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C. 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
D. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且，，則下列結(jié)論中正確的有( )A. 為增函數(shù) B. 為增函數(shù)
C. 的解集為 D. 的解集為數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，滿足，則下列選項(xiàng)正確的是( )A. B.
C. 當(dāng)時(shí)，最小 D. 時(shí)，的最小值為已知，且，則下列結(jié)論正確的是( )A. B. 的最大值為
C. 的最小值為 D. 的最大值為 三、填空題（本大題共4小題，共20分）已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，則函數(shù)的定義域?yàn)?/span>______．若函數(shù)為奇函數(shù)，則 ______ ．已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，，，則數(shù)列的前項(xiàng)和等于 ．設(shè)函數(shù)，若不等式恰有兩個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍是______． 四、解答題（本大題共6小題，共70分）在數(shù)列中，，且
Ⅰ求，，的值；
Ⅱ猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．已知公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
求的通項(xiàng)公式；
若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
求的通項(xiàng)公式；
設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．已知函數(shù)．
當(dāng)時(shí)，求過點(diǎn)的切線方程；
求函數(shù)在區(qū)間的最小值．已知函數(shù)．
求的極值；
若對(duì)于任意不同的，，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．已知函數(shù)．
討論的單調(diào)性；
若，且方程有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：全集，集合，集合，
或，
則．
故選：．
先求出或，再由交集定義能求出．
本題考查集合的運(yùn)算，考查交集、補(bǔ)集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
2.【答案】 【解析】解：，，則恒成立，，
對(duì)于，是命題的充要條件，不符合題意，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于，是命題的既不充分也不必要條件，不符合題意，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于，是命題的必要不充分條件，不符合題意，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于，是命題的充分不必要條件，符合題意，所以D正確．
故選：．
根據(jù)條件求到，再由充分不必要條件的定義即可選出正確選項(xiàng)．
本題考查的是充分必要條件的判定，屬于基礎(chǔ)題．
3.【答案】 【解析】解：由題意，解得，
故選：．
根據(jù)分段函數(shù)、二次函數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性可建立不等式求解．
本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．
4.【答案】 【解析】解：實(shí)數(shù)，滿足，，
則，
整理得：，
解得：，
所以：，，
故：，
故選：．
直接利用整體思想和不等式的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．
本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題型．
5.【答案】 【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生的邏輯推理和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，從而代入數(shù)據(jù)即可．【解答】解：由是等差數(shù)列，得，，構(gòu)成等差數(shù)列，
則，即，解得．
故選：． 6.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意，是定義在上的奇函數(shù)，
若是偶函數(shù)，即函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
則有，
又由為奇函數(shù)，則有，
綜合可得：，變形可得．
由于當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，有，則有，
又由，則有，
故選：．
根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性分析可得，當(dāng)時(shí)，有，結(jié)合函數(shù)的解析式可得的表達(dá)式，據(jù)此分析可得答案．
本題考查函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)解析式的計(jì)算，屬于中檔題．
7.【答案】 【解析】解：對(duì)于：由于函數(shù)的定義域?yàn)?/span>；函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，故不是同一函數(shù)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于：設(shè)，則“”整理得“”，故“”是““的必要而不充分條件，故B正確；
對(duì)于：函數(shù)的最小值為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于：命題“，”的否定是“，”，故D錯(cuò)誤．
故選：．
直接利用同一函數(shù)的定義判斷，利用不等式的解法求出的解集判斷充分條件和必要條件，利用不等式的性質(zhì)判斷的結(jié)論，利用命題的否定判斷的結(jié)論．
本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：同一函數(shù)的定義，充分條件和必要條件，不等式的性質(zhì)，命題的否定，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．
8.【答案】 【解析】解：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)取得最小值．
故選：．
由已知結(jié)合乘法，利用基本不等式即可求解．
本題主要考查了基本不等式在求解最值中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是基本不等式的應(yīng)用條件的應(yīng)用，屬于中檔題．
9.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>，所以，
對(duì)于，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，即A正確；
，所以的值域不可能為，即B錯(cuò)誤；
因?yàn)?/span>，，
所以，即，所以C錯(cuò)誤，D正確．
故選：．
求導(dǎo)得在上恒成立，即單調(diào)遞增，可判斷選項(xiàng)A；
不妨計(jì)算的值，由于，于是可判斷選項(xiàng)B；
根據(jù)函數(shù)的軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的定義，得出，可判斷選項(xiàng)C和．
本題考查函數(shù)的對(duì)稱性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，理解原函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性之間的聯(lián)系，以及函數(shù)的軸對(duì)稱與中心對(duì)稱的區(qū)別是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
10.【答案】 【解析】解：對(duì)于，因?yàn)?/span>，所以為增函數(shù)，故A正確；
對(duì)于，由，，所以為增函數(shù)，故B正確；
對(duì)于，，則等價(jià)于，又為增函數(shù)，所以，解得，所以的解集為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于，等價(jià)于．
即，又為增函數(shù)，所以，解得，所以的解集為，故D正確；
故選：．
利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系可判斷，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式判斷．
本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，屬于中檔題，構(gòu)造新函數(shù)是解題關(guān)鍵．
11.【答案】 【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式，考查學(xué)生的歸納推理和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題題．根據(jù)是遞增的等差數(shù)列，，即可判斷選項(xiàng)A，；又，從而可判斷選項(xiàng)C；，從而可判斷選項(xiàng)D．【解答】解：由是遞增的等差數(shù)列，得，選項(xiàng)A正確；
由，得，則，選項(xiàng)B正確；
由，得當(dāng)時(shí)，有最小值，且最小值為，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
又，解得，
所以時(shí)，的最小值為，選項(xiàng)D正確；
故選：． 12.【答案】 【解析】解：，，，
，
故，
故選項(xiàng)A正確；
，
即，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，
故的最大值為，
故選項(xiàng)B正確；
，
，
故
，
由二次函數(shù)的性質(zhì)知，
當(dāng)時(shí)取得最小值，
故選項(xiàng)C正確；
，，，
，
即，
即，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，
故的最大值為，
故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：．
由不等式的性質(zhì)可得，從而判斷選項(xiàng)A；
由不等式可得，從而化簡(jiǎn)判斷選項(xiàng)B；
由化簡(jiǎn)，從而化簡(jiǎn)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最小值即可判斷選項(xiàng)C；
由基本不等式得，從而化簡(jiǎn)判斷選項(xiàng)D即可．
本題考查了不等式的性質(zhì)，基本不等式及其變形，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．
13.【答案】 【解析】解：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，
，，解得，
即函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，
故答案為：．
利用函數(shù)定義域的定義求解即可．
本題主要考查了抽象函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題．
14.【答案】 【解析】解：由函數(shù)為奇函數(shù)可得，
即
即
故答案為：
由函數(shù)為奇函數(shù)可得，可得，代入整理可求
本題主要考查了奇函數(shù)的定義的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題
15.【答案】 【解析】【分析】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列的前項(xiàng)和求法，是基本知識(shí)的考查．
利用等比數(shù)列的性質(zhì)，求出數(shù)列的首項(xiàng)以及公比，即可求解數(shù)列的前項(xiàng)和．【解答】解：數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，，，
可得，解得，，
，，
所以，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和為：．
故答案為：． 16.【答案】 【解析】解：解：令，，
因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則，且，
函數(shù)恒過點(diǎn)，
由題意知，存在個(gè)整數(shù)解，則在直線的下方，
當(dāng)圖象與圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)，
則切線方程為，且，
又因?yàn)榍芯€過，代入解得，舍，
即有切點(diǎn)，此時(shí)，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故答案為．
利用構(gòu)造的新函數(shù)和，求導(dǎo)數(shù)，從而可得的范圍．
本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．分類與整合思想．
17.【答案】解：Ⅰ，且，
，，
分
Ⅱ猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為分
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，因此，左邊右邊．
所以，當(dāng)時(shí)，猜想成立．分
假設(shè)時(shí)，猜想成立，即，
那么時(shí)，．
所以，當(dāng)時(shí)，猜想成立．分
根據(jù)和，可知猜想成立．分 【解析】利用遞推式直接求：
猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．
本題考查了數(shù)列中的歸納法思想，及證明基本步驟，屬于基礎(chǔ)題．
18.【答案】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，且，
所以，
解得，
故，
即的通項(xiàng)公式為；
證明：因?yàn)?/span>，
所以
，
因?yàn)?/span>，
所以． 【解析】利用等差數(shù)列求和公式求出首項(xiàng)，從而求出通項(xiàng)公式；
裂項(xiàng)相消法求和證明不等式．
本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及裂項(xiàng)相消求和，屬于基礎(chǔ)題．
19.【答案】解：已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，
當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，
整理得，
所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
故；
由可知，，
則，
，
兩式相減得
，
故，
數(shù)列的前項(xiàng)和． 【解析】由與的關(guān)系可得為等比數(shù)列，求通項(xiàng)公式即可；
根據(jù)錯(cuò)位相減法求解即可．
本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和錯(cuò)位相減求和，屬于中檔題．
20.【答案】解：時(shí)，，，
設(shè)切點(diǎn)是，則，
故切線方程是：，
將點(diǎn)代入得：，
解得，則切點(diǎn)是，，
故切線方程是；
，則，
令，解得或，
在內(nèi)，若即時(shí)，恒成立，
故在單調(diào)遞增，
，
若即時(shí)，
在遞減，在遞增，
，
若即時(shí)，在遞減，
，
． 【解析】代入的值，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出切線方程即可；
求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小值即可．
本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是中檔題．
21.【答案】解：因?yàn)?/span>，所以
令，解得或舍去．
當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如表所示． 單調(diào)遞減單調(diào)遞增因此，當(dāng)時(shí)，有極小值，且極小值為，無極大值
不妨令，則等價(jià)于，
即，
令函數(shù)，
可知在上單調(diào)遞減，
．
若，即，則在上恒成立，
故在上恒成立，
則在上單調(diào)遞減，符合題意，
若，即，則在上不恒成立，
故在上不恒成立，
則在上不可能單調(diào)遞減，不符合題意．
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為． 【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)極值的定義進(jìn)行求解即可；
對(duì)已知不等式進(jìn)行變形，構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)分類討論求解即可．
本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
22.【答案】解：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>．．
當(dāng)時(shí)，若，則；若，則在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增．
當(dāng)時(shí)，，若或，則；若，則．
所以在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減．
當(dāng)時(shí)，，若或，則；若，則．
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．
綜上所述，時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．時(shí)，在單調(diào)遞增．時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．時(shí)，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．
令函數(shù)，時(shí)，，時(shí)，，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．
由題意，應(yīng)有，即；
當(dāng)時(shí)，，即，
所以，
，
所以函數(shù)在，各有一個(gè)零點(diǎn)，方程有兩個(gè)不同的解．
所以的取值范圍為． 【解析】求得，對(duì)參數(shù)分、、、四類討論，可得的單調(diào)性；
先證明，依題意，可得，即，進(jìn)一步分析可得實(shí)數(shù)的取值范圍．
本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查函數(shù)與方程思想與分類討論思想的綜合運(yùn)用，突出邏輯思維能力與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，屬于難題．
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