．（2021秋?開福區(qū)校級(jí)月考）“圓材埋壁”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小．以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺．問：徑幾何？”轉(zhuǎn)化為現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言就是：如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，AE＝1寸，CD＝10寸，則直徑AB的長(zhǎng)為　26　寸．

【解答】解：連接OC．設(shè)圓的半徑是x寸，在直角△OCE中，OC＝x寸，OE＝（x﹣1）寸，
∵OC2＝OE2+CE2，
則x2＝（x﹣1）2+25，
解得：x＝13．
則AB＝2×13＝26（寸）．
故答案為：26．

21．（2021秋?望城區(qū)校級(jí)月考）如圖，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝3，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是 　π?。?br />
【解答】解：取AB中點(diǎn)O，連接OP，OC，取OC中點(diǎn)D，連接MD，
∵，
∴，
∴，
由題意可知，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)D為圓心，為半徑的半圓，
∴，
∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)＝，
故答案為：π．

22．（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，點(diǎn)A、D在以BC為直徑的半圓上，D是弧的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)E．若AE＝3，CD＝2，則CE等于（　　）

A．5 B．4 C．2 D．12
【解答】解：延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)G，

∵D是的中點(diǎn)，
∴∠ACD＝∠ABD＝∠CBD，
又∵BC為直徑，
∴∠BDC＝90，
∴△BCG為等腰三角形，
∴BD平分CG，
∴CG＝2CD＝4，
在Rt△CDE和Rt△CAG中，由于∠ACD是公共角，∠CDE＝∠CAG＝90°，
∴△CDE∽△CAG，
∴＝，
即＝，
解得CE＝5或CE＝﹣8（舍去），
故CE的長(zhǎng)為5，
故選：A．
23．（2021秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）如圖，AB是⊙O的直徑，AB⊥CD于點(diǎn)E，連接CO，AD．若∠BAD＝20°，則（　?。?br />
A．AD＝2OB B．CE＝EO C．∠OCE＝40° D．∠BOC＝2∠BAD
【解答】解：∵AB⊥CD于點(diǎn)E，
∴CE＝DE，＝，
∴∠BOC＝2∠BAD＝40°．
故選：D．
24．（2021秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，點(diǎn)B、C在⊙O上，邊AB、AC分別交⊙O于D、E兩點(diǎn)，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，則∠ABE＝　13°?。?br />
【解答】解：如圖，連接DC，
∵∠DBC＝90°，
∴DC是⊙O的直徑，
∵點(diǎn)B是的中點(diǎn)，
∴∠BCD＝∠BDC＝45°，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，
∴∠ACB＝90°﹣32°＝58°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝58°﹣45°＝13°＝∠ABE，
故答案為：13°．

25．（2021秋?天心區(qū)月考）如圖，從一塊半徑為1m的圓形鐵皮上剪出一個(gè)圓周角為120°的扇形ABC，如果將剪下來的扇形圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的底面圓的半徑為　　m．

【解答】解：如圖，連接OA，OB，OC，

則OB＝OA＝OC＝1m，
因此陰影扇形的半徑為1m，圓心角的度數(shù)為120°，
則扇形的弧長(zhǎng)為：m，
而扇形的弧長(zhǎng)相當(dāng)于圍成圓錐的底面周長(zhǎng)，因此有：
2πr＝，
解得，r＝（m），
故答案為：．
26．（2021秋?長(zhǎng)沙月考）如圖，矩形ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，M，N分別為BC，OC的中點(diǎn)，若MN＝3，則BD＝　12?。?br />
【解答】解：∵M(jìn)、N分別為BC、OC的中點(diǎn)，
∴BO＝2MN＝6．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴BD＝2BO＝12．
故答案為12．
27．（2021秋?開福區(qū)校級(jí)月考）如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，點(diǎn)E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足為F．
（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；
（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，cosB＝，求BF和AD的長(zhǎng)．

【解答】（1）證明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，
∴AD∥CE，
∵AE∥DC，
∴四邊形AECD是平行四邊形；
（2）解：∵EF⊥AB，
∴∠BFE＝90°，
∵cosB＝＝，BE＝5，
∴BF＝BE＝×5＝4，
∴EF＝＝＝3，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACE＝90°，
∴EC＝EF＝3，
由（1）得：四邊形AECD是平行四邊形，
∴AD＝EC＝3．
28．（2021秋?望城區(qū)校級(jí)月考）如圖，AC是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，連接PB、AB，∠PBA＝∠C．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）連接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半徑為2，求BC的長(zhǎng)．

【解答】（1）證明：連接OB，如圖所示：
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠BAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA，
∵∠PBA＝∠C，
∴∠PBA+∠OBA＝90°，
即PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切線；
（2）解：∵⊙O的半徑為2，
∴OB＝2，AC＝4，
∵OP∥BC，
∴∠CBO＝∠BOP，
∵OC＝OB，
∴∠C＝∠CBO，
∴∠C＝∠BOP，
又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，
∴△ABC∽△PBO，
∴，
即，
∴BC＝2．

29．（2021秋?天心區(qū)月考）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，AD平分∠CAE交⊙O于點(diǎn)D，且AE⊥CD，垂足為點(diǎn)E．
（1）求證：直線CE是⊙O的切線；
（2）求證：CD2＝CB?CA；
（3）若BC＝3，CD＝，求弦AD的長(zhǎng)．

【解答】（1）證明：連接OD，
∵AD平分∠EAC，
∴∠OAD＝∠EAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠EAD＝∠ODA，
∴OD∥AE，
∵AE⊥DC，
∴OD⊥CE，
∵OD為⊙O的半徑，
∴CE是⊙O的切線；
（2）證明：連接BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∵∠ADB＝90°，
∴∠CDO＝∠ADB，
∴∠ODA＝∠CDB＝∠OAD，
∵∠C＝∠C，
∴△CDB∽△CAD，
∴＝，
∴CD2＝CB?CA；
（3）解：∵CB＝3，CD＝3，
∴CA＝＝6，
∴AB＝6﹣3＝3，
由（2）可知：△CDB∽△CAD，
∴＝＝＝，
∴BD＝AD，
在Rt△ADB中，AD2+BD2＝AB2，即AD2+（AD）2＝32，
解得：AD＝．

30．（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知等腰三角形ABC的底角為30°，以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點(diǎn)D，過D作DE⊥AC，垂足為E．
（1）證明：DE為⊙O的切線；
（2）若BC＝4，求DE的長(zhǎng)．

【解答】（1）證明：連接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∴∠ODB＝∠A，
∴OD∥AC，
∴∠ODE＝∠DEA＝90°，
∴DE為⊙O的切線；

（2）解：連接CD，
∵BC為直徑，
∴∠ADC＝90°，
∵∠A＝30°，
又∵AC＝BC＝4，
∴AD＝AC?cos30°＝4×＝2，
∴DE＝AD＝．

31．（2021秋?開福區(qū)校級(jí)月考）如圖，把矩形ABCD沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕交CD于E，若AE＝10，tan∠EFC＝，則矩形ABCD的面積為　64?。?br />
【解答】解：設(shè)CE＝3k，則CF＝4k，由勾股定理得EF＝DE＝＝5k，
∴DC＝AB＝8k，
∵∠AFB+∠BAF＝90°，∠AFB+∠EFC＝90°，
∴∠BAF＝∠EFC，
∴tan∠BAF＝tan∠EFC＝，
∴BF＝6k，AF＝BC＝AD＝10k，
在Rt△AFE中，由勾股定理得AE＝＝＝5k＝10，
解得：k＝，
∴BC＝4，AB＝，
∴矩形ABCD的面積為BC×AB＝4×＝64．
故答案為：64．
32．（2021秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝3，將△ABC以點(diǎn)C為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DEC，連接BE、AD．下列說法錯(cuò)誤的是（　　）

A．S△ABD＝6 B．S△ADE＝3 C．BE⊥AD D．∠AED＝135°
【解答】解：∵將△ABC以點(diǎn)C為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DEC，
∴AC＝CD＝3，BC＝CE＝1，∠ACD＝90°，
∴AE＝AC﹣CE＝2，BD＝BC+CD＝4，∠ADC＝∠CAD＝∠CBE＝∠CEB＝45°，
∴S△ABD＝×BD×AC＝6，S△ADE＝×AE×CD＝3，∠CBE+∠ADC＝90°，∠ADE＜45°，
∴BE⊥AD，
故A、B、C選項(xiàng)不符合題意，D選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
33．（2021秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMN，點(diǎn)C和點(diǎn)N是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，若AB＝2，則BM＝　2?。?br />
【解答】解：連接MB，
∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMN，
∴AB＝AM，∠MAB＝60°，

∴△ABM是等邊三角形，
∴MB＝AB＝2，
故答案為：2．
34．（2021秋?天心區(qū)月考）如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（　?。?br />
A． B．
C． D．
【解答】解：由正方形的性質(zhì)可知，∠ACB＝180°﹣45°＝135°，
A、C、D圖形中的鈍角都不等于135°，
由勾股定理得，BC＝，AC＝2，
對(duì)應(yīng)的圖形B中的邊長(zhǎng)分別為1和，
∵＝，
∴圖B中的三角形（陰影部分）與△ABC相似，
故選：B．
35．（2021秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，P是AC的中點(diǎn)，過P點(diǎn)的直線交AB于點(diǎn)Q，若以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形和以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似，則AQ的長(zhǎng)為　3或　．

【解答】解：∵AC＝4，P是AC的中點(diǎn)，
∴AP＝AC＝2，
①若△APQ∽△ACB，則，
即，
解得：AQ＝3；
②若△APQ∽△ABC，則，
即，
解得：AQ＝；
∴AQ的長(zhǎng)為3或．
故答案為：3或．
36．（2021秋?望城區(qū)校級(jí)月考）如圖，矩形ABCD中，F(xiàn)是DC上一點(diǎn)，BF⊥AC，垂足為E，＝，△CEF的面積為S1，△AEB的面積為S2，則的值等于　?。?br />
【解答】解：∵＝，
∴設(shè)AD＝BC＝a，則AB＝CD＝2a，
∴AC＝a，
∵BF⊥AC，
∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，
∴BC2＝CE?CA，AB2＝AE?AC
∴a2＝CE?a，2a2＝AE?a，
∴CE＝，AE＝，
∴＝，
∵△CEF∽△AEB，
∴＝（）2＝，
故答案為：．
37．（2021秋?長(zhǎng)沙月考）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，點(diǎn)B在x軸正半軸上，以點(diǎn)O為位似中心，在第三象限內(nèi)與△OAB的位似比為的位似圖形△OCD．若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，﹣），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（　?。?br />
A．（，2） B．（2，3） C．（3，） D．（3，2）
【解答】解：∵以點(diǎn)O為位似中心，在第三象限內(nèi)作與△OAB的位似比為的位似圖形△OCD，C（﹣1，﹣），
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1×（﹣3），﹣×（﹣3）），即（3，2），
故選：D．
38．（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）如圖，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，若BD＝3，CD＝2，則tanB的值為（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
又∠B+∠BAD＝90°，
∴∠CAD＝∠B，
∴tan∠B＝，tan∠CAD＝，
∴＝，即AD2＝BD?CD＝3×2＝6．
∴AD＝．
故tan∠B＝＝．
故選：D．
39．（2021秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）如圖是凈月潭國(guó)家森林公園一段索道的示意圖．已知A、B兩點(diǎn)間的距離為30米，∠A＝α，則纜車從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)，上升的高度（BC的長(zhǎng)）為（　?。?br />
A．30sinα米 B．米 C．30cosα米 D．米
【解答】解：由圖可知，在△ABC中，AC⊥BC，
∴sinα＝＝，
∴BC＝30sinα米．
故選：A．
40．（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）如圖，某大樓的頂部豎有一塊廣告牌CD，小馬同學(xué)在山坡的坡腳A處測(cè)得廣告牌底部D的仰角為53°，沿坡面AB向上走到B處測(cè)得廣告牌頂部C的仰角為45°，已知山坡AB的坡比i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．（測(cè)角器的高度忽略不計(jì)，參考數(shù)據(jù)：，tan53°
（1）求點(diǎn)B距水平地面AE的高度．
（2）若市政規(guī)定廣告牌的高度不得大于7米，請(qǐng)問該公司的廣告牌是否符合要求，并說明理由．

【解答】解：（1）如圖，過點(diǎn)B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分別為M、N，
由題意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．
∵i＝1：＝＝tan∠BAM，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝5（米），
即點(diǎn)B距水平地面AE的高度為5米；
（2）在Rt△ABM中，
∴BM＝AB＝5（米）＝NE，
AM＝AB＝5（米），
∴ME＝AM+AE＝（5+21）米＝BN，
∵∠CBN＝45°，
∴CN＝BN＝ME＝（5+21）米，
∴CE＝CN+NE＝（5+26）米，
在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝21米，
∴DE＝AE?tan53°≈21×＝28（米），
∴CD＝CE﹣DE
＝5+26﹣28
＝5﹣2
≈6.7（米）＜7米，
∴符合要求，

41．（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）如圖，D為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑BA的延長(zhǎng)線上，且CD2＝CA?CB．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）過點(diǎn)B作⊙O的切線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若BC＝10，，求BE的長(zhǎng)．

【解答】（1）證明：如圖，連接OD，

∵CD2＝CA?CB，
∴，
∵∠C＝∠C，
∴△DCA∽△BCD，
∴∠ADC＝∠DBC，
∵OB＝OD，
∴∠BDO＝∠DBO，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠BDA＝90°，
∴∠BDO+∠ODA＝∠CDA+∠ODA＝90°，
∴OD⊥CD，
∴CD為O0的切線；
（2）∵BE、CE是⊙O的切線，
∴ED＝EB，
∵△DCA∽△BCD，
∴∠DBA＝∠CDA，
∴＝tan∠DBA＝tan∠CDA＝，
∴CD＝BC＝6，
設(shè)BE＝x，則DE＝x，CE＝x+6．
在Rt△CBE中，
（x+6）2＝x2+102，
解得：x＝，
∴BE＝．
42．（2020秋?開福區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DE是⊙O的切線．
（1）求證：∠CDE＝∠BAC；
（2）連接AD，若tan∠CAD＝，CE＝4，求⊙O的半徑．

【解答】解：（1）如圖，連接OD，AD，

∵AC是直徑，
∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠CAD＝∠BAD＝BAC，
∵DE是⊙O的切線，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE＝90°，
∴∠ADC＝∠ODE，
∴∠CDE＝∠ADO，
∵OA＝OD，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴∠CDE＝∠CAD，
∵∠CAD＝BAC，
∴∠CDE＝∠BAC；
（2）解：∵AD⊥BC，
∴tan∠CAD＝＝，
∴AD＝3CD，
設(shè)DC＝x，則AD＝3x，CE＝4，
∴AC＝＝x，
∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，
∴△CDE∽△DAE，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴DE＝12，x＝，
∴AC＝x＝32，
∴⊙O的半徑為16．
二．幾何壓軸（共9小題）
43．（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，AF交對(duì)角線BD于點(diǎn)E，點(diǎn)G是BC上的一點(diǎn)且AE＝EG，連結(jié)AG，交BD于點(diǎn)H．滿足AH2＝HE?HD，現(xiàn)給出下列結(jié)論：①EG⊥AF；②BG+DF＝FG；③若tan∠DAF＝，則．其中正確的有（　　）個(gè)．

A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：∵AH2＝HE?HD，
∴＝，
∵∠HAE＝∠ADH，
∴△AHE∽△DHA，
∴∠HAE＝∠ADH，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AC平分∠ADC，
∴∠ADH＝45°，
∴∠HAE＝∠EGA＝45°，
∵AE＝EG，
∴∠EAH＝∠EGA＝45°，
∴∠AEG＝90°，
∴EG⊥AF，
∴①正確；
將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△ABM，
∴△ADF≌△ABM，
∴AF＝AM，DF＝BM，∠DAF＝∠BAM，
∵∠FAG＝45°，∠DAB＝90°，
∴∠DAF+∠GAB＝45°，
∴∠GAB+∠BAM＝45°，
∴∠FAG＝∠MAG，
在△FAG和△MAG中，
，
∴△FAG≌△MAG（SAS），
∴FG＝MG，
∴MB+BG＝FG，
∴BG+DF＝GF，
∴②正確；
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4，BG＝a，
∵tan∠DAF＝，
∴DF＝FC＝BM＝2，
∴CG＝4﹣a，MG＝GF＝2+a，
在Rt△FCG中，CG2+CF2＝GF2，
∴（4﹣a）2+4＝（a+2）2，
解得：a＝，
即BG＝，GC＝，
∴＝，
∴③錯(cuò)誤．
正確的有2個(gè)．
故選：C．
44．（2021秋?長(zhǎng)沙月考）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，C、E是⊙O上的兩點(diǎn)，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）求證：CE＝CF；
（3）若BD＝1，CD＝，求弦AC的長(zhǎng)．

【解答】解：（1）連接OC，如右圖所示，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠ABC＝90°，
∵CE＝CB，
∴∠CAE＝∠CAB，
∵∠BCD＝∠CAE，
∴∠CAB＝∠BCD，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OCB+∠BCD＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴CD是⊙O的切線；
（2）∵∠BAC＝∠CAE，∠ACB＝∠ACF＝90°，AC＝AC，
∴△ABC≌△AFC（ASA），
∴CB＝CF，
又∵CB＝CE，
∴CE＝CF；
（3）∵∠BCD＝∠CAD，∠ADC＝∠CDB，
∴△DCB∽△DAC，
∴，
∴，
∴DA＝2，
∴AB＝AD﹣BD＝2﹣1＝1，
設(shè)BC＝a，AC＝a，由勾股定理可得：，
解得：a＝，
∴．

45．（2021秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，AD與過點(diǎn)C的切線垂直，垂足為點(diǎn)D，直線DC與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，弦CE平分∠ACB，交AB點(diǎn)F，連接BE．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）求證：PC＝PF；
（3）若tan∠ABC＝，AB＝14，求線段PC的長(zhǎng)．

【解答】（1）證明：∵PD切⊙O于點(diǎn)C，
∴OC⊥PD，
又∵AD⊥PD，
∴OC∥AD，
∴∠ACO＝∠DAC．
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠CAO，
即AC平分∠DAB；
（2）證明：∵AD⊥PD，
∴∠DAC+∠ACD＝90°．
又∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°．
∴∠PCB+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠PCB．
又∵∠DAC＝∠CAO，
∴∠CAO＝∠PCB．
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠BCF，
∴∠CAO+∠ACF＝∠PCB+∠BCF，
∴∠PFC＝∠PCF，
∴PC＝PF；
（3）解：∵∠PAC＝∠PCB，∠P＝∠P，
∴△PAC∽△PCB，
∴＝．
又∵tan∠ABC＝，
∴，
∴，
設(shè)PC＝4k，PB＝3k，則在Rt△POC中，PO＝3k+7，OC＝7，
∵PC2+OC2＝OP2，
∴（4k）2+72＝（3k+7）2，
∴k＝6 （k＝0不合題意，舍去）．
∴PC＝4k＝4×6＝24．

46．（2021秋?天心區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知AB是⊙O的直徑．BC是⊙O的弦，弦ED垂直AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G．過點(diǎn)C作⊙O的切線交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P
（1）求證：PC＝PG；
（2）判斷PG2＝PD?PE是否成立？若成立，請(qǐng)證明該結(jié)論；
（3）若G為BC中點(diǎn)，OG＝，sinB＝，求DE的長(zhǎng)．

【解答】解：（1）連接OC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵CP是⊙O的切線，
∴∠OCP＝90°，
∵弦ED垂直AB于點(diǎn)F，AB是⊙O的直徑，
∴∠GFB＝90°，
∵∠FGB+∠FBG＝90°，∠OCB+∠BCP＝90°，
∴∠FGB＝∠PCG，
∵∠FGB＝∠PGC，
∴∠PCG＝∠PGC，
∴PC＝PG；
（2）如圖1，連接EC、CD，
∵ED⊥AB，AB是圓O的直徑，
∴＝，
∴∠ECB＝∠BCD，
∵PG＝PC，
∴∠PCG＝∠PGC，
∵∠CGP＝∠E+∠ECB，∠GCP＝∠PCD+∠BCD，
∴∠PCD＝∠E，
∴△PCD∽△PEC，
∴＝，
∴PC2＝PE?PD，
∵PC＝PG，
∴PG2＝PD?PE；
（3）如圖2，連接OG，EO，
∵G為BC中點(diǎn)，
∴OG⊥BC，
在Rt△BOG中，OG＝，sinB＝，
∴OB＝5，BG＝2，
∵GF⊥OB，
∴∠B+∠FGB＝90°，∠B+∠BOG＝90°，
∴∠GOF＝∠FGB，
∴△FGB∽△GOB，
∴，
∴＝，
∴FB＝4，
∴OF＝1，
在Rt△EOF中，OF＝1，EO＝5，
∴EF＝2，
∴ED＝4．


47．（2021秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，CD為⊙O的切線，過D作ED⊥AD，與AC的延長(zhǎng)線相交于E，BD＝1，DE＝．
（1）求證：CD＝DE；
（2）求⊙O的半徑；
（3）若∠ACB的平分線與⊙O交于點(diǎn)F，P為△ABC的內(nèi)心，求PF的長(zhǎng)．

【解答】（1）證明：如圖1，連接OC，
∵CD為⊙O的切線，
∴OC⊥CD，
∴∠ACO+∠ECD＝90°，
∵ED⊥AD，
∴∠A+∠E＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠E＝∠DCE，
∴CD＝DE；
（2）解：設(shè)⊙O的半徑為r，則OB＝OC＝r，
∵BD＝1，DE＝，
∴OD＝r+1，CD＝，
在Rt△OCD中，OC2+CD2＝OD2，
∴r2+（）2＝（r+1）2，
解得：r＝2，
∴⊙O的半徑為2；
（3）解：如圖2，連接AF，BF，AP，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠BCF，
∴＝，
∴AF＝BF，∠ACF＝∠BCF＝∠ABF＝∠BAF，
∵AB是⊙O的直徑，
∴AB＝4，
∴AF＝BF＝2，
∵P為△ABC的內(nèi)心，
∴AP平分∠BAC，
∴∠CAP＝∠BAP，
∵∠PAF＝∠BAP+∠BAF，∠APF＝∠CAP+∠ACF，
∴∠PAF＝∠APF，
∴PF＝AF＝2．


48．（2021秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）有一邊是另一邊的倍的三角形叫做智慧三角形，這兩邊中較長(zhǎng)邊稱為智慧邊，這兩邊的夾角叫做智慧角．
（1）已知Rt△ABC為智慧三角形，且Rt△ABC的一邊長(zhǎng)為，則該智慧三角形的面積為　或1或或或　；
（2）如圖①，在△ABC中，∠C＝105°，∠B＝30°，求證：△ABC是智慧三角形；
（3）如圖②，△ABC是智慧三角形，BC為智慧邊，∠B為智慧角，A（3，0），點(diǎn)B，C在函數(shù)y＝上（x＞0）的圖象上，點(diǎn)C在點(diǎn)B的上方，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為．當(dāng)△ABC是直角三角形時(shí)，求k的值．

【解答】解：（1）如圖1，設(shè)∠A＝90°，AC≤AB，S△ABC＝AC?AB
①若AC＝
i）AB＝AC＝2，
∴S＝
ii）BC＝AC＝2，則AB＝，
∴S＝
②若AB＝
i）AB＝AC，即AC＝，
∴S＝
ii）BC＝AB＝2，則AC＝
∴S＝
③若BC＝，若AB＝AC＝＝1
∴S＝，
若AB＝AC，AB＝，，S＝××＝
故答案為：或1或或或．


（2）證明：如圖2，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°
在Rt△BCD中，∠B＝30°，
∴BC＝2CD，∠BCD＝90°﹣∠B＝60°
∵∠ACB＝105°
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝45°
∴Rt△ACD中，AD＝CD
∴AC＝
∴
∴△ABC是智慧三角形．


（3）∵△ABC是智慧三角形，BC為智慧邊，∠B為智慧角
∴BC＝AB
∵△ABC是直角三角形，
∴AB不可能為斜邊，即∠ACB≠90°
∴∠ABC＝90°或∠BAC＝90°
①當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，過B作BE⊥x軸于E，過C作CF⊥EB于F，過C作CG⊥x軸于G，如圖3，
∴∠AEB＝∠F＝∠ABC＝90°
∴∠BCF+∠CBF＝∠ABE+∠CBF＝90°
∴∠BCF＝∠ABE
∴△BCF∽△ABE
∴
設(shè)AE＝a，則BF＝AE＝a
∵A（3，0）
∴OE＝OA+AE＝3+a
∵B的縱坐標(biāo)為，即BE＝
∴CF＝BE＝2，CG＝EF＝BE+BF＝，B（3+a，）
∴OG＝OE﹣GE＝OE﹣CF＝3+a﹣2＝1+a
∴C（1+a，）
∵點(diǎn)B、C在在函數(shù)y＝上（x＞0）的圖象上，
∴（3+a）＝（1+a）（+a）＝k
解得：a1＝﹣2（舍去），a2＝1
∴k＝
②當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，過C作CM⊥x軸于M，過B作BN⊥x軸于N，如圖4，
∴∠CMA＝∠ANB＝∠BAC＝90°
∴∠MCA+∠MAC＝∠MAC+∠NAB＝90°
∴∠MCA＝∠NAB
∴△MCA∽△NAB
∵BC＝，
∴2AB2＝BC2＝AB2+AC2
∴AC＝AB
∴△MCA≌△NAB（AAS）
∴AM＝BN＝
∴OM＝OA﹣AM＝3﹣
設(shè)CM＝AN＝b，則ON＝OA+AN＝3+b，
∴C（3﹣，b），B（3+b，）
∵點(diǎn)B、C在在函數(shù)y＝上（x＞0）的圖象上，
∴（3﹣）b＝（3+b）＝k
解得：b＝
∴k＝18+15
綜上所述，k的值為或

49．（2021秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）定義：如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)內(nèi)角α，β滿足α+2β＝90°，那我們稱這個(gè)三角形為“近直角三角形”．
（1）若△ABC是“近直角三角形”，∠B＞90°，∠C＝50°，則∠A＝　20　°；
（2）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．若BD是∠ABC的平分線，
①求證：△BDC是“近直角三角形”；
②在邊AC上是否存在點(diǎn)E（異于點(diǎn)D），使得△BCE也是“近直角三角形”？若存在，請(qǐng)求出CE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為AC邊上一點(diǎn)，以BD為直徑的圓交BC于點(diǎn)E，連結(jié)AE交BD于點(diǎn)F，若△BCD為“近直角三角形”，且AB＝5，AF＝3，求AD的長(zhǎng)．

【解答】解：（1）∠B不可能是α或β，
當(dāng)∠A＝α?xí)r，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立；
故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，則β＝20°，
故答案為20；
（2）①如圖1，設(shè)∠ABD＝∠DBC＝β，∠C＝α，

則α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”；
②存在，理由：
在邊AC上是否存在點(diǎn)E（異于點(diǎn)D），使得△BCE是“近直角三角形”，
AB＝3，AC＝4，則BC＝5，
則∠ABE＝∠C，則△ABC∽△AEB，
即，即，解得：AE＝，
則CE＝4﹣＝；
（3）①如圖2所示，連接DE，

當(dāng)∠ACB+2∠DBC＝90°時(shí)，
又∵∠ACB+∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠DBC＝β，
∴AD＝DE，
∵BD是直徑，
∴∠BAD＝∠BED＝90°，
∴∠ADB＝∠BDE，
∴AB＝BE，
∴BD垂直平分AE，
∴BF＝＝＝4，
∵∠DAE＝∠DBE＝∠ABD，∠AFD＝∠AFB＝90°，
∴△ADF∽△BAF，
∴＝，
∴＝，
∴AD＝；
②如圖3所示，當(dāng)2∠C+∠DBC＝90°時(shí)，
又∵∠DBC+∠C+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠C＝β，

過點(diǎn)A作AH⊥BE交BE于點(diǎn)H，交BD于點(diǎn)G，則點(diǎn)G是圓的圓心（BE的中垂線與直徑的交點(diǎn)），
∵∠AEB＝∠DAE+∠C＝α+β＝∠ABC，
∴AE＝AB＝5，
∴EF＝AE﹣AF＝5﹣3＝2，
∵DE⊥BC，AH⊥BC，
∴ED∥AH，則AF：EF＝AG：DE＝3：2，
則DE＝2k，則AG＝3k＝R（圓的半徑）＝BG，點(diǎn)H是BE的中點(diǎn)，則GH＝DE＝k，
在△BGH中，BH＝＝＝2k，
∵AG＝3k，GH＝k，
∴AH＝4k，
∵∠C+∠ABC＝90°，∠ABC+∠BAH＝90°，
∴∠C＝∠BAH，
∴tanC＝tan∠BAH＝tan∠ABD＝＝，
∴，
∴AD＝，
綜上所述：AD的長(zhǎng)為或．
50．（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）如圖所示的一張矩形紙片ABCD（AD＞AB），將紙片折疊一次，使點(diǎn)A與C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點(diǎn)E，交BC邊于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)O，分別連接AF和CE．
（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）過E點(diǎn)作AD的垂線EP交AC于點(diǎn)P，求證：2AE2＝AC?AP；
（3）若AE＝10cm，△ABF的面積為24cm2，求△ABF的周長(zhǎng)．

【解答】（1）證明：當(dāng)頂點(diǎn)A與C重合時(shí)，折痕EF垂直平分AC，
∴OA＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，

∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∵OA＝OC，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∵EF⊥AC，
∴平行四邊形AFCE是菱形．

（2）證明：∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAO＝∠EAP，
∴△AOE∽△AEP，
∴＝，
即AE2＝AO?AP，
∵AO＝AC，
∴AE2＝AC?AP，
∴2AE2＝AC?AP．

（3）解：設(shè)AB＝xcm，BF＝y(tǒng)cm．
∵由（1）四邊形AFCE是菱形，
∴AF＝AE＝10cm．
∵∠B＝90°，
∴x2+y2＝100．
∴（x+y）2﹣2xy＝100①．
∵△ABF的面積為24cm2，
∴xy＝24．即xy＝48 ②．
由①、②得（x+y）2＝196．
∴x+y＝14或x+y＝﹣14（不合題意，舍去）．
∴△ABF的周長(zhǎng)為：x+y+AF＝14+10＝24（cm）．
51．（2021秋?開福區(qū)校級(jí)月考）如圖，在等邊△ABC中，AB＝20，點(diǎn)P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），以PA長(zhǎng)為半徑的⊙P與邊AB的另一個(gè)交點(diǎn)為D，過點(diǎn)D作DE⊥CB于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)⊙P與邊BC相切時(shí)，求⊙P的半徑；
（2）連結(jié)BP交DE于點(diǎn)F，設(shè)AP的長(zhǎng)為x，PF的長(zhǎng)為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫出x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)以PE長(zhǎng)為直徑的⊙Q與⊙P相交于AC邊上的點(diǎn)G時(shí)，求相交所得的公共弦的長(zhǎng)．

【解答】解：（1）如圖1，

設(shè)BC與⊙P相切于點(diǎn)E，連接AE，
∴PE⊥BC，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠C＝60°，AC＝AB＝20，
在Rt△PCE中，PE＝AP＝x，PC＝20﹣x，∠C＝60°，
由PE＝PC?sinC得，
?（20﹣x）＝x，
∴，
∴⊙P的半徑為；
（2）如圖2，

作PH⊥AB于H，作FG⊥AB于G，
在Rt△APH中，∠A＝60°，AP＝x，
∴AH＝＝，PH＝＝，
在Rt△APH中，BH＝AB﹣AH＝20﹣，PH＝，
∴BP＝＝，
在Rt△DFG中，∠FDG＝90°﹣∠ABC＝90°﹣60°＝30°，
設(shè)FG＝a，則DG＝，
∴BG＝AB﹣AD﹣DG＝20﹣x﹣，
∵FG∥PH，
∴△BFG∽△BPH，
∴，
∴＝＝，
∴a＝，
∴＝，
∴BF＝，
∴PF＝BP﹣BF＝（1﹣）＝，
∴y＝，（0＜x＜20）；
（3）如圖3，

連接EG，
∵PD＝PA，∠A＝60°，
∴△APD是等邊三角形，
∴∠APD＝∠ADP＝60°，
∵∠B＝60°，
∴∠B＝∠ADP，
∴PD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴PD⊥DE，
∴∠PDE＝90°，
∴點(diǎn)D在⊙Q上，
∵PE是⊙Q的直徑，
∴∠EPF＝90°，
在Rt△EPG和Rt△EPD中，∠EGP＝∠EDP＝90°，
，
∴Rt△EPG≌Rt△EPD（HL），
∴∠EPG＝∠EPD＝＝60°，
∵∠C＝60°，
∴△ECP是等邊三角形，
∴CG＝PG＝AP，
∴PG＝PD＝，
在Rt△PGT中，
GT＝，
∴DG＝2GT＝，
即⊙P和⊙Q的公共弦的長(zhǎng)為：．
三．函數(shù)壓軸（共9小題）
52．（2021秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）二次函數(shù)y＝ax2+bx+4（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣4，0），B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接BP、AC，交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）連接BC，當(dāng)∠DPB＝2∠BCO時(shí)，求直線BP的表達(dá)式；
（3）請(qǐng)判斷：是否有最大值，如有請(qǐng)求出有最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，如沒有請(qǐng)說明理由．

【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+4（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣4，0），B（1，0），
∴，
解得：，
∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）如圖，設(shè)BP與y軸交于點(diǎn)E，
∵PD∥y軸，
∴∠DPB＝∠OEB，
∵∠DPB＝2∠BCO，
∴∠OEB＝2∠BCO，
∴∠ECB＝∠EBC，
∴BE＝CE，
令x＝0，得y＝4，
∴C（0，4），OC＝4，
設(shè)OE＝a，則CE＝4﹣a，
∴BE＝4﹣a，
在Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2＝OE2+OB2，
∴（4﹣a）2＝a2+12，
解得：a＝，
∴E（0，），
設(shè)BE所在直線表達(dá)式為y＝kx+e（k≠0），
∴，
解得：，
∴直線BP的表達(dá)式為y＝﹣x+；
（3）有最大值．
如圖，設(shè)PD與AC交于點(diǎn)N，
過點(diǎn)B作y軸的平行線與AC相交于點(diǎn)M，
設(shè)直線AC表達(dá)式為y＝mx+n，
∵A（﹣4，0），C（0，4），
∴，
解得：，
∴直線AC表達(dá)式為y＝x+4，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，5），
∴BM＝5，
∵BM∥PN，
∴△PNQ∽△BMQ，
∴＝＝，
設(shè)P（a0，﹣a02﹣3a0+4）（﹣4＜a0＜0），則N（a0，a0+4），
∴＝＝＝，
∴當(dāng)a0＝﹣2時(shí)，有最大值，
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，6）．

53．（2021秋?長(zhǎng)沙月考）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（3，6），并與y軸交于點(diǎn)B（0，3），點(diǎn)A是對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖①所示，P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，連接BP，AP，求△ABP的面積的最大值；
（3）如圖②所示，在對(duì)稱軸AC的右側(cè)作∠ACD＝30°交拋物線于點(diǎn)D，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；并探究：在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使∠CQD＝60°？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【解答】解：（1）拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（3，6），
∴可設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣3）2+6，
將B（0，3）代入可得a＝﹣，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）連接PO，

由題意，BO＝3，AO＝3，
設(shè)P（n，﹣n2+2n+3），
∴S△ABP＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABO，
S△BPO＝n，
S△APO＝﹣n2+3n+，
S△ABO＝，
∴S△ABP＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABO＝﹣n2+n＝﹣（n﹣）2+，
∴當(dāng)n＝時(shí)，S△ABP的最大值為；
（3）存在，設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，﹣t2+2t+3），
過D作對(duì)稱軸的垂線，垂足為G，

則DG＝t﹣3，CG＝6﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t+3，
∵∠ACD＝30°，
∴2DG＝DC，
在Rt△CGD中，
CG＝DG，
∴（t﹣3）＝t2﹣2t+3，
∴t＝3+3或t＝3（舍）
∴D（3+3，﹣3），
∴AG＝3，GD＝3，
連接AD，在Rt△ADG中，
∴AD＝＝6，
∴AD＝AC＝6，∠CAD＝120°，
∴在以A為圓心，AC為半徑的圓與y軸的交點(diǎn)為Q點(diǎn)，
此時(shí)，∠CQD＝∠CAD＝60°，
設(shè)Q（0，m），AQ為圓A的半徑，
AQ2＝OA2+QO2＝9+m2，
∴AQ2＝AC2，
∴9+m2＝36，
∴m＝3或m＝﹣3，
綜上所述：Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）或（0，﹣3）．
54．（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的邊AB在x軸上，且OB＞OA，以AB為直徑的圓過點(diǎn)C，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），且AB＝10．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P是拋物線上在第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（不與C，B重合），過點(diǎn)P作PD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過程中，以P，D，C為頂點(diǎn)的三角形與△COA相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若∠ACB的平分線所在的直線l交x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)E任作一直線l分別交射線CA，CB（點(diǎn)C除外）于點(diǎn)M，N，則是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．


【解答】解：（1）∵以AB為直徑的圓過點(diǎn)C，
∴∠ACB＝90°，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），
∴CO⊥AB，
∴∠AOC＝∠COB＝90°，
∴∠ACO+∠OCB＝∠ACO+∠OAC＝90°，
∴∠OCB＝∠OAC，
∴△AOC∽△COB，
∴＝，
∵CO＝4，AO+BO＝AB＝10，
∴AO＝10﹣OB，
∴＝，
解得OB＝2或OB＝8，經(jīng)檢驗(yàn)，均滿足題意，
∵OB＞OA，
∴OB＝8，
∴A（﹣2，0），B（8，0），
設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，把點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入，
則，解得，
∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+4．
（2）根據(jù)題意，如圖：

當(dāng)△AOC∽△PDC時(shí)，
∴∠ACO＝∠PCD，
∵∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠PCD+∠OCB＝90°，
∴PC⊥OC，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，
當(dāng)y＝4時(shí)，有﹣x2+x+4＝4，
解得x＝6或x＝0（舍），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，4）；
當(dāng)△AOC∽△CDP時(shí)，
∴∠P′D′C＝90°，∠P′CD′＝∠CAO，
∴BC垂直平分OP′，
作P′G⊥y軸于點(diǎn)G，如上圖，
∴∠CQP′＝∠AOC＝90°，
∴AC∥OP′，
∴∠ACO＝∠P′OG，
∵∠P′GO＝∠AOC＝90°，
∴△AOC∽△P′GO，
∴AO：P′G＝OC：GO，
設(shè)P′（x，﹣x2+x+4），
∴P′G＝x，GO＝﹣x2+x+4，
∴＝，
解得x＝﹣1（負(fù)值舍去），
∴﹣x2+x+4＝2﹣2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，2﹣2）．
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（6，4）或（﹣1，2﹣2）．
（3）過點(diǎn)E作EI⊥AC于I，EJ⊥CN于J，如圖，

∵點(diǎn)C是∠ACB的平分線，EI⊥AC，EJ⊥CN，
∴EI＝EJ，
∵EN∥CN，EJ∥CM，
∴△MEI∽△MNC，△NEJ∽△NMC，
∴＝，＝，
∴+＝+＝1，
∴+＝1，
∴＝，
∵△ACO∽△AEI，
∴，
∵AC＝＝2，
AC＝AI+IC＝AI+EI，
∴＝，
解得EI＝，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意；
∴＝＝；
∴是一個(gè)定值．
55．（2021秋?長(zhǎng)沙月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝x﹣2的圖象分別交x、y軸于點(diǎn)A、B，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B，點(diǎn)P為第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖1所示，過點(diǎn)P作PM∥y軸，分別交直線AB、x軸于點(diǎn)C、D，若以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)A、C、D為頂點(diǎn)的三角形相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2所示，過點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，連接PB，當(dāng)△PBQ中有某個(gè)角的度數(shù)等于∠OAB度數(shù)的2倍時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

【解答】解：（1）令x＝0，得y＝x﹣2＝﹣2，則B（0，﹣2），
令y＝0，得0＝x﹣2，解得x＝4，則A（4，0），
把A（4，0），B（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c（a≠0）中，得：，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣x﹣2；

（2）∵PM∥y軸，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ACD＝∠BCP，
∴以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)A、C、D為頂點(diǎn)的三角形相似，存在兩種情況：
①當(dāng)∠CBP＝90°時(shí)，如圖1，過P作PN⊥y軸于N，

設(shè)P（x，x2﹣x﹣2），則C（x，x﹣2），
∵∠ABO+∠PBN＝∠ABO+∠OAB＝90°，
∴∠PBN＝∠OAB，
∵∠AOB＝∠BNP＝90°，
∴△AOB∽△BNP，
∴，即＝，
解得：x1＝0（舍），x2＝，
∴P（，﹣5）；
②當(dāng)∠CPB＝90°時(shí)，如圖2，則B和P是對(duì)稱點(diǎn)，

當(dāng)y＝﹣2時(shí)，x2﹣x﹣2＝﹣2，
∴x1＝0（舍），x2＝，
∴P（，﹣2）；
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，﹣5）或（，﹣2）；

（3）∵OA＝4，OB＝2，∠AOB＝90°，
∴∠BOA≠45°，
∴∠BQP≠2∠BOA，
∴分兩種情況：
①當(dāng)∠PBQ＝2∠OAB時(shí)，如圖3，取AB的中點(diǎn)E，連接OE，過P作PG⊥x軸于G，交直線AB于H，

∴OE＝AE，
∴∠OAB＝∠AOE，
∴∠OEB＝2∠OAB＝∠PBQ，
∵OB∥PG，
∴∠OBE＝∠PHB，
∴△BOE∽△HPB，
∴，
由勾股定理得：AB＝＝2，
∴BE＝，
∵GH∥OB，
∴，即，
∴BH＝x，
設(shè)P（x，x2﹣x﹣2），則H（x，x﹣2），
∴PH＝x﹣2﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+4x，
∴，
解得：x1＝0，x2＝3，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是3；
②當(dāng)∠BPQ＝2∠OAB時(shí)，如圖4，取AB的中點(diǎn)E，連接OE，過P作PG⊥x軸于G，交直線AB于H，過O作OF⊥AB于F，連接AP，則∠BPQ＝∠OEF，

設(shè)點(diǎn)P（t，t2﹣t﹣2），則H（t，t﹣2），
∴PH＝t﹣2﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+4t，
∵OB＝2，OA＝4，
∴AB＝2，
∴OE＝BE＝AE＝，OF＝＝＝，
∴EF＝＝＝，
S△ABP＝＝，
∴2PQ＝4（﹣t2+4t），
PQ＝，
∵∠OFE＝∠PQB＝90°，
∴△PBQ∽△EOF，
∴，即，
∴BQ＝，
∵BQ2+PQ2＝PB2，
∴＝，
化簡(jiǎn)得，44t2﹣388t+803＝0，
即：（2t﹣11）（22t﹣73）＝0，
解得：t1＝5.5（舍），t2＝；
綜上，存在點(diǎn)P，使得△PBQ中有某個(gè)角的度數(shù)等于∠OAB度數(shù)的2倍時(shí)，其P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3或．
56．（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)（b為常數(shù)）與函數(shù)（k為常數(shù)，k＞0，x＞0）交于A，B兩點(diǎn)（B在A右側(cè)），與x軸，y軸分別交于C，D兩點(diǎn)．
（1）求tan∠DCO的值；
（2）如圖1，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，1），在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△ACP與△CDO相似，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖2，將直線AB平移到直線EF，其中點(diǎn)E為（0，1），點(diǎn)F在x軸上，連接AE，若AE⊥EF且AB＝2EF，求k的值．


【解答】解：（1）對(duì)y＝﹣，令x＝0，則y＝b，令y＝0，則x＝2b，
∴C（2b，0），D（0，b），
由題意可得OD＝b，OC＝2b，
∴tan∠DCO＝；
（2）存在，
∵B（6，1）在y＝﹣和y＝上，
∴1＝﹣，k＝1×6＝6，
解得b＝4，
∴OD＝4，OC＝8，
∴直線AB的解析式為y＝﹣，反比例函數(shù)的解析式為y＝，
解方程組得：，，
∴A（2，3），
若△ACP與△CDO相似，由于∠ACO為公共角，
則有兩種情況：①∠APC＝90°時(shí)，如圖，

滿足△ACP與△CDO相似，此時(shí)OP＝2，AP＝3，
即P（2，0）；
②當(dāng)∠PAC＝90°時(shí)，如圖，

滿足△ACP與△CDO相似，此時(shí)CP：CD＝CA：CO，
∵CD＝，AC＝，
∴CP：4＝3：8，
解得CP＝，
∴OP＝，
即點(diǎn)P（）；
綜上所述，P（2，0）或（，0）；
（3）由題意可得平移后的直線EF解析式為y＝﹣，
∴F（2，0），
∵E（0，1），
∴EF＝＝，
過點(diǎn)F作FG⊥AB于G，過點(diǎn)A作AM⊥y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BH⊥AM于點(diǎn)H，如圖，

則四邊形AEFG是矩形，
∴AG＝EF，
∵AB＝2EF，
∴AB＝2AG＝2EF＝2，
∵AB∥EF，MH∥OC，
∴∠ACO＝∠HAC＝∠EFO，
∵∠MEA+∠MAE＝∠MEA+∠HAC＝90°，
∴∠ACO＝∠HAC＝∠MEA＝∠DAM，
∴＝tan，
∵OD＝b，OE＝1，
∴DE＝，AM＝，ME＝，HB＝2，AH＝4，
∴A（），B（4+），
由于A，B都在雙曲線上，
∴[1+]＝4[4+]×，
解得b＝，
∴A（），
∴k＝．
57．（2021秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣5x+5與x軸，y軸分別交于A、C兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B．
（1）求拋物線解析式；
（2）若點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，△ABM的面積等于△ABC面積的，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）如圖2，以B為圓心，2為半徑的⊙B與x軸交于E、F兩點(diǎn)（F在E右側(cè)），若P點(diǎn)是⊙B上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，以PA為腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三點(diǎn)為逆時(shí)針順序），連接FD．求FD長(zhǎng)度的取值范圍．

【解答】解：（1）令x＝0，則y＝5，
∴C（0，5），
令y＝0，則x＝1，
∴A（1，0），
將點(diǎn)A（1，0），C（0，5）代入y＝x2+bx+c，
得，
∴，
∴y＝x2﹣6x+5；
（2）設(shè)M（m，m2﹣6m+5），
令y＝0，則x2﹣6x+5＝0，
解得x＝5或x＝1，
∴B（5，0），
∴AB＝4，
∴S△ABC＝×4×5＝10，
∵△ABM的面積等于△ABC面積的，
∴S△AMB＝6＝×4×（m2﹣6m+5），
解得m＝2或m＝4，
∴M（2，﹣3）或M（4，﹣3）；
（3）將點(diǎn)B繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到B'，連接AB'，PB，B'D，
∵∠B'AD+∠BAD＝90°，∠PAB+∠BAD＝90°，
∴∠B'AD＝∠PAB，
∵AB＝AB'，PA＝AD，
∴△ADB'≌△APB'（SAS），
∴BP＝B'D，
∵PB＝2，
∴B'D＝2，
∴D在以B'為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
∵B（5，0），A（1，0），
∴B'（1，﹣4），
∵BF＝2，
∴F（7，0），
∴B'F＝2，
∴DF的最大值為2+2，DF的最小值為2﹣2，
∴2﹣2≤DF≤2+2．

58．（2021秋?開福區(qū)校級(jí)月考）定義：T函數(shù)的圖象是由一次函數(shù)部分圖象與二次函數(shù)部分圖象組合而成．現(xiàn)有T函數(shù)：y＝．
（1）當(dāng)m＝6時(shí)，點(diǎn)P（5，n）在此函數(shù)圖象上，求n的值；
（2）已知線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（2，2）、B（4，2），當(dāng)此函數(shù)的圖象與線段AB只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直接寫出m的取值范圍；
（3）當(dāng)此函數(shù)圖象上恰好有3個(gè)點(diǎn)到x軸的距離等于4，求m的取值范圍．
【解答】解：（1）當(dāng)m＝6時(shí)，y＝，
當(dāng)x＝5時(shí)，n＝﹣25+30+6＝11，
∴n＝11；
（2）如圖1，函數(shù)與線段AB只有一個(gè)交點(diǎn)，只需直線y＝﹣2x+4m與線段AB有一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)x＝2時(shí)，﹣4+4m＝2，解得m＝，
當(dāng)x＝4時(shí)，﹣8+4m＝2，解得m＝，
∴≤m≤時(shí)，函數(shù)與線段AB只有一個(gè)交點(diǎn)；
（3）如圖2，當(dāng)y＝﹣x2+mx+m與y＝4有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，
∴﹣x2+mx+m＝4，
∴Δ＝m2+4m﹣16＝0，
解得m＝﹣2+2或m＝﹣2﹣2（舍），
此時(shí)圖象T到x軸的距離為4的點(diǎn)有三個(gè)；
當(dāng)直線y＝﹣2x+4m經(jīng)過點(diǎn)（m，4）時(shí)，2m＝4，
解得m＝2，此時(shí)圖象T到x軸的距離為4的點(diǎn)有三個(gè)；
∴2≤m≤2﹣2時(shí)，圖象T到x軸的距離為4的點(diǎn)有三個(gè)．


59．（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）若函數(shù)y1、y2滿足y＝y(tǒng)1+y2，則稱函數(shù)y是y1、y2的“融合函數(shù)”．例如，一次函數(shù)y1＝2x+1和二次函數(shù)y2＝x2+3x﹣4，則y1、y2的“融合函數(shù)”為y＝y(tǒng)1+y2＝x2+5x﹣3．
（1）若反比例函數(shù)y1＝和一次函數(shù)y2＝kx﹣3，它們的“融合函數(shù)”過點(diǎn)（1，5），求k的值；
（2）若y1＝ax2+bx+c為二次函數(shù)，且a+b+c＝5，在x＝t時(shí)取得最值，y2是一次函數(shù)，且y1y2的“融合函數(shù)”為y＝2x2+x﹣4，當(dāng)﹣1≤x≤2時(shí)，求函數(shù)y1的最小值（用含t的式子表示）；
（3）若二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c與一次函數(shù)y2＝﹣ax﹣b，其中a+b+c＝0且a＞b＞c，若它們的“融合函數(shù)”與x軸交點(diǎn)為A（x1，0）、B（x2，0），求|的取值范圍．
【解答】解：（1）由題意得：y1，y2的“融合函數(shù)”為：y＝y(tǒng)1+y2＝+kx﹣3，
將點(diǎn)（1，5）代入得：5＝+k﹣3，
∴k＝6．
（2）∵y1＝ax2+bx+c，y1+y2＝2x2+x﹣4，
∴y2＝（2﹣a）x2+（1﹣b）x﹣4﹣c，
∵y1是二次函數(shù)，y2是一次函數(shù)，
∴2﹣a＝0，a≠0，1﹣b≠0，
∴a＝2，b≠1，
∵y1＝ax2+bx+c在x＝t取得最值，
∴t＝﹣，t≠﹣，
∴b＝﹣4t，
∵a+b+c＝5，
∴c＝5﹣b﹣a
＝5+4t﹣2
＝3+4t，
∴y1＝2x2﹣4tx+3+4t，
開口向上，對(duì)稱軸：x＝t，
∵﹣1≤x≤2，
∴當(dāng)t≤﹣1時(shí)，x＝﹣1時(shí)，y1有最小值8t+5，
當(dāng)﹣1≤t＜2時(shí)，x＝t時(shí)，y1有最小值﹣2t2+4t+3，
∵t≠﹣，
∴y1≠，
當(dāng)t≥2時(shí)，x＝2時(shí)，y1有最小值﹣4t+11．
（3）∵設(shè)y為y1和y2的“融合函數(shù)”，
則y＝ax2+（b﹣a）x+c﹣b與x軸交于A（x1，0），B（x2，0），
則x1，x2是方程ax2+（b﹣a）x+c﹣b＝0的兩根，
∴x1+x2＝﹣，
x1x2＝，
∵a+b+c＝0，a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，
∴|x1﹣x2|＝
＝
＝
＝
＝
＝，
∵b＝﹣a﹣c，b＞c，
∴﹣a﹣c＞c，
﹣a＞2c，
﹣＞，
∵b＜a，
∴﹣a﹣c＜a，
﹣c＜2a，
∴﹣＜2，
∴＜﹣+2＜4，
∴＜（﹣+2）2＜16，
∴＜（﹣+2）2﹣4＜12，
∴＜|x1﹣x2|＜2，
∴＜|x1﹣x2|＜2．
60．（2020秋?長(zhǎng)沙月考）已知拋物線y＝（2m﹣1）x2+（m+1）x+3（m為常數(shù)）．
（1）若該拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，m+7），求m的值；
（2）若拋物線上始終存在不重合的兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求滿足條件的最大整數(shù)m；
（3）將該拋物線向下平移若干個(gè)單位長(zhǎng)度，所得的新拋物線經(jīng)過P（﹣5，y1），Q（7，y2）（其中y1＜y2）兩點(diǎn)，當(dāng)﹣5≤x≤3時(shí)，點(diǎn)P是該部分函數(shù)圖象的最低點(diǎn)，求m的取值范圍．
【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，m+7），
∴m+7＝2m﹣1+m+1+3，
∴m＝2；
（2）設(shè)拋物線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且不重合的兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是（x0，y0），（﹣x0，﹣y0），
代入解析式可得：，
∴兩式相加可得：2（2m﹣1）x02+6＝0，
化簡(jiǎn)得：x02＝﹣，
又∵x0≠0，
∴﹣＞0，
∴2m﹣1＜0，
∴m＜，
故滿足條件的最大整數(shù)m＝0；

（3）∵新拋物線經(jīng)過P（﹣5，y1），Q（7，y2）（其中y1＜y2）兩點(diǎn)，
∵當(dāng)﹣5≤x≤3時(shí)，點(diǎn)P是該圖象的最低點(diǎn)，
①當(dāng)2m﹣1＞0時(shí)，﹣≤﹣5，
∴＜m≤，
②當(dāng)2m﹣1＜0時(shí)，﹣＞1，
∴＜m＜；
綜上所述：＜m≤且m≠；
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/9/9 20:44:51；用戶：rzjq；郵箱：rzjq@qq.com；學(xué)號(hào)：20630857

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