2021-2022學(xué)年貴州省黔東南州高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（A卷）副標(biāo)題題號(hào)一二三四總分得分       一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）已知復(fù)數(shù)，則(    )A.  B.  C.  D. “幸福感指數(shù)”是指人們主觀地評(píng)價(jià)自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標(biāo)，常用區(qū)間內(nèi)的一個(gè)數(shù)來表示，該數(shù)越接近表示滿意程度越高．現(xiàn)隨機(jī)抽取位某小區(qū)居民，他們的幸福感指數(shù)分別為，，，，，，，，，，則這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是(    )A.  B.  C.  D. 的值等于(    )A.  B.  C.  D. 已知在中，，，，則(    )A.  B.  C.  D. 已知圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，圓錐的母線長為，則該圓錐的體積為(    )A.  B.  C.  D. 如圖，在中，已知，則(    )A.
B.
C.
D. 如圖，某景區(qū)欲在兩山頂，之間建纜車，需要測量兩山頂間的距離．已知山高，，在水平面上處測得山頂的仰角為、、在同一水平面上，山頂的仰角為，，則兩山頂，之間的距離為(    )
 A.  B.  C.  D. 已知正四棱柱中，，，正四棱柱的八個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為(    )A.  B.  C.  D.  二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）下列命題中錯(cuò)誤的是(    )A. 若復(fù)數(shù)滿足，則
B. 若復(fù)數(shù)，滿足，則
C. 若復(fù)數(shù)，則為純虛數(shù)的充要條件是
D. 若復(fù)數(shù)，則下列各式中，值等于的是(    )A.  B.
C.  D. 已知兩個(gè)不同的平面、和兩條不重合的直線、，有下列命題中正確的是(    )A. 若，，則
B. 若，，則
C. 若，，則
D. 若，，，則已知的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為，則下列說法正確的是(    )A. ，
B. 將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱
C. 函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間為
D. 為了得到的圖象，可以將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位 三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）某學(xué)校有高中學(xué)生人，其中高一年級(jí)、高二年級(jí)、高三年級(jí)的人數(shù)分別為，，，為了調(diào)查學(xué)生參加“社區(qū)志愿服務(wù)”的意向，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)樣本量為的樣本，那么應(yīng)抽取高二年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為______已知，則______．在正四棱柱中，底面邊長為，高為，則異面直線與所成角的余弦值是______．已知平面向量滿足，，且，若向量，的夾角為，則的最大值是______． 四、解答題（本大題共6小題，共70.0分）已知向量，，，且，．
求與；
若，，求向量，的夾角的大?。?/span>如圖，四棱錐的底面是矩形，平面相，．
求證：；
求三棱錐的體積；
求平面和平面夾角的余弦值的大?。?/span>
在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，有三個(gè)條件；；，請(qǐng)?jiān)谶@三個(gè)條件中任選一個(gè)，并加以解答．
求；
若，且，求的面積．某企業(yè)招聘，一共有名應(yīng)聘者參加筆試，他們的筆試成績都在內(nèi)，按照，，，分組，得到如圖頻率分布直方圖：
Ⅰ求圖中的值；
Ⅱ求全體應(yīng)聘者筆試成績的平均數(shù)；每組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點(diǎn)值為代表
Ⅲ該企業(yè)根據(jù)筆試成績從高到低進(jìn)行錄取，若計(jì)劃錄取人，估計(jì)應(yīng)該把錄取的分?jǐn)?shù)線定為多少．
如圖，在正三棱柱中，平面，，是的中點(diǎn)．
Ⅰ求證：平面；
Ⅱ求證：平面平面；
Ⅲ求直線與平面所成角的正弦值．
已知函數(shù)．
求函數(shù)的最小正周期；
現(xiàn)將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變；再向右平移個(gè)單位長度得到的圖象，若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：．
故選：．
根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解．
本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
 2.【答案】 【解析】解：這組數(shù)據(jù)從小到大排列如下，
，，，，，，，，，；
而，
故第百分位數(shù)為從小到大排列的第項(xiàng)數(shù)據(jù)；
故選：．
根據(jù)百分位數(shù)的定義先排序，再確定數(shù)即可．
本題考查了百分位數(shù)的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 3.【答案】 【解析】解：．
故選：．
利用誘導(dǎo)公式即可化簡求解．
本題考查了誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．
 4.【答案】 【解析】解：由余弦定理可得，
所以．
故選：．
由已知結(jié)合余弦定理即可直接求解．
本題主要考查了余弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 5.【答案】 【解析】解：設(shè)圓錐的高為，底面圓的半徑為，
圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，
等腰三角形的底角為，又母線長為，
，，，
圓錐的體積．
故選：．
先根據(jù)圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，圓錐的母線長為求出圓錐的高與底面圓的半徑，最后代入圓錐的體積公式即可求解．
本題考查圓錐的體積，屬基礎(chǔ)題．
 6.【答案】 【解析】解：，
，
故選：．
利用平面向量的線性運(yùn)算，平面向量基本定理求解即可．
本題考查平面向量的線性運(yùn)算，平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題．
 7.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>，，所以；
因?yàn)?/span>，，所以；
在，
所以．

故選：．
利用直角三角形的邊角關(guān)系，求得和的長，再利用余弦定理求得的長．
本題考查了三角形的邊角關(guān)系應(yīng)用問題，也考查了解三角形的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．
 8.【答案】 【解析】解：由四棱柱的對(duì)角線為球的直徑，可得，
，所以，
所以，球的表面積為，
故選：．
正四棱柱的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，則正四棱柱的對(duì)角線為球的直徑，代入球的表面積公式即可．
本題考查了正四棱柱的外接球表面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
 9.【答案】 【解析】解：當(dāng)時(shí)滿足，故A錯(cuò)誤，
當(dāng)，時(shí)滿足，但，故B錯(cuò)，
復(fù)數(shù)，則為純虛數(shù)的充要條件是且，故C錯(cuò)，
，，當(dāng)時(shí)，，，則成立，故D正確．
故選：．
根據(jù)已知條件，結(jié)合特殊值法，以及純虛數(shù)的定義，即可求解．
本題主要考查純虛數(shù)的定義，以及特殊值法，屬于基礎(chǔ)題．
 10.【答案】 【解析】解：對(duì)于，，A正確；
對(duì)于，，錯(cuò)；
對(duì)于，，錯(cuò)；
對(duì)于，，D正確．
故選：．
利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用逐項(xiàng)化簡即可求解．
本題考查了三角恒等變換在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．
 11.【答案】 【解析】解：對(duì)于：若，，則，故A正確；
對(duì)于：若，且、是兩個(gè)不同的平面，所以，故B正確；
對(duì)于：若，，則或與異面，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于：若，，則，又，所以，故D正確；
故選：．
根據(jù)空間中線面、面面的位置關(guān)系一一判斷即可．
本題主要考查空間中直線與平面的平行、垂直關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
 12.【答案】 【解析】解：因?yàn)橄噜弮蓷l對(duì)稱軸的距離為，故周期為，則，
圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，，
得，，
則當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)；
則，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，
得到，該函數(shù)是偶函數(shù)，B正確；
畫圖可知函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間為，C正確；
，為了得到的圖象，應(yīng)該將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，錯(cuò)．
故選：．
根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性求出函數(shù)的解析式，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．
本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．
 13.【答案】 【解析】解：采用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)樣本量為的樣本，
那么應(yīng)抽取高二年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為．
故答案為：．
根據(jù)已知條件，結(jié)合分層抽樣的定義，即可求解．
本題主要考查分層抽樣的定義，屬于基礎(chǔ)題．
 14.【答案】 【解析】解：由，
則．
故答案為：．
利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得的值．
本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
 15.【答案】 【解析】解：如圖，

連接，
，
直線與所成角與直線與成角相同，即，
在中，，，，
．
故答案為：．
先找到兩個(gè)異面直線，平移至，直線與成角即為直線與成角，構(gòu)造三角形求解即可．
本題考查異面直線成角算法，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力及抽象能力，屬于基礎(chǔ)題．
 16.【答案】 【解析】解：設(shè)，，，
由，，且，
則，
即，
因?yàn)橄蛄?/span>，的夾角為，
即，
所以點(diǎn)在優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，
故的最大值是的外接圓的直徑，
由余弦定理可得，
由正弦定理可得．
故的最大值是，
故答案為：．
由題意可得，又因?yàn)橄蛄?/span>，的夾角為，即，所以點(diǎn)在優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，故的最大值是的外接圓的直徑，然后結(jié)合正弦定理求解即可．
本題考查了平面向量的夾角，重點(diǎn)考查了平面向量的幾何意義，屬基礎(chǔ)題．
 17.【答案】解：由，得，解得，
由，得，解得，
，；
因?yàn)?/span>，，
，，，
，且，
向量，的夾角為． 【解析】本題考查向量平行時(shí)的坐標(biāo)關(guān)系，向量垂直的充要條件，向量加法和數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算，向量夾角的余弦公式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)向量平行和向量垂直時(shí)的坐標(biāo)關(guān)系即可求出，，從而得出，；
進(jìn)行向量加法和數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算即可得出，，然后即可求出、和的值，從而可求出的值，進(jìn)而得出的夾角．
 18.【答案】解：證明：因?yàn)?/span>平面，平面，所以，
因?yàn)?/span>平面，四邊形是矩形，所以，是三棱錐的高，
，
因?yàn)?/span>底面，平面，
所以，又，，
所以平面，因?yàn)?/span>平面，
所以，又因?yàn)?/span>，
所以是平面和平面的夾角，
由于，，所以，
所以，
所以平面與平面的夾角余弦值為， 【解析】利用線面垂直可得線線垂直，
用轉(zhuǎn)化法可求，
利用二面角的平面角可以得到是平面和平面的夾角．
本題考查線線垂直、體積問題、面面夾角相關(guān)知識(shí)，屬于較難題．．
 19.【答案】考查要點(diǎn)正弦定理、余弦定理、解三角形．
解析：選擇，由正弦定理得，，
化簡得，
又因?yàn)?/span>，可得，
所以，即，
又因?yàn)?/span>，所以，得；
選擇由正弦定理得，，整理得，
又由余弦定理得，
又因?yàn)?/span>，所以；
選擇由正弦定理得，，
所以，
因?yàn)?/span>，所以，
又因?yàn)?/span>，所以，
因?yàn)?/span>，所以，
因?yàn)?/span>，得得，
又，所以，，
所以的面積． 【解析】若選，由正弦定理及三角形中，整理可得；若選，整理可得：，由正弦定理及余弦定理可得；若選，由正弦定理可得，即，在三角形中，，且，可得；
由余弦定理可得，可求，，進(jìn)而可求面積．
本題考查三角形的正余弦定理的性質(zhì)的應(yīng)用及三角形的面積的求法，屬于中檔題．
 20.【答案】解：Ⅰ由題意，
解得．
Ⅱ這些應(yīng)聘者筆試成績的平均數(shù)為：
．
Ⅲ根據(jù)題意，錄取的比例為，
設(shè)分?jǐn)?shù)線定為，根據(jù)頻率分布直方圖可知，
且，
解得．
故估計(jì)應(yīng)該把錄取的分?jǐn)?shù)線定為分． 【解析】Ⅰ由頻率分布直方圖列方程能求出．
Ⅱ由頻率分布直方圖能求出這些應(yīng)聘者筆試成績的平均數(shù)．
Ⅲ根據(jù)題意，錄取的比例為，設(shè)分?jǐn)?shù)線定為，根據(jù)頻率分布直方圖可知，列出方程能估計(jì)錄取的分?jǐn)?shù)線．
本題考查與頻率分布直方圖有關(guān)的計(jì)算，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
 21.【答案】Ⅰ證明：連接交于點(diǎn)，連接
在正三棱柱中，，側(cè)面是正方形，
則點(diǎn)是的中點(diǎn)，
又點(diǎn)是的中點(diǎn)，故是的中位線，，
又平面，平面，平面；
Ⅱ證明：平面，平面，可得，
又，為的中點(diǎn)，，
而，平面，
平面，平面平面；
Ⅲ解：由Ⅱ知，平面平面，
又平面，
在平面中，過作，可得平面，連接，
為直線與平面所成角，
設(shè)，在中，求得，
，即直線與平面所成角的正弦值為． 【解析】Ⅰ連接交于點(diǎn)，連接，根據(jù)是的中位線可得，再由線面平行的判定可得平面；
Ⅱ證明平面，即可證明平面平面；
Ⅲ由Ⅱ知，平面平面，在平面中，過作，可得平面，連接，得為直線與平面所成角，
設(shè)，求解三角形得答案．
本題考查證明線面平行、面面垂直的方法，考查空間角的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
 22.【答案】解：由，可得，
化簡得，
所以最小正周期為；
將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變得，
再向右平移個(gè)單位長度得到，
要使恒成立，只需，
只需的最小值大于等于即可，
，，
，
所以的最小值為，
由，得
數(shù)的取值范圍是． 【解析】利用輔助角公式進(jìn)行化簡，然后利用周期公式進(jìn)行計(jì)算即可，
根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換關(guān)系求出的解析式，然后求出角的范圍，利用參法分離法轉(zhuǎn)化求最值即可．
本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，利用輔助角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解，以及利用參法分離法轉(zhuǎn)化為求最值問題是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．
 

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