?廣西河池三年（2020-2022）中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答題
一．實(shí)數(shù)的運(yùn)算（共1小題）
1．（2021?河池）計(jì)算：+4﹣1﹣（）2+|﹣|．
二．整式的混合運(yùn)算—化簡求值（共1小題）
2．（2021?河池）先化簡，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2021．
三．分式的化簡求值（共2小題）
3．（2022?河池）先化簡，再求值：÷﹣（2a﹣1），其中a＝3．
4．（2020?河池）先化簡，再計(jì)算：+，其中a＝2．
四．二次根式的混合運(yùn)算（共2小題）
5．（2022?河池）計(jì)算：|﹣2|﹣3﹣1﹣×+（π﹣5）0．
6．（2020?河池）計(jì)算：（﹣3）0++（﹣3）2﹣4×．
五．一元一次不等式的應(yīng)用（共1小題）
7．（2022?河池）為改善村容村貌，陽光村計(jì)劃購買一批桂花樹和芒果樹．已知桂花樹的單價(jià)比芒果樹的單價(jià)多40元，購買3棵桂花樹和2棵芒果樹共需370元．
（1）桂花樹和芒果樹的單價(jià)各是多少元？
（2）若該村一次性購買這兩種樹共60棵，且桂花樹不少于35棵．設(shè)購買桂花樹的棵數(shù)為n，總費(fèi)用為w元，求w關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式，并求出該村按怎樣的方案購買時(shí)，費(fèi)用最低？最低費(fèi)用為多少元？
六．一次函數(shù)的應(yīng)用（共2小題）
8．（2021?河池）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校組織九年級全體師生前往廣西農(nóng)民運(yùn)動(dòng)講習(xí)所舊址列寧巖參加“學(xué)黨史、感黨恩、聽黨話、跟黨走”的主題活動(dòng)，需要租用甲、乙兩種客車共6輛．已知甲、乙兩種客車的租金分別為450元/輛和300元/輛，設(shè)租用乙種客車x輛，租車費(fèi)用為y元．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量的取值范圍）；
（2）若租用乙種客車的數(shù)量少于甲種客車的數(shù)量，租用乙種客車多少輛時(shí)，租車費(fèi)用最少？最少費(fèi)用是多少元？
9．（2020?河池）某水果市場銷售一種香蕉．甲店的香蕉價(jià)格為4元/kg；乙店的香蕉價(jià)格為5元/kg，若一次購買6kg以上，超過6kg部分的價(jià)格打7折．
（1）設(shè)購買香蕉xkg，付款金額y元，分別就兩店的付款金額寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）到哪家店購買香蕉更省錢？請說明理由．
七．待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式（共1小題）
10．（2020?河池）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（﹣1，2）．
（1）將點(diǎn)A向右平移3個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度，得到點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是　 　．
（2）點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O對稱，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是　 ?。?br /> （3）反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，則它的解析式是　 ?。?br /> （4）一次函數(shù)的圖象經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，則它的解析式是　 ?。?br />
八．二次函數(shù)綜合題（共3小題）
11．（2022?河池）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線L1：y＝ax2+2x+b與x軸交于兩點(diǎn)A，B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求拋物線L1的函數(shù)解析式，并直接寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如圖，連接BD，若點(diǎn)E在線段BD上運(yùn)動(dòng)（不與B，D重合），過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)EF＝m，問：當(dāng)m為何值時(shí)，△BFE與△DEC的面積之和最?。?br /> （3）若將拋物線L1繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°得拋物線L2，其中C，D兩點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別記作M，N．問：在拋物線L2的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得以B，M，P為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

12．（2021?河池）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣（x﹣1）2+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求直線CA的解析式；
（2）如圖，直線x＝m與拋物線在第一象限交于點(diǎn)D，交CA于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，DG⊥CA于點(diǎn)G，若E為GA的中點(diǎn)，求m的值．
（3）直線y＝nx+n與拋物線交于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點(diǎn)，其中x1＜x2．若x2﹣x1＞3且y2﹣y1＞0，結(jié)合函數(shù)圖象，探究n的取值范圍．

13．（2020?河池）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于（p，0），（q，0），則該拋物線的解析式可以表示為：
y＝a（x﹣p）（x﹣q）＝ax2﹣a（p+q）x+apq．
（1）若a＝1，拋物線與x軸交于（1，0），（5，0），直接寫出該拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若a＝﹣1，如圖（1），A（﹣1，0），B（3，0），點(diǎn)M（m，0）在線段AB上，拋物線C1與x軸交于A，M，頂點(diǎn)為C；拋物線C2與x軸交于B，M，頂點(diǎn)為D．當(dāng)A，C，D三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，求m的值；
（3）已知拋物線C3與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），線段EF的端點(diǎn)E（0，3），F(xiàn)（4，3）．若拋物線C3與線段EF有公共點(diǎn)，結(jié)合圖象，在圖（2）中探究a的取值范圍．

九．全等三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）
14．（2021?河池）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D，E分別是AB，BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)AD＝DF時(shí)，求證：△CAD≌△CFD；
（2）當(dāng)△CED是等腰三角形且△DEB是直角三角形時(shí)，求AD的長．

15．（2020?河池）（1）如圖（1），已知CE與AB交于點(diǎn)E，AC＝BC，∠1＝∠2．求證：△ACE≌△BCE．
（2）如圖（2），已知CD的延長線與AB交于點(diǎn)E，AD＝BC，∠3＝∠4．探究AE與BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

一十．平行四邊形的判定（共1小題）
16．（2022?河池）如圖，點(diǎn)A，F(xiàn)，C，D在同一直線上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF．
（1）求證：∠ACB＝∠DFE；
（2）連接BF，CE，直接判斷四邊形BFEC的形狀．

一十一．切線的判定與性質(zhì)（共1小題）
17．（2020?河池）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝6，OC⊥AB，OC＝5，BC與⊙O交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，EF∥BC，交OC的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）CG∥OD，交AB于點(diǎn)G，求CG的長．

一十二．圓的綜合題（共1小題）
18．（2022?河池）如圖，AB是⊙O的直徑，E為⊙O上的一點(diǎn)，∠ABE的平分線交⊙O于點(diǎn)C，過點(diǎn)C的直線交BA的延長線于點(diǎn)P，交BE的延長線于點(diǎn)D．且∠PCA＝∠CBD．
（1）求證：PC為⊙O的切線；
（2）若PC＝2BO，PB＝12，求⊙O的半徑及BE的長．

一十三．作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖（共1小題）
19．（2021?河池）如圖，∠CAD是△ABC的外角．
（1）尺規(guī)作圖：作∠CAD的平分線AE（不寫作法，保留作圖痕跡，用黑色墨水筆將痕跡加黑）；
（2）若AE∥BC，求證：AB＝AC．

一十四．作圖-位似變換（共1小題）
20．（2022?河池）如圖、在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（4，1），B（2，3），C（1，2）．
（1）畫出與△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；
（2）以原點(diǎn)O為位似中心，在第三象限內(nèi)畫一個(gè)△A2B2C2，使它與△ABC的相似比為2：1，并寫出點(diǎn)B2的坐標(biāo)．

一十五．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共2小題）
21．（2022?河池）如圖，小敏在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，利用所學(xué)知識對他所在小區(qū)居民樓AB的高度進(jìn)行測量，從小敏家陽臺C測得點(diǎn)A的仰角為33°，測得點(diǎn)B的俯角為45°，已知觀測點(diǎn)到地面的高度CD＝36m，求居民樓AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）．

22．（2021?河池）如圖，小明同學(xué)在民族廣場A處放風(fēng)箏，風(fēng)箏位于B處，風(fēng)箏線AB長為100m，從A處看風(fēng)箏的仰角為30°，小明的父母從C處看風(fēng)箏的仰角為50°．
（1）風(fēng)箏離地面多少m？
（2）A、C相距多少m？
（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：sin30°＝0.5，cos30°≈0.8660，tan30°≈0.5774，sin50°≈0.7760，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1918）

一十六．扇形統(tǒng)計(jì)圖（共1小題）
23．（2020?河池）某校舉行了主題為“防溺水，保安全”的知識競賽活動(dòng)．賽后隨機(jī)抽取了50名參賽學(xué)生的成績進(jìn)行相關(guān)統(tǒng)計(jì)，整理得尚未完整的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖．現(xiàn)累計(jì)了40名參賽學(xué)生的成績，余下10名參賽學(xué)生的成績尚未累計(jì)，這10名學(xué)生成績?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?5，63，76，87，69，78，82，75，63，71．
頻數(shù)分布表
組別
分?jǐn)?shù)段
劃記
頻數(shù)
A
60＜x≤70
正　 　
　 　
B
70＜x≤80
正正　 　
　 　
C
80＜x≤90
正正正正　 　
　 　
D
90＜x≤100
正　 　
　 　
（1）在頻數(shù)分布表中補(bǔ)全各組劃記和頻數(shù)；
（2）求扇形統(tǒng)計(jì)圖中B組所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)；
（3）該校有2000名學(xué)生參加此次知識競賽，估計(jì)成績在80＜x≤100的學(xué)生有多少人？

一十七．條形統(tǒng)計(jì)圖（共1小題）
24．（2021?河池）為了解本校九年級學(xué)生的體質(zhì)健康情況，李老師隨機(jī)抽取35名學(xué)生進(jìn)行了一次體質(zhì)健康測試，根據(jù)測試成績制成統(tǒng)計(jì)圖表．
組別
分?jǐn)?shù)段
人數(shù)
A
x＜60
2
B
60≤x＜75
5
C
75≤x＜90
a
D
x≥90
12
請根據(jù)上述信息解答下列問題：
（1）本次調(diào)查屬于 　 　調(diào)查，樣本容量是 　 ?。?br /> （2）表中的a＝　 　，樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)位于 　 　組；
（3）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（4）該校九年級學(xué)生有980人，估計(jì)該校九年級學(xué)生體質(zhì)健康測試成績在D組的有多少人？

一十八．列表法與樹狀圖法（共1小題）
25．（2022?河池）為喜迎中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會的召開，紅星中學(xué)舉行黨史知識競賽．團(tuán)委隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的成績作為樣本，把成績按達(dá)標(biāo)，良好，優(yōu)秀，優(yōu)異四個(gè)等級分別進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并將所得數(shù)據(jù)繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖．

請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：
（1）本次調(diào)查的樣本容量是 　 　，圓心角β＝　 　度；
（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）已知紅星中學(xué)共有1200名學(xué)生，估計(jì)此次競賽該校獲優(yōu)異等級的學(xué)生人數(shù)為多少？
（4）若在這次競賽中有A，B，C，D四人成績均為滿分，現(xiàn)從中抽取2人代表學(xué)校參加縣級比賽．請用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好抽到A，C兩人同時(shí)參賽的概率．

參考答案與試題解析
一．實(shí)數(shù)的運(yùn)算（共1小題）
1．（2021?河池）計(jì)算：+4﹣1﹣（）2+|﹣|．
【解答】解：原式＝2+﹣+
＝3．
二．整式的混合運(yùn)算—化簡求值（共1小題）
2．（2021?河池）先化簡，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2021．
【解答】解：原式＝x2+2x+1﹣x2﹣x
＝x+1，
當(dāng)x＝2021時(shí)，
原式＝2021+1
＝2022．
另解：原式＝（x+1）（x+1﹣x）
＝x+1，
當(dāng)x＝2021時(shí)，
原式＝2022．
三．分式的化簡求值（共2小題）
3．（2022?河池）先化簡，再求值：÷﹣（2a﹣1），其中a＝3．
【解答】解：原式＝×﹣（2a﹣1）
＝a﹣2a+1
＝﹣a+1，
當(dāng)a＝3時(shí)，原式＝﹣3+1＝﹣2．
4．（2020?河池）先化簡，再計(jì)算：+，其中a＝2．
【解答】解：原式＝+
＝+
＝，
當(dāng)a＝2時(shí)，原式＝＝3．
四．二次根式的混合運(yùn)算（共2小題）
5．（2022?河池）計(jì)算：|﹣2|﹣3﹣1﹣×+（π﹣5）0．
【解答】解：原式＝2﹣﹣2+1
＝．
6．（2020?河池）計(jì)算：（﹣3）0++（﹣3）2﹣4×．
【解答】解：原式＝1+2+9﹣2
＝10．
五．一元一次不等式的應(yīng)用（共1小題）
7．（2022?河池）為改善村容村貌，陽光村計(jì)劃購買一批桂花樹和芒果樹．已知桂花樹的單價(jià)比芒果樹的單價(jià)多40元，購買3棵桂花樹和2棵芒果樹共需370元．
（1）桂花樹和芒果樹的單價(jià)各是多少元？
（2）若該村一次性購買這兩種樹共60棵，且桂花樹不少于35棵．設(shè)購買桂花樹的棵數(shù)為n，總費(fèi)用為w元，求w關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式，并求出該村按怎樣的方案購買時(shí)，費(fèi)用最低？最低費(fèi)用為多少元？
【解答】解：（1）設(shè)桂花樹的單價(jià)是x元，則芒果樹的單價(jià)是（x﹣40）元，
根據(jù)題意得：3x+2（x﹣40）＝370，
解得x＝90，
∴x﹣40＝90﹣40＝50，
答：桂花樹的單價(jià)是90元，芒果樹的單價(jià)是50元；
（2）根據(jù)題意得：w＝90n+50（60﹣n）＝40n+3000，
∴w關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式為w＝40n+3000，
∵40＞0，
∴w隨n的增大而增大，
∵桂花樹不少于35棵，
∴n≥35，
∴n＝35時(shí)，w取最小值，最小值為40×35+3000＝4400（元），
此時(shí)60﹣n＝60﹣35＝25（棵），
答：w關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式為w＝40n+3000，購買桂花樹35棵，購買芒果樹25棵時(shí)，費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為4400元．
六．一次函數(shù)的應(yīng)用（共2小題）
8．（2021?河池）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校組織九年級全體師生前往廣西農(nóng)民運(yùn)動(dòng)講習(xí)所舊址列寧巖參加“學(xué)黨史、感黨恩、聽黨話、跟黨走”的主題活動(dòng)，需要租用甲、乙兩種客車共6輛．已知甲、乙兩種客車的租金分別為450元/輛和300元/輛，設(shè)租用乙種客車x輛，租車費(fèi)用為y元．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量的取值范圍）；
（2）若租用乙種客車的數(shù)量少于甲種客車的數(shù)量，租用乙種客車多少輛時(shí)，租車費(fèi)用最少？最少費(fèi)用是多少元？
【解答】解：（1）設(shè)租用乙種客車x輛，租車費(fèi)用為y元，依題意得：
y＝450（6﹣x）+300x，
整理得：y＝﹣150x+2700（0＜x＜6）；
（2）∵租用乙種客車的數(shù)量少于甲種客車的數(shù)量，
∴x＝1或x＝2，
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣150×1+2700＝2550，
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣150×2+2700＝2400，
故租用乙種客車2輛時(shí)，租車費(fèi)用最少，為2400元．
另一種思路：
∵租用乙種客車的數(shù)量少于甲種客車的數(shù)量，
∴x＜6﹣x，
解得x＜3．
由（1）知y＝﹣150x+2700，
∵﹣150＜0，
∴y隨x的增大而減小．
∵x為正整數(shù)，
∴當(dāng)x＝2時(shí)，y取最小值，此時(shí)y＝﹣150×2+2700＝2400．
故租用乙種客車2輛時(shí)，租車費(fèi)用最少，為2400元．
答：租用乙種客車2輛時(shí)，租車費(fèi)用最少，為2400元．
9．（2020?河池）某水果市場銷售一種香蕉．甲店的香蕉價(jià)格為4元/kg；乙店的香蕉價(jià)格為5元/kg，若一次購買6kg以上，超過6kg部分的價(jià)格打7折．
（1）設(shè)購買香蕉xkg，付款金額y元，分別就兩店的付款金額寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）到哪家店購買香蕉更省錢？請說明理由．
【解答】解：（1）甲商店：y＝4x
乙商店：y＝．
（2）當(dāng)x＜6時(shí)，
此時(shí)甲商店比較省錢，
當(dāng)x≥6時(shí)，
令4x＝30+3.5（x﹣6），
解得：x＝18，
此時(shí)甲乙商店的費(fèi)用一樣，
當(dāng)6≤x＜18時(shí)，
此時(shí)甲商店比較省錢，
當(dāng)x＞18時(shí)，
此時(shí)乙商店比較省錢．
七．待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式（共1小題）
10．（2020?河池）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（﹣1，2）．
（1）將點(diǎn)A向右平移3個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度，得到點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是?。?，3）?。?br /> （2）點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O對稱，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是?。?，﹣2）?。?br /> （3）反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，則它的解析式是　y＝　．
（4）一次函數(shù)的圖象經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，則它的解析式是　y＝﹣2x?。?br />
【解答】解：（1）將點(diǎn)A向右平移3個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度，得到點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，3）；
（2）點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O對稱，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，﹣2）；
（3）設(shè)反比例函數(shù)解析式為y＝，
把B（2，3）代入得：k＝6，
∴反比例函數(shù)解析式為y＝；
（4）設(shè)一次函數(shù)解析式為y＝mx+n，
把A（﹣1，2）與C（1，﹣2）代入得：，
解得：，
則一次函數(shù)解析式為y＝﹣2x．
故答案為：（1）（2，3）；（2）（1，﹣2）；（3）y＝；（4）y＝﹣2x．
八．二次函數(shù)綜合題（共3小題）
11．（2022?河池）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線L1：y＝ax2+2x+b與x軸交于兩點(diǎn)A，B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求拋物線L1的函數(shù)解析式，并直接寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如圖，連接BD，若點(diǎn)E在線段BD上運(yùn)動(dòng)（不與B，D重合），過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)EF＝m，問：當(dāng)m為何值時(shí)，△BFE與△DEC的面積之和最小；
（3）若將拋物線L1繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°得拋物線L2，其中C，D兩點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別記作M，N．問：在拋物線L2的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得以B，M，P為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【解答】解：（1）∵y＝ax2+2x+b經(jīng)過B（3，0），C（0，3），
∴，
∴，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴拋物線的頂點(diǎn)D（1，4）；

（2）如圖1中，連接BC，過點(diǎn)C作CH⊥BD于點(diǎn)H．設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)T．

∵C（0，3），B（3，0），D（1，4），
∴BC＝3，CD＝，BD＝＝2，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∵?CD?CB＝?BD?CH，
∴CH＝＝，
∵EF⊥x軸，DT⊥x軸，
∴EF∥DT，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BE＝m，BF＝m，
∴△BFE與△DEC的面積之和S＝×（2﹣m）×+×m×m＝（m﹣）2+，
∵＞0，
∴S有最小值，最小值為，此時(shí)m＝，
∴m＝時(shí)，△BFE與△DEC的面積之和有最小值．

（3）存在．
理由：如圖2中，由題意拋物線L2的對稱軸x＝5，M（6，﹣3）．

設(shè)P（5，m），
當(dāng)BP＝BM＝3時(shí)，22+m2＝（3）2，
∴m＝±，
∴P1（5，），P2（5，﹣），
當(dāng)PB＝PM時(shí)，22+m2＝12+（m+3）2，
解得，m＝﹣1，
∴P3（5，﹣1），
當(dāng)BM＝PM時(shí)，（3）2＝12+（m+3）2，
解得，m＝﹣3±，
∴P4（5，﹣3+），P5（5，﹣3﹣），
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1（5，），P2（5，﹣），P3（5，﹣1），P4（5，﹣3+），P5（5，﹣3﹣）．
12．（2021?河池）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣（x﹣1）2+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求直線CA的解析式；
（2）如圖，直線x＝m與拋物線在第一象限交于點(diǎn)D，交CA于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，DG⊥CA于點(diǎn)G，若E為GA的中點(diǎn)，求m的值．
（3）直線y＝nx+n與拋物線交于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點(diǎn)，其中x1＜x2．若x2﹣x1＞3且y2﹣y1＞0，結(jié)合函數(shù)圖象，探究n的取值范圍．

【解答】解：（1）在y＝﹣（x﹣1）2+4中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣1或3，
∴A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3），
設(shè)直線CA的解析式為y＝kx+b，則，
解得，
∴直線CA的解析式為y＝﹣x+3；
（2）∵直線x＝m與拋物線在第一象限交于點(diǎn)D，交CA于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，
∴D（m，﹣（m﹣1）2+4），且0＜m＜3，E（m，﹣m+3），F(xiàn)（m，0），
∴AF＝3﹣m，DE＝﹣（m﹣1）2+4﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵A（3，0），C（0，3），
∴∠EAF＝45°，△EAF是等腰直角三角形，
∴AE＝AF＝3﹣m，∠DEG＝∠AEF＝45°，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴DE＝GE，
∵E為GA的中點(diǎn)，
∴GE＝AE＝3﹣m，
∴﹣m2+3m＝（3﹣m），
解得m＝2或m＝3，
∵m＝3時(shí)，D與A重合，舍去，
∴m＝2；
（3）由得或，
①若3﹣n＞﹣1，即n＜4，如圖：

∵x2﹣x1＞3且y2﹣y1＞0，
∴3﹣n﹣（﹣1）＞3，且﹣n2+4n﹣0＞0，
解得0＜n＜1；
②若3﹣n＜﹣1，即n＞4，同理可得：
﹣1﹣（3﹣n）＞3且0﹣（﹣n2+4n）＞0，
解得n＞7，
綜上所述，n的取值范圍是0＜n＜1或n＞7．
13．（2020?河池）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于（p，0），（q，0），則該拋物線的解析式可以表示為：
y＝a（x﹣p）（x﹣q）＝ax2﹣a（p+q）x+apq．
（1）若a＝1，拋物線與x軸交于（1，0），（5，0），直接寫出該拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若a＝﹣1，如圖（1），A（﹣1，0），B（3，0），點(diǎn)M（m，0）在線段AB上，拋物線C1與x軸交于A，M，頂點(diǎn)為C；拋物線C2與x軸交于B，M，頂點(diǎn)為D．當(dāng)A，C，D三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，求m的值；
（3）已知拋物線C3與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），線段EF的端點(diǎn)E（0，3），F(xiàn)（4，3）．若拋物線C3與線段EF有公共點(diǎn)，結(jié)合圖象，在圖（2）中探究a的取值范圍．

【解答】解：（1）由題意拋物線的解析式為y＝（x﹣1）（x﹣5）＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴y＝x2﹣6x+5，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣4）．

（2）如圖1中，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，過點(diǎn)D作DF⊥AB于F．



由題意拋物線C1為y＝﹣（x+1）（x﹣m）＝﹣（x﹣）2+，
∴C（，），
拋物線C2為y＝﹣（x﹣m）（x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，
∴D（，），
∵A，C，D共線，CE∥DF，
∴＝，
∴＝，
解得m＝，
經(jīng)檢驗(yàn)，m＝ 是分式方程的解，
∴m＝．

（3）如圖2﹣1，當(dāng)a＞0時(shí)，

設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），
當(dāng)拋物線經(jīng)過F（4，3）時(shí)，3＝a×5×1，
∴a＝，
觀察圖象可知當(dāng)a≥時(shí)，滿足條件．
如圖2﹣2中，當(dāng)a＜0時(shí)，頂點(diǎn)在線段EF上時(shí)，頂點(diǎn)為（1，3），

把（1，3）代入y＝a（x+1）（x﹣3），可得a＝﹣，
觀察圖象可知當(dāng)a≤﹣時(shí)，滿足條件，
綜上所述，滿足條件的a的范圍為：a≥或a≤﹣．
九．全等三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）
14．（2021?河池）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D，E分別是AB，BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)AD＝DF時(shí)，求證：△CAD≌△CFD；
（2）當(dāng)△CED是等腰三角形且△DEB是直角三角形時(shí)，求AD的長．

【解答】證明：（1）∵BD為⊙O直徑，
∴∠DFB＝90°，
在Rt△ACD與Rt△FCD中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△FCD（HL），
解：（2）∵△DEB是直角三角形，且∠B＜90°，
∴直角頂點(diǎn)只能是D點(diǎn)和E點(diǎn)，
①若∠EDB＝90°，
如圖1，在AB上取點(diǎn)D，使CD平分∠ACB，過D作DE⊥AB交BC于E，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠ECD，
∵∠CAB＝∠EDB＝90°，
∴AC∥DE，
∴∠ACD＝∠CDE，
∴∠ECD＝∠CDE，
∴CE＝DE，
此時(shí)△ECD為E為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形，△DEB是以D為直角頂點(diǎn)的直角三角形，
設(shè)CE＝DE＝x，
在直角△ABC中，BC＝＝5，
∴BE＝5﹣x，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝，
∴，
∴x＝，
∴，
∵DE∥AC，
∴，
∴，
∴AD＝，
②若∠DEB＝90°，
如圖2，則∠CED＝90°，
∵△CED為等腰三角形，
∴∠ECD＝∠EDC＝45°，
∴可設(shè)CE＝DE＝y(tǒng)，
∵tan∠B＝＝，
∴tan∠B＝＝，
∴，
∴BC＝CE+EB＝5，
∴y+＝5，
∴，
∴CE＝DE＝，
∴BD＝＝＝，
∴AD＝AB﹣BD＝4﹣＝，
∴AD的長為或．


15．（2020?河池）（1）如圖（1），已知CE與AB交于點(diǎn)E，AC＝BC，∠1＝∠2．求證：△ACE≌△BCE．
（2）如圖（2），已知CD的延長線與AB交于點(diǎn)E，AD＝BC，∠3＝∠4．探究AE與BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【解答】（1）證明：在△ACE和△BCE中，
∵，
∴△ACE≌△BCE（SAS）；
（2）AE＝BE．
理由如下：
在CE上截取CF＝DE，連接BF，

在△ADE和△BCF中，
∵，
∴△ADE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF，∠AED＝∠CFB，
∵∠AED+∠BEF＝180°，∠CFB+∠EFB＝180°，
∴∠BEF＝∠EFB，
∴BE＝BF，
∴AE＝BE．
一十．平行四邊形的判定（共1小題）
16．（2022?河池）如圖，點(diǎn)A，F(xiàn)，C，D在同一直線上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF．
（1）求證：∠ACB＝∠DFE；
（2）連接BF，CE，直接判斷四邊形BFEC的形狀．

【解答】（1）證明：∵AF＝CD，
∴AF+CF＝CD+CF，
即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠ACB＝∠DFE；
（2）解：如圖，四邊形BFEC是平行四邊形，理由如下：
由（1）可知，∠ACB＝∠DFE，
∴BC∥EF，
又∵BC＝EF，
∴四邊形BFEC是平行四邊形．

一十一．切線的判定與性質(zhì)（共1小題）
17．（2020?河池）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝6，OC⊥AB，OC＝5，BC與⊙O交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，EF∥BC，交OC的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）CG∥OD，交AB于點(diǎn)G，求CG的長．

【解答】證明：（1）連接OE，交BD于H，

∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，OE是半徑，
∴OE⊥BD，BH＝DH，
∵EF∥BC，
∴OE⊥EF，
又∵OE是半徑，
∴EF是⊙O的切線；
（2）∵AB是⊙O的直徑，AB＝6，OC⊥AB，
∴OB＝3，
∴BC＝＝＝，
∵S△OBC＝×OB×OC＝×BC×OH，
∴OH＝＝，
∵cos∠OBC＝，
∴＝，
∴BH＝，
∴BD＝2BH＝，
∵CG∥OD，
∴，
∴＝，
∴CG＝．
一十二．圓的綜合題（共1小題）
18．（2022?河池）如圖，AB是⊙O的直徑，E為⊙O上的一點(diǎn)，∠ABE的平分線交⊙O于點(diǎn)C，過點(diǎn)C的直線交BA的延長線于點(diǎn)P，交BE的延長線于點(diǎn)D．且∠PCA＝∠CBD．
（1）求證：PC為⊙O的切線；
（2）若PC＝2BO，PB＝12，求⊙O的半徑及BE的長．

【解答】（1）證明：連接OC，
∵BC平分∠ABE，
∴∠ABC＝∠CBD，
∵OC＝OB，
∴∠ABC＝∠OCB，
∵∠PCA＝∠CBD，
∴∠PCA＝∠OCB，
∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠PCA+∠ACO＝90°，
∴∠PCO＝90°，
∴OC⊥PC，
∵OC是半徑，
∴PC是⊙O的切線；

（2）解：連接AE，設(shè)OB＝OC＝r，
∵PC＝2OB，
∴PC＝2r，
∴OP＝＝＝3r，
∵PB＝12，
∴4r＝12，
∴r＝3，
由（1）可知，∠OCB＝∠CBD，
∴OC∥BD，
∴＝，∠D＝∠PCO＝90°，
∴＝，
∴BD＝4，
∵AB是直徑，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AEB＝∠D＝90°，
∴AE∥PD，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝2．

一十三．作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖（共1小題）
19．（2021?河池）如圖，∠CAD是△ABC的外角．
（1）尺規(guī)作圖：作∠CAD的平分線AE（不寫作法，保留作圖痕跡，用黑色墨水筆將痕跡加黑）；
（2）若AE∥BC，求證：AB＝AC．

【解答】（1）解：如圖，射線AE即為所求．


（2）證明：∵AE平分∠CAD，
∴∠EAD＝∠EAC，
∵AE∥BC，
∴∠B＝∠EAD，∠C＝∠EAC，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
一十四．作圖-位似變換（共1小題）
20．（2022?河池）如圖、在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（4，1），B（2，3），C（1，2）．
（1）畫出與△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；
（2）以原點(diǎn)O為位似中心，在第三象限內(nèi)畫一個(gè)△A2B2C2，使它與△ABC的相似比為2：1，并寫出點(diǎn)B2的坐標(biāo)．

【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1為所作；
（2）如圖，△A2B2C2為所作，點(diǎn)B2的坐標(biāo)為（﹣4，﹣6）；

一十五．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共2小題）
21．（2022?河池）如圖，小敏在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，利用所學(xué)知識對他所在小區(qū)居民樓AB的高度進(jìn)行測量，從小敏家陽臺C測得點(diǎn)A的仰角為33°，測得點(diǎn)B的俯角為45°，已知觀測點(diǎn)到地面的高度CD＝36m，求居民樓AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）．

【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E，
由題意得，CD＝36m，∠BCE＝45°，∠ACE＝33°，
在Rt△BCE中，∠BCE＝45°，
∴BE＝CE＝CD＝36m，
在Rt△ACE中，∠ACE＝33°，CE＝36m，
∴AE＝CE?tan33°≈23.4（m），
∴AB＝AE+BE＝36+23.4＝59.4≈59（m），
答：居民樓AB的高度約為59m．

22．（2021?河池）如圖，小明同學(xué)在民族廣場A處放風(fēng)箏，風(fēng)箏位于B處，風(fēng)箏線AB長為100m，從A處看風(fēng)箏的仰角為30°，小明的父母從C處看風(fēng)箏的仰角為50°．
（1）風(fēng)箏離地面多少m？
（2）A、C相距多少m？
（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：sin30°＝0.5，cos30°≈0.8660，tan30°≈0.5774，sin50°≈0.7760，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1918）

【解答】解：（1）過B作BD⊥AC于D，如圖所示：
則∠ADB＝∠CDB＝90°，
∵∠BAD＝30°，
∴BD＝AB＝50（m），
即風(fēng)箏離地面50m；
（2）由（1）得：BD＝50m，
在Rt△BCD中，∠BCD＝50°，
∵tan∠BCD＝＝tan50°≈1.1918，
∴CD≈＝≈41.95（m），
在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，
∵tan∠BAD＝＝tan30°≈0.5774，
∴AD≈≈86.60（m），
∴AC＝AD+CD≈41.95+86.60≈128.6（m），
即A、C相距約128.6m．

一十六．扇形統(tǒng)計(jì)圖（共1小題）
23．（2020?河池）某校舉行了主題為“防溺水，保安全”的知識競賽活動(dòng)．賽后隨機(jī)抽取了50名參賽學(xué)生的成績進(jìn)行相關(guān)統(tǒng)計(jì)，整理得尚未完整的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖．現(xiàn)累計(jì)了40名參賽學(xué)生的成績，余下10名參賽學(xué)生的成績尚未累計(jì)，這10名學(xué)生成績?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?5，63，76，87，69，78，82，75，63，71．
頻數(shù)分布表
組別
分?jǐn)?shù)段
劃記
頻數(shù)
A
60＜x≤70
正　　
　8　
B
70＜x≤80
正正　　
　15　
C
80＜x≤90
正正正正　　
　22　
D
90＜x≤100
正　　
　5　
（1）在頻數(shù)分布表中補(bǔ)全各組劃記和頻數(shù)；
（2）求扇形統(tǒng)計(jì)圖中B組所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)；
（3）該校有2000名學(xué)生參加此次知識競賽，估計(jì)成績在80＜x≤100的學(xué)生有多少人？

【解答】解：（1）用“劃記”統(tǒng)計(jì)10名學(xué)生的成績，并統(tǒng)計(jì)頻數(shù)填入表格；

故答案為：8，15，22，5；
（2）360°×＝108°，
答：扇形統(tǒng)計(jì)圖中B組所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為108°；
（3）2000×＝1080（人），
答：該校2000名學(xué)生中，成績在80＜x≤100的有1080人．
一十七．條形統(tǒng)計(jì)圖（共1小題）
24．（2021?河池）為了解本校九年級學(xué)生的體質(zhì)健康情況，李老師隨機(jī)抽取35名學(xué)生進(jìn)行了一次體質(zhì)健康測試，根據(jù)測試成績制成統(tǒng)計(jì)圖表．
組別
分?jǐn)?shù)段
人數(shù)
A
x＜60
2
B
60≤x＜75
5
C
75≤x＜90
a
D
x≥90
12
請根據(jù)上述信息解答下列問題：
（1）本次調(diào)查屬于 　抽樣　調(diào)查，樣本容量是 　35?。?br /> （2）表中的a＝　16　，樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)位于 　C　組；
（3）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（4）該校九年級學(xué)生有980人，估計(jì)該校九年級學(xué)生體質(zhì)健康測試成績在D組的有多少人？

【解答】解：（1）本次調(diào)查屬于抽樣調(diào)查，樣本容量是 35，
故答案為：抽樣，35；
（2）a＝35﹣2﹣5﹣12＝16，
根據(jù)中位數(shù)的定義得，樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)位于C組，
故答案為：16，C；
（3）由（2）得，C組的人數(shù)為16，
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：

（4）980×＝336（人），
答：估計(jì)該校九年級學(xué)生體質(zhì)健康測試成績在D組的有336人．
一十八．列表法與樹狀圖法（共1小題）
25．（2022?河池）為喜迎中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會的召開，紅星中學(xué)舉行黨史知識競賽．團(tuán)委隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的成績作為樣本，把成績按達(dá)標(biāo)，良好，優(yōu)秀，優(yōu)異四個(gè)等級分別進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并將所得數(shù)據(jù)繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖．

請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：
（1）本次調(diào)查的樣本容量是 　50　，圓心角β＝　144　度；
（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）已知紅星中學(xué)共有1200名學(xué)生，估計(jì)此次競賽該校獲優(yōu)異等級的學(xué)生人數(shù)為多少？
（4）若在這次競賽中有A，B，C，D四人成績均為滿分，現(xiàn)從中抽取2人代表學(xué)校參加縣級比賽．請用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好抽到A，C兩人同時(shí)參賽的概率．
【解答】解：（1）本次調(diào)查的樣本容量是：10÷20%＝50，
則圓心角β＝360°×＝144°，
故答案為：50，144；
（2）成績優(yōu)秀的人數(shù)為：50﹣2﹣10﹣20＝18（人），
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：

（3）1200×＝480（人），
答：估計(jì)此次競賽該校獲優(yōu)異等級的學(xué)生人數(shù)為480人；
（4）畫樹狀圖如下：

共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到A，C兩人同時(shí)參賽的結(jié)果有2種，
∴恰好抽到A，C兩人同時(shí)參賽的概率為＝．

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