中考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)19《正多邊形與圓的有關(guān)的證明和計(jì)算》知識(shí)講解+鞏固練習(xí)（提高版）（含答案）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?中考總復(fù)習(xí)：正多邊形與圓的有關(guān)的證明和計(jì)算—知識(shí)講解（提高）

【考綱要求】
1．了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓的內(nèi)接正多邊形的方法；會(huì)計(jì)算弧長及扇形的面積、圓錐的側(cè)面積及全面積；
2．結(jié)合相關(guān)圖形性質(zhì)的探索和證明，進(jìn)一步培養(yǎng)合情推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的表達(dá)能力；通過這一章的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，運(yùn)用學(xué)過的知識(shí)解決問題的能力.

【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】

【考點(diǎn)梳理】
考點(diǎn)一、正多邊形和圓
1、正多邊形的有關(guān)概念：
(1) 正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.
　　(2)正多邊形的中心——正多邊形的外接圓的圓心.
　　(3)正多邊形的半徑——正多邊形的外接圓的半徑.
　　(4)正多邊形的邊心距——正多邊形中心到正多邊形各邊的距離.（正多邊形內(nèi)切圓的半徑.）
　　(5)正多邊形的中心角——正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角.
2、正多邊形與圓的關(guān)系：
　　(1)將一個(gè)圓n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次連結(jié)各等分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形.
　　(2)這個(gè)圓是這個(gè)正多邊形的外接圓.
　（3）把圓分成n(n≥3)等分，經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形.這個(gè)圓叫做正n邊形的內(nèi)切圓.
（4）任何正n邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓.
3、正多邊形性質(zhì)：
　　(1)任何正多邊形都有一個(gè)外接圓.
　　(2) 正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都通過正n邊形的中心．當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它又是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心.
(3)邊數(shù)相同的正多邊形相似.它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．
（4）任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓.
要點(diǎn)詮釋：
（1）正n邊形的有n個(gè)相等的外角，而正n邊形的外角和為360度，所以正n邊形每個(gè)外角的度數(shù)是；所以正n邊形的中心角等于它的外角.
（2）邊數(shù)相同的正多邊形相似.周長的比等于它們邊長（或半徑、邊心距）的比.面積比等于它們邊長（或半徑、邊心距）平方的比.

考點(diǎn)二、圓中有關(guān)計(jì)算
1．圓中有關(guān)計(jì)算
　　圓的面積公式：，周長.
　　圓心角為、半徑為R的弧長.
　　圓心角為，半徑為R，弧長為的扇形的面積.
　　弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計(jì)算.
　　圓柱的側(cè)面圖是一個(gè)矩形，底面半徑為R，母線長為的圓柱的體積為，側(cè)面積為，全面積為.
　　圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為，高為的圓錐的側(cè)面積為，全面積為，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有.
弓形的面積
（1）由弦及其所對(duì)的劣弧組成的圖形，S弓形=S扇形-S△OAB；
（2）由弦及其所對(duì)的優(yōu)弧組成的弓形，S弓形=S扇形+S△OAB.

·
O
A
B
·
A
B
O
m
·
A
B
O
m

要點(diǎn)詮釋：
　　(1)對(duì)于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；
　　(2)在扇形面積公式中，涉及三個(gè)量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.
　　(3)扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點(diǎn)類似，可類比記憶；
　　(4)扇形兩個(gè)面積公式之間的聯(lián)系：.

【典型例題】
類型一、正多邊形有關(guān)計(jì)算
1．如圖，矩形ABCD中，AB=4，以點(diǎn)B為圓心，BA為半徑畫弧交BC于點(diǎn)E，以點(diǎn)O為圓心的⊙O與弧AE，邊AD，DC都相切．把扇形BAE作一個(gè)圓錐的側(cè)面，該圓錐的底面圓恰好是⊙O，則AD的長為（　?。?br />
A.4 B. C. D.5
【思路點(diǎn)撥】首先求得弧AE的長，然后利用弧AE的長正好等于圓的底面周長，求得⊙O的半徑，則BE的長加上半徑即為AD的長．
【答案】D；
【解析】
解：∵AB=4，∠B=90°，
∴，
∵圓錐的底面圓恰好是⊙O，
∴⊙O的周長為2π，
∴⊙O的半徑為1，
∴AD=BC=BE+EC=4+1=5.
故選D．
【總結(jié)升華】本題考查了圓錐的計(jì)算及相切兩圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記弧長的計(jì)算公式.
舉一反三：
【高清課堂：正多邊形與圓的有關(guān)證明與計(jì)算自主學(xué)習(xí)7】
【變式1】如圖，兩個(gè)相同的正六邊形，其中一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)在另一個(gè)正多邊
形外接圓圓心O處．求重疊部分面積與陰影部分面積之比.

【答案】
解：連結(jié)OA、OB、OC，
設(shè)OA′交AB于K，OE′交CD于H，
∵∠AOK=∠AOC-∠KOC
=120°-∠KOC，
∠COH=120°-∠KOC，
∴∠AOK=∠COH，
又∠OAK=∠OCH=60°，OA=OC，
∴△AOK≌△COH，
由△AOK≌△COH，
得S五邊形OKBCH=S四邊形ABCO=2S△OBC，
∴S陰影=S正六邊形ABCDEF-S五邊形OKBCH′
=6S△OBC-2S△OBC=4S△OBC.
S五邊形OKBCH：S陰影= .
即重疊部分面積與陰影部分面積之比為： .

【高清課堂：正多邊形與圓的有關(guān)證明與計(jì)算自主學(xué)習(xí)8】
【變式2】已知：正十邊形的半徑是R，求證：它的邊長為.

【答案】
證明：作∠OAB的平分線AM交OB于M，則∠O=∠OAM=36°，∠AMB=∠B=72°，
∴OM=MA=AB，則△ABM∽△OAB得：
用R，a10分別表示OA，AB，BM，代入以上比例式整理得a102+ Ra10-R2=0,
解關(guān)于a10的一元二次方程得（負(fù)值已舍去）.

類型二、正多邊形與圓綜合運(yùn)用
2．（2014?江西模擬）如圖，AG是正八邊形ABCDEFGH的一條對(duì)角線．
（1）在剩余的頂點(diǎn)B、C、D、E、F、H中，連接兩個(gè)頂點(diǎn)，使連接的線段與AG平行，并說明理由；
（2）兩邊延長AB、CD、EF、GH，使延長線分別交于點(diǎn)P、Q、M、N，若AB=2，求四邊形PQMN的面積．

【思路點(diǎn)撥】（1）利用已知得出正八邊形，它的內(nèi)角都為135°，再利用正八邊形ABCDEFGH關(guān)于直線BF對(duì)稱，得出∠2+∠3=180°，進(jìn)而得出答案；
（2）根據(jù)題意得出△PAH≌△QCB≌△MDE，則PA=QB=QC=MD．即PQ=QM，故四邊形PQMN是正方形，進(jìn)而求出PQ的長即可得出答案．
【答案與解析】
解：（1）連接BF，則有BF∥AG．
理由如下：
∵ABCDEFGH是正八邊形，
∴它的內(nèi)角都為135°．
又∵HA=HG，
∴∠1=22.5°，
從而∠2=135°﹣∠1=112.5°．
由于正八邊形ABCDEFGH關(guān)于直線BF對(duì)稱，
∴
即∠2+∠3=180°，故BF∥AG．
（2）根據(jù)題設(shè)可知∠PHA=∠PAH=45°，
∴∠P=90°，同理可得∠Q=∠M=90°，
∴四邊形PQMN是矩形．
又∵∠PHA=∠PAH=∠QBC=∠QCB=∠MDE=∠MED=45°，AH=BC=DE，
∴△PAH≌△QCB≌△MDE，
∴PA=QB=QC=MD．即PQ=QM，
故四邊形PQMN是正方形．
在Rt△PAH中，∵∠PAH=45°，AH=2，
∴PA=
∴．
故．
【總結(jié)升華】此題主要考查了正多邊形和圓以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出PQ的長是解題關(guān)鍵．

舉一反三：
【變式】如圖所示，在△ABC中，BC＝4，以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的⊙A與BC相切于點(diǎn)D，交AB于E，交AC于F，點(diǎn)P是⊙A上的一點(diǎn)，且∠EPF＝40°，則圖中陰影部分的面積是( )

A． B． C． D．
【答案】
連接AD，則AD⊥BC，陰影部分面積．故．
答案：B

3．（2014秋?武穴市校級(jí)期末）扇形的圓心角為90°，面積為16π．
（1）求扇形的弧長．
（2）若將此扇形卷成一個(gè)無底圓錐形筒，則這個(gè)圓錐形筒的高是多少？
【思路點(diǎn)撥】（1）首先根據(jù)扇形的面積公式求得扇形的半徑，然后根據(jù)扇形的面積公式S扇形=lR（其中l(wèi)為扇形的弧長），求得扇形的弧長．
（2）設(shè)扇形的半徑為R，圓錐的底面圓的半徑為r，先根據(jù)扇形的面積公式解得母線長，再利用弧長公式得到底面半徑r=2，然后利用勾股定理計(jì)算這個(gè)圓錐形桶的高．
【答案與解析】
解：（1）設(shè)扇形的半徑是R，則=16π，
解得：R=8，
設(shè)扇形的弧長是l，則lR=16π，即4R=16π，
解得：l=4π．

（2）圓錐的底面圓的半徑為r，
根據(jù)題意得
2πr=，解得r=2，
所以個(gè)圓錐形桶的高==2．
故答案為2．
【總結(jié)升華】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．也考查了勾股定理．
4．如圖所示，有一圓錐形糧堆，其正視圖是邊長為6cm的正三角形ABC，糧堆母線AC的中點(diǎn)P處有一老鼠正在偷吃糧食，此時(shí)小貓正在B處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)P處捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)過的最短路程是多少？

【思路點(diǎn)撥】
小貓所經(jīng)過的路程要最短，應(yīng)該求圓錐側(cè)面展開后兩點(diǎn)B、P之間的線段長度.
【答案與解析】
解：設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長為l，展開后圓心角度數(shù)為n°，則底面圓的周長為2πr，側(cè)面展開圖的弧長為，∴ ．
∵ 軸截面△ABC為等邊三角形，
∴ AB＝BC，即．
∴ r＝3．
∴ ．
∴ n＝180，即其側(cè)面展開圖為半圓，如圖所示，則△ABP為直角三角形，BP為最短路線．

在Rt△ABP中，．
答：小貓所經(jīng)過的最短路程為．
【總結(jié)升華】
將所求問題轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)之間線段最短的問題，充分利用圓錐底面周長等于側(cè)面展開圖的弧長溝通空間元素與平面元素之間的關(guān)系．

5．如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，分別以O(shè)B，OD為直徑作⊙O1，⊙O2．

(1)求⊙O1的半徑；
(2)求圖中陰影部分的面積．
【思路點(diǎn)撥】連接O1E，求出一個(gè)小弓形的面積再乘以4即可.
【答案與解析】
解：(1)在正方形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝90°，
∴ ．
∴ ⊙O1的半徑為，
即⊙O1的半徑為．
(2)連接O1E，
∵ BD為正方形ABCD的對(duì)角線，∴ ∠ABO＝45°．
∵ O1E＝O1B，∴ ∠BEO1＝∠EBO2＝45°．
∴ ∠BO1E＝90°．
∴ ．
根據(jù)圖形的對(duì)稱性得 S1＝S2＝S3＝S4，
∴ ．

【總結(jié)升華】
求陰影部分面積時(shí)，一般要將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為幾個(gè)規(guī)則圖形的面積求差或和.
舉一反三：
【變式】已知：如圖所示，水平地面上有一面積為30πcm2的扇形AOB，半徑OA＝6cm，且OA與地面垂直．在沒有滑動(dòng)的情況下，將扇形向右滾動(dòng)至OB與地面垂直為止，求O點(diǎn)移動(dòng)的距離．

【答案】
解：觀察圖形可知O點(diǎn)移動(dòng)距離即為扇形滾動(dòng)距離，而扇形滾動(dòng)距離為優(yōu)弧的弧長．
∵ ，
∴ ．
答：O點(diǎn)移動(dòng)的距離為10π cm．

6．如圖，已知在⊙O中，，AC是⊙O的直徑，AC⊥BD于F，∠A＝30°．

(1)求圖中陰影部分的面積；
(2)若用陰影扇形OBD圍成一個(gè)圓錐側(cè)面，請(qǐng)你出這個(gè)圓錐的底面圓的半徑．
【思路點(diǎn)撥】
（1）陰影部分是一個(gè)扇形，扇形圓心角∠BOD＝2∠BOC＝2×2×30°＝120°，只需通過解直角三角形求出OB的長，即可利用扇形面積求出陰影部分面積．（2）扇形弧長是圓錐的底面周長，由條件求出的長l，利用可求出半徑r的長．
【答案與解析】
解：(1)過O作OE⊥AB于E，則．
在Rt△AEO中，∠BAC＝30°，．
∴ ．

又∵ OA＝OB，
∴ ∠ABO＝30°．
∴ ∠BOC＝60°．
∵ AC⊥BD，
∴ ．
∴ ∠COD＝∠BOC＝60°．
∴ ∠BOD＝120°．
∴ ．
(2)設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，則周長為2πr，
∴ ．
∴ ．
【總結(jié)升華】用扇形圍成圓錐，扇形的半徑是圓錐的母線，扇形的弧長是圓錐的底面周長.

中考總復(fù)習(xí)：正多邊形與圓的有關(guān)的證明和計(jì)算—鞏固練習(xí)（提高）
【鞏固練習(xí)】
一、選擇題
1. 將一個(gè)底面半徑為5 cm，母線長為12 cm的圓錐形紙筒沿一條母線剪開并展平，所得的側(cè)面展開圖的圓心角是（）度．
A.60 B.90 C.120 D.150
2．某盞路燈照射的空間可以看成如圖所示的圓錐，它的高

AO＝8米，母線AB與底面半徑OB的夾角為，，則圓錐的底面積是（）平方米．

A.9π B.16π C. 25π D.36π
3．某花園內(nèi)有一塊五邊形的空地如圖所示，為了美化環(huán)境，現(xiàn)計(jì)劃在五邊形各頂點(diǎn)為圓心，2m長為半徑的扇形區(qū)域內(nèi)（陰影部分）種上花草，那么種上花草的扇形區(qū)域總面積是（）

A．6πm2 B．5πm2 C．4πm2 D．3πcm2
4．如圖所示，直徑AB為6的半圓，繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，此時(shí)點(diǎn)B到了點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是（）

A．6π B．5π C．4π D．3π
5．如圖所示，從一個(gè)直徑為2的圓形鐵皮中剪下一個(gè)圓心角為60°的扇形ABC，將剪下的扇形圍成一個(gè)圓錐，則圓錐的底面圓半徑為（）

A． B． C． D．
6．（2015?威海）如圖，正六邊形A1B1C1D1E1F1的邊長為2，正六邊形A2B2C2D2E2F2的外接圓與正六邊形A1B1C1D1E1F1的各邊相切，正六邊形A3B3C3D3E3F3的外接圓與正六邊形A2B2C2D2E2F2的各邊相切，…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，A10B10C10D10E10F10的邊長為（　?。?br />
A． B． C． D．

二、填空題
7．若一個(gè)圓錐的側(cè)面積是18π，側(cè)面展開圖是半圓，則該圓錐的底面圓半徑是________．
8．如圖，已知⊙O是邊長為2的等邊△ABC的內(nèi)切圓，則⊙O的面積為________．

9．如圖是一條水平鋪設(shè)的直徑為2米的通水管道橫截面，其水面寬為1.6米，則這條管道中此時(shí)水最深為__________米．

10．將半徑為10cm，弧長為12π的扇形圍成圓錐(接縫忽略不計(jì))，那么圓錐的母線與圓錐高的夾角的余弦值是________．

11．如圖所示是一個(gè)用來盛爆米花的圓錐形紙杯，紙杯開口圓的直徑EF長為10cm．在母線OF上的點(diǎn)A處有一塊爆米花殘?jiān)?，且FA＝2cm，一只螞蟻從杯口的點(diǎn)E處沿圓錐表面爬行到A點(diǎn)，則此螞蟻爬行的最短距離為________cm．

12．（2015?深圳校級(jí)模擬）如圖一組有規(guī)律的正多邊形，各正多邊形中的陰影部分面積均為a，按此規(guī)律，則第n個(gè)正多邊形的面積為．

三、解答題
13．如圖所示，AB是⊙O的直徑，弦DE垂直平分半徑OA，C為垂足，弦DF與半徑OB相交于點(diǎn)P，連結(jié)EF、EO，若DE＝，∠DPA＝45°．

(1)求⊙O的半徑；
(2)求圖中陰影部分的面積．

14. 如圖AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在⊙O上，∠DAB＝45°，BC∥AD，CD∥AB．
(1)判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)若⊙O的半徑為1，求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留π)．

15．已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，弦CE⊥AB于F，C是的中點(diǎn)，連結(jié)BD并延長交EC的延長線于點(diǎn)G，連結(jié)AD，分別交CE、BC于點(diǎn)P、Q．

(1)求證：P是△ACQ的外心；
(2)若，CF＝8，求CQ的長；
(3)求證：(FP+PQ)2＝FP·FG．

16. （2014?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，圓O的半徑為r．
（1）在圖①中，畫出圓O的內(nèi)接正△ABC，簡要寫出畫法；求出這個(gè)正三角形的周長．
（2）在圖②中，畫出圓O的內(nèi)接矩形ABCD，簡要寫出畫法；若設(shè)AB=x，則矩形的周長為　．
（3）如圖③，六邊形ABCDEF內(nèi)接于半徑為r（常數(shù)）的⊙O，其中AD為直徑，且AB=CD=DE=FA．設(shè)AB=x，求六邊形ABCDEF的周長L關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并探究L是否有最大值，若有，請(qǐng)指出x為何值時(shí)，L取得最大值；若沒有，請(qǐng)說明理由．

【答案與解析】
一、選擇題
1.【答案】D；
【解析】圓錐的底面周長為，所以它的側(cè)面展開圖的圓心角
是．
2.【答案】D；
【解析】因?yàn)?，AO＝8，所以BO＝6，所以圓錐的底面積是．
3.【答案】A；
【解析】五個(gè)扇形的半徑都為2cm，設(shè)其圓心角分別為，，，，，
則無法直接利用扇形面積公式求解，可以整體考慮，邊形形
內(nèi)角和＝(5-2)×180°＝540°，
∴ ．
4.【答案】A；
【解析】如果分別求SⅠ和SⅢ得陰影面積則很復(fù)雜，由旋轉(zhuǎn)前后圖形全等，易得SⅠ＝SⅡ，
∴ ．
5.【答案】B；
【解析】要求圍成的圓錐的底面圓半徑，只要求出扇形ABC中BC的弧長，該弧長即為圍成的圓錐的底面圓的周長，再根據(jù)周長即可以求出半徑．
∵ 直徑為2，∠BAC＝60°
∴ AC＝，
∴ BC的弧長為，設(shè)底面圓的半徑為r，則由解得．
6.【答案】D；
【解析】連結(jié)OE1，OD1，OD2，如圖，
∵六邊形A1B1C1D1E1F1為正六邊形，
∴∠E1OD1=60°，
∴△E1OD1為等邊三角形，
∵正六邊形A2B2C2D2E2F2的外接圓與正六邊形A1B1C1D1E1F1的各邊相切，
∴OD2⊥E1D1，
∴OD2=E1D1=×2，
∴正六邊形A2B2C2D2E2F2的邊長=×2，
同理可得正六邊形A3B3C3D3E3F3的邊長=（）2×2，
則正六邊形A10B10C10D10E10F10的邊長=（）9×2=．
故選D．

二、填空題
7．【答案】3；
【解析】設(shè)圓錐的母線長為R，側(cè)面展開圖半圓弧長為，圓錐底面積半徑為r，
則有：．
∴ R2＝36，R＝6．又．
∴ ，∴ 2πr＝6π，r＝3．
8．【答案】；
【解析】設(shè)⊙O與BC切于D點(diǎn)，連接OD，OC．

在Rt△ODC中，．∠OCD＝30°．
∴ ．
∴ ，則．
9．【答案】0.4；
【解析】如圖，過O作OC⊥AB于C，并延長并于D．

在Rt△OBC中，，．
∴ ．
∴ CD＝OD-OC＝1-0.6＝0.4(米)．
10．【答案】；
【解析】如圖，因?yàn)?πR＝12π，所以R＝6．

由勾股定理，得．
所以．
11．【答案】；
【解析】底圓周長為2πr＝10π，
設(shè)圓錐側(cè)面展開圖的扇形所對(duì)圓心角為n°，
有，即，
∴ n＝180°，如圖所示，F(xiàn)A＝2，OA＝8，

在Rt△OEA中由勾股定理可得EA即為所求最短距離．
∴ ．

12．【答案】a；
【解析】第一個(gè)：正多邊形的面積等于a；
第二個(gè)：如圖作AE⊥BD于E，
設(shè)正六邊形的邊長為2，
∵正六邊形的一個(gè)內(nèi)角為120°，
∴∠ABE=30°，
則AE=1，BE=，
△ABD的面積為：×2×1=，
a=2×2=4，
∴正六邊形的面積為：a，

第三個(gè)：如圖，
∵正八邊形的一個(gè)內(nèi)角為135°，
∴∠ABD=45°，
設(shè)正八邊形的邊長為2，
則BD=AD=，△ABD的面積為1，
四邊形ABEF的面積為1+2+1=2+2，
a=2×（2+2）=4+4，
∴正八邊形的面積為2a，

通過計(jì)算可以看出：第n個(gè)正多邊形的面積為a．

三、解答題
13.【答案與解析】
（1）∵ 直徑AB⊥DE，
∴ ．
∵ DE平分半徑OA，
∴ ．
在Rt△OCE中，
∵ ∠CEO＝30°．
∴ OE＝2．
即⊙O的半徑為2．
（2）連OF，在Rt△DCP中，
∵ ∠DPC＝45°．∠D＝90°-45°＝45°
∴ ∠EOF＝2∠D＝90°．
∵ ．

∴ ．

14.【答案與解析】
解：(1)直線CD與⊙O相切．
如圖，連接OD．

∵ OA＝OD，∠DAB＝45°，
∴ ∠ODA＝45°．∴ ∠AOD＝90°．
∵ CD∥AB，∴ ∠ODC＝∠AOD＝90°，
即OD⊥CD．
又∵ 點(diǎn)D在⊙O上，∴ 直線CD與⊙O相切．
(2)∵ BC∥AD，CD∥AB，
∴ 四邊形ABCD是平行四邊形．
∴ CD＝AB＝2．
∴ ．
∴ 圖中陰影部分的面積等于
．

15.【答案與解析】
(1)證明：∵ C是的中點(diǎn)，
∴ ．
∴ ∠CAD＝∠ABC．
∵ AB是⊙O的直徑，
∴ ∠ACB＝90°．
∴ ∠CAD+∠AQC＝90°．
又 CE⊥AB，
∴ ∠ABC+∠PCQ＝90°．
∴ ∠AQC＝∠PCQ．
∴ 在△PCQ中，有PC＝PQ．
∵ CE⊥直徑AB，
∴ ．
∴ ．
∴ ∠CAD＝∠ACE．
∴ 在△APC中，有PA＝PC．
∴ PA＝PC＝PQ．
∴ P是△ACQ的外心．

(2)解：∵ CE⊥直徑AB于F，
∴ 在Rt△BCF中，
由，CF＝8，
得．
∴ 由勾股定理，得．
∵ AB是⊙O直徑，
∴ 在Rt△ACB中，由，，
得．
易知Rt△ACB∽R(shí)t△QCA，∴ AC2＝CQ·BC．
∴ ．
(3)證明：∵ AB是⊙O直徑，∴ ∠ACB＝90°．
∴ ∠DAB+∠ABD＝90°．
又CF⊥AB，∴ ∠ABG+∠G＝90°．
∴ ∠DAB＝∠G．
∴ Rt△AFP∽R(shí)t△GFB．
∴ ，即AF·BF＝FP·FG．
易知Rt△ACF∽R(shí)t△CBF，
∴ FC2＝AF·BF(或由射影定理得)
∴ FC2＝FP·FG．
由(1)，知PC＝PQ，∴ FP+PQ＝FP+PC＝FC．
∴ (FP+PQ)2＝FP·FG．

16.【答案與解析】
解：（1）首先把圓六等份，然后連接三個(gè)不相鄰的頂點(diǎn)即可作出．
△ABC就是所求的三角形；
（2）在直角△ABD中，AD==，
則BC=AD=，CD=AB=x．
則矩形的周長是：2x+2，
故答案是：2x+2；
（3）連接AC，
∵AD是直徑，
∴∠ACD=90°，
又∵CG⊥AD于點(diǎn)G．
∴CD2=DG?AD，
∴DG==，
∴BC=EF=AD﹣2DG=2r﹣．
則L=4x+4r﹣．
當(dāng)x=﹣=r時(shí)，L取得最大值．最大值是：6r．

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