2021-2022學(xué)年福建省普通高中高二學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)模擬試題一、單選題1．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則的值A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知，利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得且，即可求值.【詳解】∵為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，∴，即，∴.故選：D2．下列說(shuō)法正確的是（       ）A．在兩組數(shù)據(jù)中，平均數(shù)較大的一組極差較大B．平均數(shù)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，方差則反映數(shù)據(jù)波動(dòng)的大小C．方差的求法是求出各個(gè)數(shù)據(jù)與平均值的差的平方后再求和D．在記錄兩個(gè)人射擊環(huán)數(shù)的兩組數(shù)據(jù)中，方差大說(shuō)明射擊水平穩(wěn)定【答案】B【分析】根據(jù)平均數(shù)，極差與方差的意義判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)A，在兩組數(shù)據(jù)中，平均數(shù)與極差沒(méi)有必然聯(lián)系，所以A錯(cuò)誤；對(duì)B，根據(jù)平均數(shù)與方差的性質(zhì)可知B正確；對(duì)C，根據(jù)方差的公式可得，求和后還需再求平均數(shù)；對(duì)D，方差大的表示射擊水平不穩(wěn)定，故選：B.3．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于A． B．C． D．【答案】C【分析】利用幾何概型的計(jì)算概率的方法解決本題，關(guān)鍵要弄準(zhǔn)所求的隨機(jī)事件發(fā)生的區(qū)域的面積和事件總體的區(qū)域面積，通過(guò)相除的方法完成本題的解答．【詳解】解：由幾何概型的計(jì)算方法，可以得出所求事件的概率為P=．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的計(jì)算，考查幾何概型的辨別，考查學(xué)生通過(guò)比例的方法計(jì)算概率的問(wèn)題，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，考查學(xué)生幾何圖形面積的計(jì)算方法，屬于基本題型．4．已知函數(shù)在同一周期內(nèi)，當(dāng)時(shí)取最大值，當(dāng)時(shí)取最小值，則的值可能為　　A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)最值的位置可求得，從而得到；將代入函數(shù)可求得的值．【詳解】由題意可知：，所以：，解得： 則：，即：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，滿足題意，由此可知，的一個(gè)可能值為：故選：．【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)解析式的問(wèn)題，的求解主要通過(guò)函數(shù)的周期來(lái)確定，則通過(guò)函數(shù)上的點(diǎn)代入函數(shù)方程的方式來(lái)進(jìn)行求解．5．已知函數(shù)的值域?yàn)?/span>，的定義域?yàn)?/span>，則（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求得集合，然后由集合的運(yùn)算和關(guān)系判斷．【詳解】由題意，，所以，選項(xiàng)ABC均錯(cuò)，只有選項(xiàng)D正確．故選：D．6．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量減法和加法的運(yùn)算，求出運(yùn)算的結(jié)果.【詳解】依題意，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量的減法運(yùn)算，考查向量的加法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.7．不等式的解集為A． B．C． D．【答案】B【詳解】試題分析：，故解集為B.【解析】一元二次不等式.8．已知兩條直線，，，則直線的一個(gè)方向向量是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用可得,再求得直線的方向向量即可【詳解】由題,因?yàn)?/span>,所以,解得或（舍）所以直線為,即,則該直線的一個(gè)方向向量為故選：B【點(diǎn)睛】本題考查已知直線的位置關(guān)系求參數(shù),考查直線的方向向量9．已知集合，，則（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)的值域與對(duì)數(shù)函數(shù)的值域求解即可【詳解】由題，，，故故選：A10．如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是，則它的表面積是A．17π B．18π C．20π D．28π【答案】A【詳解】試題分析：由三視圖知，該幾何體的直觀圖如圖所示：是一個(gè)球被切掉左上角的,即該幾何體是個(gè)球，設(shè)球的半徑為，則，解得，所以它的表面積是的球面面積和三個(gè)扇形面積之和,即，故選A．【解析】三視圖及球的表面積與體積【名師點(diǎn)睛】由于三視圖能有效地考查學(xué)生的空間想象能力,所以以三視圖為載體的立體幾何題基本上是高考每年必考內(nèi)容,高考試題中三視圖一般與幾何體的表面積與體積相結(jié)合.由三視圖還原出原幾何體是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.11．給定區(qū)域：，令點(diǎn)集，，是在上取得最大值或最小值的點(diǎn)，則中的點(diǎn)共確定不同的直線的條數(shù)為（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出可行域，作直線，平移直線后可得最優(yōu)解，從而得出集合中點(diǎn)的個(gè)數(shù)及點(diǎn)的關(guān)系，然后可確定直線的條數(shù)．【詳解】作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線，在直線中，是直線的縱截距，直線向上平移時(shí)縱截距增大，向下平移時(shí)縱截距減小，因此平移直線，當(dāng)它過(guò)時(shí)，最小，當(dāng)它與直線重合時(shí)，最大，所以集合中有6個(gè)點(diǎn)，一個(gè)是，還有5個(gè)是直線上的點(diǎn)，，，，，它們能確定的直線的條數(shù)為5＋1＝6，故選：C．12．函數(shù)的值域是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由同角間的三角函數(shù)關(guān)系變形后按所在象限分類討論可得．【詳解】，當(dāng)是第一象限角時(shí)，，當(dāng)是第二象限角時(shí)，，當(dāng)是第三象限角時(shí)，，當(dāng)是第四象限角時(shí)，，綜上，函數(shù)值域?yàn)?/span>．故選：C．13．若存在，使不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出函數(shù)和函數(shù)的圖象，在軸右側(cè)，的圖象上存在點(diǎn)在圖象下方，由此可得參數(shù)范圍．【詳解】作出函數(shù)和函數(shù)的示意圖，其中的圖象是過(guò)點(diǎn)的直線，是直線的斜率，的圖象與軸交于點(diǎn)，，題意說(shuō)明在軸右側(cè)，的圖象上存在點(diǎn)在圖象下方，由圖象可知只要，即可滿足題意．故選：B．14．若函數(shù)為奇函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)，又，則的解集為（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)，又，判斷函數(shù)在R上的符號(hào)，根據(jù)奇函數(shù)把轉(zhuǎn)化為，根據(jù)積商符號(hào)法則及函數(shù)的單調(diào)性即可求得的解集.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)，，所以或時(shí)，；或時(shí)，；，即，可知或.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，以及解不等式，屬中檔題.二、填空題15．如圖，當(dāng)輸入的值為3時(shí)，輸出的結(jié)果是______． 【答案】12【詳解】試題分析：由程序框圖可知輸出值為函數(shù)的函數(shù)值，當(dāng)時(shí)，所以輸出12【解析】程序框圖16．的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________．【答案】1【分析】的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即即且，從而得出答案.【詳解】的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即方程的解的個(gè)數(shù)，即且；解得，；故的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1；故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題.17．在中，若，則_____【答案】4【分析】根據(jù)余弦定理求解即可【詳解】由余弦定理可得，即，，因?yàn)?/span>故故答案為：418．已知，，如果與的夾角是鈍角，則的取值范圍是___________【答案】【解析】與的夾角是鈍角,則，根據(jù)向量夾角公式列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】設(shè)兩個(gè)向量的夾角為，依題意可知為鈍角，則，即，且由得或，由于且，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)向量夾角求參數(shù)，注意利用時(shí)，要排除共線反向情況，屬于中檔題.19．過(guò)圓內(nèi)點(diǎn)作圓的兩條互相垂直的弦和，則的最大值為__．【答案】【分析】取中點(diǎn)，中點(diǎn)，由此得，，然后應(yīng)用變形后的基本不等式可得最大值．【詳解】取中點(diǎn)，中點(diǎn)，如圖，則是矩形，，，同理，注意到時(shí)，由得，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．所以的最大值是．故答案為：．三、解答題20．求的值.【答案】【分析】根據(jù)給定組合式結(jié)合組合數(shù)的定義列出不等式求得n值，再利用組合數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即得.【詳解】依題意，，即，解得，所以，原式.21．某地區(qū)實(shí)施“光盤行動(dòng)”以后,某自助啤酒吧也制定了自己的行動(dòng)計(jì)劃,進(jìn)店的每一位客人需預(yù)交元,啤酒根據(jù)需要自己用量杯量取,結(jié)賬時(shí),根據(jù)每桌剩余酒量,按一定倍率收費(fèi)(如下表),每桌剩余酒量不足升的,按升計(jì)算(如剩余升,記為剩余升).例如:結(jié)賬時(shí),某桌剩余酒量恰好為升,則該桌的每位客人還應(yīng)付元.統(tǒng)計(jì)表明飲酒量與人數(shù)有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,下面是隨機(jī)采集的組數(shù)據(jù)(其中表示飲酒人數(shù),(升)表示飲酒量):,,,,.剩余酒量(單位:升)升以上(含升)結(jié)賬時(shí)的倍率 （1）求由這組數(shù)據(jù)得到的關(guān)于的回歸直線方程;（2）小王約了位朋友坐在一桌飲酒,小王及朋友用量杯共量取了升啤酒,這時(shí),酒吧服務(wù)生對(duì)小王說(shuō),根據(jù)他的經(jīng)驗(yàn),小王和朋友量取的啤酒可能喝不完,可以考慮再邀請(qǐng)位或位朋友一起來(lái)飲酒,會(huì)更劃算.試向小王是否該接受服務(wù)生的建議？參考數(shù)據(jù):回歸直線的方程是,其中,.【答案】（1）；（2）接受【解析】（1）計(jì)算出,,結(jié)合所給數(shù)據(jù),計(jì)算出,進(jìn)而求得,即可求得答案;（2）小王和位朋友共人大約需要飲酒升,若不再邀請(qǐng)人,則剩余酒量升,酒吧記為剩余升,預(yù)計(jì)需要支付元,結(jié)合已知,即可求得答案.【詳解】（1）,,,,回歸直線方程為.（2）小王和位朋友共人大約需要飲酒升,若不再邀請(qǐng)人,則剩余酒量升,酒吧記為剩余升,預(yù)計(jì)需要支付元;若再邀請(qǐng)人,大約需飲酒升,剩余酒量升,酒吧記為剩余升,預(yù)計(jì)支付元;若再邀請(qǐng)人,大約需飲酒升,剩余酒量升,酒吧記為剩余升,預(yù)計(jì)支付元.應(yīng)該接受建議,且再邀請(qǐng)位朋友更劃算.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求回歸直線方程,解題關(guān)鍵是掌握求回歸直線方程的方法,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.22．如圖，在等腰梯形中，AD∥BC，，，，，分別為，，的中點(diǎn)，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)位置（平面）．（1）若為直線上任意一點(diǎn)，證明：MH∥平面；（2）若直線與直線所成角為，求二面角的余弦值．【答案】（1）見解析（2）【解析】(1)根據(jù)中位線證明平面平面，即可證明MH∥平面；（2）以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，找到點(diǎn)的坐標(biāo)代入公式即可計(jì)算二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：連接，∵，，分別為，，的中點(diǎn)，∴，又∵平面，平面，∴平面，同理，平面，∵平面，平面，，∴平面平面，∵平面，∴平面．（2）連接，在和中，由余弦定理可得，，由與互補(bǔ)，，，可解得，于是，∴，，∵，直線與直線所成角為，∴，又，∴，即，∴平面，∴平面平面，∵為中點(diǎn)，，∴平面，如圖所示，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．設(shè)平面的法向量為，∴，即．令，則，，可得平面的一個(gè)法向量為．又平面的一個(gè)法向量為，∴，∴二面角的余弦值為．【點(diǎn)睛】此題考查線面平行，建系通過(guò)坐標(biāo)求二面角等知識(shí)點(diǎn)，屬于一般性題目.23．求直線被圓截得的弦長(zhǎng)．【答案】【分析】求出圓心到直線的距離，結(jié)合勾股定理可求得結(jié)果.【詳解】解：圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，原點(diǎn)到直線的距離為，因此，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.24．已知函數(shù)，求：(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域．(3)描述如何由的圖象變換得到函數(shù)的圖象．【答案】(1)(2)(3)變換見解析【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系，降冪公式和輔助角公式化簡(jiǎn)求解即可；（2）結(jié)合正弦函數(shù)在區(qū)間上的圖象和取值范圍求解即可；（3）根據(jù)三角函數(shù)圖象平移伸縮的變換分析即可【詳解】(1)由題，，故最小正周期(2)由（1），當(dāng)時(shí)，，故，故，即函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>(3)的圖象先向左平移個(gè)單位得到，再縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的得到；再橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍得到；再往上平移2個(gè)單位得到的圖象 

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