一、直角邊與斜邊不明需分類討論
1．一直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，3，x，那么以x為邊長(zhǎng)的正方形的面積為【易錯(cuò)3】( )
A．13 B．5 C．13或5 D．4
2．直角三角形的兩邊長(zhǎng)是6和8，則這個(gè)三角形的面積是____________．
二、銳角或鈍角三角形形狀不明需分類討論
3．在△ABC中，AB＝10，AC＝2eq \r(10)，BC邊上的高AD＝6，則BC的長(zhǎng)為【易錯(cuò)4】( )
A．10 B．8 C．6或10 D．8或10
4．在等腰△ABC中，已知AB＝AC＝5，△ABC的面積為10，則BC＝____________．【易錯(cuò)4】
eq \a\vs4\al(◆)類型二 方程思想
一、實(shí)際問(wèn)題中結(jié)合勾股定理列方程求線段長(zhǎng)
如圖，小華將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子末端距離地面2m，則旗桿的高度為_(kāi)_______．

二、折疊問(wèn)題中結(jié)合勾股定理列方程求線段長(zhǎng)
6．如圖，將長(zhǎng)方形ABCD沿EF折疊，使頂點(diǎn)C恰好落在AB邊的中點(diǎn)C′上．若AB＝6，BC＝9，求BF的長(zhǎng)．【方法4】
三、利用公共邊相等結(jié)合勾股定理列方程求線段長(zhǎng)
7．如圖，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面積．
eq \a\vs4\al(◆)類型三 利用轉(zhuǎn)化思想求最值
一只螞蟻從棱長(zhǎng)為4 cm的正方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱外表面爬到B點(diǎn)，那么它的最短路線的長(zhǎng)是________cm.【方法5】

9．如圖，A，B兩個(gè)村在河CD的同側(cè)，且AB＝eq \r(13) km，A，B兩村到河的距離分別為AC＝1 km，BD＝3 km.現(xiàn)要在河邊CD上建一水廠分別向A，B兩村輸送自來(lái)水，鋪設(shè)水管的工程費(fèi)每千米需3000元．請(qǐng)你在河岸CD上選擇水廠位置O，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最省，并求出鋪設(shè)水管的總費(fèi)用W(元)．【方法5】
參考答案與解析
1．C 2.24或6eq \r(7)
3．C 解析：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖所示，圖①中，AB＝10，AC＝2eq \r(10)，AD＝6.在Rt△ABD和Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得BD＝eq \r(AB2－AD2)＝eq \r(102－62)＝8，CD＝eq \r(AC2－AD2)＝eq \r(（2\r(10)）2－62)＝2，此時(shí)BC＝BD＋CD＝8＋2＝10；圖②中，同理可得BD＝8，CD＝2，此時(shí)BC＝BD－CD＝8－2＝6.綜上所述，BC的長(zhǎng)為6或10.故選C.
4．2eq \r(5)或4eq \r(5) 解析：如圖①，△ABC為銳角三角形，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，交AB于點(diǎn)D.∵S△ABC＝10，AB＝5，∴eq \f(1,2)AB·CD＝10，解得CD＝4.在Rt△ACD中，由勾股定理得AD＝eq \r(AC2－CD2)＝eq \r(52－42)＝3，∴BD＝AB－AD＝5－3＝2.在Rt△CBD中，由勾股定理得BC＝eq \r(BD2＋CD2)＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5)；
如圖②，△ABC為鈍角三角形，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.同上可得CD＝4.在Rt△ACD中，AC＝5，由勾股定理得AD＝eq \r(AC2－CD2)＝eq \r(52－42)＝3.∴BD＝BA＋AD＝5＋3＝8.在Rt△BDC中，由勾股定理得BC＝eq \r(BD2＋CD2)＝eq \r(82＋42)＝4eq \r(5).綜上所述，BC的長(zhǎng)度為2eq \r(5)或4eq \r(5).
5．17 m
6．解：∵折疊前后兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)線段相等，∴CF＝C′F.設(shè)BF＝x.∵BC＝9，∴C′F＝CF＝BC－BF＝9－x.∵C′是AB的中點(diǎn)，AB＝6，∴BC′＝eq \f(1,2)AB＝3.在Rt△C′BF中，由勾股定理得C′F2＝BF2＋C′B2，即(9－x)2＝x2＋32，解得x＝4，即BF的長(zhǎng)為4.
7．解：過(guò)A作AD⊥BC交BC于點(diǎn)D.在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，設(shè)BD＝x，則CD＝BC－BD＝14－x.在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，即152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.在Rt△ABD中，由勾股定理得AD＝eq \r(AB2－BD2)＝eq \r(152－92)＝12.∴S△ABC＝eq \f(1,2)BC·AD＝eq \f(1,2)×14×12＝84.
8．4eq \r(,5)
9．解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接BA′交CD于O，點(diǎn)O即為水廠的位置．過(guò)點(diǎn)A′作A′E∥CD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F，則AF＝A′E，DF＝AC＝1 km，DE＝A′C＝1 km.∴BF＝BD－FD＝3－1＝2(km)．在Rt△ABF中，AF2＝AB2－BF2＝13－22＝9，∴AF＝3km.∴A′E＝3km.在Rt△A′BE中，BE＝BD＋DE＝4 km，由勾股定理得A′B＝eq \r(A′E2＋BE2)＝eq \r(32＋42)＝5(km)．∴W＝3000×5＝15000(元)．故鋪設(shè)水管的總費(fèi)用為15000元．

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