? 2020級高三第一次檢測性考試
（文科數(shù)學）
一?選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 設復數(shù)，其中是實數(shù)，是虛數(shù)單位，若，則復數(shù)共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知向量與的夾角是，且，，若，則實數(shù)的值為（ ）
A. B. C. D.
3. “”是“直線與直線垂直”的（ ）
A. 充分必要條件 B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件 D. 既不充分也不必要條件
4. 過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，若，則的值為（ ）
A. B. 2 C. D.
5. 若曲線在點外的切線與直線垂直，則實數(shù)a的值為（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函數(shù)是定義在R上奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，若成等差數(shù)列，且，則下列結論正確的是（ ）
A. ，且
B. ，且
C. ，且
D. ，且
7. 在棱長為3的正方體內(nèi)任取一點，則這個點到該正方體各個面的距離均超過1的概率為（ ）
A. B. C. D.
8. 已知命題：若且，則；命題：，使，則下列命題中為真命題的是
A. B.
C. D.
9. 已知實數(shù)，滿足，則的最大值為（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
10. 已知函數(shù)，給出下列四個結論
①函數(shù)的最小正周期是；
②函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；
③函數(shù)的圖象關于直線對稱；
④函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個單位得到.
其中正確結論的個數(shù)是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
11. 設雙曲線的左?右焦點分別為為坐標原點，若雙曲線上存在點滿足，則雙曲線的離心率為（ ）
A. 6 B. 3 C. D.
12. 對于給定正整數(shù)，設集合，且.記為集合A中的最大元素，當A取遍的所有非空子集時，對應的所有的和記為，則（ ）
A. B.
C. D.
二?填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）.
13. 已知，則______．
14. 如圖，在中，，是線段上一點，若，則實數(shù)的值為__．

15. 記為等差數(shù)列的前n項和．若，則公差_______．
16. 已知函數(shù)，若存在實數(shù)、（），使得，則實數(shù)的取值范圍為________.
三?解答題（本大題共6大題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）
17. 已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，，且A為銳角.
（1）求A；
（2）求c及△ABC的面積.
18. 如圖，四面體中，，E為AC的中點．


（1）證明：平面平面ACD；
（2）設，點F在BD上，當?shù)拿娣e最小時，求三棱錐的體積．
19. 第130屆中國進出口商品交易會(廣交會)于2021年10月15日至11月3日舉辦.其中10月15日～18日的第二期展示中，有兩家禮品參展商為了交流感情，進行了如下游戲，在甲參展商的箱子和乙參展商的箱子中分別裝有標號為1，2，3的3個形狀材質均相同的小禮品盒，現(xiàn)從甲、乙參展商的兩個箱子中各取出1個小禮品盒，每個小禮品盒被取出的可能性相等.
（1）求取出的兩個小禮品盒標號相同的概率；
（2）若將乙參展商箱子中的小禮品盒全部倒入甲參展商的箱子中，然后從甲參展商的箱子中不放回的隨機取出兩個小禮品盒，求取出的兩個小禮品盒標號相同的概率.
20. 已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，且直線與圓相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）設斜率為且不過原點的直線與橢圓相交于、兩點，為坐標原點，直線的斜率分別為，若成等比數(shù)列，推斷是否為定值﹖若是，求出此定值；若不是，說明理由.
21 已知函數(shù)，.
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若對任意，都有成立，求實數(shù)的取值范圍.
22. 已知在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為ρ= 4cosθ，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).
（1）求曲線的直角坐標方程及直線l的普通方程；
（2）若曲線參數(shù)方程為(α為參數(shù))，曲線上點P的極角為Q為曲線上的動點，求PQ的中點M到直線l距離的最大值.
23.

已知函數(shù)，其中為實常數(shù)．
（1）若函數(shù)的最小值為3，求的值；
（2）若當時，不等式恒成立，求的取值范圍．

2020級高三第一次檢測性考試
（文科數(shù)學）
一?選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 設復數(shù)，其中是實數(shù)，是虛數(shù)單位，若，則復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（ ）
A 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】由復數(shù)的相等求出值，由共軛復數(shù)定義得共軛復數(shù)，然后由復數(shù)的幾何意義得其對應點的坐標，從而其所在象限．
【詳解】由已知，，則，且，即.
所以，所對應的點位于第四象限，
故選：D．
2. 已知向量與的夾角是，且，，若，則實數(shù)的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)，由求解.
【詳解】因為向量與的夾角是，且，，
所以，
，
解得 .
故選：B
3. “”是“直線與直線垂直”的（ ）
A. 充分必要條件 B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】由直線與直線垂直求出的值，再由充分條件和必要條件的定義即可得出答案.
【詳解】直線與直線垂直,
則，解得：或，
所以“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件.
故選：B.
4. 過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，若，則的值為（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設，，利用拋物線的定義直接求出的值，進而得到的值，即可求解
【詳解】如圖所示，設，，
因為，所以點到準線的距離為3，
所以，得，
因為，
所以，
所以，得，
所以的值為，
故選：C

5. 若曲線在點外的切線與直線垂直，則實數(shù)a的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求導得到切線的斜率為，解方程即得解.
【詳解】解：由題得，所以切線的斜率為，
因為切線與直線垂直，所以
故選：B
6. 已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，若成等差數(shù)列，且，則下列結論正確的是（ ）
A. ，且
B. ，且
C. ，且
D. ，且
【答案】A
【解析】
【分析】由奇函數(shù)性質得，由函數(shù)的單調(diào)性得，再根據(jù)等差數(shù)列的性質得，再由函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性得不等關系．
【詳解】由已知，．因為，則，從而，即，
故選：A.
7. 在棱長為3的正方體內(nèi)任取一點，則這個點到該正方體各個面的距離均超過1的概率為（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】找到距離各面距離超過1的點構成集合為與原正方體共中心棱長為1的正方體內(nèi)部，由古典概型求解即可.
【詳解】因為棱長為3的正方體的體積為27，到該正方體各個面的距離均超過1的部分在棱長為1的正方體內(nèi)，其體積為1，
所以這個點到該正方體各個面的距離均超過1的概率.
故選：A
8. 已知命題：若且，則；命題：，使，則下列命題中為真命題的是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可以判斷都是正數(shù)，可以運用商比的方法判斷，是否正確，利用數(shù)形結合可以判斷，使是否正確，注意“且”命題的真假判斷方法：是見假就假，要真全真.
【詳解】命題：,
,故命題是真命題，所以是假命題；
命題：，在同一直角坐標系，畫出，可以看出它們之間有交點，故命題是真命題，是假命題，根據(jù)“且”命題的真假判斷方法：是見假就假，要真全真，可以判斷選項A是真命題，故本題選A.
【點睛】本題依托不等式和方程的數(shù)學背景，考查了“且”命題的真假判斷，解題的關鍵是理解掌握“且”命題的真假判斷方法.本題考查了商比法、數(shù)形結合思想、轉化思想.
9. 已知實數(shù)，滿足，則的最大值為（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
換元，轉化為線性規(guī)劃求最值問題，做出可行域，即可求解.
【詳解】令，，則，且.
作可行域如圖所示，平移直線：，
當直線過點時，直線的縱截距最小，
從而為最大，且.
故選：D.

【點睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域，以及求線性目標函數(shù)的最值，解題的關鍵是換元轉化，屬于中檔題.
10. 已知函數(shù)，給出下列四個結論
①函數(shù)的最小正周期是；
②函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；
③函數(shù)的圖象關于直線對稱；
④函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個單位得到.
其中正確結論的個數(shù)是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由題意知，，由此即可判斷出答案.
【詳解】，
①因為，則的最小正周期，結論錯誤.
②當時，，則在區(qū)間上是減函數(shù)，結論正確.
③因為為的最大值，則的圖象關于直線對稱，結論正確.
④設，則，結論錯誤，
故選：B.
11. 設雙曲線的左?右焦點分別為為坐標原點，若雙曲線上存在點滿足，則雙曲線的離心率為（ ）
A. 6 B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判斷M點位置，過點作軸的垂線，垂足為A，可得，，設，利用勾股定理表示出，可得，結合雙曲線定義可得，即可求得a,c的關系，進而求得離心率.
【詳解】因為,則， M在雙曲線右支上，
過點作軸的垂線，垂足為A，則A為的中點，


所以，，
設，則，故在中，.
在Rt中，，則，即.
因為，則，所以，即，
所以，
故選：C.
12. 對于給定的正整數(shù)，設集合，且.記為集合A中的最大元素，當A取遍的所有非空子集時，對應的所有的和記為，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】確定中的子集的個數(shù)，表示出，用錯位相減法求和．
【詳解】對于集合，滿足的集合A只有1個，即；滿足的集合A有2個，即；滿足的集合A有4個，即；
滿足的集合A有個，所以.
，
相減得，所以，所以，
故選：D
二?填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）.
13. 已知，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，分析待求角與已知角的關系，利用誘導公式和二倍角公式直接求解即可.
【詳解】，
．
故答案為：.
14. 如圖，在中，，是線段上一點，若，則實數(shù)的值為__．

【答案】
【解析】
【分析】設,由,根據(jù)向量加法的幾何意義可得:
,結合已知,可求出實數(shù)的值.
【詳解】設,,
,
已知,所以有.
【點睛】本題考查了平面向量加法的幾何意義及平面向量的基本定理.重點是向量加法三角表法則的應用.
15. 記為等差數(shù)列的前n項和．若，則公差_______．
【答案】2
【解析】
【分析】轉化條件為，即可得解.
【詳解】由可得，化簡得，
即，解得.
故答案為：2.

16. 已知函數(shù)，若存在實數(shù)、（），使得，則實數(shù)的取值范圍為________.
【答案】
【解析】
【分析】首先令，轉化為，根據(jù)，可知轉化為和的交點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍.
【詳解】當，即
即 ，
轉化為與有兩個交點，
如圖，

由圖象可知當時圖象有兩個交點.
故答案為.
【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)取值范圍，意在考查數(shù)形結合分析問題的能力，一般判斷函數(shù)零點個數(shù)或是根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)取值范圍，都可以轉化成兩個函數(shù)的交點個數(shù).
三?解答題（本大題共6大題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）
17. 已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，，且A為銳角.
（1）求A；
（2）求c及△ABC的面積.
【答案】（1）
（2），面積為
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化為角，根據(jù)兩角和正弦公式化簡即可求解；
（2）由余弦定理求出c，再由三角形面積公式求解.
【小問1詳解】
因為，
所以，
即.
因，所以.
因為A為銳角，所以.
【小問2詳解】
因為，，，
所以，
所以，解得或（舍去），
故△ABC的面積為.
18. 如圖，四面體中，，E為AC的中點．


（1）證明：平面平面ACD；
（2）設，點F在BD上，當?shù)拿娣e最小時，求三棱錐的體積．
【答案】（1）證明詳見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）通過證明平面來證得平面平面.
（2）首先判斷出三角形的面積最小時點的位置，然后求得到平面的距離，從而求得三棱錐的體積.
【小問1詳解】
由于，是的中點，所以.
由于，所以，
所以，故，
由于，平面，
所以平面，
由于平面，所以平面平面.
【小問2詳解】
依題意，，三角形是等邊三角形，
所以，
由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.
，所以，
由于，平面，所以平面.
由于，所以，
由于，所以，
所以，所以，
由于，所以當最短時，三角形的面積最小值.
過作，垂足為，
在中，，解得，
所以，
所以.
過作，垂足為，則，所以平面，且，
所以,
所以.


19. 第130屆中國進出口商品交易會(廣交會)于2021年10月15日至11月3日舉辦.其中10月15日～18日的第二期展示中，有兩家禮品參展商為了交流感情，進行了如下游戲，在甲參展商的箱子和乙參展商的箱子中分別裝有標號為1，2，3的3個形狀材質均相同的小禮品盒，現(xiàn)從甲、乙參展商的兩個箱子中各取出1個小禮品盒，每個小禮品盒被取出的可能性相等.
（1）求取出的兩個小禮品盒標號相同的概率；
（2）若將乙參展商箱子中的小禮品盒全部倒入甲參展商的箱子中，然后從甲參展商的箱子中不放回的隨機取出兩個小禮品盒，求取出的兩個小禮品盒標號相同的概率.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】(1)列舉出從兩個箱子中各取一個小禮品盒的所有結果，小禮品盒標號相同的結果，再利用古典概型公式計算即得.
(2)將兩個箱子中小禮品盒分別編號，再列舉出取出兩個小禮品盒的所有結果，小禮品盒標號相同的結果，利用古典概型公式計算即得.
【小問1詳解】
依題意，從兩個箱子中各取一個小禮品盒的基本事件有：
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共9種，
設事件“取出的兩個小禮品盒標號相同”，則事件A包含的基本事件有(1，1)，(2，2)，(3，3)，共3種，
于是得，
所以取出的兩個小禮品盒標號相同的概率.
【小問2詳解】
分別用，，和，，表示甲、乙兩參展商箱子中的小禮品盒，
取出兩個小禮品盒的基本事件有：，，，，，，
，，，，，，，，，共15種，
設事件“取出的兩個小禮品盒標號相同”，則事件B包含的基本事件有，，，共3種，
于得，
所以取出的兩個小禮品盒標號相同的概率.
20. 已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，且直線與圓相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）設斜率為且不過原點的直線與橢圓相交于、兩點，為坐標原點，直線的斜率分別為，若成等比數(shù)列，推斷是否為定值﹖若是，求出此定值；若不是，說明理由.
【答案】（1）；（2）是定值，5.
【解析】
【分析】（1）首先根據(jù)已知條件得到，，再解方程組即可得到橢圓的標準方程.
（2）首先設直線的方程為，點，代入橢圓得到，結合已知條件和韋達定理得到，再計算，即可得到定值.
【詳解】（1）因為拋物線的焦點為，則，
所以，
因為直線與圓相切，
則，即.
解得，
所以橢圓的方程
（2）設直線的方程為，點，
將直線的方程代入橢圓方程，得，
即，
則
由已知，
則，即
所以，即
因為，則，即，
從而當時，，
當時，.
所以


為定值.
【點睛】方法點睛：解答直線與橢圓題目時，通常把直線與橢圓聯(lián)立，得到一元二次方程，借助根系關系，并結合已知條件求解.
21. 已知函數(shù)，.
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若對任意，都有成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）當時，在上，是減函數(shù),當時，在上，是減函數(shù),在上，是增函數(shù)；（2）
【解析】
【分析】求出函數(shù)的定義域，函數(shù)的導數(shù)，通過a的范圍討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．（2）
對任意x＞0，都有f（x）＞0成立，轉化為在（0，+∞）上f（x）min＞0，利用函數(shù)的導數(shù)求解函數(shù)的最值即可．
【詳解】（1）解：函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）
又
當a≤0時，在（0，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)
當a＞0時，由f′（x）=0得：或（舍）
所以：在上，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)
在上，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)
（2）對任意x＞0，都有f（x）＞0成立，即：在（0，+∞）上f（x）min＞0
由（1）知：當a≤0時，在（0，+∞）上f（x）是減函數(shù)，
又f（1）=2a﹣2＜0，不合題意
當a＞0時，當時，f（x）取得極小值也是最小值，
所以：
令（a＞0）
所以：
在（0，+∞）上，u′（a）＞0，u（a）是增函數(shù)又u（1）=0
所以：要使得f（x）min≥0，即u（a）≥0，即a≥1，
故：a的取值范圍為[1，+∞）
【點睛】本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的最值的求法，考查轉化思想以及計算能力．
22. 已知在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為ρ= 4cosθ，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).
（1）求曲線的直角坐標方程及直線l的普通方程；
（2）若曲線的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，曲線上點P的極角為Q為曲線上的動點，求PQ的中點M到直線l距離的最大值.
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用極坐標和直角坐標的轉換公式，求得的直角坐標方程；消去直線參數(shù)方程中的參數(shù)，求得直線的普通方程.
（2）求得點的直角坐標，由此求得點坐標，利用點到直線距離公式列式，結合三角函數(shù)最值的求法，求得到直線距離的最大值.
【詳解】（1）由得，即.
由消去得.
（2）令，則，所以，對應的直角坐標為，即.依題意，所以，點到直線的距離為
，從而最大值為.
【點睛】本小題主要考查極坐標方程化為直角坐標方程，考查參數(shù)方程化為普通方程，考查點到直線距離的最值的求法，屬于中檔題.
23.

已知函數(shù)，其中實常數(shù)．
（1）若函數(shù)的最小值為3，求的值；
（2）若當時，不等式恒成立，求的取值范圍．
【答案】（1）的值為1或-5；（2）的取值范圍是．
【解析】
【詳解】試題分析：（1）因為，則；令，即可求得的值；（2）當時，由，得，即．
據(jù)題意，，解不等式組得的取值范圍是．
試題解析：（1）因為，
當且僅當時取等號，則．
令，則或．
（2）當時，，．
由，得，即，即．
據(jù)題意，，則，即．
所以的取值范圍是．
考點：1、絕對值不等式；2、最值問題

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2022-2023學年陜西省安康市高三上學期12月第一次質量聯(lián)考（一模）文科數(shù)學試題（PDF版）
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2023屆陜西省安康中學高三上學期12月月考 文科數(shù)學 （解析版）
2023屆陜西省安康中學高三上學期第一次檢測性考試理科數(shù)學試題含解析

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2022屆陜西省安康中學（安康市）高三下學期4月第三次聯(lián)合考試文科數(shù)學試題含解析

2022屆陜西省安康中學（安康市）高三下學期4月第三次聯(lián)合考試文科數(shù)學試題含解析
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