第17講 立體幾何建系繁瑣問題一、解答題1． 如圖，已知三棱柱的底面是正三角形，側面是矩形，，分別為，的中點，為上一點．過和的平面交于，交于．（1）證明：，且平面平面；（2）設為△的中心．若平面，且，求直線與平面所成角的正弦值． 【答案】（1）證明：，分別為，的中點，底面為正三角形，，四邊形為矩形，，，，，，，，平面，平面，平面平面，綜上，，且平面平面．（2）解：三棱柱上下底面平行，平面與上下底面分別交于，，，面，面，面面，，四邊形為平行四邊形，是正三角形的中心，，，，，由（1）知直線在平面內的投影為，直線與平面所成角即為等腰梯形中與所成角，在等腰梯形中，令，過作于，則，，，，直線與平面所成角的正弦值為．2． 如圖，在錐體中，是邊長為1的菱形，且，，，，分別是，的中點（1）證明：平面（2）求二面角的余弦值．      【答案】（1）取的中點，連接，，在中，根據(jù)余弦定理可以算出，發(fā)現(xiàn)，可以得出，又，又，可以得出，而，平面，而平面，，又，．又，平面．（2）由（1）知，平面，所以為二面角的平面角，在中，，，，由余弦定理得，因此二面角的余弦值為．3． 如圖，是半徑為的半圓，為直徑，點為的中點，點和點為線段的三等分點，平面外一點滿足，．（1）證明：；（2）已知點，為線段，上的點，，，求平面與平面所成二面角的正弦值．      【答案】（1）證明：連接，因為是半徑為的半圓，為直徑，點為的中點，所以．在中，．在中，，為等腰三角形，且點是底邊的中點，故．在中，，所以為△，且．因為，，且，所以平面，而平面，．因為，，且，所以平面，而平面，．（2）設平面與平面的交線為．由，，知．而平面，平面，而平面平面，．由（1）知，平面，平面，而，平面，，，是平面與平面所成二面角的平面角．在中，，，．在中，由知，，由余弦定理得，由正弦定理得，，即，．故平面與平面所成二面角的正弦值為．4． 《九章算術》是中國古代的一部數(shù)學專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，成于公元一世紀左右．它是一本綜合性的歷史著作，是當時世界上最簡練有效的應用數(shù)學，它的出現(xiàn)標志著中國古代數(shù)學形成了完整的體系．《九章算術》中將由四個直角三角形組成的四面體稱為“鱉臑”，已知在三棱錐中，平面．（1）從三棱錐中選擇合適的兩條棱填空：　　　　，則三棱錐為“鱉臑”；（2）如圖，已知，垂足為，，垂足為，．（ⅰ）證明：平面平面；（ⅱ）設平面與平面的交線為，若，，求二面角的大?。?/span>      【答案】（1）由題意，四個直角三角形組成的四面體稱為“鱉臑”，而平面，要使三棱錐為“鱉臑”，則只需或或或；（2）證明：平面，平面，，又，即，，，平面，平面，又平面，，又，，，平面，平面，又平面，，又，，，平面，平面，又平面，平面平面；由題意知，在平面中，直線與直線相交，如圖所示，設，連接，則即為，平面，平面，，平面，平面，，又，，平面，平面，又，平面，，，即為二面角的一個平面角，在中，，，，又，，，，即二面角的大小為．5． 已知四面體，，，且平面平面．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的大?。?/span>      【答案】（Ⅰ）證明：，，，取中點，則，平面，．（Ⅱ）解：過點作交延長線于，連結，平面平面，平面，為與平面所成角，，，，，在中，直線與平面所成角的大小為．6． 已知四面體，，且平面平面．（Ⅰ）若，求證：；（Ⅱ）求二面角的正切值．      【答案】（Ⅰ）證明：，，，，，取中點，則，，平面，平面，.（Ⅱ）解：過點作交延長線于，過作于，連結，平面平面，平面，根據(jù)三垂線定理知，為二面角的平面角，由已知可知，設，則，在中，，，，二面角的正切值為.注：用空間向量做，酌情給分．  

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