第18講 兩角相等（構(gòu)造全等）的立體幾何問題一．解答題（共12小題） 1．如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，，點是的中點，連接，（1）證明：平面平面；（2）若，，求三棱錐的體積．2．如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，，，點是的中點，記、的面積分別為、，二面角的大小為，證明：（1）平面平面；（2）．3．如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，，點是的中點，連接，．（1）證明：平面平面；（2）若，且二面角為，求直線與平面所成角的正弦值．4．如圖，在三棱錐中，和均為等腰直角三角形，且，已知側(cè)面與底面垂直，點是的中點，點是的中點，點在棱上，且，點是上的動點．（1）證明：；（2）當(dāng)平面時，求二面角的余弦值．5．如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，，面積是面積的兩倍，點在側(cè)棱上．（1）若，證明：平面平面；（2）若二面角的大小為，且為的中點，求直線與平面所成角的正弦值．6．如圖，四棱錐中，底面為邊長是2的正方形，，分別是、的中點，，，且二面角的大小為．（1）求證：；（2）求二面角的余弦值．7．如圖，四棱錐中，四邊形是邊長為2的菱形，，．（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）當(dāng)直線與平面所成的角為時，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．8．如圖所示，在四棱錐中，底面四邊形是邊長為4的菱形，，對角線與相交于點，，．（1）證明：；（2）若直線與平面所成角為，問在線段上是否存在一點，使二面角的余弦值為？若存在，求出的值：若不存在，請說明理由．9．如圖，在四面體中，已知，，（1）求證：；（2）若平面平面，且，求二面角的余弦值．10．已知如圖，平面平面，，，．（Ⅰ）異面直線、所成的角為，異面直線、所成的角為，求證：；（Ⅱ）求二面角的余弦值的絕對值．11．如圖，是四邊形的外接圓的直徑，平面，為的中點，已知，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳角二面角的余弦值．12．已知四面體，，且平面平面．（Ⅰ）若，求證：；（Ⅱ）求二面角的正切值． 

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