?1.3 一元二次方程的根與系數(shù)的關系（提升題）-蘇科版數(shù)學九年級上冊
一．選擇題
1 ．已知a、b、m、n為互不相等的實數(shù)，且（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，則ab﹣mn的值為（　?。?br /> A．4 B．1 C．﹣2 D．﹣1
2 ．已知m，n是關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個實數(shù)根，設S1＝m+n，S2＝m2+n2，S3＝m3+n3，則aS3+bS2+cS1的值是（　?。?br /> A．0 B．1 C．2 D．3
3 ．定義新運算：對于任意實數(shù)a、b，都有a*b＝．例如：4*2，因為4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣6＝0的兩個根，則x1*x2的值為（　?。?br /> A．10或﹣10 B．10 C．﹣10 D．3或﹣3
4 ．已知x1，x2是關于x的方程x2﹣kx﹣1＝0的兩個實數(shù)根，下列結論一定正確的是（　?。?br /> A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1?x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
5 ．若關于x的一元一次不等式組的解集為，且關于y的一元二次方程y2﹣2y+a﹣6＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則所有的滿足條件的整數(shù)a的值之和是（　　）
A．4 B．9 C．11 D．12
6 ．關于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的兩實數(shù)根互為相反數(shù)，則k的值為（　?。?br /> A．±2 B．2 C．﹣2 D．不能確定
7 ．關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩根分別為，，下列判斷一定正確的是（　　）
A．a(chǎn)＝﹣1 B．c＝1 C．a(chǎn)c＝﹣1 D．
8 ．已知關于x的一元二次方程x2+4x+m﹣3＝0有兩個負整數(shù)根，則符合條件的所有正整數(shù)m的和為（　　）
A．16 B．13 C．10 D．7
9 ．關于x的一元二次方程x2﹣2（k+2）x+k2+2k＝0有兩個實數(shù)根x1，x2，則代數(shù)式x12+x22﹣x1x2+1的最小值是（　?。?br /> A．﹣8 B．﹣5 C．1 D．2
10 ．如果直角三角形的兩條直角邊都是整數(shù)，且總是方程mx2﹣2x﹣m+1＝0的兩根（m為整數(shù)），則這樣的直角三角形（　?。?br /> A．有1個 B．有2個 C．有無數(shù)個 D．不存在

二．填空題
11 ．已知方程x2﹣5x+15＝k2的一個根是2，則另一個根是　 ?。?br /> 12 ．已知一元二次方程x2﹣6x+c＝0的一個根為x1＝2，另一根x2＝　 　，c＝　 ?。?br /> 13 ．寫一個關于x的一元二次方程，使其兩個根互為相反數(shù)　 　．
14 ．已知實數(shù)m、n滿足m2＝2﹣2m，n2＝2﹣2n，則+＝　 　．
15 ．使代數(shù)式的值為整數(shù)的全體自然數(shù)x的和是　 ?。?br />
三．解答題
16 ．已知關于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有實數(shù)根．
（1）求實數(shù)k的取值范圍．
（2）設方程的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值．
17 ．已知一元二次方程mx2+nx﹣（m+n）＝0．
（1）試判斷方程根的情況．
（2）若m＜0時方程的兩根x1，x2滿足x1?x2＞1，且n＝1，求m的取值范圍．
18 ．閱讀材料，解答問題：
材料1
為了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我們把x2看作一個整體，然后設y＝x2，則原方程可化為y2﹣13y+36＝0，經(jīng)過運算，原方程的解為x1，2＝±2，x3，4＝±3．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．
材料2
已知實數(shù)m，n滿足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，顯然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的兩個不相等的實數(shù)根，由韋達定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．
根據(jù)上述材料，解決以下問題：
（1）直接應用：
方程x4﹣5x2+6＝0的解為 　 　；
（2）間接應用：
已知實數(shù)a，b滿足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值；
（3）拓展應用：
已知實數(shù)m，n滿足：+＝7，n2﹣n＝7且n＞0，求+n2的值．
19 ．已知關于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．
（1）求證：這個方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若等腰△ABC的一邊長a＝4，另兩邊長b、c，恰好是這個方程的兩個實數(shù)根，求△ABC的周長．
（3）若方程的兩個實數(shù)根之差等于3，求k的值．
20 ．閱讀材料并回答問題：
（1）方程x2+2x+1＝0的根為x1＝﹣1，x2＝﹣1，x1+x2＝﹣2；x1x2＝1．方程3x2+4x﹣7＝0的根為x1＝1，x2＝﹣，x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣．方程ax2+bx+c＝0（b2﹣4ac≥0）的根為x1＝，x2＝，
x1+x2＝　 　，x1x2＝　 　
（2）從（1）中你一定發(fā)現(xiàn)了一定的規(guī)律，這個規(guī)律是　 　；
（3）用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問題：
①不解方程，直接計算：方程x2﹣2x﹣1＝0的兩根分別是x1?x2，則x1+x2＝　 　，x1?x2＝　 ?。?br /> ②方程x2﹣3x+1＝0的兩根分別是x1?x2，則x12+x22＝　 　；
③已知一元二次方程x2﹣3x﹣3a＝0的一個根為6，求a及方程的另一個根．


參考答案與試題解析
一．選擇題
1 ．【解答】解：∵（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，
∴a2+（m+n）a+mn﹣2＝0，b2+（m+n）b+mn﹣2＝0，
而a、b、m、n為互不相等的實數(shù)，
∴a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的兩實數(shù)根，
∴ab＝mn﹣2，
∴ab﹣mn＝﹣2．
故選：C．
2 ．【解答】解：∵S1＝m+n，S2＝m2+n2，S3＝m3+n3，
∴aS3+bS2+cS1
＝a（m3+n3）+b（m2+n2）+c（m+n）
＝m（am2+bm+c）+n（an2+bn+c），
∵m，n是方程ax2+bx+c＝0的兩個實數(shù)根，
∴am2+bm+c＝0，an2+bn+c＝0，
∴原式＝m×0+n×0＝0．
故選：A．
3 ．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣6＝0的兩個根，
∴（x﹣2）（x+3）＝0，
解得：x＝2或﹣3，
①當x1＝2，x2＝﹣3時，x1*x2＝22﹣2×（﹣3）＝10；
②當x1＝﹣3，x2＝2時，x1*x2＝﹣3×2﹣22＝﹣10．
故選：A．
4 ．【解答】解：∵x1，x2是關于x的方程x2﹣kx﹣1＝0的兩個實數(shù)根，
∴x1+x2＝k，x1?x2＝﹣1，
即x1和x2互為負倒數(shù)，
∴x1≠x2，
即選項A符合題意，選項B（當k為負數(shù)時，x1+x2＜0）、選項C（x1?x2＝﹣1＜0）、選項D（x1和x2不一定都是負數(shù)）都不符合題意；
故選：A．
5 ．【解答】解：，
解不等式①，得x，
解不等式②，得x≤，
∵關于x的一元一次不等式組的解集為，
∴≥，
解得：a≥5，
∵關于y的一元二次方程y2﹣2y+a﹣6＝0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（a﹣6）＞0，
解得：a＜7，
∴5≤a＜7，
整數(shù)a為5和6，和為5+6＝11，
故選：C．
6 ．【解答】解：∵方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的兩個互為相反數(shù)，
Δ＝（k2﹣4）2﹣4×1×（k﹣1）＝k4﹣8k2﹣4k+20≥0，
設方程的兩個是a，b，
∵關于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的兩實數(shù)根互為相反數(shù)，
∴a+b＝﹣＝0，
解得：k＝±2，
當k＝2時，方程為x2+1＝0，
Δ＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，
∴此方程無解（方法二、即x2＝﹣1，
∵不論x為何值，x2不能為﹣1，
∴此方程無解）即k＝2舍去；
當k＝﹣2時，方程為x2﹣3＝0，
解得：x＝，此時符合題意，
即k＝﹣2符合題意，
故選：C．
7 ．【解答】解：根據(jù)一元二次方程的求根公式可得：x1＝，x2＝，
∵關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩根分別為，，
∴x1+x2＝﹣b＝﹣，x1?x2＝＝﹣1，
∴當b≠0時，a＝1，c＝﹣1，則ac＝﹣1，
故選：C．
8 ．【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2+4x+m﹣3＝0中的a＝1，b＝4，c＝m﹣3，且該方程有兩個負整數(shù)根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4（m﹣3）＝28﹣4m≥0，
∴m≤7．
∵m為正整數(shù)，且該方程的根都是負整數(shù)，
∴x＝＝﹣2±．
∴．
解得m＞3．
則3＜m≤7．
又∵是整數(shù)，
∴m的值6或7，
∴6+7＝13．
故選：B．
9 ．【解答】解：∵x2﹣2（k+2）x+k2+2k＝0有兩個實數(shù)根，
∴△≥0即4（k+2）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k≥﹣2；
∵x1、x2是x2﹣2（k+2）x+k2+2k＝0的兩個實數(shù)根，
∴x1+x2＝2k+4，x1?x2＝k2+2k，
x12+x22﹣x1?x2+1＝（x1+x2）2﹣3x1?x2+1＝（2k+4）2﹣3（k2+2k）+1＝k2+10k+17＝（k+5）2﹣8，
當k≥﹣2時，（k+5）2﹣8的值隨k的增大而增大，
∴k＝﹣2時，x12+x22﹣x1?x2+1的值最小為（﹣2+5）2﹣8＝1．
故選：C．
10 ．【解答】解：根據(jù)題意，m≠0，假設這樣的直角三角形存在，不妨設直角邊為a，b，
則a+b＝，ab＝，
因為a，b均為正整數(shù)，則a+b，ab均為正整數(shù)，而m也為整數(shù)，
所以m只能取1，這樣ab＝0，得出矛盾，
所以這樣的直角三角形不存在．
故選：D．

二．填空題
11 ．【解答】解：設x1＝2，另一根是x2，
則x1+x2＝5，
則另一個根x2＝3，
故答案為：3．
12 ．【解答】解：把x＝2代入x2﹣6x+c＝0，得
22﹣6×2+c＝0，
解得 c＝8，
∵x1+x2＝6，
∴x2＝4，
故答案是：4，8．
13 ．【解答】解：∵一元二次方程兩個根互為相反數(shù)，
∴此方程可以為：x2﹣1＝0（答案不唯一），
故答案為：x2﹣1＝0（答案不唯一）．
14 ．【解答】解：①當m＝n時，+＝2；
②當m≠n時，則m，n是方程x2+2x﹣2＝0的兩個不相等的根，∴m+n＝﹣2，mn＝﹣2，
∴+＝＝＝＝﹣4，
∴+＝﹣4或2，
故答案為：﹣4或2．
15 ．【解答】解：∵原式＝＝x﹣1+，
∴使得代數(shù)式的值為整數(shù)的全體自然數(shù)x分別為0、1、2、3、5、11，
∴全體自然數(shù)x的和是0+1+2+3+5+11＝22．
故答案為22．

三．解答題
16 ．【解答】解：（1）∵關于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有實數(shù)根，
∴Δ＝32﹣4×1×（k﹣2）≥0，
解得k≤，
即k的取值范圍是k≤；
（2）∵方程x2+3x+k﹣2＝0的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，
∴x1+x1＝﹣3，x1x2＝k﹣2，
∵（x1+1）（x2+1）＝﹣1，
∴x1x2+（x1+x2）+1＝﹣1，
∴k﹣2+（﹣3）+1＝﹣1，
解得k＝3，
即k的值是3．
17 ．【解答】解：（1）∵一元二次方程mx2+nx?（m+n）＝0，
∴m≠0，Δ＝n2?4m×[?（m+n）]＝（n+2m）2≥0，
∴該方程有兩個實數(shù)根．
（2）將n＝1代入方程mx2+nx?（m+n）＝0，得mx2+x?（m+1）＝0，
∵方程的兩根x1，x2滿足x1?x2＞1，
∴x1?x2＝＞1，
當m＜0時，可得＜m＜0，
即m的取值范圍是＜m＜0．
18 ．【解答】解：（1）令y＝x2，則有y2﹣5y+6＝0，
∴（y﹣2）（y﹣3）＝0，
∴y1＝2，y2＝3，
∴x2＝2或3，
∴x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣；
故答案為：x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣；

（2）∵a≠b，
∴a2≠b2或a2＝b2，
當a2≠b2時，令a2＝m，b2＝n．
∴m≠n，則2m2﹣7m+1＝0，2n2﹣7n+1＝0，
∴m，n是方程2x2﹣7x+1＝0的兩個不相等的實數(shù)根，
∴，
此時a4+b4＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝．
②當a2＝b2（a＝﹣b）時，a2＝b2＝，此時a4+b4＝2a4＝2（a2）2＝，
綜上所述，a4+b4＝或．
（3）令＝a，﹣n＝b，則a2+a﹣7＝0，b2+b﹣7＝0，
∵n＞0，
∴≠﹣n，即a≠b，
∴a，b是方程x2+x﹣7＝0的兩個不相等的實數(shù)根，
∴，
故+n2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝15．
19 ．【解答】解：（1）Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k﹣）
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∵無論k取何值，（2k﹣3）2≥0，
故這個方程總有兩個實數(shù)根；
（2）由求根公式得x＝，
∴x1＝2k﹣1，x2＝2．
∵另兩邊長b、c，恰好是這個方程的兩個實數(shù)根，
設b＝2k﹣1，c＝2，
當a，b為腰時，則a＝b＝4，即2k﹣1＝4，計算得出k＝，
此時三角形周長為4+4+2＝10；
當b，c為腰時，b＝c＝2，此時b+c＝a，構不成三角形，
故此種情況不存在．
綜上所述，△ABC周長為10．
（3）∵方程的兩個實數(shù)根之差等于3，
∴，
解得：k＝0或3．
20 ．【解答】解：（1）﹣；．
（2）一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，且a，b，c是常數(shù)）的兩個根為x1、x2．
則x1+x2＝﹣，x1?x2，＝．
（3）①2；﹣1．②7．
③另一根為x2＝3﹣6＝﹣3；6×（﹣3）＝﹣3a，解得a＝6．



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1.3 一元二次方程的根與系數(shù)的關系

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