絕密★啟用前2021-2022學(xué)年天津四十二中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷  第I卷（選擇題） 一、單選題（本大題共9小題，共36.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）已知全集，集合，，則(    )A.  B.  C.  D. 命題“，”的否定是(    )A. “，”
B. “，”
C. “，”
D. “，”已知，且，則“”是“”的(    )A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分又不必要條件函數(shù)的部分圖象大致是(    )A.  B.
C.  D. 定義在上的奇函數(shù)在上是增函數(shù)，若，，，則，，的大小關(guān)系為(    )A.  B.  C.  D. 已知，則的最小值是(    )A.  B.  C.  D. 函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率的最小值是(    )A.  B.  C.  D. 已知函數(shù)滿足對(duì)任意，恒有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 設(shè)函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(    )A.  B.
C.  D. 第II卷（非選擇題） 二、填空題（本大題共6小題，共30.0分）集合，，則______．已知，，那么的取值范圍是______．若函數(shù)，則______．已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則______．若，，則的最小值為______．已知，，若存在，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是            ． 三、解答題（本大題共3小題，共34.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）本小題分
計(jì)算下列各題：
Ⅰ已知，求的值；
Ⅱ求的值．本小題分
已知函數(shù)．
Ⅰ若不等式的解集為，求，的值；
Ⅱ若．
，，求的最小值；
若不等式在上的解集為空集，求實(shí)數(shù)的取值范圍．本小題分
已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
Ⅰ當(dāng)時(shí)，求的極值；
Ⅱ設(shè)函數(shù)，若在其定義域內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值；
Ⅲ若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)相異的實(shí)根，，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】本題考查了列舉法的定義，補(bǔ)集和并集的運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
進(jìn)行補(bǔ)集和并集的運(yùn)算即可．【解答】解：，，，
，，
．
故選：．  2.【答案】 【解析】解：命題為全稱命題，則命題的否定為，，
故選：．
根據(jù)含有量詞的命題的否定即可得到結(jié)論．
本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎(chǔ)．
 3.【答案】 【解析】【分析】本題利用不等式的性質(zhì)考查了充分條件、必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．
由，，再由．【解答】解：，，
，充分性滿足；
，，
，必要性滿足，
“”是“”的充要條件，
故選：．  4.【答案】 【解析】解：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，故排除選項(xiàng)，
，故函數(shù)為奇函數(shù)，
，，，故排除，選項(xiàng)．
故選：．
先求出函數(shù)的定義域，可排除選項(xiàng)，，，，故排除，選項(xiàng)，即可求解．
本題主要考查函數(shù)的圖象，以及函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題．
 5.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>為上的奇函數(shù)，
所以，
又奇函數(shù)在上是增函數(shù)，
則在上也為增函數(shù)，
因?yàn)?/span>，
則，
所以．
故選：．
利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及奇函數(shù)的定義，將轉(zhuǎn)化為，然后再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可．
本題考查了函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
 6.【答案】 【解析】解：由題意得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)．
故選：．
由題意得，代入到所求式子后結(jié)合基本不等式即可求解．
本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 7.【答案】 【解析】【分析】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究在曲線上某點(diǎn)處的切線斜率，考查了利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題．
求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在時(shí)的導(dǎo)數(shù)值，利用基本不等式求最值得答案．【解答】解：由，得，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)上式取“”，切線斜率的最小值是．
故選：．  8.【答案】 【解析】解：函數(shù)的圖象開口方向向下，對(duì)稱軸為，
當(dāng)，即時(shí)，，解得，
當(dāng)，即時(shí)，，解得，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故選：．
由已知可得，對(duì)分類討論，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出的最小值，即可求解的取值范圍．
本題主要考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象的應(yīng)用，考查分類討論思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
 9.【答案】 【解析】解：要使得有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
則需要方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
即函數(shù)與有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，
，
令，得或，
令，得或，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，
的單調(diào)遞減區(qū)間為，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
又，
作出函數(shù)的圖像，如下：

由圖可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為，
故選：．
要使得有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則函數(shù)與有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，作出函數(shù)圖像，即可得出答案．
本題考查函數(shù)與方程之間的關(guān)系，解題中注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．
 10.【答案】 【解析】解：集合，
，
．
故答案為：．
求出集合，，再由交集定義求出．
本題考查了交集及其運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
 11.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
則．
直接利用不等式的性質(zhì)求出的范圍和的范圍，采用不等式的可加性得答案．
本題考查了基本不等式的性質(zhì)，也可以利用線性規(guī)劃求解，是基礎(chǔ)題．
 12.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>，
所以，
則．
故答案為：．
先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后把代入可求．
本題主要考查了函數(shù)的求導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 13.【答案】 【解析】解：由，得，
所以函數(shù)的周期為．
所以，
因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
所以．
故答案為：．
由，得到函數(shù)的周期，然后利用周期性和奇偶性的應(yīng)用，求即可．
本題主要考查函數(shù)周期性的判斷以及函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，要求熟練掌握函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．
 14.【答案】 【解析】解：當(dāng)，時(shí)，


，
當(dāng)且僅當(dāng)，即且時(shí)取“”，
所以的最小值為．
故答案為：．
兩次利用基本不等式，即可求出的最小值．
本題考查了利用基本不等式求最值的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．
 15.【答案】 【解析】【分析】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性最值、二次函數(shù)的單調(diào)性、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于較難題．
存在，，使得成立，等價(jià)于：，，使得成立．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的值域；利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得值域，進(jìn)而得出結(jié)論．【解答】解：存在，，使得成立，
等價(jià)于：，，使得成立，
，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，
時(shí)，函數(shù)取得極小值即最小值，
．
，
可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
．
．
因此實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故答案為：．  16.【答案】解：Ⅰ，，，
．
Ⅱ原式． 【解析】Ⅰ先把指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解．
Ⅱ利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解．
本題主要考查了指數(shù)式化對(duì)數(shù)式，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
 17.【答案】解：Ⅰ函數(shù)，
不等式的解集為，
的兩根為，，
，解得，．
Ⅱ，，
，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
的最小值為；
不等式在上的解集為空集，
，即在上的解集為空集，
，
，代入上式得，，
解得，
實(shí)數(shù)的取值范圍是 【解析】Ⅰ由已知得的兩根為，，利用韋達(dá)定理直接求解．
Ⅱ由條件求出，利用基本不等式求出的最小值；
由，得，由不等式在上解集是，列不等式組，能求出實(shí)數(shù)的取值范圍．
本題考查一元二次不等式的性質(zhì)及解法、韋達(dá)定理、基本不等式、根的判別式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
 18.【答案】解：Ⅰ當(dāng)時(shí)，，，
所以，
令，解得， 單調(diào)遞增單調(diào)遞減所以的極大值為，無(wú)極小值．
Ⅱ由題意得在上恒成立，
因?yàn)?/span>，所以在上恒成立．
設(shè)，則，
令，解得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．
因此，所以，即．
所以實(shí)數(shù)的最小值．
Ⅲ證明：由即得，
令，則，
設(shè)，則，
因?yàn)?/span>，所以恒成立，函數(shù)在單調(diào)遞減，
而，故在上，，單調(diào)遞增，
在上，，單調(diào)遞減，
所以．
故方程恰有兩個(gè)相異的實(shí)根只需．
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
下證：，不妨設(shè)，則，，
所以．
因?yàn)?/span>，
所以
，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，即，
所以，所以． 【解析】Ⅰ首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到、與的關(guān)系，從而求出函數(shù)的極值；
Ⅱ依題意參變分離即可得到在上恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，即可求出參數(shù)的取值范圍；
Ⅲ由，即可得到，令，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值，依題意可得，即可求出參數(shù)的取值范圍；設(shè)，則，則，再令，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，即可得證；
本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，不等式恒成立問(wèn)題，根據(jù)方程的實(shí)根求參數(shù)的取值范圍和不等式的證明，考查了方程思想和轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
 

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