絕密★啟用前2021-2022學(xué)年貴州省畢節(jié)市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）  第I卷（選擇題） 一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）命題“，”的否定是(    )A. ， B. ，
C. ， D. ，已知集合，，則(    )A.  B.  C.  D. 變量，之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)：已知變量與呈線性相關(guān)關(guān)系，且回歸方程為，則的值是(    )A.  B.  C.  D. 在空間中，“直線與沒有公共點(diǎn)”是“直線與異面”的(    )A. 必要不充分條件 B. 充要條件
C. 充分不必要條件 D. 既不充分也不必要條件設(shè)為橢圓：上一點(diǎn)，、分別為左、右焦點(diǎn)，且，則(    )A.  B.  C.  D. 將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，則(    )A.  B.
C.  D. 劉老師在課堂中與學(xué)生探究某個圓時，有四位同學(xué)分別給出了一個結(jié)論．
甲：該圓經(jīng)過點(diǎn)；
乙：該圓的半徑為；
丙：該圓的圓心為；
?。涸搱A經(jīng)過點(diǎn)．
如果只有一位同學(xué)的結(jié)論是錯誤的，那么這位同學(xué)是(    )A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁某汽車制造廠分別從，兩類輪胎中各隨機(jī)抽取了個進(jìn)行測試，下面列出了每一個輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程單位：．
類輪胎：，，，，，．
類輪胎：，，，，，．
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，下列說法正確的是(    )A. 類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)小于類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)
B. 類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差等于類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差
C. 類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)大于類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)
D. 類輪胎的性能更加穩(wěn)定若正整數(shù)除以正整數(shù)后的余數(shù)為，則記為，如如圖所示的程序框圖的算法源于我國古代聞名中外的“中國剩余定理”執(zhí)行該程序框圖，則輸出的等于(    )A.
B.
C.
D.
 定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則滿足的的取值范圍是(    )A. ， B.
C. ， D. 已知，，，，則點(diǎn)到平面的距離為(    )A.  B.  C.  D. 雙曲線型自然通風(fēng)塔的外形是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，如圖所示，它的最小半徑為米，上口半徑為米，下口半徑為米，高為米，則該雙曲線的離心率為(    )
A.  B.  C.  D. 第II卷（非選擇題） 二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為______．在區(qū)間上隨機(jī)取個數(shù)，則取到的數(shù)小于的概率為______．若是直線外一點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，，，則______．如圖，在四棱錐中，是邊長為的等邊三角形，四邊形是等腰梯形，，，，若四棱錐的體積為，則四棱錐外接球的表面積是______． 三、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）本小題分
設(shè)：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>；：不等式對任意的恒成立．
如果是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
如果“”為真命題，“”為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．本小題分
已知銳角的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．
求；
若，求外接圓面積的最小值．本小題分
某中學(xué)共有名學(xué)生，其中高一年級有名學(xué)生．為了解學(xué)生的睡眠情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法，在三個年級中抽取了名學(xué)生，依據(jù)每名學(xué)生的睡眠時間單位：小時，繪制出了如圖所示的頻率分布直方圖．
求樣本中高一年級學(xué)生的人數(shù)及圖中的值；
估計樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)保留兩位小數(shù)；
估計全校睡眠時間不低于個小時的學(xué)生人數(shù)．
本小題分
在數(shù)列中，，且．
證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．本小題分
如圖，在正三棱柱中，，，分別為，，的中點(diǎn)．
證明：；
求平面與平面所成銳二面角的余弦值．
本小題分
已知，分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，且，的面積為．
求橢圓的短軸長；
過原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，若為等邊三角形，求的取值范圍．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：命題為特稱命題，則命題的否定為，，
故選：．
根據(jù)含有量詞的命題的否定即可得到結(jié)論．
本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎(chǔ)．
 2.【答案】 【解析】解：，且，
．
故選：．
可求出集合，，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．
本題考查了集合的描述法和區(qū)間的定義，對數(shù)函數(shù)和反比例函數(shù)的定義域，交集及其運(yùn)算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
 3.【答案】 【解析】解：由題意可得，，，
變量與呈線性相關(guān)關(guān)系，且回歸方程為，
，解得．
故選：．
根據(jù)已知條件，求出，的平均數(shù)，再結(jié)合線性回歸方程的性質(zhì)，即可求解．
本題主要考查線性回歸方程的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
 4.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意，在空間中，直線與沒有公共點(diǎn)，直線和平行或異面，
反之，若直線與異面，則直線與沒有公共點(diǎn)，
故“直線與沒有公共點(diǎn)”是“直線與異面”的必要不充分條件，
故選：．
根據(jù)題意，由空間之間的位置關(guān)系分析“直線與沒有公共點(diǎn)”和“直線與異面”關(guān)系，結(jié)合充分必要的定義分析可得答案．
本題考查異面直線的定義，涉及充分必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．
 5.【答案】 【解析】解：由題意橢圓：，所以，
可得，
又因?yàn)?/span>，
所以，
故選：．
根據(jù)橢圓的定義結(jié)合條件，即可計算結(jié)果．
本題考查了橢圓的定義，屬于基礎(chǔ)題．
 6.【答案】 【解析】解：將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，
得到函數(shù)的圖象，
故選：．
由題意，利用誘導(dǎo)公式、兩角和差的三角公式，函數(shù)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．
本題主要考查誘導(dǎo)公式、兩角和差的三角公式的應(yīng)用，函數(shù)的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．
 7.【答案】 【解析】解：由題意若乙：該圓的半徑為，丙：該圓的圓心為正確，
可得圓的方程為，
甲：該圓經(jīng)過點(diǎn)正好成立，
?。涸搱A經(jīng)過點(diǎn)不正確，
故選：．
由假設(shè)乙丙正確，求出圓的方程，再驗(yàn)證甲丁即可．
本題圓的方程和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
 8.【答案】 【解析】解：對：類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)為，類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)為，選項(xiàng)A錯誤；
對：類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差為，類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差為，選項(xiàng)B錯誤．
對：類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)為，類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)為，選項(xiàng)C錯誤．
對：類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的方差為；
類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的方差為，故A類輪胎的性能更加穩(wěn)定，選項(xiàng)D正確．
故選：．
根據(jù)眾數(shù)、極差、平均數(shù)和方差的定義以及計算公式即可求解．
本題主要考查數(shù)據(jù)的均值、方差，屬于基礎(chǔ)題．
 9.【答案】 【解析】解：由題意可得，第一步：，，余數(shù)不為，
第二步：，，余數(shù)不為，
第三步：，，余數(shù)為，執(zhí)行第二個判斷框，余數(shù)不為，
第四部：，，執(zhí)行第一個判斷框，余數(shù)為，執(zhí)行第二個判斷框，余數(shù)為，輸出的值為．
故選：．
根據(jù)“中國剩余定理”，進(jìn)而依次執(zhí)行循環(huán)體，即可求解．
本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題．
 10.【答案】 【解析】解：定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，
可得在上單調(diào)遞減，
又，
則當(dāng)時，；當(dāng)或時，，
等價為或，
即為或，
解得或，
故選：．
由偶函數(shù)的定義和性質(zhì)，求得和的解集，對討論，解不等式可得所求解集．
本題考查函數(shù)的奇偶性的定義和性質(zhì)，考查分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算能力，屬于中檔題．
 11.【答案】 【解析】解：在空間直角坐標(biāo)系中，
，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量，
則，取，可得，
到平面的距離為．
故選：．
求出平面的法向量，再由向量法求解到平面的距離．
本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查空間向量的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
 12.【答案】 【解析】解：以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則，
設(shè)雙曲線的方程為，則，
可設(shè)，，
又由，在雙曲線上，所以，解得，，
即，所以該雙曲線的離心率為．
故選：．
以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線的方程為，設(shè)，，代入雙曲線的方程，求得，得到，進(jìn)而求得雙曲線的離心率．
本題主要考查雙曲線離心率的求解，雙曲線的實(shí)際應(yīng)用等知識，屬于中等題．
 13.【答案】 【解析】解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．
故答案為：．
直接利用拋物線方程求解焦點(diǎn)坐標(biāo)即可．
本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
 14.【答案】 【解析】解：設(shè)“區(qū)間上隨機(jī)取個數(shù)”，對應(yīng)集合為，區(qū)間長度為，
“取到的數(shù)小于”，對應(yīng)集合為，區(qū)間長度為，
故．
故答案為：．
根據(jù)已知條件，結(jié)合幾何概型的概率公式，即可求解．
本題主要考查幾何概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．
 15.【答案】 【解析】解：由已知，可得，又，
則，
所以，所以．
故答案為：．
由平面向量基本定理，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算求解即可．
本題考查了平面向量基本定理，重點(diǎn)考查了平面向量的線性運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．
 16.【答案】 【解析】解：在四棱錐中，四邊形是等腰梯形，，，
所以：，
由于，
所以等腰梯形的高為，
由于四棱錐的體積為，
所以，解得，
由于是邊長為的等邊三角形，三角形的高為，故平面平面；
設(shè)等腰梯形的內(nèi)點(diǎn)到、、、的距離相等；
即設(shè)點(diǎn)到的距離為，則到的距離為，
利用勾股定理：，解得，
所以點(diǎn)所在的位置為的中點(diǎn)，
如圖所示：

由于等邊三角形的中心距離底面的距離為，
所以外接球的半徑為；
所以．
故答案為：．
首先利用等腰梯形的底角和腰長的關(guān)系求出等腰梯形的底邊長，進(jìn)一步利用棱錐的體積公式求出三角形底面，進(jìn)一步確定底面的中心點(diǎn)的位置，最后利用勾股定理求出外接球的半徑，進(jìn)一步求出球的表面積．
本題考查的知識要點(diǎn)：棱錐和球的關(guān)系，球的表面積公式，棱錐的體積公式，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．
 17.【答案】解：若為真，即對恒成立，
則，解得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為．
若為真，即對任意的恒成立，
，，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，
，
“”為真命題，“”為假命題，，一真一假，
當(dāng)真假時，，，
當(dāng)假真時，，，
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為． 【解析】若為真，即對恒成立，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解．
先利用基本不等式求出若為真命題時的取值范圍，再由題意可知，一真一假，分兩種情況分別求出的取值范圍，最后取并集即可．
本題主要考查了復(fù)合命題的真假判斷，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)恒成立問題，屬于基礎(chǔ)題．
 18.【答案】解：，
，
解得或舍去．
又為銳角三角形，
．
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
．
外接圓的半徑，
故外接圓面積的最小值為． 【解析】由，利用倍角公式可得，結(jié)合為銳角三角形，即可得出．
利用余弦定理結(jié)合基本不等式即可得出的取值范圍，利用正弦定理即可得出外接圓的半徑，進(jìn)而得出外接圓面積的最小值．
本題考查了倍角公式、正弦定理與余弦定理、基本不等式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
 19.【答案】解：樣本中高一年級學(xué)生的人數(shù)為，
由，
解得；
設(shè)中位數(shù)為，，
則，
解得，
故樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為；
由圖可知，樣本數(shù)據(jù)落在的頻率為，
故全校睡眠時間不低于個小時的學(xué)生人數(shù)約為． 【解析】本題考查了分層抽樣及頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于中檔題．
由分層抽樣的定義求樣本中高一年級學(xué)生的人數(shù)，由頻率分布直方圖的面積和為得到的值；
設(shè)中位數(shù)為，從而可得，解之即可；
先求樣本數(shù)據(jù)落在的頻率，即可估計全校睡眠時間不低于個小時的學(xué)生人數(shù)．
 20.【答案】證明：依題意，由，
可得，
又，，
數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
，
，
，
數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．
解：由知，，
則，

． 【解析】根據(jù)題意由，可得，即可得到數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，進(jìn)一步推導(dǎo)可得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，從而證明結(jié)論成立；
先根據(jù)第題的結(jié)果計算出的表達(dá)式，進(jìn)一步計算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后運(yùn)用裂項(xiàng)相消法計算出前項(xiàng)和．
本題主要考查等比數(shù)列的判別，以及運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求前項(xiàng)和問題．考查了整體思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，對數(shù)的運(yùn)算，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題．
 21.【答案】證明：取的中點(diǎn)，連接，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
在正三棱柱中，，，分別為，，的中點(diǎn)，
則，，，，
，，
，
．
解：由可知，，，，
，，，，
設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，
，令得，，
又，令得，，
平面與平面所成銳二面角的余弦值為，． 【解析】取的中點(diǎn)，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件求出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出，的坐標(biāo)，由即可證得．
由點(diǎn)的坐標(biāo)求出，，，的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面的法向量和平面的法向量，再利用二面角公式即可求出結(jié)果．
本題主要考查了向量法證明線線垂直，以及求二面角的余弦值，解題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，同時考查了學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．
 22.【答案】解：因?yàn)?/span>，所以為直角三角形，
所以在中，，
又因?yàn)?/span>，
所以，
所以，
所以，或舍去，
所以橢圓的短軸長為．
若為等邊三角形，所以，即，
不存在時，直線方程為，且，
此時為正三角形，為長軸頂點(diǎn)，且，即，
當(dāng)時，直線方程為，且，
若為正三角形時，為短軸頂點(diǎn)，
不是正三角形，故舍去，
當(dāng)存在且不為時，設(shè)其方程為，
則直線方程為，
聯(lián)立，得，所以，
所以，
聯(lián)立，得，所以，
所以，
又因?yàn)?/span>，則，
所以，
因?yàn)?/span>，則，，
所以，所以，
所以或舍去，
所以的取值范圍為． 【解析】根據(jù)題意可得在中，，又，則，進(jìn)而可得，解得，即可得出答案．
若為等邊三角形，則，分三種情況：不存在時，當(dāng)時，當(dāng)存在且不為時，即可得出答案．
本題考查直線與橢圓的相交問題，考查了方程思想和轉(zhuǎn)化思想，解題中需要一定的計算能力，屬于中檔題．
 

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