通用版高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)第2講《命題及其關(guān)系》學(xué)案(含詳解)-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

第2講　命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件1.命題(1)命題的概念:數(shù)學(xué)中把用語言、符號或式子表達的,能夠判斷　　　　的陳述句叫作命題.其中　　　　　的語句叫作真命題,　　　　　的語句叫作假命題. (2)四種命題及其相互關(guān)系圖1-2-1特別提醒:若兩個命題互為逆否命題,則它們有相同的真假性. 2.充分條件、必要條件與充要條件(1)如果p?q,則p是q的　　　　條件. (2)如果q?p,則p是q的　　　　條件. (3)如果既有p?q,又有q?p,記作p?q,則p是q的　　　　條件. 常用結(jié)論1.充要條件的兩個結(jié)論:(1)若p是q的充分不必要條件,q是r的充分不必要條件,則p是r的充分不必要條件;(2)若p是q的充分不必要條件,則?q是?p的充分不必要條件.2.充分、必要條件與集合的關(guān)系使p成立的對象構(gòu)成的集合為A,使q成立的對象構(gòu)成的集合為B p是q的充分條件A?Bp是q的必要條件B?Ap是q的充分不必要條件A?Bp是q的必要不充分條件B?Ap是q的充要條件A=B 題組一　常識題1.[教材改編] 對于下列語句:①垂直于同一直線的兩條直線必平行嗎?②作△ABC∽△A'B'C'.③x2+2x-3<0.④四邊形的內(nèi)角和是360°.其中是命題的是　　　　.(填序號) 2.[教材改編] 有下面4個命題:①集合N中最小的數(shù)是1;②若-a不屬于N,則a屬于N;③若a∈N,b∈N,則a+b的最小值為2;④x2+1=2x的解集可表示為{1,1}.其中真命題的個數(shù)為　　　　. 3.[教材改編] 命題“若整數(shù)a不能被2整除,則a是奇數(shù)”的逆否命題是　　　　　　　　　　　　　　　　. 4.[教材改編] “點P(x,y)在第一象限”是“x+y>1”的　　　　　　　條件. 題組二　常錯題◆索引:命題的條件與結(jié)論不明確;含有大前提的命題的否命題易出現(xiàn)否定大前提的情況;真、假命題的推理考慮不全面;對充分必要條件判斷錯誤. 5.命題“若a2+b2=0,a,b∈R,則a=b=0”的逆否命題是　　　　　　　　　　　　　　　　. 6.已知命題“對任意a,b∈R,若ab>0,則a>0”,則它的否命題是　　　　　　　　　　　　　　　　. 7.若命題“ax2-2ax-3>0不成立”是真命題,則實數(shù)a的取值范圍是　　　　. 8.條件p:x>a,條件q:x≥2.①若p是q的充分不必要條件,則a的取值范圍是　　　　; ②若p是q的必要不充分條件,則a的取值范圍是　　　　. 9.已知p是r的充分不必要條件,s是r的必要條件,q是s的必要條件,那么p是q的　　　　　　條件. 探究點一　四種命題及其相互關(guān)系例1 (1)對于命題“單調(diào)函數(shù)不是周期函數(shù)”,下列說法正確的是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.逆命題為“周期函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)”B.否命題為“單調(diào)函數(shù)是周期函數(shù)”C.逆否命題為“周期函數(shù)是單調(diào)函數(shù)”D.以上都不正確(2)給出以下四個命題:①“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的逆命題;②“全等三角形的面積相等”的否命題;③“若q≤-1,則x2+x+q=0有實根”的逆否命題;④若ab是正整數(shù),則a,b都是正整數(shù).其中為真命題的是　　　　.(寫出所有真命題的序號) [總結(jié)反思] (1)求一個命題的其他三種命題時,需注意:①對于不是“若p,則q”形式的命題,需先改寫為“若p,則q”的形式;②若命題有大前提,寫其他三種命題時需保留大前提.(2)判斷一個命題為真命題,要給出推理證明;判斷一個命題為假命題,只需舉出反例.(3)當(dāng)不易直接判斷一個命題的真假時,根據(jù)互為逆否命題的兩個命題同真同假,可轉(zhuǎn)化為判斷其等價命題的真假.變式題 (1)已知命題p:正數(shù)a的平方不等于0,命題q:若a不是正數(shù),則它的平方等于0,則q是p的(　　)A.逆命題 B.否命題C.逆否命題 D.否定(2)以下關(guān)于命題的說法正確的是　　　　.(填寫所有正確說法的序號) ①“若log2(a+1)>1,則函數(shù)f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)”是真命題;②命題“若a≠0,則a(b+1)≠0”的否命題是“若a=0,則a(b+1)=0”;③命題“若x,y都是偶數(shù),則(x+1)(y+1)是偶數(shù)”的逆命題為真命題;④命題“若a∈M,則b?M”與命題“若b∈M,則a?M”等價.探究點二　充分、必要條件的判定例2 (1)[2018·北京卷] 設(shè)a,b均為單位向量,則“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的 (　　)A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件(2)“函數(shù)f(x)=a+ln x(x≥e)存在零點”是“a<-1”的(　　)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件 [總結(jié)反思] 充分條件、必要條件的判定方法有定義法、集合法和等價轉(zhuǎn)化法.三種不同的方法適用于不同的類型:定義法適用于定義、定理的判斷問題;集合法多適用于命題中涉及參數(shù)的取值范圍的推斷問題;等價轉(zhuǎn)化法適用于條件和結(jié)論中帶有否定性詞語的命題.變式題 (1)[2018·深圳一模] 已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,則“a2>a1”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的????????????? (　　)A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件(2)“α=”是“sin 2α-cos 2α=1”的 (　　)A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件探究點三　充分、必要條件的應(yīng)用例3 方程ax2+2x+1=0至少有一個負實根的充要條件是 (　　)A.0<a≤1 B.a<1C.a≤1 D.0<a≤1或a<0 [總結(jié)反思] 充分條件、必要條件的應(yīng)用一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上,解題時通常把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.解題過程中要注意檢驗區(qū)間端點值.變式題 (1)下面四個條件中,使a>b成立的必要而不充分條件是 (　　)A.a-1>b B.a+1>bC.|a|>|b| D.a3>b3(2)[2018·衡陽4月調(diào)研] 已知p:實數(shù)m滿足m2+12a2<7am(a>0),q:方程+=1表示焦點在y軸上的橢圓,且p是q的充分不必要條件,則a的取值范圍為　　　　. 第2講　命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件考試說明 1.理解命題的概念;2.了解“若p,則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題,會分析四種命題的相互關(guān)系;3.理解必要條件、充分條件與充要條件的含義. 【課前雙基鞏固】知識聚焦1.真假　判斷為真　判斷為假2.(1)充分　(2)必要　(3)充要對點演練1.④　[解析] ①是疑問句,不是命題;②是祈使句,不是命題;③不能判斷真假,不是命題;④是命題.2.0　[解析] ①為假命題,集合N中最小的數(shù)是0;②為假命題,如a=不滿足;③為假命題,如a=0,b=1,則a+b=1,比2小;④為假命題,所給集合中的元素不滿足互異性.3.若整數(shù)a不是奇數(shù),則a能被2整除　[解析] 以原命題結(jié)論的否定作條件、原命題條件的否定作結(jié)論得出逆否命題.4.既不充分也不必要　[解析] 取x=,y=,知充分性不成立;取x=-1,y=3,知必要性不成立.故為既不充分也不必要條件.5.若a≠0或b≠0,a,b∈R,則a2+b2≠0　[解析] “若p,則q”的逆否命題為“若?q,則?p”,又a=b=0的實質(zhì)為a=0且b=0,故其否定為a≠0或b≠0.6.對任意a,b∈R,若ab≤0,則a≤0　[解析] “對任意a,b∈R”是大前提,在否命題中不變,又因為ab>0,a>0的否定分別為ab≤0,a≤0,所以原命題的否命題為“對任意a,b∈R,若ab≤0,則a≤0”.7.[-3,0]　[解析] 由已知可得ax2-2ax-3≤0恒成立.當(dāng)a=0時,-3≤0恒成立;當(dāng)a≠0時,得解得-3≤a<0.故-3≤a≤0.8.①a≥2?、赼<2　[解析] ①因為p是q的充分不必要條件,所以{x|x>a}?{x|x≥2},則a的取值范圍是a≥2.②因為p是q的必要不充分條件,所以{x|x≥2}?{x|x>a},則a的取值范圍是a<2.9.充分不必要　[解析] 依題意有p?r,r?s,s?q,∴p?r?s?q.又∵r?/ p,∴q?/ p.故p是q的充分不必要條件.【課堂考點探究】例1　[思路點撥] (1)根據(jù)四種命題的構(gòu)成判斷即可.(2)對于①②,按照要求寫出相應(yīng)的逆命題、否命題,再判斷真假;對于③,可直接利用原命題與逆否命題的等價性判斷原命題的真假;對于④,直接判斷.(1)D　(2)①③　[解析] (1)根據(jù)四種命題的構(gòu)成可知,選項A,B,C均不正確.故選D.(2)①“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的逆命題為“若x,y互為相反數(shù),則x+y=0”,顯然為真命題;②否命題為“不全等的三角形的面積不相等”,而不全等的三角形的面積也可能相等,故為假命題;③原命題為真,所以它的逆否命題也為真,故③為真命題;④ab是正整數(shù),但a,b不一定都是正整數(shù),例如a=-1,b=-2,故④為假命題.所以答案是①③.變式題　(1)B　(2)①②④　[解析] (1)“正數(shù)a的平方不等于0”即“若a是一個正數(shù),則它的平方不等于0”,其否命題為“若a不是正數(shù),則它的平方等于0”,所以選B.(2)①正確,由log2(a+1)>1,得a+1>2,所以a>1,所以f(x)=logax在其定義域內(nèi)是增函數(shù).②正確,由命題的否命題的定義知,該說法正確.③不正確,原命題的逆命題為“若(x+1)(y+1)是偶數(shù),則x,y都是偶數(shù)”,是假命題,如(3+1)×(4+1)=20為偶數(shù),但x=3,y=4.④正確,兩者互為逆否命題,因此兩命題等價.例2　[思路點撥] (1)將已知等式兩邊同時平方,可得出向量a,b的關(guān)系,從而得出結(jié)論;(2)通過研究單調(diào)性,求出函數(shù)存在零點的充要條件為a≤-1,從而得出結(jié)論.(1)C　(2)B　[解析] (1)將|a-3b|=|3a+b|兩邊平方,得a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2.∵a,b均為單位向量,∴a·b=0,即a⊥b.反之,由a⊥b可得|a-3b|=|3a+b|.故為充分必要條件.(2)因為f'(x)=>0,所以若函數(shù)f(x)=a+ln x(x≥e)存在零點,則f(e)≤0,即a≤-1,因此“函數(shù)f(x)=a+ln x(x≥e)存在零點”是“a<-1”的必要不充分條件,故選B.變式題　(1)B　(2)A　[解析] (1)當(dāng)a1=-1,a2=2,公比q=-2時,雖然有a1<a2,但是數(shù)列{an}不是遞增數(shù)列,所以充分性不成立;反之,當(dāng)數(shù)列{an}是遞增數(shù)列時,必有a1<a2,因此必要性成立.故選B.(2)由sin 2α-cos 2α=1得sin=,所以2α-=2kπ+,k∈Z或2α-=2kπ+,k∈Z,即α=kπ+,k∈Z或α=kπ+,k∈Z,所以“α=”是“sin 2α-cos 2α=1”的充分而不必要條件,故選A.例3　[思路點撥] 直接法,分情況討論;特例法,結(jié)合選項取特殊值驗證.C　[解析] 方法一(直接法):當(dāng)a=0時,x=-,符合題意.當(dāng)a≠0時,若方程的兩根為一正一負,則??a<0;若方程的兩根均為負,則??0<a≤1.綜上所述,所求充要條件是a≤1.方法二(排除法):當(dāng)a=0時,原方程有一個負實根,可以排除A,D;當(dāng)a=1時,原方程有兩個相等的負實根,可以排除B.所以選C.變式題　(1)B　(2)　[解析] (1)“a>b”不能推出“a-1>b”,故選項A不是“a>b”的必要條件,不滿足題意;“a>b”能推出“a+1>b”,但“a+1>b”不能推出“a>b”,故滿足題意;“a>b”不能推出“|a|>|b|”,故選項C不是“a>b”的必要條件,不滿足題意;“a>b”能推出“a3>b3”,且“a3>b3”能推出“a>b”,故是充要條件,不滿足題意.故選B.(2)由a>0,m2-7am+12a2<0,得3a<m<4a,即p:3a<m<4a,a>0.由方程+=1表示焦點在y軸上的橢圓,可得2-m>m-1>0,解得1<m<,即q:1<m<. 因為p是q的充分不必要條件,所以或解得≤a≤,所以實數(shù)a的取值范圍是.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【備選理由】例1考查對命題真假的判斷,是一個開放式命題,答案不唯一,有利于學(xué)生發(fā)散思維;例2強化了充分、必要條件的判斷方法和余弦定理、基本不等式的應(yīng)用;例3主要考查了充要條件的判斷;例4是以簡單不等式的方式考查充分、必要條件的應(yīng)用.例1　[配合例1使用] [2018·北京通州區(qū)三模] 能夠說明“設(shè)a,b,c是任意實數(shù),若a>b>c,則a2>ab>c2”是假命題的一組整數(shù)a,b,c的值依次為　　　　. [答案] 1,0,-1(此題答案不唯一)[解析] 當(dāng)a=1,b=0,c=-1時,滿足a>b>c,不滿足a2>ab>c2,∴命題是假命題.故答案可以為1,0,-1.例2　[配合例2使用] [2018·武漢4月調(diào)研] 在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知條件p:a≤,條件q:A≤,那么p是q成立的????????????? (　　)A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件[解析] A　由條件p:a≤,知cos A=≥=≥=,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=a時取等號,又A∈(0,π),∴0<A≤,∴A≤,即q成立.取A=,C=,B=,滿足條件q,但是a>.∴p是q成立的充分而不必要條件.故選A.例3　[配合例2使用] [2018·莆田六中三模] 在等比數(shù)列{an}中,a2=-2,則“a4,a12是方程x2+3x+1=0的兩根”是“a8=-1”的????????????? (　　)A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件[解析] C　因為a4,a12是方程x2+3x+1=0的兩根,所以a4a12=1,因此=1,又因為a2=-2<0,所以a8<0,即a8=-1.從而“a4,a12是方程x2+3x+1=0的兩根”是“a8=-1”的充要條件,故選C.例4　[配合例3使用] [2018·南昌模擬] 在實數(shù)范圍內(nèi),使得不等式>1成立的一個充分而不必要條件是????????????? (　　)A.x>0 B.x<1C.0<x<1 D.0<x<[解析] D　∵>1,∴<0,∴0<x<1.∵?(0,1),∴0<x<為不等式>1成立的一個充分而不必要條件,故選D.

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