專題10 垂面模型練習(xí)-新高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)專題之一網(wǎng)打盡空間幾何體外接球模型

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專題10 垂面模型（解析版）一、解題技巧歸納總結(jié)垂面模型如圖1所示為四面體，已知平面平面，其外接球問題的步驟如下：（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點(diǎn)為球心，記為．（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓且為該圓的直徑．     二、典型例題例1.已知是以為斜邊的直角三角形，為平面外一點(diǎn)，且平面平面，，，，則三棱錐外接球的表面積為　　．【解析】由題意知的中點(diǎn)為 外接圓的圓心，且平面平面過 作面的垂線，則垂線 一定在面 內(nèi)．根據(jù)球的性質(zhì)，球心一定在垂線 上，球心一定在平面 內(nèi)，且球心也是 外接圓的圓心．在 中，由余弦定理得，，由正弦定理得：，解得，三棱錐的外接球的表面積．故答案為：．例2.已知點(diǎn)是以為直徑的圓上異于，的動(dòng)點(diǎn)，為平面外一點(diǎn)，且平面平面，，，，則三棱錐外接球的表面積為　　．【解析】因?yàn)?/span>為外接圓的圓心，且平面平面，過作面的垂線，則垂線一定在面內(nèi)，根據(jù)球的性質(zhì)，球心一定在垂線，球心一定在面內(nèi)，即球心也是外接圓的圓心，在中，由余弦定理得，，由正弦定理得：，解得，三棱錐外接球的表面積為，故答案為：．例3.在三棱錐中，，，，平面平面，則三棱錐外接球的表面積為　　．【解析】如圖，設(shè)的外接圓的圓心為連接，，，連接．由題意可得，且，．因?yàn)槠矫?/span>平面，且，所以平面，且．設(shè)為三棱錐外接球的球心，連接，，，過作，垂足為，則外接球的半徑滿足，即，解得，從而，故三棱錐外接球的表面積為．故答案為：．例4．在菱形中，，將這個(gè)菱形沿對角線折起，使得平面平面，若此時(shí)三棱錐的外接球的表面積為，則的長為　　．【解析】取的中點(diǎn)，連接，，在等邊三角形中，，在等邊三角形中，，由平面平面，，平面平面，可得平面，即有，為等腰直角三角形，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，半徑設(shè)為，底面的中心為，面的外心為，則，，在直角三角形中，．而，解得，則，解得，故答案為：．三、配套練習(xí)1．在邊長為菱形中，，將這個(gè)菱形沿對角線折起，使得平面平面，若此時(shí)三棱錐的外接球的表面積為，則　　A． B． C． D．3【解析】取的中點(diǎn)，連接，，在等邊三角形中，，在等邊三角形中，，由平面平面，，平面平面，可得平面，即有，為等腰直角三角形，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，半徑設(shè)為，底面的中心為，在直角三角形中，，而，解得，則，解得，故選：．2．在三棱錐中，平面平面，，且直線與平面所成角的正切值為2，則該三棱錐的外接球的表面積為　　A． B． C． D．【解析】如圖，過點(diǎn) 作 于， 為 的中點(diǎn)，設(shè) 的外心是，半徑是，連接，，，由正弦定理得，則， 為 的中點(diǎn)，，，所以，因?yàn)槠矫?/span>平面， 于，平面平面，則平面，所以直線 與平面 所成的角是，則，即，因?yàn)?/span>，所以，則，故，設(shè)三棱錐 外接球球心是，連接，，，過 作 于，則平面，于是，從而 是矩形，所以外接球半徑 滿足，解得．所以外接球的表面積為．故選：．3．已知在三棱錐中，是等邊三角形，，平面平面，若該三棱錐的外接球表面積為，則　　A． B． C． D．【解析】設(shè)外接球球心，半徑，由題意可得，，解可得，根據(jù)題意可得為正三角形的中心，因?yàn)?/span>，所以，，所以正三角形的邊長為，由可得，因?yàn)槠矫?/span>平面，所以，所以．故選：．4．如圖，已知四棱錐的底面為矩形，平面平面，，，則四棱錐的外接球的表面積為　　A． B． C． D．【解析】取的中點(diǎn)，連接，中，，，，，設(shè)的中心為，球心為，則，設(shè)到平面的距離為，則，，，四棱錐的外接球的表面積為．故選：．5．如圖所示，已知所在的平面與矩形所在的平面互相垂直，，，，則多面體的外接球的表面積為　　A． B． C． D．【解析】設(shè)球心到平面的距離為，則所在的平面與矩形所在的平面互相垂直，，，到平面的距離為，，，，多面體的外接球的表面積為．故選：．6．在正方形中，，沿著對角線翻折，使得平面平面，得到三棱錐，若球為三棱錐的外接球，則球的體積與三棱錐的體積之比為　　A． B． C． D．【解析】由題意，三棱錐的外接球的球心為的中點(diǎn)，半徑為，球的體積．三棱錐的體積，球的體積與三棱錐的體積之比為．故選：．7．已知四棱錐一中，平面平面，其中為正方形，為等腰直角三角形，，則四棱錐外接球的表面積為　　A． B． C． D．【解析】取的中點(diǎn)，平面平面，其中為正方形，為等腰直角三角形，四棱錐的外接球的球心為正方形的中心，設(shè)半徑為，則，，四棱錐的外接球的表面積為．故選：．8．已知空間四邊形，，，，，且平面平面，則該幾何體的外接球的表面積為　　A． B． C． D．【解析】在三角形中，，，由余弦定理可得，而在三角形中，，，，即為直角三角形，且為斜邊，因?yàn)槠矫?/span>平面，所以幾何體的外接球的球心為為三角形 的外接圓的圓心，設(shè)外接球的半徑為，則，即，所以外接球的表面積，故選：．9．在三棱錐中，和都是邊長為的等邊三角形，且平面平面，則三棱錐外接球的表面積為　　A． B． C． D．【解析】如圖，取中點(diǎn)，連接，，平面平面，和都是邊長為的等邊三角形，平面，，設(shè)過平面，平面的中心，且與垂直二平面的直線交于，可知即為外接球球心，易知，，得，，故選：．10．在三棱錐中，，，，平面平面，則三棱錐外接球的表面積為　　A． B． C． D．【解析】如下圖所示，，，又，，，又平面平面，平面平面，平面，平面．，所以，直角的外接圓直徑為，所以，三棱錐的外接球直徑為．因此，三棱錐的外接球的表面積為．故選：．11．已知三棱錐中，，，，且三棱錐的外接球的表面積為，則當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的表面積等于　　A． B． C． D．【解析】如圖，取中點(diǎn)，連接，，由，，，可得，即為三棱錐的外接球的球心，半徑為．由三棱錐的外接球的表面積為，得．則當(dāng)平面平面時(shí)，；．三棱錐的表面積．故選：．12．在三棱錐中，平面平面，，，，若此三棱錐的外接球表面積為，則三棱錐體積的最大值為　　A．7 B．12 C．6 D．【解析】根據(jù)題意，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，三棱錐的外接球球心為，的外心為，的外接圓半徑為，取的中點(diǎn)為，過作，則平面，平面，如圖，連結(jié)，，則，設(shè)，則，由，解得，在中，由正弦正理得，，解得，在中，，解得，，，若三棱錐的體積最大，則只需的面積最大，在中，，，解得，，三棱錐的體積的最大值：．故選：．13．如圖，，均垂直于平面和平面，，，則多面體的外接球的表面積為　　A． B． C． D．【解析】由題意，多面體為棱長為的正方體，切去一個(gè)角，多面體的外接球的直徑為，半徑為，多面體的外接球的表面積為．故選：．14．已知三棱錐中，是邊長為的正三角形，，平面平面，則三棱錐的外接球的體積為　　A． B． C． D．【解析】三棱錐中，是邊長為的正三角形，，平面平面，，，取中點(diǎn)，連結(jié)，，則，，，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，0，，，1，，設(shè)球心，，，則，，解得，，，，三棱錐的外接球的體積：．故選：．15．在三棱錐中，是等邊三角形，平面平面．若該三棱錐外接球的表面積為，且球心到平面的距離為，則三棱錐的體積的最大值為　　A． B． C．27 D．81【解析】如圖，取等邊三角形的中心，過作三角形的垂線，截去．則為三棱錐外接球的球心，設(shè)外接球半徑為，由，得．即，．則，可得，過作平面，則為三角形的外心，連接并延長，角于，則為的中點(diǎn)，要使三棱錐的體積最大，則共線，即為等邊三角形，此時(shí)三棱錐的高為．三棱錐的體積的最大值為．故選：．16．在四棱錐中，是邊長為6的正三角形，是正方形，平面平面，則該四棱錐的外接球的體積為　　A． B． C． D．【解析】四棱錐中，是邊長為6的正三角形，是正方形，平面平面，如圖所示：是邊長為6的正三角形，所以的中心到中點(diǎn)的距離為，所以，所以，故選：．17．已知空間四邊形，，，，，且平面平面，則該幾何體的外接球的表面積為　　A． B． C． D．【解析】如圖，取中點(diǎn)，連接并延長至的外心，在中，由，，可得，則，又，，則為以為斜邊的直角三角形，則中點(diǎn)為的外心，平面平面，過作平面的垂線，故作平面的垂線，兩垂線相交于，為空間四邊形的外接球的球心．在中，由，得．，則，空間四邊形的外接球的半徑．空間四邊形的外接球的表面積．故選：．18．在邊長為2的菱形中，，將菱形沿對角線折起，使得平面平面，則所得三棱錐的外接球表面積為　　A． B． C． D．【解析】在邊長為2的菱形中，；如圖，由已知可得，與均為等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，，則，；二面角為直二面角，則平面，分別取與的外心，，過，分別作兩面的垂線，相交于，則為三棱錐的外接球的球心，由與均為等邊三角形且邊長為2，可得．．．三棱錐的外接球的表面積為．故選：．19．在三棱錐中，與都是正三角形，平面平面，若該三棱錐的外接球的體積為，則邊長為　　A． B． C． D．6【解析】三棱錐中，過的中心作平面，過的中心作平面，、交于點(diǎn)，則是三棱錐的外接球球心，連接，則是外接球的半徑；由該三棱錐的外接球體積為，；設(shè)的邊長為，，，，即，解得．故選：．20．在三棱錐中，與都是邊長為6的正三角形，平面平面，則該三棱錐的外接球的體積為　　A． B． C． D．【解析】取，中點(diǎn)分別為，，連接，，，由題意知，，，易知三棱錐的外接球球心在線段上，連接，，有，，，，，三棱錐的外接球的體積為．故選：．21．把邊長為3的正方沿對角線對折，使得平面平面，則三棱錐的外接球的表面積為　　A． B． C． D．【解析】將邊長為1的正方形，沿對角線把折起，使平面平面，則，；三棱錐的外接球直徑為，外接球的表面積為．故選：．22．已知空間四邊形，，，，且平面平面，則空間四邊形的外接球的表面積為　　A． B． C． D．【解析】借助長方體作出空間四邊形，取中點(diǎn)，在等腰中，，，可求得，，又，為正三角形，外接球球心在過其中心垂直于平面的直線上，如圖：在中，求得，，，設(shè)，則，在中，，在中，，由列方程解得，從而即外接球半徑，外接球面積，故選：．23．如圖，已知矩形中，，現(xiàn)沿折起，使得平面平面，連接，得到三棱錐，則其外接球的體積為　　A． B． C． D．【解析】設(shè)矩形對角線的交點(diǎn)為0，則由矩形對角線互相平分，可知．點(diǎn)到四面體的四個(gè)頂點(diǎn)，，，的距離相等，即點(diǎn)為四面體的外接球的球心，如圖所示．外接球的半徑5．外接球的體積．故選：．24．在三棱錐中，，平面平面，當(dāng)三棱錐的體積的最大值為時(shí)，其外接球的表面積為　　A． B． C． D．【解析】如圖，設(shè)球心在平面內(nèi)的射影為，在平面內(nèi)的射影為，的中點(diǎn)為，則點(diǎn)在截面圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在截面圓上運(yùn)動(dòng)，四邊形為正方形，由圖知，當(dāng)，時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)，與是等邊三角形，設(shè)，則，，，由，解得，，，，，則球的半徑，所求外接球的表面積為，故選：．