2022-2023學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知，，則等于（    ）A．（0，34，10） B．（-3，19，7） C．44 D．23【答案】C【分析】由題可得，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示即得.【詳解】∵，，∴，∴.故選：C.2．的展開(kāi)式中的系數(shù)為（    ）．A．32 B．12 C． D．【答案】C【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式，即可求出結(jié)果．【詳解】由二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式知，，所以要得到項(xiàng)，則，，故選：C．3．已知向量共面，則實(shí)數(shù)的值是（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)空間共面向量定理，結(jié)合已知向量的坐標(biāo)，待定系數(shù)，求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>共面，所以存在，使得，整理得，解得.故選：C.4．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別為的中點(diǎn)，則與所成的角的余弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解異面直線的夾角余弦值.【詳解】以D作坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)與所成的角的大小為，則.故選：C5．用0，1，2，3，4可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（    ）A．36 B．48 C．60 D．72【答案】C【分析】當(dāng)個(gè)位數(shù)為0時(shí)，從其他4個(gè)數(shù)選3個(gè)進(jìn)行排列，當(dāng)個(gè)位數(shù)為2或4時(shí)，從剩下的非零的3個(gè)數(shù)中選一個(gè)排在千位，再?gòu)氖Ｏ碌?/span>3個(gè)數(shù)中選2個(gè)排在十位和百位，最后用分類計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】當(dāng)個(gè)位數(shù)為0時(shí)，有個(gè)，當(dāng)個(gè)位數(shù)為2或4時(shí)，有個(gè)，所以無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有24+36=60個(gè)，故選：C.6．如圖，在三棱錐S—ABC中，點(diǎn)E，F分別是SA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱EF上，且滿足，若，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用空間向量的加、減運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意可得 .故選：D     7．如圖，在正三棱柱中，若，則點(diǎn)到直線的距離為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到直線距離的向量公式進(jìn)行求解.【詳解】取AC的中點(diǎn)O，取中點(diǎn)D，連接OD，則平面ABC，連接OB，因?yàn)?/span>是等邊三角形，所以，因?yàn)?/span>平面ABC，所以OB，AC，OD兩兩垂直，所以以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?/span>，所以，，故，，點(diǎn)到直線的距離為.故選：D8．某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目、2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是A．72 B．120 C．144 D．168【答案】B【詳解】分兩類，一類是歌舞類用兩個(gè)隔開(kāi)共種，第二類是歌舞類用三個(gè)隔開(kāi)共種，所以N=+=120.種．選B.  二、多選題9．下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．C． D．若，則正整數(shù)x的值是1【答案】ABC【分析】選項(xiàng)A，根據(jù)排列數(shù)公式直接判斷；選項(xiàng)B、D，根據(jù)組合數(shù)公式及性質(zhì)直接求解；選項(xiàng)C，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和公式，奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和各占一半得出結(jié)果.【詳解】選項(xiàng)A，因?yàn)?/span>，故A正確；選項(xiàng)B，，故B正確；選項(xiàng)C，由，，得，故C正確；選項(xiàng)D，因?yàn)?/span>，所以或，即或6，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10．在中共二十大代表“燃燈校長(zhǎng)”張桂梅老師的不懈努力下，云南華坪山區(qū)的2000多名女孩圓了大學(xué)夢(mèng)，她扎根基層教育默默奉獻(xiàn)的精神感動(dòng)了無(wú)數(shù)人.受她的影響，有甲，乙，丙，丁四名志愿者主動(dòng)到三所山區(qū)學(xué)校參加支教活動(dòng)，要求每個(gè)學(xué)校至少安排一名志愿者，下列結(jié)論正確的是（    ）A．共有18種安排方法B．若甲、乙被安排在同一所學(xué)校，則有6種安排方法C．若學(xué)校需要兩名志愿者，則有24種安排方法D．若甲被安排在學(xué)校，則有12安排方法【答案】BD【分析】先將四名志愿者分成三組，然后再分到三所學(xué)校求方法數(shù)即可判斷A選項(xiàng)；先挑出一所學(xué)校分給甲乙，剩下的兩人去剩下的兩所學(xué)校，然后求方法數(shù)即可判斷B選項(xiàng)；先給學(xué)校挑兩名志愿者，剩下的兩人去剩下的兩所學(xué)校，然后求方法數(shù)即可判斷C選項(xiàng)；分甲一個(gè)人在學(xué)校和兩個(gè)人在學(xué)校兩種情況計(jì)算即可判斷D選項(xiàng).【詳解】所有安排方法有，A錯(cuò)誤；若甲、乙被安排在同一所學(xué)校，則有種安排方法，B正確；若學(xué)校需要兩名志愿者，則有種安排方法，C錯(cuò)誤；若甲被安排在學(xué)校，則有種安排方法，D正確.故選：BD.11．已知，則（    ）A．展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為 B．展開(kāi)式中二項(xiàng)系數(shù)最大項(xiàng)為第1012項(xiàng)C． D．【答案】AC【分析】選項(xiàng)A，令，由此即可求解；選項(xiàng)B，根據(jù)的值以及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)即可求解；選項(xiàng)C，分別令，，建立方程即可求解；選項(xiàng)D，先對(duì)已知關(guān)系式求導(dǎo)，然后令，即可求解.【詳解】選項(xiàng)A，令，則展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為，A 選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B，因?yàn)?/span>，所以展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為第1011項(xiàng)與第1012項(xiàng)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，令，則，令，則，所以，C選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D，已知關(guān)系式兩邊同時(shí)取導(dǎo)，則，令，則，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AC.12．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，P為空間中一點(diǎn)，，則（    ）A．當(dāng)，時(shí)，異面直線BP與所成角的余弦值為B．當(dāng)，時(shí)，三棱錐的體積為C．當(dāng)，，時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得平面D．當(dāng)，時(shí)，異面直線BP和所成角的取值范圍是【答案】ABD【分析】根據(jù)向量關(guān)系式確定動(dòng)點(diǎn)位置或軌跡，然后逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可求解.【詳解】對(duì)于，連接，.由下圖可知，P為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)O.連接PO，BO，則，所以∠BPO或其補(bǔ)角即異面直線BP與所成的角，易得，，，所以，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，由條件可知（），P點(diǎn)的軌速為線段，因?yàn)?/span>，所以P到平面的距離為，且的面積為，所以三棱錐的體積為定值，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，如下圖，由條件可知（），所以點(diǎn)P在線段EF上（E，F分別為，的中點(diǎn)）.因?yàn)?/span>平面，所以平面即平面，點(diǎn)P則平面與直線EF的交點(diǎn)，此交點(diǎn)在FE的延長(zhǎng)線上，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，由條件可知（），可知點(diǎn)P的軌速為線段，如下圖，建立空間直角坐標(biāo)系，得，，設(shè)，，則，所以，令，當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)直線BP和所成的角是；當(dāng)，即時(shí)，，令，，所以，即時(shí)，取得最大值，直線BP和所成角的最小值為，故選項(xiàng)正確.故選：. 三、填空題13．已知，則n=_____________.【答案】【分析】根據(jù)排列數(shù)的計(jì)算公式即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，即，解得或，因?yàn)?/span>且，所以.故答案為：14．若的展開(kāi)式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，寫出一個(gè)符合條件的n的值是____．（寫出一個(gè)滿足條件的n的值即可）【答案】9（答案不唯一，9，10，11均可）【分析】分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情形，結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的特征即可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，若，第六項(xiàng)二次項(xiàng)系數(shù)最大；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，第五、六項(xiàng)二次項(xiàng)系數(shù)最大，合乎題意；若，第六、七項(xiàng)二次項(xiàng)系數(shù)最大，合乎題意；故的值為：9，10，11，故答案為：9（答案不唯一，9，10，11均可）15．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是__．【答案】【分析】根據(jù)投影向量結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，所以向量在向量上的投影向量為．故答案為：.16．如圖：正三棱錐中，分別在棱上，，且，則的余弦值為___________.【答案】【分析】設(shè),由可得，又，得，利用數(shù)量積的運(yùn)算律可得.【詳解】正三棱錐中，設(shè), 且側(cè)棱長(zhǎng)相等，因?yàn)?/span>，所以，又，所以，即，解得，即的余弦值為.故答案為： 四、解答題17．計(jì)算：(1)；(2).【答案】(1)(2)1 【分析】（1）根據(jù)排列數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)排列數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】（1）（2）18．已知．(1)若，求的值．(2)若，且，求的值．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用向量的線性運(yùn)算和向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，列方程求解.（2）利用向量垂直的充要條件和向量模的坐標(biāo)運(yùn)算，列方程求解.【詳解】（1）  ，．， ，解得（2）由，得， ∴    ，由，有，即， ，解得19．有男運(yùn)動(dòng)員4名、女運(yùn)動(dòng)員3名，其中男、女隊(duì)長(zhǎng)各1人．現(xiàn)7名運(yùn)動(dòng)員排成一排．(1)如果女運(yùn)動(dòng)員全排在一起，有多少種不同排法？(2)如果女運(yùn)動(dòng)員都不相鄰，有多少種排法？(3)如果女運(yùn)動(dòng)員不站兩端，有多少種排法？【答案】(1)720；(2)1440；(3)1440. 【分析】（1）利用捆綁法和乘法分步原理求解；（2）利用插空法和乘法分步原理求解；（3）利用優(yōu)先法和乘法分步原理求解.【詳解】（1）將3名女運(yùn)動(dòng)員捆綁起來(lái)有種方法，與4名男運(yùn)動(dòng)員排序有種方法，根據(jù)乘法分步原理得共有種不同的排法．（2）先將4名男運(yùn)動(dòng)員排序有種方法，再將3名女運(yùn)動(dòng)員插入4名男運(yùn)動(dòng)員形成的5個(gè)空中有種方法，根據(jù)乘法分步原理得共有種不同的排法．（3）如果女運(yùn)動(dòng)員不站兩端，則兩端安排男運(yùn)動(dòng)員有種方法，其余5名運(yùn)動(dòng)員在中間任意排序有種方法，根據(jù)乘法分步原理得共有種不同的排法．20．如圖所示，在四棱錐中，底面，，∥，，.點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，求證：(1)；(2)∥平面；【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明即可，（2）求出平面的法向量，利用向量法證明即可【詳解】（1）因?yàn)?/span>平面，平面，平面，所以，因?yàn)?，所以兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，所以，所以，所以，（2）平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>平面，所以∥平面；21．已知的展開(kāi)式中，第4項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第4項(xiàng)的系數(shù)之比為.（1）求m的值；（2）求展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）將展開(kāi)式中所有項(xiàng)重新排列，求有理項(xiàng)不相鄰的概率.【答案】（1）7；（2）128；（3）.【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式即可獲解；（2）令即可獲解；（3）求出有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)，再用插空法即可.【詳解】（1）展開(kāi)式的通項(xiàng)為，∴展開(kāi)式中第4項(xiàng)的系數(shù)為，倒數(shù)第4項(xiàng)的系數(shù)為，，即.（2）令可得展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為.（3）展開(kāi)式共有8項(xiàng)，由（1）可得當(dāng)為整數(shù)，即時(shí)為有理項(xiàng)，共4項(xiàng)，∴由插空法可得有理項(xiàng)不相鄰的概率為.22．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥側(cè)面BB1C1C，已知∠BCC1=，BC=1，AB=C1C=2，E是棱C1C的中點(diǎn).(1)求二面角A—EB1—A1的余弦值；(2)在棱CA上是否存在一點(diǎn)M，使得EM與平面A1B1E所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在，或. 【分析】（1）以為原點(diǎn)，和的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法得出二面角A—EB1—A1的余弦值；（2）由向量法結(jié)合EM與平面A1B1E所成角的正弦值得出結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以.所以，所以.因?yàn)?/span>側(cè)面，所以.又因?yàn)?/span>平面，所以直線平面，以為原點(diǎn)，和的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則知點(diǎn).設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?/span>所以令，則，所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?/span>所以令，則，所以.因?yàn)?/span>，所以.設(shè)二面角為，則，所以二面角的余弦值為.（2）假設(shè)存在點(diǎn)，因?yàn)?/span>，所以，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，所以.由（1）知平面的一個(gè)法向量為，所以，得，即，所以或，所以或. 

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