第16講：基本不等式的應(yīng)用2【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．掌握對(duì)應(yīng)的基本不等式求解最值；2．通過(guò)分析實(shí)際問(wèn)題，建立函數(shù)方程，通過(guò)基本不等式求解最優(yōu)解. 【基礎(chǔ)知識(shí)】基本不等式：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.  【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題（一）例1．習(xí)總書記指出：“綠水青山就是金山銀山”.某市一鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)號(hào)召，因地制宜地將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”.調(diào)研過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：某珍稀水果樹的單株產(chǎn)量（單位：）與肥料費(fèi)用（單位：元）滿足如下關(guān)系：，其他成本投入（如培育管理等人工費(fèi)）為（單位：元）.已知這種水果的市場(chǎng)售價(jià)大約為10元，且供不應(yīng)求.記該單株水果樹獲得的利潤(rùn)為（單位：元）.（1）求的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少元時(shí)，該單株水果樹獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【答案】（1）；（2）當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為元時(shí)，單株水果樹獲得的利潤(rùn)最大為元.【詳解】（1）由題意可得，即，所以函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為.（2）當(dāng)時(shí)，為開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，綜上所述：當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為元時(shí)，單株水果樹獲得的利潤(rùn)最大為元. 變式訓(xùn)練1：今年，我國(guó)某一企業(yè)為了進(jìn)一步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，計(jì)劃在2021年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新手機(jī).通過(guò)市場(chǎng)分析，生產(chǎn)此款手機(jī)全年需投入固定成本250萬(wàn)元，每生產(chǎn)x(千部)手機(jī)，需另投入成本萬(wàn)元，且由市場(chǎng)調(diào)研知，海部手機(jī)售價(jià)0.7萬(wàn)元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的手機(jī)當(dāng)年能全部銷售完.（1）求出2021年的利潤(rùn)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千部)的函數(shù)關(guān)系式(利潤(rùn)銷售額成本)；（2）2021年產(chǎn)量為多少(千部)時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案】（1）；（2）2021年產(chǎn)量為100(千部)時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是9000萬(wàn)元.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴（2）若，，當(dāng)時(shí)，萬(wàn)元，若，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，萬(wàn)元，∴2021年產(chǎn)量為100(千部)時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是9000萬(wàn)元. 變式訓(xùn)練2：在一塊占地面積為1800平方米的矩形土地中間建三個(gè)矩形溫室大棚，如圖所示，三個(gè)大棚占地面積為s平方米，其中，大棚之間及四周路寬均為1米(圖中白色部分為大棚，陰影部分為路).（1）試用x和y表示s：（2）若要使s的值最大，則x和y的值分別為多少？【答案】（1）；
（2）時(shí)，取得最大值.【詳解】（1）依題意可得，，則，所以（2）由（1）知所以，當(dāng)，時(shí)，取得最大值. 變式訓(xùn)練3：在對(duì)口扶貧工作中，生態(tài)基地種植某中藥材的年固定成本為250萬(wàn)元，每產(chǎn)出噸需另外投入可變成本萬(wàn)元，已知．通過(guò)市場(chǎng)分析，該中藥材可以每噸50萬(wàn)元的價(jià)格全部售完．設(shè)基地種植該中藥材年利潤(rùn)為萬(wàn)元，當(dāng)基地產(chǎn)出該中藥材40噸時(shí)，年利潤(rùn)為190萬(wàn)元．（1）求的值；（2）求年利潤(rùn)的最大值（精確到萬(wàn)元），并求此時(shí)的年產(chǎn)量（精確到噸）．【答案】（1）；（2）當(dāng)年產(chǎn)量約為噸時(shí)，年利潤(rùn)最大約為萬(wàn)元．【詳解】（1）由題意，當(dāng)基地產(chǎn)出該中藥材40噸時(shí)，年成本為萬(wàn)元，利潤(rùn)為，解得.（2）當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)為，因?yàn)閷?duì)稱軸，在上為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，萬(wàn)元；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)；所以當(dāng)年產(chǎn)量約為噸時(shí)，年利潤(rùn)最 考點(diǎn)二：實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題（二）例2．我們學(xué)習(xí)了二元基本不等式：設(shè),,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立利用基本不等式可以證明不等式，也可以利用“和定積最大，積定和最小”求最值.（1）對(duì)于三元基本不等式請(qǐng)猜想：設(shè)________當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立（把橫線補(bǔ)全）.(2)利用（1）猜想的三元基本不等式證明：設(shè)求證：(3)利用（1）猜想的三元基本不等式求最值：設(shè)求的最大值. 【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）【詳解】（1）通過(guò)類比,可以得到當(dāng),,時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立；（2）證明：,,,由（1）可得,（3）解：由（1）可得,,即,由題,已知,,,,,，,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等,即的最大值為 變式訓(xùn)練1：某天數(shù)學(xué)課上，你突然驚醒，發(fā)現(xiàn)黑板上有如下內(nèi)容：例：求的最小值．解：利用基本不等式，得到，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值（1）老師請(qǐng)你模仿例題，研究上的最小值；（提示：）（2）研究上的最小值；（3）求出當(dāng)時(shí)，的最小值．【答案】（1）（2）（3）【詳解】（1）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值（2）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值（3）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值．   考點(diǎn)三：基本不等式求參例3．若正數(shù)、滿足，若不等式的恒成立，則的最大值等于（    ） A． B． C． D．【答案】A【詳解】已知正數(shù)、滿足，可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，的最小值為，.因此，實(shí)數(shù)的最大值為.故選：A. 變式訓(xùn)練1：已知兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，并且恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍（    ） A．  B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?/span>恒成立，則，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為8，所以，即，解得：.故選：B 變式訓(xùn)練2：已知，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最小值為（    ） A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【詳解】由題得，所以，因?yàn)?/span>，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）所以.所以的最小值為4.故選：C. 變式訓(xùn)練3：若關(guān)于x的不等式對(duì)于一切恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（    ） A． B． C． D．【答案】C【詳解】不等式對(duì)于一切恒成立，因?yàn)?/span>即不等式對(duì)于一切恒成立所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)；所以關(guān)于x的不等式對(duì)于一切恒成立，等價(jià)于所以，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：C 【過(guò)關(guān)檢測(cè)】1、已知，，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（     ） A．10 B．9 C．8 D．7【答案】C【詳解】因?yàn)?/span>，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立，要使不等式恒成立，所以所以實(shí)數(shù)的最大值為8.故選：C. 2、若，且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ） A．  B． C． D．【答案】A【詳解】不等式恒成立，即，，等號(hào)成立的條件是，即，與條件聯(lián)立，解得 ，所以的最小值是8，即，解得：.故選：A3、某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本萬(wàn)元與年產(chǎn)量噸之間的函數(shù)關(guān)系可以近似地表示為，已知此生產(chǎn)線的年產(chǎn)量最小為60噸，最大為110噸.（1）年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每噸產(chǎn)品的平均出廠價(jià)為24萬(wàn)元，且產(chǎn)品能全部售出，則年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)?并求最大利潤(rùn).【答案】（1）年產(chǎn)量為100噸時(shí)，平均成本最低為16萬(wàn)元；（2）年產(chǎn)量為110噸時(shí)，最大利潤(rùn)為860萬(wàn)元.【詳解】（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即取“=”，符合題意；∴年產(chǎn)量為100噸時(shí)，平均成本最低為16萬(wàn)元.（2）又，∴當(dāng)時(shí)，.答：年產(chǎn)量為110噸時(shí)，最大利潤(rùn)為860萬(wàn)元. 4、某果農(nóng)種植一種水果，每年施肥和灌溉等需投入4萬(wàn)元.為了提高產(chǎn)量同時(shí)改善水果口味以贏得市場(chǎng)，計(jì)劃在今年投入萬(wàn)元用于改良品種.根據(jù)其他果農(nóng)種植經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，該水果年產(chǎn)量(萬(wàn)斤)與用于改良品種的資金投入(萬(wàn)元)之間的關(guān)系大致為：(，為常數(shù))，若不改良品種，年產(chǎn)量為1萬(wàn)斤.該水果最初售價(jià)為每斤4.75元，改良品種后，售價(jià)每斤提高元.假設(shè)產(chǎn)量和價(jià)格不受其他因素的影響.（1）設(shè)該果農(nóng)種植該水果所獲得的年利潤(rùn)為(萬(wàn)元)，試求關(guān)于資金投入(萬(wàn)元)的函數(shù)關(guān)系式；（2）該果農(nóng)一年內(nèi)應(yīng)當(dāng)投入多少萬(wàn)元用于改良品種，才能使得年利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？【答案】（1）；（2）一年內(nèi)應(yīng)投入5萬(wàn)元改良品種，能使年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為7萬(wàn)元.【詳解】解：（1）根據(jù)已知可得當(dāng)時(shí)，所以所以.改良品種投入x萬(wàn)元時(shí)，銷售額為所以年利潤(rùn)（2）因?yàn)?/span>所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以一年內(nèi)應(yīng)投入5萬(wàn)元改良品種，能使年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為7萬(wàn)元 5、某地政府指導(dǎo)本地建扶貧車間?搭建就業(yè)平臺(tái)，幫助貧困群眾實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)脫貧，實(shí)現(xiàn)困難群眾就地就近就業(yè).已知扶貧車間生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為8萬(wàn)元，每生產(chǎn)()萬(wàn)件，該產(chǎn)品需另投入流動(dòng)成本萬(wàn)元.在年產(chǎn)量不足6萬(wàn)件時(shí)，；在年產(chǎn)量不小于6萬(wàn)件時(shí)，.每件產(chǎn)品的售價(jià)為6元.由于該扶貨車間利用了扶貧政策及企業(yè)產(chǎn)業(yè)鏈優(yōu)勢(shì)，因此該種產(chǎn)品能在當(dāng)年全部售完.（1）寫出年利潤(rùn)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量(萬(wàn)件)的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少時(shí)，該扶貧車間的年利潤(rùn)最大？并求出最大年利潤(rùn).【答案】（1）；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為9萬(wàn)件時(shí)，該扶貧車間的年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)為14萬(wàn)元.【詳解】解：（1）每件產(chǎn)品的售價(jià)為6元，則萬(wàn)件產(chǎn)品的銷售收入為萬(wàn)元.依題意得，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.所以.（2）當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，取得最大值4.5萬(wàn)元.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值14萬(wàn)元.所以當(dāng)年產(chǎn)量為9萬(wàn)件時(shí)，該扶貧車間的年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)為14萬(wàn)元. 6、在“基本不等式”應(yīng)用探究課中，甲和乙探討了下面兩個(gè)問(wèn)題：（1）已知正數(shù)、滿足，求的最小值.甲給出的解法是：由，得，則，所以的最小值為而乙卻說(shuō)這是錯(cuò)的.請(qǐng)你指出其中的問(wèn)題，并給出正確解法；（2）結(jié)合上述問(wèn)題（1）的結(jié)構(gòu)形式，試求函數(shù)的最小值.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）最小值為.【詳解】（1）甲的解法錯(cuò)誤，原因是：使用了兩次基本不等式，兩次基本不等式取等號(hào)的情況不能同時(shí)成立.正確解法：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.（2）令，，則，，即可將“求函數(shù)最小值”轉(zhuǎn)化為“已知，求”，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，最小值為.  

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