南陽一中2022年秋期高二年級開學考試數(shù)學試題一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1．已知復數(shù)滿足，則的虛部為（    ）A． B． C．1 D．2．已知扇形的圓心角為2，弦長，則扇形的弧長等于（    ）A． B． C． D．3．在中，已知，，，則此三角形（    ）A．有一解 B．有兩解 C．無解 D．無法判斷有幾解4．正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2，4，側棱長為2，則其體積為（    ）A． B． C． D．5．已知，，是直線上一動點，則的最大值是（    ）A．2 B．3 C．8 D．126．中，已知，，則（    ）A．6 B．5 C．4 D．37．已知，，，，則的值是（    ）A． B． C． D．8．已知，兩點到直線的距離相等，則實數(shù)的值為（    ）A． B．或3 C． D．或19．已知點，．若直線與線段相交，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A．  B．C．  D．10．設是平面內一定點，為平面內一動點，若，則為的（    ）A．內心 B．外心 C．重心 D．垂心11．已知圓和兩點，，若圓上存在點，使得，則的最大值為（    ）A．7 B．6 C．5 D．412．如圖，在棱長為1的正方體中，為棱的中點，為正方形內一動點（含邊界），若平面，則線段長度的取值范圍是（    ）A． B． C． D．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．如果復數(shù)滿足，那么的最大值是________．14．已知三點，，在同一直線上，則值為________．15．在邊長為的菱形中，，沿對角線折起，使二面角的大小為，這時點，，，在同一個球面上，則該球的表面積為________．16．已知圓，與圓，只有一條公切線，則的最小值為________．三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或驗算步驟）17．在平面直角坐標系中，已知，．（1）若，求實數(shù)的值；（2）若，求實數(shù)的值．18．已知兩條直線，，當為何值時直線與分別有下列關系？（1）；（2）．19．設直線的方程為．（1）若在兩坐標軸上的截距相等，求的方程；（2）若不經過第二象限，求實數(shù)的取值范圍．20．在銳角中，角，，的對邊分別為，，，且．（1）求角的大??；（2）若，求的取值范圍．21．已知的頂點，直角頂點為，頂點在軸上，求：（1）頂點的坐標；（2）外接圓的一般方程．22．如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，為棱上的點，且．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）求點到平面的距離． 南陽一中2022年秋期高二年級開學考試數(shù)學答案1．【答案】D  ．2．【答案】B  扇形半徑，扇形弧長等于．3．【答案】A  在中，，，，由正弦定理得，而，有，即為銳角，所以此三角形有一解．4．【答案】D  作出圖形，連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖，因為該四棱臺上下底面邊長分別為2，4，側棱長為2，所以該棱臺的高，下底面面積，上底面面積，所以該棱臺的體積．5．【答案】B  由于直線過點，，因此直線的截距式方程為，∵在直線上，∴，則，∴，當時，取得最大值為3．6．【答案】A  由已知及正弦定理可得，由余弦定理推論可得，∴，∴，∴．7．【答案】C  ∵，，，，∴，，因此，．8．【答案】B  解法一：（1），兩點位于直線同一側，即直線平行于直線，所以，即；（2），兩點位于直線的兩側，所以直線過線段的中點，線段的中點坐標為，即，∴，解得．綜上實數(shù)的值為．解法二：由點到直線的距離公式得，即，亦即，解得．9．【答案】A  設直線過定點，則直線可寫成，令，解得．∴直線必過定點．，，∵直線與線段相交，∴由圖象知，或，解得或，則實數(shù)的取值范圍是．10．【答案】B  若，可得，即為，即有，則，故為的外心，故選B．11．【答案】B  由題意知，點在以原點為圓心，以為半徑的圓上，又因為點在已知圓上，所以只要兩圓有交點即可，所以，故選B．12．【答案】D13．14．解法一：∵，∴三點所在直線的斜率存在，∴，．∵點，，在同一直線上，∴，∴，解得或．解法二：∵，，點，，在同一直線上，∴，即，解得或．15．【答案】  如圖分別取、的中點、，連接、、，則，，，所以為二面角的平面角，即．由題知，為等邊三角形，所以，，所以，即，所以，．由圖形的對稱性可知：球心必在的延長線上，設球心為，連接、，設半徑為，，，由題可知，為直角三角形，所以，所以，解得：，，所以．16．【答案】  圓的圓心坐標，半徑，圓的圓心，半徑，由兩個圓只有一條公切線可得兩個圓內切，圓心距，所以可得，設，，，所以，當且僅，時，即，時，的最小值為．17．（1）；（2）（1）因為，．所以，，因為，所以，解得．（2），因為，所以，解得．18．解：（1）；（2）或，檢驗得，時與重合，故．19．解：（1）當直線過原點時，該直線在軸和軸上的截距為零，當然相等，∴，此時的方程為．若，由截距存在且均不為零有，即，∴，此時的方程為．（2）將的方程化為．∴，或．解得．綜上可知，實數(shù)的取值范圍是．20．（1）；（2）（1）由正弦定理得：，∴，∵，∴，∴，∴．（2）由正弦定理得：，∴，，∴；∵為銳角三角形，∴，即，∴，∴，∴，，即的取值范圍為．21．解：（1）設頂點，由題意得，且，所以，解得，所以頂點．（2）設外接圓的方程為，由題意知，解得．所以外接圓的一般方程為．22．解：（1）延長至點，使得．∵，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴．又∵，，∴，．在直角三角形中，，在直角三角形中，，∴在中，，，故為以為直角的直角三角形，∴，由得，．∵平面，平面，∴．∵平面，平面，，∴平面．（2）過點作的垂線交于點，設，的交點為，連結．由題意可知，，．所以在中，．在中，．∴，．在平面中，，∴，，∴在平面中，，則，∴，即．∴即為二面角的平面角．故在中，．（3）在三棱錐中，,解得，即點到平面的距離為2．

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