中考總復習：正多邊形與圓的有關的證明和計算—知識講解（基礎） 【考綱要求】1．了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓的內接正多邊形的方法；會計算弧長及扇形的面積、圓錐的側面積及全面積；
2．結合相關圖形性質的探索和證明，進一步培養(yǎng)合情推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的表達能力；通過這一章的學習，進一步培養(yǎng)綜合運用知識的能力，運用學過的知識解決問題的能力.
 【知識網(wǎng)絡】    【考點梳理】考點一、正多邊形和圓1、正多邊形的有關概念：(1) 正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.
　　(2)正多邊形的中心——正多邊形的外接圓的圓心.
　　(3)正多邊形的半徑——正多邊形的外接圓的半徑.
　　(4)正多邊形的邊心距——正多邊形中心到正多邊形各邊的距離.（正多邊形內切圓的半徑）
　　(5)正多邊形的中心角——正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角.
2、正多邊形與圓的關系：
　　(1)將一個圓n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次連結各等分點所得的多邊形是這個圓的內接正多邊形.
　　(2)這個圓是這個正多邊形的外接圓.
　 （3）把圓分成n(n≥3)等分，經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形.這個圓叫做正n邊形的內切圓.（4）任何正n邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓.
3、正多邊形性質：
　　(1)任何正多邊形都有一個外接圓.
　　(2) 正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心．當邊數(shù)是偶數(shù)時，它又是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.(3)邊數(shù)相同的正多邊形相似.它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．（4）任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓.
要點詮釋：（1）正n邊形的有n個相等的外角，而正n邊形的外角和為360度，所以正n邊形每個外角的度數(shù)是；所以正n邊形的中心角等于它的外角.
（2）邊數(shù)相同的正多邊形相似.周長的比等于它們邊長（或半徑、邊心距）的比.面積比等于它們邊長（或半徑、邊心距）平方的比.
考點二、圓中有關計算
1．圓中有關計算
　　圓的面積公式：，周長.
　　圓心角為、半徑為R的弧長.
　　圓心角為，半徑為R，弧長為的扇形的面積.
　　弓形的面積要轉化為扇形和三角形的面積和、差來計算.
　　圓柱的側面圖是一個矩形，底面半徑為R，母線長為的圓柱的體積為，側面積為，全面積為.
　　圓錐的側面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為，高為的圓錐的側面積為，全面積為，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有.要點詮釋：
　　(1)對于扇形面積公式，關鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；
　　(2)在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.
　　(3)扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點類似，可類比記憶；
　　(4)扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系：.
  【典型例題】類型一、正多邊形有關計算 1．（2015?鎮(zhèn)江）圖①是我們常見的地磚上的圖案，其中包含了一種特殊的平面圖形﹣正八邊形．（1）如圖②，AE是⊙O的直徑，用直尺和圓規(guī)作⊙O的內接正八邊形ABCDEFGH（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的前提下，連接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一個圓錐的側面，則這個圓錐底面圓的半徑等于　          ．【思路點撥】（1）作AE的垂直平分線交⊙O于C，G，作∠AOG，∠EOG的角平分線，分別交⊙O于H，F(xiàn)，反向延長 FO，HO，分別交⊙O于D，B順次連接A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，八邊形ABCDEFGH即為所求；（2）由八邊形ABCDEFGH是正八邊形，求得∠AOD=3=135°得到的長=，設這個圓錐底面圓的半徑為R，根據(jù)圓的周長的公式即可求得結論．【答案與解析】（1）如圖所示，八邊形ABCDEFGH即為所求， （2）∵八邊形ABCDEFGH是正八邊形，∴∠AOD=3=135°，∵OA=5，∴的長=，設這個圓錐底面圓的半徑為R，∴2πR=，∴R=，即這個圓錐底面圓的半徑為．故答案為：．【總結升華】本題考查了尺規(guī)作圖，圓內接八邊形的性質，弧長的計算，圓的周長公式的應用，會求八邊形的內角的度數(shù)是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】如圖是三根外徑均為1米的圓形鋼管堆積圖和主視圖，則其最高點與地面的距離是______米．【答案】.        解析：如圖，以三個圓心為頂點等邊三角形O1O2O3的高O1C＝， 所以AB＝AO1+O1C+BC＝．【高清課堂：正多邊形與圓的有關證明與計算  自主學習4】【變式2】同一個圓的內接正三角形、正方形、正六邊形的邊長的比是__________.【答案】【高清課堂：正多邊形與圓的有關證明與計算  自主學習2】【變式3】（2015?廣西自主招生）一張圓心角為45°的扇形紙板和圓形紙板按如圖方式剪得一個正方形，邊長都為2，則扇形紙板和圓形紙板的面積比是（　?。?/span>A．5：4     B．5：2     C．：2 D．： 【答案】A.【解析】解：如圖1，連接OD，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=2，∵∠AOB=45°，∴OB=AB=2，由勾股定理得：OD==2，∴扇形的面積是=π；如圖2，連接MB、MC，∵四邊形ABCD是⊙M的內接四邊形，四邊形ABCD是正方形，∴∠BMC=90°，MB=MC，∴∠MCB=∠MBC=45°，∵BC=2，∴MC=MB=，∴⊙M的面積是π×（）2=2π，∴扇形和圓形紙板的面積比是π÷（2π）=．故選：A．   類型二、正多邊形與圓有關面積的計算2．(1)如圖(a)，扇形OAB的圓心角為90°，分別以OA，OB為直徑在扇形內作半圓，P和Q分別表示陰影部分的面積，那么P和Q的大小關系是(  )．A．P＝Q    B．P＞Q    C．P＜Q    D．無法確定    (2)如圖(b)，△ABC為等腰直角三角形，AC＝3，以BC為直徑的半圓與斜邊AB交于點D，則圖中陰影部分的面積是________．(3)如圖(c)，△AOB中，OA＝3cm，OB＝1cm，將△AOB繞點O逆時針旋轉90°到△A′OB′，求AB掃過的區(qū)域(圖中陰影部分)的面積．(結果保留π)【思路點撥】 直接使用公式計算陰影部分面積比較困難時，可采用和差法、轉化法、方程法等，有時也需要運用變換的觀點來解決問題．【答案與解析】解：(1)陰影部分的面積直接求出十分困難，可利用幾個圖形面積的和差進行計算：        ；    (2)(轉化法“湊整”)利用，則陰影部分的面積可轉化為△ACD的面積，等于△ABC面積的一半，答案為；(3)(旋轉法)將圖形ABM繞點O逆時針旋轉到A′B′M′位置，則．【總結升華】求陰影面積的幾種常用方 (1)公式法；(2)割補法；（3）旋轉法；(4)拼湊法；(5)等積變形法；(6)構造方程法．舉一反三：【變式】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB＝8，BC＝12，分別以AB、AC為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積是(   )A．    B．    C．    D． 【答案】      解：如圖，由AB，AC為直徑可得AD⊥BC，則BD＝DC＝6．在Rt△ABD中，，∴  ．      答案選D.3．如圖所示，A是半徑為2的⊙O外一點，OA＝4，AB是⊙O的切線，B為切點，弦BC∥OA，連AC，求陰影部分的面積．【思路點撥】圖中的陰影是不規(guī)則圖形，不易直接求出，如果連接OB、OC，由BC∥OA，根據(jù)同底等高的三角形面積相等，于是所求陰影可化為扇形OBC去求解．【答案與解析】    解：如圖所示，連OB、OC    ∵  BC∥OA．    ∴  △OBC和△ABC同底等高，    ∴  S△ABC＝S△OBC，    ∴      ∵  AB為⊙O的切線，    ∴  OB⊥AB．    ∵  OA＝4，OB＝2，    ∴  ∠AOB＝60°．    ∵  BC∥OA，    ∴  ∠AOB＝∠OBC＝60°．    ∵  OB＝OC，    ∴  △OBC為正三角形．∴  ∠COB＝60°，∴  ． 【總結升華】通過等積替換化不規(guī)則圖形為規(guī)則圖形，在等積轉化中①可根據(jù)平移、旋轉或軸對稱等圖形變換；②可根據(jù)同底（等底）同高（等高）的三角形面積相等進行轉化． 舉一反三：【變式】如圖所示，半圓的直徑AB＝10，P為AB上一點，點C，D為半圓的三等分點，則陰影部分的面積等于________．      【答案】解：連接OC、OD、CD．    ∵  C、D為半圓的三等分點，    ∴  ∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝．    又∵  OC＝OD，    ∴  ∠OCD＝∠ODC＝60°，∴  DC∥AB，    ∴  ，∴  ．       4．（2015秋?江都市期中）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，以AB為直徑的半圓與對角線AC交于點E．（1）求弧BE所對的圓心角的度數(shù)．（2）求圖中陰影部分的面積（結果保留π）．【思路點撥】（1）連接OE，由條件可求得∠EAB=45°，利用圓周角定理可知弧BE所對的圓心角∠EOB=2∠EAB=90°；（2）利用條件可求得扇形AOE的面積，進一步求得弓形的面積，利用Rt△ADC的面積減去弓的面積可求得陰影部分的面積．【答案與解析】解：（1）連接OE，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠EAB=45°，∴∠EOB=2∠EAB=90°；（2）由（1）∠EOB=90°，且AB=4，則OA=2，∴S扇形AOE==π，S△AOE=OA2=2，∴S弓形=S扇形AOE﹣S△AOE=π﹣2，又∵S△ACD=AD?CD=×4×4=8，∴S陰影=8﹣（π﹣2）=10﹣π．【總結升華】本題主要考查扇形面積的計算和正方形的性質，掌握扇形的面積公式是解題的關鍵，注意弓形面積的計算方法．5．將一塊三角板和半圓形量角器按圖中方式疊放，重疊部分（陰影）的量角器圓弧（）對應的中心角（∠AOB）為120°，AO的長為4cm，求圖中陰影部分的面積.【思路點撥】    看是否由“規(guī)則的”三角形、四邊形、圓、扇形、弓形等可求面積的圖形，經(jīng)過怎樣的拼湊、割補、疊合而成，這是解決這類題的關鍵．【答案與解析】陰影部分的面積可看成是由一個扇形AOB和一個Rt△BOC組成，其中扇形AOB的中心角是，AO的長為4，Rt△BOC中，OB＝OA＝4，∠BOC＝60°，∴ 可求得BC長和OC長，從而可求得面積，陰影部分面積＝扇形AOB面積+△BOC面積＝．【總結升華】本題是求簡單組合圖形的面積問題，解答時，常常是尋找這些“不規(guī)則的圖形”是由哪些“可求面積的、規(guī)則的圖形”組合而成. 舉一反三：【變式】如圖，矩形ABCD中，AB＝1，．以AD的長為半徑的⊙A交BC于點E，則圖中陰影部分的面積為________．【答案】.  解析：連接AE，易證AB＝BE＝1，∠BAE＝45°，所以∠EAD＝45°，所以．        6．如圖，AB是⊙O的直徑，點P是AB延長線上一點，PC切⊙O于點C，連接AC，過點O作AC的垂線交AC于點D，交⊙O于點E．已知AB﹦8，∠P=30°．
（1）求線段PC的長；
（2）求陰影部分的面積．【思路點撥】（1）連接OC，由PC為圓O的切線，根據(jù)切線的性質得到OC與PC垂直，可得三角形OCP為直角三角形，同時由直徑AB的長求出半徑OC的長，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義得到tanP為∠P的對邊OC與鄰邊PC的比值，根據(jù)∠P的度數(shù)，利用特殊角的三角函數(shù)值求出tanP的值，由tanP及OC的值，可得出PC的長；
   （2）由直角三角形中∠P的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余求出∠AOC的度數(shù)，進而得出∠BOC的度數(shù)，由OD與BC垂直，且OC=OB，利用等腰三角形的三線合一得到OD為∠BOC的平分線，可求出∠COD度數(shù)為60°，再根據(jù)直角三角形中兩銳角互余求出∠OCD度數(shù)為30°，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，由斜邊OC的長求出OD的長，先由∠COD的度數(shù)及半徑OC的長，利用扇形的面積公式求出扇形COE的面積，再由OD與CD的長，利用直角三角形兩直角邊乘積的一半求出直角三角形COD的面積，用扇形COE的面積減去三角形COD的面積，即可求出陰影部分的面積．【答案與解析】解：（1）連接OC，
∵PC切⊙O于點C，∴OC⊥PC，
∵AB=8，∴OC=AB=4，
又在直角三角形OCP中，∠P=30°，
∴tanP=tan30°=，即PC==4；
（2）∵∠OCP=90°，∠P=30°，
∴∠COP=60°，∴∠AOC=120°，
又AC⊥OE，OA=OC，∴OD為∠AOC的平分線，
∴∠COE=∠AOC=60°，又半徑OC=4，
∴S扇形OCE=，
在Rt△OCD中，∠COD=60°，
∴∠OCD=30°，∴OD=OC=2，
根據(jù)勾股定理得：CD=，
∴S△OCD=DC?OD=×2×2=2，
則S陰影=S扇形OCE-S△OCD=．【總結升華】此題考查了切線的性質，含30°角的直角三角形的性質，等腰三角形的性質，銳角三角函數(shù)定義，以及扇形的面積公式，遇到已知切線的類型題時，常常連接圓心與切點，利用切線的性質得出垂直，利用直角三角形的性質來解決問題．   中考總復習：正多邊形與圓的有關的證明和計算—鞏固練習（基礎）【鞏固練習】一、選擇題
1．在半徑為12的⊙O中，60°的圓心角所對的弧長是（   ）A．6π     B．4π    C．2π    D．π 2．一個圓錐的側面展開圖是半徑為1的半圓，則該圓錐的底面半徑是（   ）    A．1    B．    C．    D．3．如圖，正三角形的內切圓半徑為1，那么這個正三角形的邊長為(   )A．2    B．3    C．    D．4．已知一個圓錐的側面展開圖是一個半徑為9，圓心角為120°的扇形，則該圓錐的底面半徑等于(   )    A．9    B．27    C．3    D．10  5．如圖所示．在△ABC中，AB＝AC，AB＝8，BC＝12，分別以AB、AC為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積是（   ）    A．     B．    C．    D． 6．（2015?金華）如圖，正方形ABCD和正△AEF都內接于⊙O，EF與BC、CD分別相交于點G、H，則的值是（　?。?/span>A． B． C． D．2  二、填空題7．已知扇形的半徑為3cm，面積為3πcm2，則扇形的圓心角是________，扇形的弧長是________cm（結果保留π）.8．如果圓錐的底面半徑為3 cm，母線長為6 cm，那么它的側面積等于________cm2．9．如圖所示，ABCD是各邊長都大于2的四邊形，分別以它的頂點為圓心，1為半徑畫弧(弧的端點分別在四邊形的相鄰兩邊上)，則這4條弧長的和是________． 10．如圖所示，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，以AD的長為半徑的⊙A交BC于點E，則圖中陰影部分的面積為________．        11．如圖所示，如果從半徑為3cm的圓形紙片剪去圓周的一個扇形，將留下的扇形圍成一個圓錐（接縫處不重疊），那么這個圓錐的體積是________． 12．（2015?建鄴區(qū)二模）如圖，在半徑為2的⊙O中，兩個頂點重合的內接正四邊形與正六邊形，則陰影部分的面積為　          　．  三、解答題13．如圖所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝4，BC＝6，以A為圓心在梯形內畫出一個最大的扇形(圖中陰影部分)，求陰影部分的面積及扇形的弧長．                                                                 14. 如圖所示，已知在⊙O中，AB＝，AC是⊙O的直徑，AC⊥BD于F，∠A＝30°．(1)求圖中陰影部分的面積；(2)若用陰影扇形OBD圍成一個圓錐側面，請求出這個圓錐的底面圓的半徑． 15．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．(1)求證：PC是⊙O的切線；(2)求證：；(3)點M是弧AB的中點，CM交AB于點N，若AB＝4，求MN·MC的值． 16.（2015秋?泰興市校級月考）如圖，紙片ABCD是一個菱形，其邊長為2，∠BAD=120°．以點A為圓心的扇形與邊BC相切于點E，與AB、AD分別相交于點F、G；（1）請你判斷所作的扇形與邊CD的位置關系，并說明理由；（2）若以所作出的扇形為側面圍成一個圓錐，求該圓錐的全面積．  【答案與解析】一、選擇題
1.【答案】B；【解析】直接用公式.     2.【答案】C；【解析】，∴  ．3.【答案】D；4.【答案】C；【解析】設該圓錐的底面半徑為r，則，解得r＝3．  5.【答案】D；【解析】可轉化為以AB為直徑的圓的面積減去△ABC的面積．    6.【答案】C；【解析】如圖，連接AC、BD、OF，設⊙O的半徑是r，則OF=r，∵AO是∠EAF的平分線，∴∠OAF=60°÷2=30°，∵OA=OF，∴∠OFA=∠OAF=30°，∴∠COF=30°+30°=60°，∴FI=r?sin60°=，∴EF=，∵AO=2OI，∴OI=，CI=r﹣=，∴，∴，∴=，即則的值是．故選：C．  二、填空題7．【答案】120°，2π；【解析】直接代公式，.8．【答案】18π；【解析】圓錐的側面積公式為S＝πra，所以S＝π×3×6＝18π(cm2)．9．【答案】6π；  【解析】4條弧長的和可以看作是4個圓的周長減去四個圓在四邊形ABCD內的四條弧的長，又由∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∴  四邊形ABCD內的四條孤長的和為一個圓的周長，所以所求的四條弧長之和為3個圓的周長：3×2πr＝3×2π×1＝6π．10．【答案】；【解析】連接AE，易證AB＝BE＝1，∠AEB＝45°，∴  ∠EAD＝45°，∴  ．11．【答案】；   【解析】可求圓錐底面半徑，高，代公式 ．12．【答案】6﹣2  ； 【解析】如圖，連接OB，OF，根據(jù)題意得：△BFO是等邊三角形，△CDE是等腰直角三角形，∴BF=OB=2，∴△BFO的高為；，CD=2（2﹣）=4﹣2，∴BC=（2﹣4+2）=﹣1，∴陰影部分的面積=4S△ABC=4×（）?=6﹣2．故答案為：6﹣2． 三、解答題13.【答案與解析】       解  設切點為E，連接AE，則AE⊥BC．    ∵  ∠C＝∠D＝90°，    ∴  四邊形ADCE是矩形．    ∴  CE＝AD＝4．    ∵  BC＝6，∴  BE＝2．    ∵  BE＝AB，    ∴  ∠BAE＝30°，AE＝．    ∴  ∠DAB＝120°．    ∴  ．    ． 14.【答案與解析】     解：（1）連BC，∵  AC為⊙O的直徑，∴  ∠ABC＝90°，∵  AB＝，∠A＝30°，∴  AC＝2BC，由勾股定理可求AC＝8，又易求∠BOD＝120°，∴  ．     （2）設圓錐的底面圓的半徑為r，則周長為2πr，          ∴  ，∴  ． 15.【答案與解析】    (1)證明：∵  OA＝OC，∴  ∠A＝∠ACO．∵  ∠COB＝∠A+∠ACO，∴  ∠COB＝2∠A，∵  ∠COB＝2∠PCB，∴  ∠A＝∠ACO＝∠PCB．∵  AB是⊙O的直徑，∴  ∠ACO+∠OCB＝90°．∴  ∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP．∵  OC是⊙O的直徑，∴  PC是⊙O的切線． (2)證明：∵  PC＝AC，∴  ∠A＝∠P，∴∠A＝∠ACO＝∠PCB＝∠P．∵  ∠COB＝∠A+∠ACO，∠CBO＝∠P+∠PCB，∴  ∠CBO＝∠COB．∴  BC＝OC，∵  ，∴  ． (3)解：如圖，連接MA，MB．∵  點M是的中點，∴  ，∴  ∠BCM＝∠ABM．∵  ∠BMC＝∠BMN，∴  △MBN∽△MCB，∴  ，∴  BM2＝MC·MN．∵  AB是⊙O的直徑，，∴  ∠AMB＝90°，AM＝BM．∵  AB＝4，∴  ，∴  MC·MN＝BM2＝8． 16.【答案與解析】解：（1）相切；證明：連接AE、AC，過點A作AH⊥CD，垂足為H，∵CB與⊙A相切，∴AE⊥BC，∵四邊形ABCD為菱形，∴AC平分∠BAD，∴AE=AH，∴扇形與邊CD相切；（2）∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD=120°，∴△ABC是等邊三角形，又其邊長為2，∴AE=，∴的長為=π，則圓錐的側面積為：×π×=π，設圓錐的底半徑為r，2πr=π，解得，r=，則圓錐的底面積為：π×（）2=，該圓錐的全面積=π+=π． 

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