第21講　兩角和與差的正弦、余弦和正切兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)公式S(α±β):sin(α±β)=　　　　　　　　　　　. (2)公式C(α±β):cos(α±β)= 　　　　　　　　　　　. (3)公式T(α±β):tan(α±β)=　　　　　　　　　.  常用結(jié)論1.兩角和與差的正切公式的變形:tan α±tan β=tan(α±β)(1?tan αtan β).2.二倍角余弦公式的變形:sin2α=,cos2α=.3.一般地,函數(shù)f(α)=asin α+bcos α(a,b為常數(shù))可以化為f(α)=sin(α+φ)或f(α)=cos(α-φ). 題組一　常識(shí)題1.[教材改編] sin 75°的值為　　　　.  2.[教材改編] 已知cos α=-,α∈,則sinα+的值是　　　　. 3.[教材改編] cos 65°cos 115°-cos 25°sin 115°=　　　　. 4.[教材改編] 已知tan α=,tan β=-2,則tan(α-β)的值為　　　　. 題組二　常錯(cuò)題◆索引:忽略角的取值范圍;公式的結(jié)構(gòu)套用錯(cuò)誤;混淆兩角和與差的正切公式中分子、分母上的符號(hào);方法選擇不當(dāng)致誤.5.已知tan+α=,α∈,π,則cos α的值是　　　　. 6.化簡:sin x-cos x=　　　　. 7.計(jì)算:=　　　　. 8.若α+β=,則[1+tan(π-α)](1-tan β)的值為　　　　. 探究點(diǎn)一　兩角和與差的三角函數(shù)公式例1 (1)[2018·湘潭模擬] 若sin(2α-β)=,sin(2α+β)=,則sin 2αcos β= (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A. B.C. D. (2)[2018·晉城一模] 已知cos=cos α,tan β=,則tan(α+β)=　　　　.     [總結(jié)反思] 兩角和與差的三角函數(shù)公式可看作是誘導(dǎo)公式的推廣,可用α,β的三角函數(shù)表示α±β的三角函數(shù),在使用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí),特別要注意角與角之間的關(guān)系,完成統(tǒng)一角和角與角轉(zhuǎn)換的目的.變式題 (1)[2018·佛山質(zhì)檢] 已知cos α=,α∈,則cos= (　　)A.- B.C. D.(2)[2018·唐山三模] 已知tanα+=1,則tanα-= (　　)A.2- B.2+ C.-2- D.-2+探究點(diǎn)二　兩角和與差公式的逆用與變形例2 (1)[2018·煙臺(tái)一模] 已知cos=,則cos x+cos= (　　)A.-1 B.1 C. D.(2)已知sin α+cos β=,sin β-cos α=,則sin(α-β)=　　　　.     [總結(jié)反思] 常見的公式變形:(1)兩角正切的和差公式的變形,即tan α±tan β=tan(α±β)(1?tan αtan β);(2) asin α+bcos α=sin(α+φ)tan φ=. 變式題 (1)[2018·河南中原名校聯(lián)考] cos 375°+sin 375°的值為 (　　)A. B. C.- D.-(2)(1+tan 20°)(1+tan 21°)(1+tan 24°)(1+tan 25°)=　　　　. 探究點(diǎn)三　角的變換問題例3 (1)已知α∈,cos-sin α=,則sinα+的值是 (　　)A.- B.-C. D.-(2)[2018·莆田二模] 已知sin α=,sin(β-α)=-,α,β均為銳角,則β= (　　)A. B. C. D.   [總結(jié)反思] 常見的角變換:±2α=2±α,2α=(α+β)+(α-β),α=+,+α=--α等.變式題 (1)[2018·榆林模擬] 若0<α<,-<β<0,cos=,cos=,則cos= (　　)A. B.-C. D.-(2)已知<β<α<π,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,則sin 2α= (　　)A. B.-C. D.-       第21講　兩角和與差的正弦、余弦和正切考試說明 1.會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式.2.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.3.會(huì)用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它們的內(nèi)在聯(lián)系. 【課前雙基鞏固】知識(shí)聚焦(1)sin αcos β±cos αsin β　(2)cos αcos β?sin αsin β　(3)對點(diǎn)演練1.　[解析] sin 75°=sin(45°+30°)=sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°=×+×=.2.　[解析] ∵cos α=-,α∈,∴sin α=,∴sin=sin αcos+cos αsin=×+×=.3.-1　[解析] 原式=cos 65°cos 115°-sin 65°sin 115°=cos(65°+115°)=cos 180°=-1.4.7　[解析] tan(α-β)==7.5.-　[解析] 因?yàn)?/span>tan+α=tan+α=,所以=,所以tan α=-,又α∈,π,所以cos α=-=-.6.sin　[解析] sin x-cos x=cossin x-sincos x=sin.7.　[解析] ==tan(45°-15°)=tan 30°=.8.2　[解析] 因?yàn)?/span>α+β=,所以tan(α+β)=-1,即=-1,整理得(1-tan α)(1-tan β)=2,所以[1+tan(π-α)](1-tan β)=(1-tan α)(1-tan β)=2.【課堂考點(diǎn)探究】例1　[思路點(diǎn)撥] (1)利用兩角和與差的正弦公式展開已知條件,進(jìn)而求解;(2)先利用已知條件求出tan α,再根據(jù)兩角和的正切公式求解.(1)B　(2)-　[解析] (1)由sin(2α-β)=,sin(2α+β)=,可得sin 2αcos β-cos 2αsin β=①, sin 2αcos β+cos 2αsin β=②,由①+②得2sin 2αcos β=,所以sin 2αcos β=.故選B.(2)∵cos=cos α-sin α=cos α,∴-sin α=cos α,故tan α=-,∴tan(α+β)====-.變式題　(1)D　(2)D　[解析] (1)∵cos α=,α∈,∴sin α===,∴cos=cos αcos+sin αsin=×+×=.故選D.(2)由題意知,tan=tan===-2+.故選D.例2　[思路點(diǎn)撥] (1)首先利用兩角差的余弦公式展開cos,整理后再逆用兩角差的余弦公式即可;(2)將兩個(gè)條件等式分別平方相加即可.(1)B　(2)-　[解析] (1)由題可知,cos x+cos=cos x+cos xcos+sin xsin=cos x+sin x==cos=×=1.故選B.(2)∵sin α+cos β=,sin β-cos α=,∴(sin α+cos β)2=,(sin β-cos α)2=,即sin2α+2sin αcos β+cos2β=①,sin2β-2sin βcos α+cos2α=②,由①+②得sin2α+2sin αcos β+cos2β+sin2β-2sin βcos α+cos2α=(sin2α+cos2α)+(cos2β+sin2β)+2(sin αcos β-sin βcos α)=1+1+2sin(α-β)=2+2sin(α-β)=,則sin(α-β)=-.變式題　(1)A　(2)4　[解析] (1)cos 375°+sin 375°=cos 15°+sin 15°=cos(45°-15°)=cos 30°=.故選A.(2)(1+tan 20°)(1+tan 25°)=1+tan 20°+tan 25°+tan 20°tan 25°=1+tan(20°+25°)(1-tan 20°tan 25°)+tan 20°tan 25°=2,同理可得(1+tan 21°)(1+tan 24°)=2,所以原式=4.例3　[思路點(diǎn)撥] (1)對條件整理可得cos=,又α+=-,利用兩角差的正弦公式求解;(2)根據(jù)角的變換得β=α+(β-α),利用已知條件先求出sin β的值,再求角β. (1)B　(2)C　[解析] (1)由cos-sin α=,得cos αcos-sin αsin-sin α=,即cos α-sin α=,∴cos α-sin α=,即cos=.∵α∈,∴α+∈,∴sin==,∴sin=sin=sin-cos=×=-,故選B.(2)因?yàn)?/span>sin α=,sin(β-α)=-,且α,β均為銳角,所以cos α=,cos(β-α)=,所以sin β=sin[α+(β-α)]=sin αcos(β-α)+cos αsin(β-α)=×+×==,所以β=.故選C.變式題　(1)A　(2)B　[解析] (1)由題可知,0<+α<,<-<,所以sin=,sin=,所以cos=cos-=coscos+sinsin=×+×=.故選A.(2)因?yàn)?/span><β<α<,所以0<α-β<,π<α+β<,由cos(α-β)=,得sin(α-β)=,由sin(α+β)=-,得cos(α+β)=-,則sin 2α=sin[(α-β)+(α+β)]=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)=×+×=-,故選B.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【備選理由】 例1考查兩角差的正切公式、基本不等式、正切函數(shù)的單調(diào)性,考查綜合分析與運(yùn)算的能力;例2主要考查三角函數(shù)中的恒等變換的應(yīng)用,熟練運(yùn)用相關(guān)公式和特殊角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵;例3考查兩角和與差的正弦公式的運(yùn)用,關(guān)鍵是角的配湊,然后化簡求值.例1　[配合例1使用] [2018·南充模擬] 若tan α=3tan β,則α-β的最大值為　　　　. [答案] [解析] ∵tan α=3tan β,∴tan β>0,∴tan(α-β)===.∵tan β>0,∴+3tan β≥2=2,∴tan(α-β)≤,當(dāng)且僅當(dāng)3tan2β=1,即tan β=時(shí)取等號(hào),此時(shí)β=,tan α=3tan β,即tan α=,α=.又0<β<α<,∴0<α-β<,∴0<tan(α-β)≤,又y=tan x在上單調(diào)遞增,∴當(dāng)tan(α-β)取得最大值時(shí),α-β的值最大,∴當(dāng)α=,β=時(shí),α-β的值最大,∴α-β的最大值為-=.例2　[配合例3使用] [2018·安徽皖江八校聯(lián)考] 的值為　　　　. [答案] 1[解析] ===1.例3　[配合例3使用] [2018·安陽模擬] 已知m=,若sin 2(α+γ)=3sin 2β,則m= (　　)A. B.C. D.2[解析] D　∵sin 2(α+γ)=3sin 2β,∴sin[(α+β+γ)+(α+γ-β)]=3sin[(α+β+γ)-(α+γ-β)],∴sin(α+β+γ)cos(α+γ-β)+cos(α+β+γ)sin(α+γ-β)=3sin(α+β+γ)cos(α+γ-β)-3cos(α+β+γ)sin(α+γ-β),∴-2sin(α+β+γ)cos(α+γ-β)=-4cos(α+β+γ)sin(α+γ-β),即==2,∴m=2.故選D.

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