第11講　函數(shù)與方程1.函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義對(duì)于函數(shù)y=f(x)(x∈D),把使　　　　的實(shí)數(shù)x叫作函數(shù)y=f(x)(x∈D)的零點(diǎn). (2)等價(jià)關(guān)系方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖像與　　　　有交點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)有　　　　. (3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有　　　　,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間　　　　內(nèi)有零點(diǎn),即存在c∈(a,b),使得　　　　,這個(gè)　　　　也就是方程f(x)=0的根. 2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖像與零點(diǎn)的關(guān)系 Δ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖像與x軸的交點(diǎn)　　　 　　　 無(wú)交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)　　　 　　　 　　　 常用結(jié)論1.在區(qū)間D上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn).2.周期函數(shù)如果存在零點(diǎn),則必有無(wú)窮個(gè)零點(diǎn).題組一　常識(shí)題1.[教材改編] 函數(shù)f(x)=ln x+2x-6的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是　　　　. 2.[教材改編] 如果函數(shù)f(x)=ex-1+4x-4的零點(diǎn)在區(qū)間(n,n+1)(n為整數(shù))內(nèi),則n=　　　　. 3.[教材改編] 函數(shù)f(x)=x3-2x2+x的零點(diǎn)是　　　　. 4.[教材改編] 若函數(shù)f(x)=x2-4x+a存在兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　. 題組二　常錯(cuò)題◆索引:錯(cuò)用零點(diǎn)存在性定理;誤解函數(shù)零點(diǎn)的定義;忽略限制條件;二次函數(shù)在R上無(wú)零點(diǎn)的充要條件(判別式小于零).5.函數(shù)f(x)=x+的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是　　　　. 6.函數(shù)f(x)=x2-3x的零點(diǎn)是　　　　. 7.若二次函數(shù)f(x)=x2-2x+m在區(qū)間(0,4)上存在零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是　　　　. 8.若二次函數(shù)f(x)=x2+kx+k在R上無(wú)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是　　　　. 探究點(diǎn)一　函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷例1 (1)函數(shù)f(x)=ex-x-2在下列哪個(gè)區(qū)間上必有零點(diǎn) (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.(-1,0) B.(0,1)C.(1,2) D.(2,3) (2)已知函數(shù)f(x)=lg x+x-5在區(qū)間(n,n+1)(n∈Z)上存在零點(diǎn),則n=　　　　.    [總結(jié)反思] 判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法:(1)解方程法,當(dāng)對(duì)應(yīng)方程易解時(shí),可直接解方程;(2)零點(diǎn)存在性定理;(3)數(shù)形結(jié)合法,畫出相應(yīng)函數(shù)圖像,觀察與x軸交點(diǎn)來(lái)判斷,或轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖像在所給區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷.變式題 [2018·南昌模擬] 函數(shù)f(x)=ln(x+1)-的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(　　)A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)探究點(diǎn)二　函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論例2 (1)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足f-+x=f,當(dāng)x∈時(shí),f(x)=ln(x2-x+1),則函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,6]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是????????????? (　　)A.3 B.5 C.7 D.9(2)[2018·河南中原名校模擬] 函數(shù)f(x)=sin2x+-log3πx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為　　　　.   [總結(jié)反思] 函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論,基本解法有:(1)直接法,令f(x)=0,有多少個(gè)解則有多少個(gè)零點(diǎn);(2)定理法,利用定理時(shí)往往還要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等;(3)圖像法,一般是把函數(shù)分拆為兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù),依據(jù)兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).變式題 (1)[2018·重慶巴蜀中學(xué)月考] 函數(shù)f(x)=-2e-x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 (　　)A.0 B.1 C.2 D.3(2)已知函數(shù)f(x)=則函數(shù)g(x)=[f(x)]2-3f(x)+2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為　　　　.  探究點(diǎn)三　函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用例3 (1)設(shè)函數(shù)f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3,若實(shí)數(shù)a,b滿足f(a)=g(b)=0,則 (　　)A.f(b)<0<g(a) B.g(a)<0<f(b)C.0<g(a)<f(b) D.f(b)<g(a)<0(2)[2019·安徽肥東高級(jí)中學(xué)調(diào)研] 已知函數(shù)f(x)=若函數(shù)g(x)=f(x)-m(x-1)有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是????????????? (　　) A.(-2,0) B.(-1,0)C.(-2,0)∪(0,+∞) D.(-1,0)∪(0,+∞)  [總結(jié)反思] 函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用主要體現(xiàn)在三類問(wèn)題中:一是函數(shù)中不含參數(shù),零點(diǎn)又不易直接求出,考查各零點(diǎn)的和或范圍問(wèn)題;二是函數(shù)中含有參數(shù),根據(jù)零點(diǎn)情況求函數(shù)中參數(shù)的范圍;三是函數(shù)中有參數(shù),但不求參數(shù),仍是考查零點(diǎn)的范圍問(wèn)題.這三類問(wèn)題一般是通過(guò)數(shù)形結(jié)合或分離參數(shù)求解.變式題 (1)[2018·山東、湖北部分重點(diǎn)中學(xué)二模] 若函數(shù)f(x)=cos x+2|cos x|-m,x∈[0,2π]恰有兩個(gè)零點(diǎn),則m的取值范圍為????????????? (　　)A.(0,1] B.{1}C.{0}∪(1,3] D.[0,3](2)若x1,x2分別是函數(shù)f(x)=x-2-x,g(x)=xlog2x-1的零點(diǎn),則下列結(jié)論成立的是 (　　)A.x1=x2 B.x1>x2C.x1+x2=1 D.x1x2=1          第11講　函數(shù)與方程考試說(shuō)明 結(jié)合二次函數(shù)的圖像,了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系,判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù). 【課前雙基鞏固】知識(shí)聚焦1.(1)f(x)=0　(2)x軸　零點(diǎn)　(3)f(a)·f(b)<0　(a,b)　f(c)=0　c2.(x1,0),(x2,0)　(x1,0)　2　1　0對(duì)點(diǎn)演練1.1　[解析] 函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,且f(2)<0,f(3)>0,故存在唯一零點(diǎn).2.0　[解析] 函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,且f(0)<0,f(1)>0,故其零點(diǎn)在區(qū)間(0,1)內(nèi),則n=0.3.0,1　[解析] 由f(x)=x3-2x2+x=0,解得x1=0,x2=1,所以函數(shù)的零點(diǎn)是0,1.4.(-∞,4)　[解析] Δ=16-4a>0,解得a<4.5.0　[解析] 函數(shù)的定義域?yàn)?/span>{x|x≠0},當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0,當(dāng)x<0時(shí),f(x)<0,所以函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn).6.0,3　[解析] 由f(x)=x2-3x=0,得x=0或x=3.7.(-8,1]　[解析] 二次函數(shù)f(x)圖像的對(duì)稱軸方程為x=1.若在區(qū)間(0,4)上存在零點(diǎn),只需f(1)≤0且f(4)>0即可,即-1+m≤0且8+m>0,解得-8<m≤1.8.(0,4)　[解析] Δ=k2-4k<0,解得0<k<4.【課堂考點(diǎn)探究】例1　[思路點(diǎn)撥] (1)利用零點(diǎn)存在性定理判斷即可;(2)利用函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理即可求出n.(1)C　(2)3　[解析] (1)f(-1)=-1<0,f(0)=-1<0,f(1)=e-3<0,f(2)=e2-4>0,故選C.(2)f(x)=lg x+x-5是定義在(0,+∞)上的增函數(shù),根據(jù)零點(diǎn)存在性定理,可得因?yàn)?/span>f(1)=-5<0,f(2)=lg 2+-5<0,f(3)=lg 3+-5<0,f(4)=lg 4+5-5=lg 4>0,所以函數(shù)f(x)在(3,4)上存在零點(diǎn),故n=3.變式題　B　[解析] f(x)=ln(x+1)-在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且f(1)=ln 2-2<0,f(2)=ln 3->0,則f(1)·f(2)<0,所以函數(shù)f(x)=ln(x+1)-的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1,2). 例2　[思路點(diǎn)撥] (1)由已知可得函數(shù)是奇函數(shù),周期為3,且f=f(-1)=f(0)=f(1)=f=0,即可得函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,6]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)函數(shù)f(x)=sin-log3πx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為y=log3πx與y=cos 2x(x>0)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù),利用數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.(1)D　(2)6　[解析] (1)∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足f=f,∴f-+x+=f+x+,可得f(x+3)=f(x),則函數(shù)f(x)的周期為3.當(dāng)x∈時(shí),f(x)=ln(x2-x+1),令f(x)=0,則x2-x+1=1,解得x=0(舍去)或1,又∵函數(shù)f(x)是定義域?yàn)?/span>R的奇函數(shù),∴在區(qū)間上,有f(-1)=-f(1)=0,f(0)=0.由f=f,取x=0,得f=f,又f=-f,∴f=f=0,∴f=f(-1)=f(0)=f(1)=f=0.又∵函數(shù)f(x)是周期為3的周期函數(shù),∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,6]上的零點(diǎn)有0,1,,2,3,4,,5,6,共9個(gè).(2)函數(shù)f(x)=sin-log3πx=cos 2x-log3πx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是y=log3πx與y=cos 2x(x>0)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù).在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y=log3πx與y=cos 2x(x>0)的圖像,如圖,由圖可知,y=log3πx與y=cos 2x(x>0)的圖像有6個(gè)交點(diǎn),所以函數(shù)f(x)=sin-log3πx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6.變式題　(1)B　(2)3　[解析] (1)∵y=單調(diào)遞增,y=-2e-x單調(diào)遞增,∴f(x)=-2e-x單調(diào)遞增.∵f(0)=-2<0,f(8)=2->0,∴由零點(diǎn)存在性定理可得,f(x)=-2e-x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1,故選B.(2)函數(shù)g(x)=[f(x)]2-3f(x)+2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程[f(x)]2-3f(x)+2=0的解的個(gè)數(shù),解方程得f(x)=1或f(x)=2.由f(x)=1得ln x=1(x>0)或ex=1(x≤0),解得x=e或x=0;同理,由f(x)=2得ln x=2(x>0)或ex=2(x≤0),解得x=e2.所以函數(shù)g(x)共有3個(gè)零點(diǎn).例3　[思路點(diǎn)撥] (1)首先確定函數(shù)f(x)和g(x)的單調(diào)性,然后結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可;(2)先轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)的圖像與y=m(x-1)的圖像有且僅有兩個(gè)交點(diǎn),數(shù)形結(jié)合即可得答案.(1)B　(2)D　[解析] (1)易知f(x)是增函數(shù),g(x)在(0,+∞)上也是增函數(shù).由于f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,所以0<a<1.又g(1)=-2<0,g(2)=ln 2+1>0,所以1<b<2,所以f(b)>f(1)>0,g(a)<g(1)<0,據(jù)此可知g(a)<0<f(b).(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-m(x-1)有兩個(gè)零點(diǎn),則函數(shù)y=f(x)的圖像與y=m(x-1)的圖像有且僅有兩個(gè)交點(diǎn).在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y=f(x)的圖像與y=m(x-1)的圖像,如圖所示.由圖像可得,當(dāng)m>0時(shí),滿足條件;當(dāng)m=-1時(shí),直線y=m(x-1)與y=2-ex(x≤1)的圖像相切,可得當(dāng)-1<m<0時(shí),滿足條件.故m∈(-1,0)∪(0,+∞).變式題　(1)C　(2)D　[解析] (1)f(x)=cos x+2|cos x|-m,x∈[0,2π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是y=cos x+2|cos x|=的圖像與y=m的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù).作出y=cos x+2|cos x|,x∈[0,2π]的圖像,如圖,由圖像可知,當(dāng)m=0或1<m≤3時(shí),函數(shù)y=cos x+2|cos x|,x∈[0,2π]的圖像與y=m的圖像有兩個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)f(x)=cos x+2|cos x|-m,x∈[0,2π]恰有兩個(gè)零點(diǎn),故m的取值范圍為{0}∪(1,3],故選C.(2)因?yàn)?/span>f(0)≠0,所以x1≠0.當(dāng)x≠0時(shí),由x-2-x=0,得2x=,則x1就是曲線y=與曲線y=2x交點(diǎn)的橫坐標(biāo).由xlog2x-1=0,得log2x=,則x2就是曲線y=(x>0)與曲線y=log2x交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 因?yàn)榍€y=關(guān)于直線y=x對(duì)稱,且曲線y=2x與曲線y=log2x關(guān)于直線y=x對(duì)稱,所以點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱,所以=-1,可得x1x2=1,故選D.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【備選理由】 例1考查將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題,通過(guò)分析交點(diǎn)橫坐標(biāo)得零點(diǎn)所在區(qū)間;例2結(jié)合函數(shù)的奇偶性、周期性,考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),需要數(shù)形結(jié)合處理,綜合性強(qiáng);例3為有關(guān)方程的解的問(wèn)題,考查換元法、數(shù)形結(jié)合思想等.例1　[配合例1使用] [2018·運(yùn)城二模] 已知x0是函數(shù)f(x)=2sin x-πl(wèi)n x(x∈(0,π))的零點(diǎn),則????????????? (　　)A.x0∈(0,1) B.x0∈(1,e)C.x0∈(e,3) D.x0∈(e,π)[解析] B　設(shè)h(x)=2sin x(x∈(0,π)),g(x)=πl(wèi)n x(x∈(0,π)),則g(1)=0,g(e)=π>2,作出函數(shù)h(x)與g(x)的圖像(圖略)可知,交點(diǎn)在區(qū)間(1,e)內(nèi),即x0∈(1,e).例2　[配合例2使用] [2018·茂名模擬] 已知定義在R上的函數(shù)y=f(x+2)的圖像關(guān)于直線x=-2對(duì)稱,且函數(shù)f(x+1)是偶函數(shù).若當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=sinx,則函數(shù)g(x)=f(x)-e-|x|在區(qū)間[-2018,2018]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為????????????? (　　)A.2017 B.2018C.4034 D.4036[解析] D　函數(shù)g(x)=f(x)-e-|x|在區(qū)間[-2018,2018]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù),就是y=f(x)的圖像與y=e-|x|的圖像在區(qū)間[-2018,2018]上的交點(diǎn)個(gè)數(shù).∵函數(shù)y=f(x+2)的圖像關(guān)于直線x=-2對(duì)稱,∴函數(shù)y=f(x)的圖像的對(duì)稱軸為直線x=0,故y=f(x)是偶函數(shù),即f(-x)=f(x).又函數(shù)f(x+1)是偶函數(shù),∴f(x+1)=f(-x+1),故f(x+2)=f(-x)=f(x), ∴函數(shù)f(x)是周期為2的偶函數(shù).又當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=sinx,畫出y=f(x)與y=的部分圖像如圖所示,由圖像可知,在每個(gè)周期內(nèi)兩函數(shù)的圖像有2個(gè)交點(diǎn),∴函數(shù)g(x)=f(x)-e-|x|在區(qū)間[-2018,2018]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2018×2=4036.故選D.例3　[配合例3使用] 函數(shù)y=g(x)(x∈R)的圖像如圖所示,若關(guān)于x的方程[g(x)]2+m·g(x)+2m+3=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則m的取值范圍是　　　　　. [答案] [解析] 設(shè)g(x)=t, ∵關(guān)于x的方程[g(x)]2+m·g(x)+2m+3=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,∴關(guān)于t的方程t2+mt+2m+3=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且一個(gè)在(0,1)上,一個(gè)在[1,+∞)上.設(shè)h(t)=t2+mt+2m+3,①當(dāng)有一個(gè)根為1時(shí),h(1)=1+m+2m+3=0,解得m=-,此時(shí)另一個(gè)根為,符合題意;②當(dāng)沒(méi)有根為1時(shí),則解得-<m<-.綜上可得,m的取值范圍是.

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