蓉城名校聯(lián)盟2022～2023學(xué)年度上期高中2020級入學(xué)聯(lián)考文科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)，則（    ）．A．1    B．2    C．    D．2．已知集合，，且，則a＝（    ）．A．0或   B．0或1   C．1或   D．03．若角的終邊與單位圓的交點為，則（    ）．A．    B．    C．    D．4．設(shè)向量，，則“與共線”的充要條件是（    ）．A．   B．   C．   D．5．從3男2女共5名醫(yī)生中，抽取2名醫(yī)生參加社區(qū)核酸檢測工作，則至少有1名女醫(yī)生參加的概率為（    ）．A．    B．    C．    D．6．直線l與圓相交于A，B兩點，則弦長且在兩坐標軸上截距相等的直線l共有（    ）．A．1條    B．2條    C．3條    D．4條7．已知實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為（    ）．A．3    B．0    C．    D．8．折扇是我國傳統(tǒng)文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖1），圖2為其結(jié)構(gòu)簡化圖，設(shè)扇面A，B間的圓弧長為l，AB間的弦長為d，圓弧所對的圓心角為（為弧度角），則l、d和所滿足的恒等關(guān)系為（    ）．A．     B．B．C．    D．9．定義在R上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則（    ）．A．0    B．1    C．    D．310．我們把離心率為的橢圓稱為“最美橢圓”．已知橢圓C為“最美橢圓”，且以橢圓C上一點P和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為4，則橢圓C的方程為（    ）．A．     B．C．     D．11．如圖，點A，B，C在球心為O的球面上，已知，，，球O的表面積為，下列說法正確的是（    ）．A．B．平面平面OBCC．OB與平面ABC所成角的正弦值為D．平面OAB與平面ABC所成角的余弦值為12．對于三個不等式：①；②；③．其中正確不等式的個數(shù)為（    ）．A．0    B．1    C．2    D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．四川省將于2022年秋季啟動實施新高考綜合改革，某校開展“新高考”動員大會，參會的有100名教師，1500名學(xué)生，1000名家長，為了解大家對推行“新高考”的認可程度，現(xiàn)采用分層抽樣調(diào)查，抽取了一個容量為n的樣本，其中教師與家長共抽取了55名，則n＝______．14．若曲線在點處的切線平行于x軸，則a＝______．15．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，，，則b＝______．16．已知雙曲線，F為右焦點，過點F作軸交雙曲線于第一象限內(nèi)的點A，點B與點A關(guān)于原點對稱，連接AB，BF，當(dāng)取得最大值時，雙曲線的離心率為______．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）已知數(shù)列中，，點對任意的，都有，數(shù)列滿足，其中為的前n項和．（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和．18．（12分）致敬百年，讀書筑夢，某學(xué)校組織全校學(xué)生參加“學(xué)黨史頌黨恩，黨史網(wǎng)絡(luò)知識競賽”活動，并從中抽取100位學(xué)生的競賽成績作為樣本進行統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．規(guī)定：成績在內(nèi)為優(yōu)秀，成績低于60分為不及格． 優(yōu)秀非優(yōu)秀合計男5  女 35 合計   （1）求a的值，并用樣本估算總體，能否認為該校參加本活動的學(xué)生成績符合“不及格的人數(shù)低于20％”的要求；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99％的把握認為此次競賽成績與性別有關(guān)．附：0.1500.1000.0500.0100.0052.0722.7063.8416.6357.87919．（12分）如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面ABCD，，，，，點E為棱上．（1）若點E為棱的中點，求證：平面；（2）當(dāng)點E在棱上運動時，四棱錐的體積是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．20．（12分）直線l在x軸上的截距為且交拋物線于A，B兩點，點O為拋物線的頂點．（1）當(dāng)時，求的大小；（2）若直線OA交直線于點D，求證：BD平行于拋物線的對稱軸；（3）分別過點A，B作拋物線的切線，求兩條切線的交點的軌跡方程．21．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求證：；（2）當(dāng)時，不等式恒成立，求a的取值范圍．（二）選考題：共10分．請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．22．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）如圖，在極坐標系Ox中，點，曲線M是以OA為直徑，為圓心的半圓，點B在曲線M上，四邊形OBCD是正方形．（1）當(dāng)時，求B，C兩點的極坐標；（2）當(dāng)點B在曲線M上運動時，求D點軌跡的極坐標方程．23．[選修4-5；不等式選講]（10分）已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若關(guān)于x的不等式有解，求實數(shù)a的取值范圍．     蓉城名校聯(lián)盟2022～2023學(xué)年度上期高中2020級入學(xué)聯(lián)考文科數(shù)學(xué)參考答案及評分標準一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．123456789101112DABACDBACDCD1．解：，∴，故選D．2．解：∵，∴或，∴或，又由于集合元素的互異性，應(yīng)舍去1，故選A．3．解：，故選B．4．解：，其中同向，反向，故選A．5．解：將3名男性醫(yī)生分別設(shè)為a，b，c，2名女性醫(yī)生分別設(shè)為d，e，這個實驗的樣本空間可記為，共包含10個樣本點，記事件A為至少有1名女醫(yī)生參加，則，則A包含的樣本點個數(shù)為7，∴，故選C．6．解：設(shè)直線l的方程為或，由已知弦長為得或，解得中，故選D．7．解：如圖，由，，組成的平面區(qū)域為可行域，表示平行直線經(jīng)過可行域內(nèi)過，最優(yōu)解為過點，則z的最大值為0，故選B．8．解：如圖，由弧長公式，得，在直角三角形中，化簡得，故選A．9．解：∵定義在R上的偶函數(shù)滿足，∴關(guān)于，對稱，∴是周期為4的函數(shù)，∴，故選C．10．解：由已知，得，∵，∴，∴，故橢圓的方程為，故選D．11．解：如圖，圖一      圖二由已知中，平面ABC（點為AC中點），，A選項，如圖二，，不成立；B選項，如圖二，假設(shè)面面垂直，過點C作OB垂線，則該垂線垂直平面OAB，不成立；C選項，如圖一，OB與平面ABC所成角為，得，成立；D選項，如圖二，，不成立．綜上，故選C．（另解：本題也可以B為原點建立空間直角坐標系計算平面法向量和直線的方向向量來計算驗證．）12．解：不等式①：，故①正確；不等式②：，或，故②正確；不等式③：，設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)地，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，∴，故③正確，綜上可知選D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．130解：由，得，故填130．14．1解：由已知，得，解得，符合題意，∴，故填1．15．解：，得，，∴，得．故填．16．解：如圖，根據(jù)題意，，，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即，，，∴（舍負）．故填．三、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（12分）解：（1）∵，可得，∴是公差為2的等差數(shù)列，∴，．（2），∴，∴．18．（12分）解：（1），解得，成績不及格的頻率為，∴“成績不及格”的概率估計值為21％，∵21％＞20％，∴不能認為該校參加本活動的學(xué)生成績符合“不及格的人數(shù)低于20％”的要求．（2）由（1）樣本中成績優(yōu)秀有20人，由此完成2×2列聯(lián)表如下所示： 優(yōu)秀非優(yōu)秀合計男54550女153550合計2080100假設(shè)：此次競賽成績與性別無關(guān)，，∴沒有99％的把握認為此次競賽成績與性別有關(guān)．19．（12分）解：（1）由已知在四棱柱中，側(cè)棱底面ABCD，得底面，∴，∵，，點E為棱的中點．在中，，又，，∴，即，又∵，∴平面．（2）當(dāng)點E在棱上的運動時，四棱錐體積為定值．∵，平面，平面，∴平面，∴當(dāng)點E在棱上的運動時，點E到平面距離d為定值，∴為定值．如圖，連接，在中，∵，，∴，又∵，，∴平面，∴．20．（12分）解：（1）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立，得，設(shè)，，則，，當(dāng)時，，，∵，∴，∴．（2）由（1）知，，由直線OA方程，得，∴，∴，即BD平行于拋物線的對稱軸．（3）由（1），，拋物線在A，B兩點的切線方程分別為，，兩式相除消去y得，解得，∵，∴，∴兩條切線的交點的軌跡方程為．21．（12分）解：（1）當(dāng)時，函數(shù)，∴，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，∴，即．（2）由已知得，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，由恒成立得，取對數(shù)得，即．設(shè)，，當(dāng)時，，∴單調(diào)遞增，當(dāng)地，，∴單調(diào)遞減．∴，∵，∴，得，即．綜上，a的取值范圍為．22．（10分）解：（1）由題意知在中，，，∴，∴點B的極坐標為，在正方形OBCD中，，∴點C的極坐標為．（2）設(shè)，，且，由題可知曲線M的極坐標方程為，當(dāng)時，O，B兩點重合，不合題意，∴點B的極坐標方程為，將上式帶入得點D的極坐標方程為．（注：未說明范圍不扣分）23．（10分）解：（1）∵函數(shù)，∴當(dāng)時，；即，解得，∴；當(dāng)時，；即，解得，∴無解；當(dāng)時，，即，解得，∴．綜上，的解集為．（2）由（1）得的最小值3，原不等式有解等價于的最小值，∴，即，解得或，∴實數(shù)a的取值范圍為． 
 

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