?2022-2023學(xué)年河南省南陽市第八中學(xué)校高二上學(xué)期第一次線上考試（月考）數(shù)學(xué)試題

一、單選題
1．某省新高考采用“”模式：“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學(xué)、外語，所有學(xué)生必考；“1”為首選科目，考生須在物理、歷史科目中選擇1個(gè)科目；“2”為再選科目，考生可在思想政治、地理、化學(xué)、生物4個(gè)科目中選擇2個(gè)科目．已知小明同學(xué)必選化學(xué)，那么他可選擇的方案共有（????）
A．4種 B．6種 C．8種 D．12種
【答案】B
【分析】應(yīng)用分步乘法求小明選擇方案的方法數(shù).
【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：
①小明必選化學(xué)，則須在思想政治、地理、生物中再選出1個(gè)科目，選法有3種；
②小明在物理、歷史科目中選出1個(gè)，選法有2種．
由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，小明可選擇的方案共有（種）．
故選：B
2．為慶祝中國共青團(tuán)成立100周年，某校計(jì)劃舉行慶?；顒?dòng)，共有4個(gè)節(jié)目，要求A節(jié)目不排在第一個(gè)，則節(jié)目安排的方法數(shù)為（????）
A．9 B．18 C．24 D．27
【答案】B
【分析】由于A節(jié)目有特殊要求，所以先安排A節(jié)目，再安排其它的節(jié)目，從而即可求解.
【詳解】解：由題意，先從后面3個(gè)節(jié)目中選擇一個(gè)安排A節(jié)目，然后其它3個(gè)節(jié)目任意排在剩下的3個(gè)位置，共有種方法，
故選：B.
3．已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，且是l的方向向量，則點(diǎn)到l的距離為（????）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求，再根據(jù)點(diǎn)線距離為即可求結(jié)果.
【詳解】由題設(shè)，則，
所以，而，故到l的距離為.
故選：C
4．在如圖所示的5個(gè)區(qū)域內(nèi)種植花卉，每個(gè)區(qū)域種植1種花卉，且相鄰區(qū)域種植的花卉不同，若有6種不同的花卉可供選擇，則不同的種植方法種數(shù)是（????）

A．1440 B．720 C．1920 D．960
【答案】C
【分析】按照地圖涂色問題的方法，先分步再分類去種植花卉即可求得不同的種植方法種數(shù).
【詳解】如圖，設(shè)5個(gè)區(qū)域分別是A，B，C，D，E.

第一步，選擇1種花卉種植在A區(qū)域，有6種方法可以選擇；
第二步：從剩下的5種不同的花卉中選擇1種種植在B區(qū)域，有5種方法可以選擇；
第三步：從剩下的4種花卉中選擇1種種植在C區(qū)域，有4種方法可以選擇；
第四步；若區(qū)域D與區(qū)域A種植同1種花卉，則區(qū)域E可選擇的花卉有4種；
若區(qū)域D與區(qū)域A種植不同種花卉，則有3種方法可以選擇；
則區(qū)域E可選擇的花卉有種，
故不同的種植方法種數(shù)是.
故選：C
5．將正方形沿對角線折起，使得平面平面，則異面直線與所成角的余弦值為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的夾角的余弦值來確定異面直線的夾角.
【詳解】取中點(diǎn)為，連接，所以，
又面面且交線為，面，
所以面，面，則.
設(shè)正方形的對角線長度為2，
如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，，
所以，.
所以異面直線與所成角的余弦值為.
故選:A

6．甲乙丙丁戊名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端?丙和丁相鄰的不同排列方式有（????）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】A
【分析】采用捆綁法和特殊位置優(yōu)先法，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理可求得結(jié)果.
【詳解】將丙和丁看作一個(gè)整體，有種方法；
將乙、戊和丙丁的整體首先安排到兩端，則有種方法，再安排甲和剩余的人，有種方法；
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的排列方式有：種.
故選：A.
7．甲?乙?丙三人相約一起去做核酸檢測，到達(dá)檢測點(diǎn)后，發(fā)現(xiàn)有兩支正在等待檢測的隊(duì)伍，則甲?乙?丙三人不同的排隊(duì)方案共有（????）
A．12種 B．18種 C．24種 D．36種
【答案】C
【分析】對該問題進(jìn)行分類，分成以下情況①3人到隊(duì)伍檢測，②2人到隊(duì)伍檢測，③1人到隊(duì)伍檢測，④0人到隊(duì)伍檢測；然后，逐個(gè)計(jì)算后再相加即可求解；注意計(jì)算時(shí)要考慮排隊(duì)時(shí)的順序問題.
【詳解】先進(jìn)行分類：①3人到隊(duì)伍檢測，考慮三人在隊(duì)的排隊(duì)順序，此時(shí)有種方案；
②2人到隊(duì)伍檢測，同樣要考慮兩人在隊(duì)的排隊(duì)順序，此時(shí)有種方案；
③1人到隊(duì)伍檢測，要考慮兩人在隊(duì)的排隊(duì)順序，此時(shí)有種方案；
④0人到隊(duì)伍檢測，要考慮兩人在隊(duì)的排隊(duì)順序，此時(shí)有種方案；
所以，甲?乙?丙三人不同的排隊(duì)方案共有24種.
故選：C
8．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在正方體的對角線(不含端點(diǎn))上.設(shè)，若為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（????）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，
【詳解】由題設(shè)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)法計(jì)算，利用不是平角，可得為鈍角等價(jià)于，即，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.

設(shè)正方體的棱長為1，
則有
∴，∴設(shè)，
∴，
，
由圖知不是平角，∴為鈍角等價(jià)于，
∴，
∴，
解得
∴的取值范圍是
故選：C.
9．如圖，在菱形中，，，沿對角線將折起，使點(diǎn)A，C之間的距離為，若P，Q分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（????）

A．平面平面
B．線段的最小值為
C．當(dāng)，時(shí)，點(diǎn)D到直線的距離為
D．當(dāng)P，Q分別為線段，的中點(diǎn)時(shí)，與所成角的余弦值為
【答案】C
【分析】取的中點(diǎn)，易知，結(jié)合條件及線面垂直的判定定理可得平面，進(jìn)而有平面平面，即可判斷A；建立坐標(biāo)系，利用向量法可判斷BCD.
【詳解】取的中點(diǎn)，連接，
∵在菱形中，，，
∴，又，
∴，所以，
又易知，
因?yàn)椋?，?br /> 所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br /> 所以平面平面，故A正確；
以為原點(diǎn)，分別為軸建立坐標(biāo)系，

則，
當(dāng)，時(shí)，，，
，，
所以點(diǎn)D到直線PQ的距離為，故C錯(cuò)誤；
設(shè)，設(shè)，可得，
，
當(dāng)時(shí)，，故B正確；
當(dāng)P，Q分別為線段BD，CA的中點(diǎn)時(shí)，
，，，，
設(shè)PQ與AD所成的角為，
則，
所以PQ與AD所成角的余弦值為，故D正確；
故選：C.
10．某地區(qū)安排A，B，C，D，E，F(xiàn)六名黨員志愿者同志到三個(gè)基層社區(qū)開展防詐騙宣傳活動(dòng)，每個(gè)地區(qū)至少安排一人，至多安排三人，且A，B兩人安排在同一個(gè)社區(qū)，C，D兩人不安排在同一個(gè)社區(qū)，則不同的分配方法總數(shù)為（????）
A．72 B．84 C．90 D．96
【答案】B
【分析】分為每個(gè)社區(qū)各兩人和一個(gè)社區(qū)1人，一個(gè)社區(qū)2人，一個(gè)社區(qū)3人兩種分配方式，第二種分配方式再分AB兩人一組去一個(gè)社區(qū)，AB加上另一人三人去一個(gè)社區(qū)，進(jìn)行求解，最后相加即為結(jié)果.
【詳解】第一種分配方式為每個(gè)社區(qū)各兩人，則CE一組，DF一組，或CF一組，DE一組，由2種分組方式，再三組人，三個(gè)社區(qū)進(jìn)行排列，則分配方式共有種；
第二種分配方式為一個(gè)社區(qū)1人，一個(gè)社區(qū)2人，一個(gè)社區(qū)3人，
當(dāng)AB兩人一組去一個(gè)社區(qū)，則剩下的4人，1人為一組，3人為一組，則必有C或D為一組，有種分配方法，再三個(gè)社區(qū)，三組人，進(jìn)行排列，有種分配方法；
當(dāng)AB加上另一人三人去一個(gè)社區(qū)，若選擇的是C或D，則有種選擇，再將剩余3人分為兩組，有種分配方法，將將三個(gè)社區(qū)，三組人，進(jìn)行排列，有種分配方法；
若選擇的不是C或D，即從E或F中選擇1人和AB一起，有種分配方法，再將CD和剩余的1人共3人分為兩組，有2種分配方法，將三個(gè)社區(qū)，三組人，進(jìn)行排列，有種分配方法，
綜上共有12+12+36+24=84種不同的分配方式
故選：B
11．如圖，正方體中，，，， 當(dāng)直線與平面所成的角最大時(shí)，（????）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用坐標(biāo)法，利用線面角的向量求法，三角函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)即得.
【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，

則，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
∴，令，可得，
又，
設(shè)直線與平面所成的角為，則
，又，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，即直線與平面所成的角最大.
故選：C.
12．如圖，已知正方體的棱長為2，M，N分別為，的中點(diǎn)．有下列結(jié)論：

①三棱錐在平面上的正投影圖為等腰三角形；
②直線平面；
③在棱BC上存在一點(diǎn)E，使得平面平面；
④若F為棱AB的中點(diǎn)，且三棱錐的各頂點(diǎn)均在同一求面上，則該球的體積為．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（????）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】對于①，根據(jù)正投影的特點(diǎn)，作出投影圖形，證明并判斷正投影圖形；對于②，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，得出法向量與不垂直，進(jìn)而得到結(jié)論錯(cuò)誤；對于③，運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示證明線面垂直，進(jìn)而得出面面垂直；對于④，根據(jù)三棱錐的幾何特征，找出外接球球心，進(jìn)而求出外接球半徑，得出外接球體積.
【詳解】對于①，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，，
如圖，

為的中點(diǎn)，，
又平面，平面，
點(diǎn)，在平面上的正投影分別為，
且點(diǎn)在平面上的正投影分別為其本身，
三棱錐在平面上的正投影圖為，
又，
即為等腰三角形，①正確；
對于②，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，
，
，，即，
，，即，
又，平面，平面，
平面，
即是平面的一個(gè)法向量，
而，
與不垂直，不與平面平行，②錯(cuò)誤；
對于③，如圖

設(shè)的中點(diǎn)為，連接，由②知，，
，，
，，即，
，，即，
又，平面，平面，
平面，又平面，平面平面，③正確；
對于④，如圖，

若為棱AB的中點(diǎn)，又為棱的中點(diǎn)，，
平面，平面，
平面，，
又，和有公共的斜邊，
設(shè)的中點(diǎn)為，則點(diǎn)到的距離相等，
為三棱錐外接球的球心，為該球的直徑，
，，
該球的體積為，④正確.
綜上所述，正確的結(jié)論為①③④.
故選：D.

二、填空題
13．從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)不在同一平面內(nèi)的選法有___________種.
【答案】58
【分析】根據(jù)條件求出從8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)所有的選法，然后再求出這4個(gè)點(diǎn)在同一平面內(nèi)的選法，用總的種數(shù)減去在同一平面內(nèi)的種數(shù)即可求解.
【詳解】從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，有（種）不同的選法，
其中這4個(gè)點(diǎn)在同一平面內(nèi)的情況有側(cè)面6種，對棱面6種，共12種不同的情況，
所以這4個(gè)點(diǎn)不在同一平面內(nèi)的選法有（種），
故答案為：.
14．古人用天干、地支來記年，把天干中的一個(gè)字?jǐn)[在前面，后面配上地支中的一個(gè)字，這樣就構(gòu)成一對干支，如“甲子”、“乙卯”等，現(xiàn)用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，或用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，則共可配成________對干支．
【答案】60
【分析】依題意分兩種情況，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理與分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；
【詳解】解：依題意，若用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，則有對干支；
若用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，則有對干支；
綜上可得一共可配成對干支；
故答案為：
15．如圖，正方體的棱長為1，O是面的中心，則與平面所成角的正弦值為______．

【答案】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量求解
【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，
與平面所成角的正弦值，
故答案為：

16．如圖，在棱長為4的正方體中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，點(diǎn)Р到直線的距離的最小值為_______.

【答案】##
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求出點(diǎn)Р到直線距離的函數(shù)關(guān)系，再求其最小值作答.
【詳解】在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，
因點(diǎn)P在線段上，則，，
，向量在向量上投影長為，
而，則點(diǎn)Р到直線的距離
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，
所以點(diǎn)Р到直線的距離的最小值為.
故答案為：

三、解答題
17．在件產(chǎn)品中，有件合格品，件次品.從這件產(chǎn)品中任意抽出件.
(1)抽出的件中恰好有件是次品的抽法有多少種？
(2)抽出的件中至少有件是次品的抽法有多少種？
【答案】(1)種
(2)種

【分析】（1）分別在次品中抽取件，合格品種抽取件，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可求得結(jié)果；
（2）方法一：分別計(jì)算抽取的件產(chǎn)品中有件次品和件次品的情況，由分類加法計(jì)數(shù)原理可求得結(jié)果；
方法二：計(jì)算出抽取的件產(chǎn)品中沒有次品的抽法數(shù)，用總體事件個(gè)數(shù)減掉沒有次品的抽法即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）抽出的件產(chǎn)品中恰好有件次品，則有件合格品，
恰好有件次品的抽法有種.
（2）方法一：抽出的件中至少有件是次品包括兩種情況：有件次品和件次品；
至少有件次品的抽法有種.
方法二：從件產(chǎn)品中抽取件，有種抽法；其中沒有次品的抽法有種，
至少有件次品的抽法有種.
18．在三棱錐中，底面，，，，

(1)證明：；
(2)求與平面所成的角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析；
(2).

【分析】（1）利用勾股定理證明，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，從而可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；
（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.
【詳解】（1）∵，，，
∴，即，
因?yàn)槠矫?，平面?br /> 所以，
又，平面，平面，
所以平面，
又因?yàn)槠矫妫?br /> 所以；
（2）如圖以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則，
則，
設(shè)平面的法向量，
則有，令，則，
則，
所以與平面所成角的正弦值為.
19．如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長為2的正方形，，，.記平面與平面的交線為.

(1)請判斷直線AB與交線l的位置關(guān)系；
(2)求平面與平面所成的角的正弦值.
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)由四邊形是邊長為2的正方形可知，，根據(jù)線面平行的判定定理可得平面，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可求證.
(2)根據(jù)已知條件可證得平面，取中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩個(gè)平面的法向量，用余弦計(jì)算公式即可求出兩平面所成角的余弦值，再利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系即可得到正弦值.
【詳解】（1）（1）因?yàn)椋矫?，平面，所以平?
又平面，平面平面，所以.
（2）因?yàn)?，所以，又，所以?br /> 又，所以，所以，
又，，平面，平面，所以平面.
取，中點(diǎn)分別為，，連接，，，則，
所以平面，又平面，所以.
又因?yàn)?，所?
如圖，

以為原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸的正方向，并均以1為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，.
設(shè)是平面的法向量，則，即，
取，得，，則.
又是平面的一個(gè)法向量，
所以，
即平面與平面所成的角的正弦值為.
20．用0?1?2?3四個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù).
(1)把這些自然數(shù)從小到大排成一個(gè)數(shù)列，1230是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)？
(2)其中的四位數(shù)中偶數(shù)有多少個(gè)？所有這些偶數(shù)它們各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是多少？
【答案】(1)35
(2)10個(gè)，

【分析】（1）利用分步乘法計(jì)數(shù)原理討論1位自然數(shù)?2位自然數(shù)?3位自然數(shù)?4位自然數(shù)的情況即可；（2）利用分步乘法和分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.
【詳解】（1）1位自然數(shù)有個(gè)；
2位自然數(shù)有個(gè)；
3位自然數(shù)有個(gè)；
4位自然數(shù)中小于1230的有“”型個(gè)，1203共3個(gè)；
所以1230是此數(shù)列的第項(xiàng).
（2）四位數(shù)偶數(shù)有個(gè)位是0和個(gè)位是2兩種情況，
其中個(gè)位是0有種；個(gè)位不是0有種.
所以四位偶數(shù)共有10個(gè).
它們各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和為；
21．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)著作，是“算經(jīng)十書”中最重要的一部，它對幾何學(xué)的研究比西方要早1000多年.在《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵.如圖，在塹堵中，，，M，N分別是，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上.

（1）若P為的中點(diǎn)，求證：平面.
（2）是否存在點(diǎn)P，使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為？若存在，試確定點(diǎn)P的位置；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析；（2）不存在，理由見解析.
【分析】（1）取的中點(diǎn)H，連接PH，HC.，利用中位線定理證明四邊形PHCN為平行四邊形，從而得到，由線面平行的判定定理證明即可；
（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出平面的法向量，由向量的夾角公式列出等式，求解即可得到答案．
【詳解】解析（1）證明：取的中點(diǎn)H，連接PH，HC.
在塹堵中，四邊形為平行四邊形，
所以且.
在中，P，H分別為，的中點(diǎn)，
所以且.
因?yàn)镹為BC的中點(diǎn)，所以，
從而且，
所以四邊形PHCN為平行四邊形，于是.
因?yàn)槠矫?，平面，所以平?

（2）以A為原點(diǎn)，AB，AC，所在直線分別為x軸?y軸?z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.
易知平面ABC的一個(gè)法向量為.
假設(shè)滿足條件的點(diǎn)P存在，令，
則，.
設(shè)平面PMN的一個(gè)法向量是，
則即
令，得，，
所以.
由題意得，解得，故點(diǎn)P不在線段上.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用空間直角坐標(biāo)系求二面角具體做法：
1. 設(shè)分別設(shè)出兩個(gè)平面的法向量,n1=(x1, y1, z1); n2=(x2, y2, z2)
2. 求出平面內(nèi)線段所在直線的向量式（每個(gè)平面求出兩個(gè)向量）
3. 利用法向量垂直平面,即垂直平面內(nèi)所有直線,建立方程組（3元一次方程組,僅兩個(gè)方程）
（1）建立的條件是,兩個(gè)相互垂直的向量,乘積為0
（2）由于法向量有3個(gè)未知數(shù),我們通常只用建立兩個(gè)方程組成的方程組.
（3）賦值：即是賦予法向量的三個(gè)未知數(shù)中的某一個(gè)一個(gè)確實(shí)的代數(shù)值,
4.利用空間向量數(shù)量積求得兩個(gè)法向量的余弦值.
5. 判斷范圍,注意正負(fù)取值.
22．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E，F(xiàn)分別為線段PB，BC上的動(dòng)點(diǎn).

(1)若E為線段PB的中點(diǎn)，證明：平面AEF⊥平面PBC；
(2)若BE=BF，且平面AEF與平面PBC所成角的余弦值為，試確定點(diǎn)F的位置.
【答案】(1)證明見解析
(2)F為三等分點(diǎn)處

【分析】（1）先證明平面，從而可證，再證明，可證明平面，即可證明平面平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)以及對應(yīng)的向量坐標(biāo)，并求解平面的法向量，利用向量的夾角公式代入求解.
【詳解】（1）（1）證明：由底面，可得，又在正方形中，，
且，則平面，有.
由，E為中點(diǎn)，可得
又，則平面，從而平面平面.
（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則.

由（1）可知為平面的法向量.
由，可知，設(shè)，則，可得.
設(shè)平面的法向量為，由，即，
取，則，即.
從而，由，解得或，即F為三等分點(diǎn)處.
【點(diǎn)睛】對于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.

相關(guān)試卷

河南省南陽市第八中學(xué)校2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量評估數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）：

這是一份河南省南陽市第八中學(xué)校2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量評估數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版），文件包含精品解析河南省南陽市第八中學(xué)校2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量評估數(shù)學(xué)試題原卷版docx、精品解析河南省南陽市第八中學(xué)校2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量評估數(shù)學(xué)試題解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共22頁， 歡迎下載使用。

2022-2023學(xué)年河南省南陽市第六完全學(xué)校高級中學(xué)高二上學(xué)期9月考試數(shù)學(xué)試題（解析版）：

這是一份2022-2023學(xué)年河南省南陽市第六完全學(xué)校高級中學(xué)高二上學(xué)期9月考試數(shù)學(xué)試題（解析版），共12頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2022-2023學(xué)年河南省南陽市第二中學(xué)校高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）：

這是一份2022-2023學(xué)年河南省南陽市第二中學(xué)校高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版），共17頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2022-2023學(xué)年河南省南陽市宛城區(qū)第五中學(xué)校高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022-2023學(xué)年河南省南陽市宛城區(qū)第五中學(xué)校高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）
2022-2023學(xué)年河南省南陽市第五中學(xué)校高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022-2023學(xué)年河南省南陽市第五中學(xué)校高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題（解析版）
河南省南陽市第一中學(xué)校2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題（含答案）

河南省南陽市第一中學(xué)校2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題（含答案）
2021-2022學(xué)年河南省南陽市第一中學(xué)校高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題含解析

2021-2022學(xué)年河南省南陽市第一中學(xué)校高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題含解析
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
月考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部