1.已知等勢(shì)面的形狀分布，根據(jù)電場(chǎng)線和等勢(shì)面相互垂直可以繪制電場(chǎng)線。
2．由電場(chǎng)線和等差等勢(shì)面的疏密，可以比較不同點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小，電場(chǎng)線或等勢(shì)面密集處，電場(chǎng)強(qiáng)度較大。
3．根據(jù)電荷的運(yùn)動(dòng)軌跡可以判斷電荷受力方向和做功的正負(fù)，從而判斷電勢(shì)能的變化情況，注意電場(chǎng)力與電場(chǎng)線相切，且指向曲線的凹側(cè)。
【例1】 (多選)某同學(xué)在研究電子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)，得到了電子由a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)的軌跡(如圖中實(shí)線所示)，圖中未標(biāo)明方向的一組虛線可能是電場(chǎng)線，也可能是等勢(shì)面，則下列說法正確的是( )
A．如果圖中虛線是電場(chǎng)線，電子由a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)，動(dòng)能減少，電勢(shì)能增加
B．如果圖中虛線是等勢(shì)面，電子由a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)，動(dòng)能增加，電勢(shì)能減少
C．不論圖中虛線是電場(chǎng)線還是等勢(shì)面，a點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度都大于b點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度
D．不論圖中虛線是電場(chǎng)線還是等勢(shì)面，a點(diǎn)的電勢(shì)都高于b點(diǎn)的電勢(shì)
ABC [若虛線是電場(chǎng)線，從軌跡彎曲方向可知電場(chǎng)力沿著電場(chǎng)線向左，ab曲線上每一點(diǎn)的瞬時(shí)速度與電場(chǎng)力方向均成鈍角，故電子做減速運(yùn)動(dòng)，所以A正確；若虛線為等勢(shì)面，根據(jù)等勢(shì)面與電場(chǎng)線處處垂直可大致畫出電場(chǎng)線，顯然可看出曲線上每個(gè)位置電子受到的電場(chǎng)力與速度成銳角，電子加速運(yùn)動(dòng)，所以B正確；若虛線是電場(chǎng)線，由電場(chǎng)線的密集程度可看出a點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)較大，由沿著電場(chǎng)線方向電勢(shì)越來越低可判斷a處的電勢(shì)較高，若虛線是等勢(shì)面，從電子曲線軌跡向下彎曲可知電場(chǎng)線方向垂直虛線向上，沿著電場(chǎng)線方向電勢(shì)越來越低，故a點(diǎn)電勢(shì)較小，可判斷D錯(cuò)誤；而等差等勢(shì)面密集處電場(chǎng)線也越密集，故a處場(chǎng)強(qiáng)較大，因此無論虛線是電場(chǎng)線還是等勢(shì)面，均有a點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大于b點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，所以C正確。故選ABC。]
已知等勢(shì)面的形狀分布，根據(jù)電場(chǎng)線和等勢(shì)面相互垂直繪制電場(chǎng)線，再根據(jù)軌跡彎曲方向找電荷的受力方向，結(jié)合運(yùn)動(dòng)軌跡或路徑，判斷功的正負(fù)；由電場(chǎng)力做功正負(fù)確定動(dòng)能及電勢(shì)能的變化。
eq \([跟進(jìn)訓(xùn)練])
1．如圖中的實(shí)線表示電場(chǎng)線，虛線表示只受電場(chǎng)力作用的帶正電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，粒子先經(jīng)過M點(diǎn)，再經(jīng)過N點(diǎn)，可以判定( )
A．M點(diǎn)的電勢(shì)高于N點(diǎn)的電勢(shì)
B．M點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大于N點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度
C．粒子在M點(diǎn)的速率大于粒子在N點(diǎn)的速率
D．粒子在N點(diǎn)的電勢(shì)能大于粒子在M點(diǎn)的電勢(shì)能
A [粒子由M點(diǎn)向N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，根據(jù)帶正電的粒子受到的電場(chǎng)力沿電場(chǎng)線的切線，速度方向沿軌跡的切線可知粒子所受電場(chǎng)力的方向與速度方向的夾角為銳角，故電場(chǎng)力做正功，動(dòng)能增加，電勢(shì)能減少，C、D錯(cuò)誤；根據(jù)電場(chǎng)力對(duì)正電荷做正功，電荷從高電勢(shì)向低電勢(shì)運(yùn)動(dòng)可知，M點(diǎn)的電勢(shì)高于N點(diǎn)的電勢(shì)，A正確；電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和電場(chǎng)線的疏密程度有關(guān)，電場(chǎng)線越密，電場(chǎng)強(qiáng)度越大，故M點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度小于N點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，B錯(cuò)誤。]
1.電勢(shì)高低常用的兩種判斷方法
(1)依據(jù)電場(chǎng)線的方向→沿電場(chǎng)線方向電勢(shì)逐漸降低。
(2)依據(jù)UAB＝φA－φB→UAB>0，φA>φB，UABaQ，故D項(xiàng)正確；由于帶電粒子在運(yùn)動(dòng)過程中只受電場(chǎng)力作用，只有動(dòng)能與電勢(shì)能之間的相互轉(zhuǎn)化，則帶電粒子的動(dòng)能與電勢(shì)能之和不變，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)物體做曲線運(yùn)動(dòng)的軌跡與速度、合外力的關(guān)系可知，帶電粒子在R處所受電場(chǎng)力的方向?yàn)檠仉妶?chǎng)線向右。假設(shè)粒子從Q向P運(yùn)動(dòng)，則電場(chǎng)力做正功，所以電勢(shì)能減小，動(dòng)能增大，速度增大，假設(shè)粒子從P向Q運(yùn)動(dòng)，則電場(chǎng)力做負(fù)功，所以電勢(shì)能增大，動(dòng)能減小，速度減小，所以A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤。]
計(jì)算電場(chǎng)力做功的方法，常見的有以下幾種：
?1?利用電場(chǎng)力做功與電勢(shì)能的關(guān)系求解：WAB＝EpA－EpB。
?2?利用W＝Fd求解，此公式只適用于勻強(qiáng)電場(chǎng)。
?3?利用公式WAB＝qUAB求解。
?4?利用動(dòng)能定理求解。
eq \([跟進(jìn)訓(xùn)練])
2．如圖所示，實(shí)線為方向未知的三條電場(chǎng)線，虛線分別為等勢(shì)線1、2、3，已知MN＝NQ，a、b兩帶電粒子從等勢(shì)線2上的O點(diǎn)以相同的初速度飛出。僅在電場(chǎng)力作用下，兩粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，則( )
A．a(chǎn)一定帶正電，b一定帶負(fù)電
B．a(chǎn)加速度減小，b加速度增大
C．M、N電勢(shì)差|UMN|等于N、Q兩點(diǎn)電勢(shì)差|UNQ|
D．a(chǎn)粒子到達(dá)等勢(shì)線3的動(dòng)能變化量比b粒子到達(dá)等勢(shì)線1的動(dòng)能變化量小
B [本題考查電場(chǎng)線、等勢(shì)線、電場(chǎng)力做的功。由帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合曲線運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)可知帶電粒子所受的電場(chǎng)力方向，但因?yàn)殡妶?chǎng)線的方向不確定，故不能判斷帶電粒子帶電的性質(zhì)，A錯(cuò)；由電場(chǎng)線的疏密可知，a加速度將減小，b加速度將增大，B對(duì)；因?yàn)槭欠莿驈?qiáng)電場(chǎng)，故M、N電勢(shì)差并不等于N、Q兩點(diǎn)電勢(shì)差，C錯(cuò)；但因?yàn)榈葎?shì)線1與2之間的電場(chǎng)強(qiáng)度比2與3之間的電場(chǎng)強(qiáng)度要大，故1、2之間的電勢(shì)差要大于2、3之間的電勢(shì)差，但兩粒子的帶電荷量大小不確定，故無法比較動(dòng)能變化量的大小，D錯(cuò)。]
1.電場(chǎng)中的E-x圖象
(1)點(diǎn)電荷的E-x圖象
正點(diǎn)電荷及負(fù)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度E隨坐標(biāo)x變化關(guān)系的圖象
(2) 兩個(gè)等量異種點(diǎn)電荷的E-x圖象
①兩電荷連線上的E-x圖象如圖
②兩電荷連線的中垂線上的E-y圖象如圖。
(3)兩個(gè)等量同種點(diǎn)電荷的E-x圖象
①兩電荷連線上的E-x圖象
②兩電荷連線的中垂線上的E-y圖象
2．電場(chǎng)中的φ-x圖象
(1)點(diǎn)電荷及負(fù)點(diǎn)電荷的φ-x圖象(取無限遠(yuǎn)處電勢(shì)為零)
(2)兩個(gè)等量異種電荷連線上的φ-x圖象
(3)兩個(gè)等量同種電荷的φ-x圖象
①兩正電荷連線上的φ-x圖象
②兩正電荷連線的中垂線上的φ-y圖象
【例3】 (多選)在x軸上有兩個(gè)點(diǎn)電荷q1、q2，其電場(chǎng)的電勢(shì)φ在x軸上分布如圖所示。下列說法正確的有( )
A．q1和q2帶有異種電荷
B．x1處的電場(chǎng)強(qiáng)度為零
C．負(fù)電荷從x1移到x2，電勢(shì)能減小
D．負(fù)電荷從x1移到x2，受到的電場(chǎng)力增大
AC [兩個(gè)點(diǎn)電荷在x軸上，且x1處的電勢(shì)為零，x＞x1處的電勢(shì)大于零，x＜x1處的電勢(shì)小于零。如果q1、q2為同種電荷，x軸上各點(diǎn)的電勢(shì)不會(huì)有正、負(fù)之分，故q1、q2必為異種電荷，A選項(xiàng)正確；φ-x圖象中曲線的斜率表示電場(chǎng)強(qiáng)度大小，x1處的電場(chǎng)強(qiáng)度不為零，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；x2處的電勢(shì)最高，負(fù)電荷從x1移動(dòng)到x2，即從低電勢(shì)處移動(dòng)到高電勢(shì)處，電場(chǎng)力做正功，電勢(shì)能減小，C選項(xiàng)正確；由φ-x圖象知，從x1到x2，電場(chǎng)強(qiáng)度逐漸減小，負(fù)電荷從x1移動(dòng)到x2，所受電場(chǎng)力減小，D選項(xiàng)錯(cuò)誤。]
1．φ-x圖象反映電勢(shì)φ隨x的變化規(guī)律，其斜率大小表示場(chǎng)強(qiáng)大小，場(chǎng)強(qiáng)方向由電勢(shì)變化情況確定：沿電場(chǎng)方向電勢(shì)降低。
2．E-x圖象反映場(chǎng)強(qiáng)E隨x的變化規(guī)律，其正負(fù)表示場(chǎng)強(qiáng)的方向。
eq \([跟進(jìn)訓(xùn)練])
3．(多選)靜電場(chǎng)在x軸上的場(chǎng)強(qiáng)E隨x的變化關(guān)系如圖所示，x軸正向?yàn)閳?chǎng)強(qiáng)正方向，帶正電的點(diǎn)電荷沿x軸運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)電荷( )
A．x2和x4處電勢(shì)能相等
B．由x1運(yùn)動(dòng)到x3的過程中電勢(shì)能增大
C．由x1運(yùn)動(dòng)到x4的過程中電場(chǎng)力先增大后減小
D．由x1運(yùn)動(dòng)至x4的過程中電場(chǎng)力先減小后增大
BC [由題圖可知，x1到x4場(chǎng)強(qiáng)先變大，再變小，則點(diǎn)電荷受到的電場(chǎng)力先增大后減小，C正確，D錯(cuò)誤；由x1到x3及由x2到x4過程中，電場(chǎng)力做負(fù)功，電勢(shì)能增大，知A錯(cuò)誤，B正確。]
1．一個(gè)電子只在電場(chǎng)力作用下從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)的軌跡如圖中虛線所示，圖中一組平行實(shí)線可能是電場(chǎng)線也可能是等勢(shì)面，下列說法中正確的是( )
A．如果實(shí)線是電場(chǎng)線，則電子在a點(diǎn)的電勢(shì)能比在b點(diǎn)的電勢(shì)能大
B．如果實(shí)線是等勢(shì)面，則a點(diǎn)的電勢(shì)比b點(diǎn)的電勢(shì)低
C．如果實(shí)線是電場(chǎng)線，則a點(diǎn)的電勢(shì)比b點(diǎn)的電勢(shì)高
D．如果實(shí)線是等勢(shì)面，則電子在a點(diǎn)的電勢(shì)能比在b點(diǎn)的電勢(shì)能大
A [若題圖中實(shí)線是電場(chǎng)線，電子所受的電場(chǎng)力水平向右，電場(chǎng)線方向水平向左，則a點(diǎn)的電勢(shì)比b點(diǎn)低，C錯(cuò)誤；由于從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)電場(chǎng)力做正功，所以電子的電勢(shì)能減小，所以電子在a點(diǎn)的電勢(shì)能比在b點(diǎn)的電勢(shì)能大，所以A正確；若實(shí)線是等勢(shì)面，由于電場(chǎng)線與等勢(shì)面垂直，電子所受電場(chǎng)力方向向下，則電場(chǎng)線方向向上，則a點(diǎn)的電勢(shì)比b點(diǎn)高，從a到b電場(chǎng)力對(duì)電子做負(fù)功，所以電勢(shì)能增加，則電子在a點(diǎn)的電勢(shì)能比在b點(diǎn)的電勢(shì)能小，故B、D錯(cuò)誤。]
2．半徑為R的均勻帶電球體，在通過球心O的直線上，各點(diǎn)的電場(chǎng)分布如圖所示。當(dāng)x≥R時(shí)，電場(chǎng)分布與電荷量全部集中在球心時(shí)相同。已知電場(chǎng)力常量為k，則( )
A．球面是個(gè)等勢(shì)面，球體是個(gè)等勢(shì)體
B．在x軸上x＝R處電勢(shì)最高
C．xP＝eq \r(2)R
D．球心O與球面間電勢(shì)差的大小為E0R
C [從題圖上看，球內(nèi)部電場(chǎng)強(qiáng)度都不等于零，因此球體不是等勢(shì)體，A錯(cuò)誤；在x軸上x＝R處場(chǎng)強(qiáng)最大，而不是電勢(shì)最高，B錯(cuò)誤；R處場(chǎng)強(qiáng)E0＝eq \f(kQ,R2)，在xP處場(chǎng)強(qiáng)為eq \f(E0,2)，則eq \f(E0,2)＝keq \f(Q,x\\al(2,P))，解得xP＝eq \r(2)R，C正確；假設(shè)球心O與球面間的電場(chǎng)為勻強(qiáng)電場(chǎng)，且大小為E0，則電勢(shì)差的大小U＝E0R，但是O與球面間的電場(chǎng)并不是勻強(qiáng)電場(chǎng)，因此D錯(cuò)誤。]
3．如圖所示，等邊三角形ABC處在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)方向與三角形所在平面平行，其中φA＝φB＝0，φC＝φ>0，保持該電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小和方向不變，讓等邊三角形繞A點(diǎn)在三角形所在平面內(nèi)順時(shí)針轉(zhuǎn)過30°，則此時(shí)B點(diǎn)的電勢(shì)為( )
A．eq \f(\r(3),3)φ B．eq \f(φ,2)
C．－eq \f(\r(3),3)φ D．－eq \f(φ,2)
C [因φA＝φB＝0，所以AB是一等勢(shì)線，電場(chǎng)方向垂直AB向左，設(shè)等邊三角形邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，因φC＝φ，所以電場(chǎng)強(qiáng)度為E＝eq \f(φ,Lcs 30°)，當(dāng)?shù)冗吶切卫@A點(diǎn)在三角形所在平面內(nèi)順時(shí)針轉(zhuǎn)過30°時(shí)，B點(diǎn)到原來AB的距離d＝Lsin 30°，B點(diǎn)電勢(shì)為φB＝－Ed＝－φtan 30°＝－eq \f(\r(3),3)φ，C正確。]
4．一長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線，一端固定于O點(diǎn)，另一端拴一質(zhì)量為m、帶電荷量為q的小球，處于如圖所示的水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中。開始時(shí)，將線與小球拉成水平，小球靜止在A點(diǎn)，釋放后小球由靜止開始向下擺動(dòng)，當(dāng)細(xì)線轉(zhuǎn)過60°角時(shí)，小球到達(dá)B點(diǎn)速度恰好為零。試求：(重力加速度為g)
(1)A、B兩點(diǎn)的電勢(shì)差UAB；
(2)勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小。
[解析] (1)小球由A到B過程中，由動(dòng)能定理得
mgLsin 60°＋qUAB＝0，所以UAB＝－eq \f(\r(3)mgL,2q)。
(2)根據(jù)勻強(qiáng)電場(chǎng)中電勢(shì)差與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系，
可得E＝eq \f(UBA,L－Lcs 60°)＝eq \f(\r(3)mg,q)。
[答案] (1)－eq \f(\r(3)mgL,2q) (2)eq \f(\r(3)mg,q)
電場(chǎng)線、等勢(shì)面和運(yùn)動(dòng)軌跡的綜合
電勢(shì)高低及電勢(shì)能增減的判斷
E-x、φ-x圖象的分析

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第三節(jié) 電場(chǎng) 電場(chǎng)強(qiáng)度

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