?2022-2023學(xué)年山東省聊城市慧德中學(xué)等校九年級(jí)（上）第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷
一．選擇題（每題3分，共12小題，共36分）
1．（3分）已知α為銳角，且sin（α﹣10°）＝，則α等于（　?。?br /> A．70° B．60° C．50° D．30°
2．（3分）下列圖形不一定相似的是（　　）
A．兩個(gè)等邊三角形
B．各有一個(gè)角是110°的兩個(gè)等腰三角形
C．兩個(gè)等腰直角三角形
D．各有一個(gè)角是45°的兩個(gè)等腰三角形
3．（3分）點(diǎn)M（cos30°，sin30°）關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（　?。?br /> A．（，） B．（﹣，﹣） C．（﹣，） D．（﹣，﹣）
4．（3分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，若＝，則下列結(jié)論正確的是（　?。?br />
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
5．（3分）線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（6，6），B（8，2），以原點(diǎn)O為位似中心，將線段AB縮小為原來(lái)的后得到對(duì)應(yīng)的線段CD，則端點(diǎn)C的坐標(biāo)為（　?。?br /> A．（3，3） B．（3，3）或 （﹣3，﹣3）
C．（﹣4，﹣1） D．（4，1）
6．（3分）如圖，點(diǎn)A為∠α邊上的任意一點(diǎn)，作AC⊥BC于點(diǎn)C，CD⊥AB于點(diǎn)D，則sinα等于（　?。?br />
A． B． C． D．
7．（3分）如圖，點(diǎn)D在△ABC的邊AC上，添加一個(gè)條件，使得△ADB∽△ABC，下列不正確的是（　?。?br />
A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC C． D．
8．（3分）如圖，?ABCD中，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE交BC于點(diǎn)F，且BE：AB＝3：2，AD＝10，則CF＝（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
9．（3分）如圖，小穎為測(cè)量學(xué)校旗桿AB的高度，她在E處放置一塊鏡子，然后退到C處站立，剛好從鏡子中看到旗桿的頂部B．已知小穎的眼睛D離地面的高度CD＝1.5m，她離鏡子的水平距離CE＝0.5m，鏡子E離旗桿的底部A處的距離AE＝2m，且A、C、E三點(diǎn)在同一水平直線上，則旗桿AB的高度為（　?。?br />
A．4.5m B．4.8m C．5.5m D．6 m
10．（3分）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝5，BC＝3，將△BCD沿BD折疊到△BED位置，DE交AB于點(diǎn)F，則cos∠ADF的值為（　?。?br />
A． B． C． D．
11．（3分）如圖，在△ABC中，CH⊥AB，CH＝h，AB＝c，若內(nèi)接正方形DEFG的邊長(zhǎng)是x，則h、c、x的數(shù)量關(guān)系為（　?。?br />
A．x2+h2＝c2 B．x+h＝c C．h2＝xc D．＝+
12．（3分）如圖，在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，tan∠AOB＝，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，10）．將Rt△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（　?。?br />
A．（﹣3，9） B．（﹣9，﹣3） C．（9，﹣3） D．（﹣3，﹣9）
二．填空題（共5小題，每題3分，共15分）
13．（3分）如果兩個(gè)相似多邊形的面積比為4：9，那么它們的對(duì)應(yīng)邊高的比為 　 　．
14．（3分）如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，P，D分別是BC、AC邊上點(diǎn)，且∠APD＝60°，BP＝2，則CD長(zhǎng)為 　 ?。?br />
15．（3分）如圖，△ABC的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則tanA的值為　 ?。?br />
16．（3分）如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，且DE∥AC，AE、CD相交于點(diǎn)O，若S△DOE：S△COA＝1：25，則S△BDE與S△CDE的比＝　 ?。?br />
17．（3分）如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝20cm，兩只小蟲(chóng)P和Q同時(shí)分別從A，B出發(fā)沿AB，BC向終點(diǎn)B，C方向前進(jìn)，小蟲(chóng)P每秒走1cm，小蟲(chóng)Q每秒走2cm，它們同時(shí)出發(fā)t秒時(shí)，以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與以A、C、D為頂點(diǎn)的三角形相似，則t＝　 　秒．

三．解答題（共8小題，共69分）
18．（8分）計(jì)算：
（1）（π﹣2）0﹣|1﹣tan60°|﹣（）﹣1+；
（2）cos60°﹣2sin245°+tan260°﹣sin30°．
19．（7分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，△ABC各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（﹣4，4），B（﹣1，2），C（﹣3，1）．

（1）在坐標(biāo)系中畫(huà)出將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的△A1B1C1；
（2）以原點(diǎn)O為位似中心畫(huà)△A2B2C2，使它與△ABC相似，相似比為2．且與△ABC分別在點(diǎn)O的兩側(cè)，并寫(xiě)出點(diǎn)C2的坐標(biāo)；
（3）直接寫(xiě)出△A2B2C2的面積：　 ?。?br />
20．（8分）如圖，△ABC中，D是AB上的一點(diǎn)，∠ABC＝∠ACD．
（1）求證：△ABC∽△ACD；
（2）若AC＝3，AD＝2，求AB的長(zhǎng)．

21．（8分）在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠C為銳角且tanC＝1．
（1）求△ABC的面積；
（2）求AB的值；
（3）求cos∠ABC的值．

22．（8分）某天，北海艦隊(duì)在中國(guó)南海例行訓(xùn)練，位于A處的濟(jì)南艦突然發(fā)現(xiàn)北偏西30°方向上的C處有一可疑艦艇，濟(jì)南艦馬上通知位于正東方向200海里B處的西安艦，西安艦測(cè)得C處位于其北偏西60°方向上，請(qǐng)問(wèn)此時(shí)兩艦距C處的距離分別是多少？

23．（8分）如圖，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，過(guò)點(diǎn)B作BM∥CD交AD于M，連接CM交DB于N．
（1）求證：BD2＝AD?CD．
（2）若CD＝6，AD＝8，求DN的長(zhǎng)．

24．（10分）如圖，某人在山坡坡腳A處測(cè)得電視塔尖點(diǎn)C的仰角為60°，沿山坡向上走到P處再測(cè)得點(diǎn)C的仰角為45°，已知OA＝100米，山坡坡度為（即tan∠PAB＝），且O，A，B在同一條直線上．求電視塔OC的高度以及此人所在位置點(diǎn)P的鉛直高度．（測(cè)傾器的高度忽略不計(jì)，結(jié)果保留根號(hào)形式）

25．（12分）已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．點(diǎn)Q是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作AC的垂線交線段AB（如圖1）或線段AB的延長(zhǎng)線（如圖2）于點(diǎn)P．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，求證：△AQP∽△ABC；
（2）當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，求AP的長(zhǎng)．


2022-2023學(xué)年山東省聊城市慧德中學(xué)等校九年級(jí)（上）第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（每題3分，共12小題，共36分）
1．（3分）已知α為銳角，且sin（α﹣10°）＝，則α等于（　?。?br /> A．70° B．60° C．50° D．30°
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可得α﹣10°＝60°，進(jìn)而可得α的值．
【解答】解：∵sin（α﹣10°）＝，
∴α﹣10°＝60°，
∴α＝70°．
故選：A．
2．（3分）下列圖形不一定相似的是（　?。?br /> A．兩個(gè)等邊三角形
B．各有一個(gè)角是110°的兩個(gè)等腰三角形
C．兩個(gè)等腰直角三角形
D．各有一個(gè)角是45°的兩個(gè)等腰三角形
【分析】本題可根據(jù)相似三角形的判定定理進(jìn)行求解．
【解答】解：A選項(xiàng)，正確，根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)成比例來(lái)判定；
B選項(xiàng)，正確，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等來(lái)判定；
C選項(xiàng)，正確，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等來(lái)判定；
D選項(xiàng)，45°的角可能是頂角，也可能是底角，沒(méi)有指代清楚，故錯(cuò)誤．
故選：D．
3．（3分）點(diǎn)M（cos30°，sin30°）關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（　　）
A．（，） B．（﹣，﹣） C．（﹣，） D．（﹣，﹣）
【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值確定出M坐標(biāo)，找出關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)即可．
【解答】解：點(diǎn)M（cos30°，sin30°）化簡(jiǎn)得：M（，），
關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣，﹣），
故選：D．
4．（3分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，若＝，則下列結(jié)論正確的是（　?。?br />
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【分析】先由＝得＝，再由DE∥BC證明△ADE∽△ABC，則＝＝≠，可判斷A錯(cuò)誤；
假設(shè)＝正確，由DF∥AC得∠A＝∠BDF，而∠ADE＝∠B，即可證明△ADE∽△DBF，得＝＝，因?yàn)椋?，所以＝，得DF＝BF，由△DBF∽△ABC得＝，則AC＝BC，與已知條件不符，可判斷B錯(cuò)誤；
由△ADE∽△ABC得＝＝≠，可判斷C錯(cuò)誤；
由△ADE∽△DBF得＝＝，可判斷D正確，于是得到問(wèn)題的答案．
【解答】解：∵＝，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝≠，
故A錯(cuò)誤；
假設(shè)＝正確，
∴DF∥AC，
∴∠A＝∠BDF，
∵∠ADE＝∠B，
∴△ADE∽△DBF，
∴＝＝，
∵＝，
∴DF＝BF，
∵△DBF∽△ABC，
∴＝，
∴AC＝BC，
顯然與已知條件不符，
∴＝不正確，
故B錯(cuò)誤；
∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝＝≠，
故C錯(cuò)誤；
∵△ADE∽△DBF，
∴＝＝＝，
故D正確，
故選：D．
5．（3分）線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（6，6），B（8，2），以原點(diǎn)O為位似中心，將線段AB縮小為原來(lái)的后得到對(duì)應(yīng)的線段CD，則端點(diǎn)C的坐標(biāo)為（　?。?br /> A．（3，3） B．（3，3）或 （﹣3，﹣3）
C．（﹣4，﹣1） D．（4，1）
【分析】根據(jù)所給相似比把各坐標(biāo)都乘以或﹣即可．
【解答】解：∵線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（6，6），B（8，2），以原點(diǎn)O為位似中心，
將線段AB縮小為原來(lái)的后得到對(duì)應(yīng)的線段CD，
∴端點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（3，3）或 （﹣3，﹣3）．
故選：B．
6．（3分）如圖，點(diǎn)A為∠α邊上的任意一點(diǎn)，作AC⊥BC于點(diǎn)C，CD⊥AB于點(diǎn)D，則sinα等于（　　）

A． B． C． D．
【分析】先由∠B+∠BAC＝∠ACD+∠BAC＝90°知∠B＝∠ACD＝∠α，再分別在Rt△ABC、Rt△BCD、Rt△ACD中表示出sinα，據(jù)此可得答案．
【解答】解：∵AC⊥BC、CD⊥AB，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝∠ACD+∠BAC＝90°，
則∠B＝∠ACD＝∠α，
在Rt△ABC中，sinα＝；
在Rt△BCD中，sinα＝；
在Rt△ACD中，sinα＝；
故選：C．
7．（3分）如圖，點(diǎn)D在△ABC的邊AC上，添加一個(gè)條件，使得△ADB∽△ABC，下列不正確的是（　　）

A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC C． D．
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判斷即可．
【解答】解：A、若∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，則△ADB∽△ABC，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、若∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，則△ADB∽△ABC，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、若，其夾角不相等，則不能判定△ADB∽△ABC，故此選項(xiàng)符合題意；
D、若，∠A＝∠A，則△ADB∽△ABC，故此選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
8．（3分）如圖，?ABCD中，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE交BC于點(diǎn)F，且BE：AB＝3：2，AD＝10，則CF＝（　?。?br />
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得DC∥AB，AD∥BC，DC＝AB，AD＝BC，則可判定△CDF∽△BEF，從而可得比例式，結(jié)合DC＝AB，AD＝BC及BE：AB＝3：2，可得答案．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DC∥AB，AD∥BC，DC＝AB，AD＝BC，
∴△CDF∽△BEF，
∴BE：DC＝BF：CF，
∵BE：AB＝3：2，DC＝AB，
∴BE：DC＝BF：CF＝3：2，
∴CF：BF＝2：3，
∴CF：BC＝2：5，
∵AD＝BC＝10，
∴CF：10＝2：5．
∴CF＝4．
故選：C．
9．（3分）如圖，小穎為測(cè)量學(xué)校旗桿AB的高度，她在E處放置一塊鏡子，然后退到C處站立，剛好從鏡子中看到旗桿的頂部B．已知小穎的眼睛D離地面的高度CD＝1.5m，她離鏡子的水平距離CE＝0.5m，鏡子E離旗桿的底部A處的距離AE＝2m，且A、C、E三點(diǎn)在同一水平直線上，則旗桿AB的高度為（　?。?br />
A．4.5m B．4.8m C．5.5m D．6 m
【分析】根據(jù)題意得出△ABE∽△CDE，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)得出答案．
【解答】解：由題意可得：AE＝2m，CE＝0.5m，DC＝1.5m，
∵△ABE∽△EDC，
∴＝，
即＝，
解得：AB＝6，
故選：D．
10．（3分）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝5，BC＝3，將△BCD沿BD折疊到△BED位置，DE交AB于點(diǎn)F，則cos∠ADF的值為（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】利用矩形和折疊的性質(zhì)可得BF＝DF，設(shè)BF＝x，則DF＝x，AF＝5﹣x，在Rt△ADF中利用勾股定理列方程，即可求出x的值，進(jìn)而可得cos∠ADF．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AB∥CD，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，
∴∠BDC＝∠DBF，
由折疊的性質(zhì)可得∠BDC＝∠BDF，
∴∠BDF＝∠DBF，
∴BF＝DF，
設(shè)BF＝x，則DF＝x，AF＝5﹣x，
在Rt△ADF中，32+（5﹣x）2＝x2，
∴x＝，
∴cos∠ADF＝，
故選：C．
11．（3分）如圖，在△ABC中，CH⊥AB，CH＝h，AB＝c，若內(nèi)接正方形DEFG的邊長(zhǎng)是x，則h、c、x的數(shù)量關(guān)系為（　　）

A．x2+h2＝c2 B．x+h＝c C．h2＝xc D．＝+
【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到GF∥DE，從而證明△CGF∽△CAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可列出比例式，再通過(guò)證明四邊形DHMG是矩形表示出CM的長(zhǎng)度，即可求解．
【解答】解：如圖，設(shè)CH與GF交于點(diǎn)M，

∵四邊形DEFG是正方形，
∴GF∥DE，∠GDE＝∠DGF＝90°，
∴△CGF∽△CAB，
∴＝，
∵CH⊥AB，
∴∠DHM＝90°，
∴四邊形DHMG是矩形，
∴DG＝MH，
∵CH＝h，AB＝c，正方形DEFG的邊長(zhǎng)是x，
∴MH＝x，
∴CM＝CH﹣MH＝h﹣x，
∴＝，
∴＝1﹣，
∴＝﹣，
∴＝+，
故選：D．
12．（3分）如圖，在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，tan∠AOB＝，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，10）．將Rt△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（　?。?br />
A．（﹣3，9） B．（﹣9，﹣3） C．（9，﹣3） D．（﹣3，﹣9）
【分析】先得出OA＝10，再利用解直角三角形的知識(shí)確定B（3，9），由于2022÷4＝505…2，所以第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，相當(dāng)于Rt△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2次，由此求出點(diǎn)B坐標(biāo)即可．
【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥y軸于點(diǎn)C，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，10），
∴OA＝10，
∵tan∠AOB＝，
∴設(shè)AB＝x，則OB＝3x，
∵在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，
∴x2+（3x）2＝102，
解得x＝，
∴OB＝3x＝3，
在Rt△OBC中，設(shè)BC＝y(tǒng)，則OC＝3y，
∴，
解得y＝3，
∴BC＝3，則OC＝9，
∴B（3，9），
∵Rt△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，
則第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣9，3）；
則第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣3，﹣9）；
則第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（9，﹣3）；
則第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，9）；
…
發(fā)現(xiàn)規(guī)律：旋轉(zhuǎn)4次一個(gè)循環(huán)，
∴2022÷4＝505…2，
則第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣3，﹣9）．
故選：D．
二．填空題（共5小題，每題3分，共15分）
13．（3分）如果兩個(gè)相似多邊形的面積比為4：9，那么它們的對(duì)應(yīng)邊高的比為 　2：3　．
【分析】根據(jù)相似多邊形的面積比等于相似比的平方定義對(duì)應(yīng)高的的平方比解決問(wèn)題即可．
【解答】解：∵相似多邊形的面積比等于相似比的平方，面積比為4：9，
∴對(duì)應(yīng)高的比＝相似比＝2：3，
故答案為：2：3．
14．（3分）如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，P，D分別是BC、AC邊上點(diǎn)，且∠APD＝60°，BP＝2，則CD長(zhǎng)為 　?。?br />
【分析】證明△ABP∽△PCD后，利用相似三角形的性質(zhì)與判定即可求出答案．
【解答】解：∵∠B＝∠APD＝∠C＝60°，
∠APC＝∠B+∠BAP，
∴∠B+∠BAP＝∠APD+∠CPD，
即∠BAP＝∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴，
∵AB＝BC＝6，BP＝2，
∴CP＝BC﹣BP＝6﹣2＝4，
∴，
∴CD＝．
答：CD的長(zhǎng)為．
故答案為：．
15．（3分）如圖，△ABC的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則tanA的值為　2　．

【分析】利用勾股定理根據(jù)格點(diǎn)先計(jì)算AB、AC，利用三角形的面積計(jì)算CD的值，最后計(jì)算∠A的正切值．
【解答】解：由格點(diǎn)知：AB＝＝3，
AC＝＝．
∵S△ABC＝?BC?AE
＝×4×3
＝6，
S△ABC＝?AB?CD
＝×3×CD
＝，
∴＝6，
∴CD＝2．
∴AD＝
＝．
∴tanA＝＝2．

16．（3分）如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，且DE∥AC，AE、CD相交于點(diǎn)O，若S△DOE：S△COA＝1：25，則S△BDE與S△CDE的比＝　1：4?。?br />
【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)定理得到 ＝，＝＝，結(jié)合圖形得到＝，由此即可得到答案．
【解答】解：∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA＝1：25，
∴＝，
∵DE∥AC，
∴＝＝，
∴＝，
∴S△BDE與S△CDE的比是1：4，
故答案為：1：4．
17．（3分）如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝20cm，兩只小蟲(chóng)P和Q同時(shí)分別從A，B出發(fā)沿AB，BC向終點(diǎn)B，C方向前進(jìn)，小蟲(chóng)P每秒走1cm，小蟲(chóng)Q每秒走2cm，它們同時(shí)出發(fā)t秒時(shí)，以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與以A、C、D為頂點(diǎn)的三角形相似，則t＝　2或5　秒．

【分析】要使以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與以A、C、D為頂點(diǎn)的三角形相似，則要分兩種情況進(jìn)行分析．分別是△PBQ∽△CDA或△QBP∽△CDA，從而解得所需的時(shí)間．
【解答】解：①若△PBQ∽△CDA，
則，
即，解得t＝5；
②若△QBP∽△CDA，
則，
即，解得t＝2．
故答案為：2或5．
三．解答題（共8小題，共69分）
18．（8分）計(jì)算：
（1）（π﹣2）0﹣|1﹣tan60°|﹣（）﹣1+；
（2）cos60°﹣2sin245°+tan260°﹣sin30°．
【分析】（1）直接利用二次根式的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)得出答案；
（2）直接利用特殊角的三角函數(shù)值分別化簡(jiǎn)得出答案．
【解答】解：（1）原式＝1+1﹣﹣2+2
＝；
（2）原式＝﹣2×（）2+×（）2﹣
＝﹣2×+×3﹣
＝﹣1+2﹣
＝1．
19．（7分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，△ABC各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（﹣4，4），B（﹣1，2），C（﹣3，1）．

（1）在坐標(biāo)系中畫(huà)出將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的△A1B1C1；
（2）以原點(diǎn)O為位似中心畫(huà)△A2B2C2，使它與△ABC相似，相似比為2．且與△ABC分別在點(diǎn)O的兩側(cè)，并寫(xiě)出點(diǎn)C2的坐標(biāo)；
（3）直接寫(xiě)出△A2B2C2的面積：　14?。?br />
【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1即可；
（2）利用位似變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2，B2，C2即可．
（3）把三角形的面積看成矩形的面積減去周圍的三個(gè)三角形面積即可．
【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；
（2）如圖，△A2B2C2即為所求，點(diǎn)C2的坐標(biāo)（6，﹣2）；
（3）△A2B2C2的面積＝6×6﹣×2×4﹣×2×6﹣×4×6＝14．
故答案為：14．

20．（8分）如圖，△ABC中，D是AB上的一點(diǎn)，∠ABC＝∠ACD．
（1）求證：△ABC∽△ACD；
（2）若AC＝3，AD＝2，求AB的長(zhǎng)．

【分析】（1）由∠ABC＝∠ACD結(jié)合公共角∠BAC＝∠CAD，即可證出△ABC∽△ACD；
（2）利用相似三角形的性質(zhì)可得出＝，結(jié)合AC＝3，AD＝2，即可求出AB的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：∵∠ABC＝∠ACD，∠BAC＝∠CAD，
∴△ABC∽△ACD．
（2）解：∵△ABC∽△ACD，
∴＝，
即＝，
∴AB＝，
∴AB的長(zhǎng)為．
21．（8分）在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠C為銳角且tanC＝1．
（1）求△ABC的面積；
（2）求AB的值；
（3）求cos∠ABC的值．

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，根據(jù)∠C的正切值確定∠C的度數(shù)，再利用直角三角形的邊角間關(guān)系求出AD、CD，最后利用三角形的面積公式算出△ABC的面積；
（2）先利用線段的和差關(guān)系求出BD，再利用勾股定理求出AB；
（3）在Rt△ABD中利用直角三角形的邊角間關(guān)系求出∠B的余弦值．
【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D．
∴∠ADC＝∠ADB＝90°．
∵∠C為銳角且tanC＝1，
∴∠C＝45°＝∠DAC．
∴AD＝DC．
∵sinC＝，AC＝4，
∴DC＝AD＝sin45°×AC＝×4＝4．
∴S△ABC＝BC×AD＝×6×4＝12．
（2）∵DC＝AD＝4，BC＝6，
∴BD＝BC﹣DC＝2．
在Rt△ABD中，
AB＝＝＝2．
（3）在Rt△ABD中，
cos∠ABC＝＝＝．

22．（8分）某天，北海艦隊(duì)在中國(guó)南海例行訓(xùn)練，位于A處的濟(jì)南艦突然發(fā)現(xiàn)北偏西30°方向上的C處有一可疑艦艇，濟(jì)南艦馬上通知位于正東方向200海里B處的西安艦，西安艦測(cè)得C處位于其北偏西60°方向上，請(qǐng)問(wèn)此時(shí)兩艦距C處的距離分別是多少？

【分析】過(guò)點(diǎn)C作CD⊥BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，由題意可證明△ABC為等腰三角形，所以AC＝AB＝200海里．再求出CD的距離，最后根據(jù)BC＝2CD求BC的長(zhǎng)．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，如圖．
由題意可得：∠CAD＝60°，∠CBD＝30°＝∠DCA，
∴∠BCA＝∠CAD﹣∠CBD＝60°﹣30°＝30°．
即∠BCA＝∠CBD，
∴AC＝AB＝200（海里）．
在Rt△CDA中，CD＝sin∠CAD×AC＝＝100（海里）．
在Rt△CDB中，CB＝2CD＝200（海里）．
故位于A處的濟(jì)南艦距C處的距離200海里，位于B處的西安艦距C處的距離200海里．

23．（8分）如圖，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，過(guò)點(diǎn)B作BM∥CD交AD于M，連接CM交DB于N．
（1）求證：BD2＝AD?CD．
（2）若CD＝6，AD＝8，求DN的長(zhǎng)．

【分析】（1）由DB平分∠ADC得到∠ADB＝∠CDB，則可判斷△ABD∽△BCD，利用相似比可得到結(jié)論；
（2）先證明∠MBD＝∠MDB得到MB＝MD，再證明∠A＝∠ABM得到MA＝MB，則MA＝MB＝MD＝AD＝4，接著利用BD2＝AD?CD得到BD2＝48，再根據(jù)BM∥CD，得出＝＝，
計(jì)算出DN的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∵∠ABD＝∠BCD＝90°，
∴△ABD∽△BCD，
∴BD：CD＝AD：BD，
∴BD2＝AD?CD；
（2）解：∵BM∥CD，
∴∠MBD＝∠CDB，BM⊥BC，
而∠MDB＝∠CDB，
∴∠MBD＝∠MDB，
∴MB＝MD，
∵∠A+∠ADB＝90°，∠ABM+∠MBD＝90°，
∴∠A＝∠ABM，
∴MA＝MB，
∴MA＝MB＝MD＝AD＝4，
∵BD2＝AD?CD，CD＝6，AD＝8，
∴BD2＝8×6＝48，BD＝4，
∵BM∥CD，
∴＝＝，
∴
∴
∴DN＝．

24．（10分）如圖，某人在山坡坡腳A處測(cè)得電視塔尖點(diǎn)C的仰角為60°，沿山坡向上走到P處再測(cè)得點(diǎn)C的仰角為45°，已知OA＝100米，山坡坡度為（即tan∠PAB＝），且O，A，B在同一條直線上．求電視塔OC的高度以及此人所在位置點(diǎn)P的鉛直高度．（測(cè)傾器的高度忽略不計(jì)，結(jié)果保留根號(hào)形式）

【分析】在圖中共有三個(gè)直角三角形，即RT△AOC、RT△PCF、RT△PAE，利用60°、45°以及坡度比，分別求出CO、CF、PE，然后根據(jù)三者之間的關(guān)系，列方程求解即可解決．
【解答】解：作PE⊥OB于點(diǎn)E，PF⊥CO于點(diǎn)F，
在Rt△AOC中，AO＝100，∠CAO＝60°，
∴CO＝AO?tan60°＝100（米）
設(shè)PE＝x米，
∵tan∠PAE＝＝，
∴AE＝2x．
在Rt△PCF中，
∠CPF＝45°，CF＝100﹣x，PF＝OA+AE＝100+2x，
∵PF＝CF，
∴100+2x＝100﹣x，
解得x＝（米）．
答：電視塔OC高為100米，點(diǎn)P的鉛直高度為（米）．

25．（12分）已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．點(diǎn)Q是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作AC的垂線交線段AB（如圖1）或線段AB的延長(zhǎng)線（如圖2）于點(diǎn)P．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，求證：△AQP∽△ABC；
（2）當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，求AP的長(zhǎng)．

【分析】（1）由兩對(duì)角相等（∠APQ＝∠C，∠A＝∠A），證明△AQP∽△ABC；
（2）當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，有兩種情況，需要分類討論．
（I）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，如題圖1所示．由三角形相似（△AQP∽△ABC）關(guān)系計(jì)算AP的長(zhǎng)；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如題圖2所示．利用角之間的關(guān)系，證明點(diǎn)B為線段AP的中點(diǎn)，從而可以求出AP．
【解答】（1）證明：∵PQ⊥AQ，
∴∠AQP＝90°＝∠ABC，
在△APQ與△ABC中，
∵∠AQP＝90°＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△AQP∽△ABC．

（2）解：在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，由勾股定理得：AC＝5．
∵∠QPB為鈍角，
∴當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，
（I）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，如題圖1所示．
∵∠QPB為鈍角，
∴當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，只可能是PB＝PQ，
由（1）可知，△AQP∽△ABC，
∴，即，解得：PB＝，
∴AP＝AB﹣PB＝3﹣＝；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如題圖2所示．
∵∠QBP為鈍角，
∴當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，只可能是PB＝BQ．
∵BP＝BQ，∴∠BQP＝∠P，
∵∠BQP+∠AQB＝90°，∠A+∠P＝90°，
∴∠AQB＝∠A，
∴BQ＝AB，
∴AB＝BP，點(diǎn)B為線段AP中點(diǎn)，
∴AP＝2AB＝2×3＝6．
綜上所述，當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為或6．

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