2021-2022學(xué)年第一學(xué)期10月練習(xí)高二數(shù)學(xué)一、選擇題1. 已知，則直線的斜率為（    ）A. 2 B. 1 C.  D. 不存在【答案】A【解析】【分析】代入公式計算求解．【詳解】由題意，得：.故選：A．2. 點到原點的距離為（    ）A. 1 B. 3 C. 5 D. 9【答案】C【解析】【分析】利用空間坐標(biāo)兩點間距離公式，即可計算.【詳解】.故選：C3. 如圖，在三棱錐S—ABC中，點E，F分別是SA，BC的中點，點G在棱EF上，且滿足，若，，，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用空間向量的加、減運算即可求解.【詳解】由題意可得 故選：D     4. 已知向量，，若，則實數(shù)的值為（    ）A.  B.  C. 或 D. 【答案】C【解析】【分析】利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于的方程，即可解得實數(shù)的值.【詳解】因為，由已知可得，解得或.故選：C.5. 在正方體中，二面角的余弦值是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可【詳解】解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，則，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，設(shè)二面角的平面角為，由圖可知為銳角，所以，故選：C6. 若直線：與互相平行，且過點，則直線的方程為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由兩條直線平行得到斜率，進而通過點斜式求出直線方程.【詳解】由題意，的斜率為，則的斜率為，又過點，所以的方程為：.故選：C.7. 若直線：與：互相垂直，則的值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由兩直線垂直直接列方程求解即可【詳解】解：因為直線：與：互相垂直，所以，得，解得，故選：C8. 如圖，在正三棱柱中，若，則與所成角大小為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】取向量為空間向量的一組基底向量，表示出與，再借助空間向量運算即可計算作答.【詳解】在正三棱柱中，向量不共面，，，令，則，而，，于是得，因此，，所以與所成角的大小為.故選：B9. 如圖，正方體的棱長為1，是底面的中心，則到平面的距離為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】過作的平行線，交于，則到平面的距離即為到平面的距離．作于，進而可知平面，進而根據(jù)求得．【詳解】過作的平行線，交于，連結(jié)，則到平面的距離即為到平面的距離．作于，平面，所以，且， 所以平面，，所以平面，可求得．故選：B二、填空題10. 空間兩點，間的距離是______ ，A關(guān)于平面的對稱點坐標(biāo)為_________．【答案】    ①. ；    ②. 【解析】【分析】根據(jù)空間中兩點間的距離公式可求出線段的距離；關(guān)于的對稱點是x，y坐標(biāo)不變，z坐標(biāo)相反.【詳解】空間兩點，間的距離為，A關(guān)于平面的對稱點為，故答案為：；.11. 若，，且與為共線向量，則________，________.【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】依據(jù)空間向量共線可得相應(yīng)坐標(biāo)成比例計算即可.【詳解】由題意得，∴，.故答案為：，12. 若直線與互相平行，則的值為_____________；它們之間的距離為_______.【答案】    ①. 1    ②. 【解析】【分析】由直線平行公式求解，再根據(jù)線線間的距離公式求解即可【詳解】因為直線與互相平行，故，解得，此時，，故它們之間的距離故答案為：1，【點睛】本題主要考查了直線平行求參數(shù)的問題、平行直線間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題13. 如圖，設(shè)為平行四邊形所在平面外任意一點，為的中點.若，則__________，_________.【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】連接交于,由平行四邊形的性質(zhì)，為的中點，由線段中點向量公式可得，進而求得然后利用向量的減法運算求得關(guān)于的線性表達式，進而根據(jù)空間向量分解唯一性定理得到的值.【詳解】連接交于,由平行四邊形的性質(zhì)，為的中點，所以,,因為在平面所在平面外，∴不共面，由空間向量唯一分解定理，可得,故答案為：【點睛】本題考查空間向量的線性運算和空間向量基本定理中的分解唯一性定理，關(guān)鍵是得出.14. 空間四邊形各邊及對角線長均為，，，分別是，，的中點，則_____.【答案】##0.5【解析】【分析】利用向量的線性運算，轉(zhuǎn)化向量，再計算向量的數(shù)量積.【詳解】如圖，,，所以 ,因為向量的模相等，夾角相等，所以，,及 答案為：15. 已知直線，直線，則與之間的距離為___________.【答案】【解析】【分析】利用平行線間距離公式，即可計算結(jié)果.【詳解】直線，直線 ，兩條直線平行，所以與之間的距離.故答案為：三、解答題16. 如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，底面，，E為PC的中點，求異面直線PD與BE所成角的余弦值.【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解異面直線的夾角余弦值.【詳解】因為底面ABCD為矩形，所以AB⊥AD，因為底面，平面ABCD，所以，，故以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，因為，所以，，，，E為PC的中點，所以，，，設(shè)異面直線PD與BE所成角為，則17. 求過點 ，且滿足下列條件的直線方程：（1）傾斜角等于直線的傾斜角的二倍的直線方程；（2）在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程．【答案】（1） ．（2）或 ．【解析】【詳解】分析：（1）求出直線的傾斜角，利用點斜式求出直線方程；（2）分類討論，可得在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程.詳解：（1） 由題意，可知 ，所以 ，則 ．所以 ，所以所求直線的方程為：． （2） 當(dāng)直線過原點時方程為：，當(dāng)直線不過原點時方程為：．故所求直線的方程為 或 ．點睛：本題考查直線方程，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想.18. 已知直線，直線.（1）若，求實數(shù)a的值；（2）若，求實數(shù)a的值.【答案】（1）或；（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)兩直線垂直的等價條件列式求解即可；（2）根據(jù)兩直線平行，分類討論斜率不存在和斜率存在且相等的情況，檢驗即可求出．【詳解】（1）∵，∴， ∴，∴或．（2）當(dāng)時，，，∴； 當(dāng)時，由解得：，此時， ，，即，兩直線不重合．綜上得：或．【點睛】本題主要考查根據(jù)兩直線垂直和平行求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．19. 如圖.在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，且，.（1）求異面直線PC與AD所成角的余弦；（2）求點A到平面PCD的距離.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解異面直線的夾角；（2）先求出平面PCD的法向量，然后利用點到平面的向量公式進行求解.【小問1詳解】因平面ABCD，平面ABCD所以，，，因為，故以A為坐標(biāo)原點，所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，因為過點C作CE⊥AD于點E，則CE=AB=2，AE=BC=1，因為，所以DE=CE=2，故，，，，，，設(shè)異面直線PC與AD所成角為，所以，異面直線PC與AD所成角的余弦值為.【小問2詳解】，，設(shè)平面PCD的法向量為，則，即，令，解得：，，故，設(shè)點A到平面PCD的距離為，則20. 如圖，在三棱柱中，平面 ，，點分別在棱和棱 上，且為棱的中點．
 （Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】【分析】以為原點，分別以的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.（Ⅰ）計算出向量和坐標(biāo)，得出，即可證明出；（Ⅱ）可知平面的一個法向量為，計算出平面的一個法向量為，利用空間向量法計算出二面角的余弦值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求解結(jié)果；（Ⅲ）利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】依題意，以為原點，分別以、、的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得、、、、、、、、.（Ⅰ）依題意，，，從而，所以；（Ⅱ）依題意，是平面的一個法向量，，．設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨設(shè)，可得．，．所以，二面角的正弦值為；（Ⅲ）依題意，．由（Ⅱ）知為平面的一個法向量，于是．所以，直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查利用空間向量法證明線線垂直，求二面角和線面角的正弦值，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題.
  

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