第19講 利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系一．解答題（共20小題）1．如圖：長(zhǎng)為3的線段與邊長(zhǎng)為2的正方形垂直相交于其中心．（1）若二面角的正切值為，試確定在線段的位置；（2）在（1）的前提下，以，，，，，為頂點(diǎn)的幾何體是否存在內(nèi)切球？若存在，試確定其內(nèi)切球心的具體位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．在四棱錐中，為棱的中點(diǎn)，平面，，，，，為棱的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若二面角為，求直線與平面所成角的正切值．3．如圖（1），在等腰梯形中，，是梯形的高，，，現(xiàn)將梯形沿，折起，使且，得一簡(jiǎn)單組合體如圖（2）示，已知，分別為，的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若直線與平面所成角的正切值為，則求平面與平面所成的銳二面角大?。?/span>4．三棱柱中，，，側(cè)面為矩形，，二面角的正切值為．（Ⅰ）求側(cè)棱的長(zhǎng)；（Ⅱ）側(cè)棱上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正切值為，若存在，判斷點(diǎn)的位置并證明；若不存在，說(shuō)明理由．5．如圖，在四棱錐中，底面四邊形內(nèi)接于圓，是圓的一條直徑，平面，，是的中點(diǎn)，（1）求證：平面；（2）若二面角的正切值為2，求直線與平面所成角的正弦值．6．如圖，四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，且，，平面平面，點(diǎn)，為棱，中點(diǎn)，二面角的平面角的余弦值為．（1）求棱的長(zhǎng)；（2）求與平面所成角的正切值．7．在如圖所示的幾何體中，平面平面，四邊形為平行四邊形，，，，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的正切值；（Ⅲ）若點(diǎn)在線段上，求直線與平面所成的角的正弦值的取值范圍；并求該正弦值取最大值時(shí)，多面體的體積．8．如圖，在多面體中，側(cè)面底面，四邊形是矩形，，，，．（1）求證：；（2）當(dāng)二面角的正切值為2時(shí)，求的值．9．如圖，已知五面體，其中內(nèi)接于圓，是圓的直徑，四邊形為平行四邊形，且平面．（Ⅰ）證明：（Ⅱ）若，，且二面角所成角的正切值是2，試求該幾何體的體積．10．如圖所示，平面，為等邊三角形，，，為中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）若與平面所成角的正切值為，求二面角的正切值．11．在等腰梯形中，，分別是，的中點(diǎn)，，，，現(xiàn)將梯形沿折起，并記平面與平面所成二面角的平面角為，中點(diǎn)為．（1）當(dāng)時(shí)，求證：平面；（2）當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，求與平面所成角的正切值．12．已知直角三角形，，，，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，且，將沿折起到位置，使平面與平面所成的二面角的大小為，設(shè)，．（1）若且與平面所成的角的正切值為，求二面角的大小的正切值；（2）已知，為的中點(diǎn)，若，求的取值．13．已知和是兩個(gè)有公共斜邊的直角三角形，并且，．（1）若是邊上的一點(diǎn)，當(dāng)的面積最小時(shí)，求二面角的平面角的正切值；（2）能否找到一個(gè)球，使，，，都在該球面上，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；若能，求該球的內(nèi)接圓柱的表面積的最大值．14．如圖，已知四棱錐，底面為菱形，，，平面，，分別是，的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）若為上的動(dòng)點(diǎn)，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值．15．在三棱錐中，平面，，點(diǎn)在棱上，且．（1）試證明：面；（2）若，過(guò)直線任作一個(gè)平面與直線相交于點(diǎn)，得到三棱錐的一個(gè)截面，求面積的最小值；（3）若，求二面角的正弦值．16．如圖1所示，在邊長(zhǎng)為12的正方形中，點(diǎn)，在線段上，且，，作，分別交，于點(diǎn)，，作，分別交，于點(diǎn)，，將該正方形沿，折疊，使得與重合，構(gòu)成如圖2所示的三棱柱．（1）求證：平面；（2）若點(diǎn)為四邊形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求的最小值．17．如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形中，．點(diǎn)、分別在邊、上，點(diǎn)與點(diǎn)、不重合，，．沿將翻折到的位置，使平面平面，點(diǎn)滿足．（1）求證：平面；（2）求的最小值，并探究此時(shí)直線與平面所成的角是否一定大于？18．在中，，，，，分別為，邊上的點(diǎn)，且，沿將折起（記為△，使二面角為直二面角．（1）當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，的長(zhǎng)度最小，并求出最小值；（2）當(dāng)的長(zhǎng)度最小時(shí)，求二面角的大?。?/span>19．如圖，在四棱錐中，面，四邊形是菱形，，，是上任意一點(diǎn)（1）求證：；（2）當(dāng)面積的最小值是9時(shí)，求的長(zhǎng)（3）在（2）的條件下，在線段上是否存在點(diǎn)，使與面所成角的正切值為2？若存在，求出的值，若不存在，說(shuō)明理由．20．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面，，，，分別是，的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）設(shè)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，若線段長(zhǎng)的最小值為，求直線與平面所成的角的余弦值． 

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