絕密★啟用前2021-2022學(xué)年遼寧省沈陽120中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效。
3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回。  第I卷（選擇題） 一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）若，則(    )A.  B.  C.  D. 已知向量，，若，則(    )A.  B.  C.  D. 若，則(    )A.  B.  C.  D. 已知，，，則(    )A.  B.  C.  D. 在中，三內(nèi)角，，對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，且，若利用正弦定理解僅有唯一解，則(    )A.  B.
C. 或 D. 或如圖，一個(gè)底面半徑為的圓錐，其內(nèi)部有一個(gè)底面半徑為的內(nèi)接圓柱，且此內(nèi)接圓柱的體積為，則該圓錐的體積為(    )A.
B.
C.
D. 圭表如圖甲是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)竿稱為“表”和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長尺稱為“圭”當(dāng)太陽在正午時(shí)刻照射在表上時(shí)，日影便會(huì)投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至．圖乙是一個(gè)根據(jù)某地的地理位置設(shè)計(jì)的圭表的示意圖，已知某地冬至正午時(shí)太陽高度角即大約為，夏至正午時(shí)太陽高度角即大約為，圭面上冬至線與夏至線之間的距離即的長為，則表高即的長為(    )
A.  B.  C.  D. 已知正三棱錐，底面邊長為，高為，四邊形為正三棱錐的一個(gè)截面，若截面為平行四邊形，則四邊形面積的最大值為(    )A.  B.  C.  D.  二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，下列四個(gè)命題中正確的命題是(    )A. 若，則
B. 若是銳角三角形，則恒成立
C. 若，則一定是直角三角形
D. 若，則一定是銳角三角形已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是(    )A. 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C. 函數(shù)在單調(diào)遞減
D. 該圖象向右平移個(gè)單位可得的圖象
 
 已知復(fù)數(shù)其中為虛數(shù)單位，，則下列說法正確的有(    )A. 若， B. 若，則
C. 若，則 D. 若，則三棱錐中，平面平面，，，則(    )A.
B. 三棱錐的外接球的表面積為
C. 點(diǎn)到平面的距離為
D. 二面角的正切值為第II卷（非選擇題） 三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）若，，則______．已知平面單位向量，，且，則在方向上的投影向量為______；的最小值是______．已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后得到的圖像與將其向右平移個(gè)單位后所得到的圖像重合．則的值為______：在三棱錐中，平面，，以為球心，表面積為的球面與側(cè)面的交線長為______． 四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）已知向量，，．
若點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)，滿足的關(guān)系；
若且為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍．如圖，已知等腰梯形的外接圓半徑為，，，點(diǎn)是上半圓上的動(dòng)點(diǎn)不包含，兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，將半圓所在的平面沿直徑折起使得平面平面．
求三棱錐體積的最大值；
當(dāng)平面時(shí)，求的值．
已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為．
求的解析式與單調(diào)遞減區(qū)間；
將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，求方程的所有根的和．九章算術(shù)中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，已知平面，平面平面．
判斷四面體是否為鱉臑，并給出證明；
若二面角與二面角的大小都是，求與平面所成角的大?。?/span>
請(qǐng)?jiān)?/span>向量，，且；這兩個(gè)條件中任選一個(gè)填入橫線上并解答．
在銳角三角形中，已知角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足條件______．
求角；
若的面積為，求的取值范圍．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．如圖，某公園改建一個(gè)三角形池塘，，百米，百米，現(xiàn)準(zhǔn)備養(yǎng)一批觀賞魚供游客觀賞．

若在內(nèi)部取一點(diǎn)，建造連廊供游客觀賞，方案一如圖，使得點(diǎn)是等腰三角形的頂點(diǎn)，且，求連廊的長單位為百米；
若分別在，，上取點(diǎn)，，，并建造連廊，使得變成池中池，放養(yǎng)更名貴的魚類供游客觀賞：方案二如圖，使得為正三角形，設(shè)為圖中的面積，求的最小值；方案三如圖，使得平行于，且垂直于，設(shè)為圖中的面積，求的取值范圍．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
，
．
故選：．
根據(jù)已知條件，運(yùn)用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)模的公式，即可求解．
本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題．
 2.【答案】 【解析】解：因?yàn)橄蛄?/span>，，
所以，
因?yàn)?/span>，
所以，
解得，
故選：．
利用向量坐標(biāo)運(yùn)算法則求出，再由，利用向量垂直的性質(zhì)列方程，能求出．
本題考查向量坐標(biāo)運(yùn)算法則、向量垂直的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
 3.【答案】 【解析】解：原式，
所以，
所以．
故選：．
結(jié)合誘導(dǎo)公式及同角基本關(guān)系進(jìn)行化簡可求，然后結(jié)合兩角和的正切公式進(jìn)行化簡即可求解．
本題主要考查了誘導(dǎo)公式，兩角和的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 4.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>，所以，
，所以，
，，
所以，
故選：．
利用角的范圍，結(jié)合三角函數(shù)值的范圍判斷結(jié)果即可．
本題考查三角函數(shù)值的大小的判斷，判斷角的范圍，是解題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．
 5.【答案】 【解析】解：由正弦定理得：，所以，
因?yàn)?/span>，所以，
因?yàn)?/span>僅有唯一解，
所以，的值確定，
當(dāng)時(shí)，，僅有唯一解，此時(shí)，
則 ，
當(dāng)時(shí)，，僅有唯一解，此時(shí)，
當(dāng)，且時(shí)，有兩解，不符合題意，
綜上： 或．
故選：．
由正弦定理得，根據(jù)的范圍討論即可．
本題考查三角形的正弦定理和內(nèi)角和定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
 6.【答案】 【解析】解：作出該幾何體的軸截面如圖示：為圓錐的高，

設(shè)內(nèi)接圓柱的高為，而，，
因?yàn)閮?nèi)接圓柱的體積為，即，則，
由于，故∽，則，
即，故，
所以圓錐體積為，
故選：．
作出該幾何體的軸截面，求出內(nèi)接圓柱的高，利用三角形相似求出圓錐的高，即可求的其體積．
本題主要考查了圓柱和圓錐體積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
 7.【答案】 【解析】解：，
在中，，
在中，，
由，得，
故選：．
根據(jù)圖形，找到角度與邊長之間的關(guān)系求解．
本題考查了三角形中得幾何計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
 8.【答案】 【解析】解：設(shè)側(cè)棱長為，則由底面邊長為，高為，由，可求得，

如圖，設(shè)，則，且，于是，，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．
故四邊形的面積最大值為，
故選：．
根據(jù)題意，設(shè)側(cè)棱長為，則由底面邊長為，高為，由，可求得，再利用基本不等式求四邊形的面積最大值即可．
本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征和基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題．
 9.【答案】 【解析】解：選項(xiàng)A，由正弦定理知，因?yàn)?/span>，所以，即選項(xiàng)A正確；
選項(xiàng)B，因?yàn)?/span>是銳角三角形，所以，即，
又，，所以，即選項(xiàng)B正確；
選項(xiàng)C，由余弦定理及，知，
化簡得，
因?yàn)?/span>，所以，即為直角三角形，故選項(xiàng)C正確；
選項(xiàng)D，若，即，
由正弦定理知，，所以角為銳角，但無法判斷角和，即選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：．
選項(xiàng)A，由正弦定理，即可判斷；
選項(xiàng)B，由，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性與誘導(dǎo)公式，可判斷；
選項(xiàng)C，利用余弦定理化角為邊，整理可得，得解；
選項(xiàng)D，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系與正弦定理，可確定為銳角，但無法判斷角和．
本題主要考查三角形形狀的判斷，熟練掌握正弦定理，余弦定理，誘導(dǎo)公式是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
 10.【答案】 【解析】解：由函數(shù)的圖象可得，由，解得．
再根據(jù)最值得，；
又，得，得函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，故A正確；
當(dāng)時(shí)，，是最值，故B正確；
，則，
函數(shù)不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；
函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位可得的圖象，故D正確．
故選：．
根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，逐次判斷各選項(xiàng)即可得到結(jié)論．
本題主要考查由的部分圖象確定其解析式，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)的平移變換，屬于中檔題．
 11.【答案】 【解析】解：，則，
對(duì)于，，，解得，
故，故A正確，
對(duì)于，令，則，滿足，但，故B錯(cuò)誤，
對(duì)于，，，
，故C正確，
對(duì)于，令，滿足，但，故D錯(cuò)誤．
故選：．
根據(jù)已知條件，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)模公式，以及特殊值法，即可求解．
本題主要考查共軛復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)的模，以及特殊值法，屬于基礎(chǔ)題．
 12.【答案】 【解析】解：對(duì)于，因?yàn)槠矫?/span>平面，，即，
平面平面，平面，所以平面，
又因?yàn)?/span>平面，所以，故A正確；
對(duì)于，因?yàn)?/span>，，，
所以平面，
因?yàn)?/span>平面，所以，
又平面，平面，
所以，即，
所以三棱錐外接球的直徑為，
因?yàn)?/span>，所以，
所以三棱錐的外接球的表面積，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于，因?yàn)?/span>平面，平面，
所以平面平面，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，

根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可得平面，
故點(diǎn)到平面的距離為，由，，
得，則，
則，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于，，，所以為二面角的平面角，
在中，，故D正確．
故選：．
根據(jù)平面可判斷正誤；求出直徑，再根據(jù)球的表面積公式可判斷的正誤；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知點(diǎn)到平面的距離為，求出可判斷正誤；根據(jù)題意可知，可得為二面角的平面角，進(jìn)而求出正切值可判斷正誤．
本題考查了空間中的垂直關(guān)系、距離問題和空間角問題等，屬于中檔題．
 13.【答案】 【解析】解：，
，
又，
，
，
，
故答案為：．
先利用同角三角函數(shù)間的關(guān)系式求得，再利用二倍角公式可得，整理可得答案．
本題考查兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
 14.【答案】  【解析】解：由，
兩邊平方得，
而在方向上的投影向量為，
，當(dāng)時(shí)取得最小值所以其最小值為．
故答案為：，．
分別根據(jù)投影向量的定義和單位向量的?；喖纯汕蠼猓?/span>
本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．
 15.【答案】 【解析】解：由于函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后得到的圖像與將其向右平移個(gè)單位后所得到的圖像重合．
故；
所以；
整理得：，；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；
故：；
故答案為：．
直接利用函數(shù)的圖像的平移變換整理得，進(jìn)一步利用函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出結(jié)果．
本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：函數(shù)的圖像的平移變換，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
 16.【答案】 【解析】解：如圖，三棱錐中，平面，，三棱錐是正方體的一部分，作于，，平面，表面積為的球面，球的半徑為，
在上取，則，
以為球心，表面積為的球面與側(cè)面的交線是以為圓心的半圓，
所以球面與側(cè)面的交線長為：．
故答案為：．
畫出幾何體的圖形，判斷以為球心，表面積為的球面與側(cè)面的交線長的圖形，然后轉(zhuǎn)化求解即可．
本題考查了三棱錐的外接球問題，球的表面積的求解，解題的關(guān)鍵是將該三棱錐置于一個(gè)長方體，考查了邏輯推理能力與空間想象能力，屬于中檔題．
 17.【答案】解：，，三點(diǎn)共線，即，，，
所以，
即．
因?yàn)?/span>為鈍角，
所以且，不共線，
由得當(dāng)，且時(shí)，，
因?yàn)?/span>，不共線，
所以，，，，解得，
所以且，
故的取值范圍為且 【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量平行的性質(zhì)，即可求解．
根據(jù)已知條件，結(jié)合向量平行的性質(zhì)，以及平面向量的數(shù)量積公式，即可求解．
本題主要考查向量平行的性質(zhì)，以及平面向量的數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)題．
 18.【答案】解：當(dāng)時(shí)，平面，由平面平面，平面平面，
知平面，
此時(shí)，到平面的距離最大，為，
所以，的最大值為，
連接交于點(diǎn)，連接，

則平面平面，
依題意，平面，平面，所以，
所以，，
等腰梯形中，∽，
所以． 【解析】根據(jù)平面平面，可知平面時(shí)，三棱錐體積最大，利用錐體的體積公式可求答案；
根據(jù)平面，確定的位置，結(jié)合比例關(guān)系可得答案．
本題考查了三棱錐體積的最值問題以及線面平行的性質(zhì)，屬于中檔題．
 19.【答案】解：由題意，；
函數(shù)圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為，
的最小正周期為，即可得，
又為奇函數(shù)，
又，
，
故，
令，，
整理得：，；
函數(shù)的遞減區(qū)間為，．
將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，可得的圖象，
再把橫坐標(biāo)縮小為原來的，得到函數(shù)的圖象，
又，
則或，
即或．
令，當(dāng)時(shí)，，
畫出的圖象如圖所示：

有兩個(gè)根，，關(guān)于對(duì)稱，
即，，
有，，，在上有兩個(gè)不同的根，，
，
；
又的根為，，，
所以方程在內(nèi)所有根的和為． 【解析】首先利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用函數(shù)的周期性求出函數(shù)的解析式，進(jìn)一步利用整體思想的應(yīng)用求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
利用函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換的應(yīng)用及三角函數(shù)的方程的應(yīng)用求出所有的根，進(jìn)一步求出所有根的和．
本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．
 20.【答案】證明：四面體為鱉臑，證明如下：
作交于，
因?yàn)?/span>平面，平面，故，
又平面平面，且平面平面，故AD平面，
又平面，故AD，
又，，平面，故BC平面，故BC，，
又平面，故，，
故四面體所有面都為直角三角形，故四面體為鱉臑；

解：由，連接，二面角的平面角為，二面角的平面角為，
故，故，均為等腰直角三角形，
設(shè)，則，，
又平面，故AC與平面所成角為，
又，且為銳角，故，
即與平面所成角的大小為．
 【解析】作交于，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定證明平面，從而證明四面體四個(gè)面都為直角三角形即可；
由連接，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得與平面所成角為，再求解，從而得到即可．
本題考查了線面垂直的性質(zhì)與判定和線面角的計(jì)算，屬于中檔題．
 21.【答案】解：選擇：因?yàn)?/span>，
所以，即，
由正弦定理得，，化簡得，
由余弦定理知，，
又為銳角，所以．
選擇：
由正弦定理及，得，
即，
又，
所以，
因?yàn)?/span>，所以，
又為銳角，所以，故．
因?yàn)?/span>，
所以，所以，
法一由余弦定理得，，
因?yàn)?/span>為銳角三角形，所以即
將代入上式可得即解得，
令，則在上單調(diào)遞增，
而，，所以，
故的取值范圍為．
法二由正弦定理得，，
又，所以，
因?yàn)?/span>為銳角三角形，所以解得，
所以，所以，即，解得，
令，則在上單調(diào)遞增，
而，，所以，
故的取值范圍為． 【解析】選擇：根據(jù)，并利用正弦定理化角為邊，再結(jié)合余弦定理，求得，得解；
選擇：利用正弦定理化邊為角，并結(jié)合兩角和的正弦公式，化簡可得，得解；
利用三角形面積公式可得，從而將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在上的值域，其中在求的取值范圍時(shí)有如下兩種方法：
法一：結(jié)合余弦定理與求得的取值范圍；
法二：利用正弦定理推出，再結(jié)合，將表示成關(guān)于角的函數(shù)，根據(jù)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求得的取值范圍．
本題主要考查解三角形，熟練掌握正余弦定理，平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，三角恒等變換公式，對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
 22.【答案】解：因?yàn)辄c(diǎn)是等腰三角形的頂點(diǎn)，且，，
所以，
由余弦定理可得，，解得，
又因?yàn)?/span>，
故，
在中，，，所以，
在中，由余弦定理可得，，
解得，
故，
所以連廊的長為百米．
設(shè)圖中的正的邊長為，，
則，，
設(shè)，
則，，
所以，
在中，由正弦定理可得，，
即，
即
即其中為銳角，且，
所以，即；
圖中，設(shè)，，
因?yàn)?/span>，且，
所以，，，
所以，，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，無最小值，即
故 【解析】先由中的余弦定理求出，再由中的余弦定理求出，即可得到答案；
分別表示出方案和方案中的面積，利用三角函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可．
本題考查了函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
 

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2023-2024學(xué)年遼寧省沈陽120中學(xué)高一（上）第三次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（含解析）：

這是一份2023-2024學(xué)年遼寧省沈陽120中學(xué)高一（上）第三次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（含解析），共19頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2022-2023學(xué)年遼寧省沈陽120中學(xué)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）：

這是一份2022-2023學(xué)年遼寧省沈陽120中學(xué)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析），共17頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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