高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第2部分專題篇素養(yǎng)提升文理專題一三角函數(shù)三角恒等變換與解三角形第1講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案含解析-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

第二部分　專題篇·素養(yǎng)提升(文理)專題一　三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形第1講　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解題策略·明方向　⊙︱考情分析︱1．高考對此部分內(nèi)容的命題主要集中在三角函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)，主要考查圖象的變換，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性及最值，并常與三角恒等變換交匯命題．2．主要以選擇、填空題的形式考查，難度為中等偏下．⊙︱真題分布︱(理科)年份卷別題號考查角度分值2020Ⅰ卷7三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)5Ⅱ卷2三角函數(shù)的符號5Ⅲ卷16三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)52019Ⅰ卷11絕對值三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)5Ⅱ卷10正余弦函數(shù)的周期及單調(diào)性5Ⅲ卷12三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)52018Ⅰ卷16三角函數(shù)的最值5Ⅱ卷10三角函數(shù)的性質(zhì)5Ⅲ卷6余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)5(文科)年份卷別題號考查角度分值2020Ⅰ卷7、9三角函數(shù)圖象和性質(zhì)；二倍角、同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用10Ⅱ卷2三角函數(shù)的符號5Ⅲ卷5、13三角函數(shù)求值102019Ⅰ卷5、7三角函數(shù)的圖象與誘導(dǎo)公式的應(yīng)用10Ⅱ卷8三角函數(shù)的極值、最值和周期5Ⅲ卷5三角函數(shù)的零點52018Ⅰ卷8三角函數(shù)的周期和最值5Ⅱ卷10三角函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用5Ⅲ卷8正切函數(shù)圖象和性質(zhì)5KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考點分類·析重點　考點一　三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及基本關(guān)系1．三角函數(shù)設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，則sin α＝y(tǒng)，cos α＝x，tan α＝.2．同角關(guān)系sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.(sin α±cos α)2＝1±sin 2α.3．誘導(dǎo)公式在＋α，k∈Z的誘導(dǎo)公式中“奇變偶不變，符號看象限”．典例1　(1)(2020·吉林省重點高中第二次月考)若角α的終邊過點P(－，cos 0)，則tan α的值是(　B　)A．　　 B．－　C．　　 D．－(2)(2020·吉林省重點高中第二次月考)已知某扇形的面積為2.5 cm2，若該扇形的半徑r，弧長l滿足2r＋l＝7 cm，則該扇形圓心角大小的弧度數(shù)是(　D　)A．　　 B．5　C．　　 D．或5(3)(2020·江蘇省八校聯(lián)考)已知α是第二象限角，其終邊上一點P(x，)，且cos α＝－，則x的值為__－2__.(4)(2020·吉林省重點高中第二次月考)化簡：＝____.【解析】　(1)根據(jù)題意，可得tan α＝＝－＝－.故選B．(2)據(jù)題意，得解得或所以＝或5．故選D．(3)由α終邊上一點P(x，)，得cos α＝＝－，解得：x2＝4，α是第二象限角，所以x的值為－2．(4)＝＝＝.(1)涉及與圓及角有關(guān)的函數(shù)建模問題(如鐘表、摩天輪、水車等)，常常借助三角函數(shù)的定義求解．應(yīng)用定義時，注意三角函數(shù)值僅與終邊位置有關(guān)，與終邊上點的位置無關(guān)．(2)應(yīng)用誘導(dǎo)公式時要弄清三角函數(shù)在各個象限內(nèi)的符號；利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡過程要遵循一定的原則，如切化弦、化異為同、化高為低、化繁為簡等．1．(1)已知點P落在角θ的終邊上，且θ∈[0,2π)，則θ的值為____.(2)在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱．若sin α＝，則sin β＝____.【解析】　(1)tan θ＝＝＝－1，又sin >0，cos <0，所以θ為第四象限角，又θ∈[0,2π)，所以θ＝.(2)由角α與角β的終邊關(guān)于y軸對稱，可得β＝(2k＋1)π－α，k∈Z，∵sin α＝，∴sin β＝sin[(2k＋1)π－α]＝sin α＝.考點二　三角函數(shù)的圖象及應(yīng)用三角函數(shù)圖象的兩種變換方法典例2　(1)(2020·四川省成都外國語學(xué)校月考)將函數(shù)y＝sin的圖象向右平移單位后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為(　D　)A．y＝sin　　 B．y＝sinC．y＝sin　　 D．y＝sin(2)(2020·合肥模擬)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖，且f(0)＝1，則f的值為(　A　)A．－1　　 B．－　C．－　　 D．－(3)(2020·武昌區(qū)模擬)已知ω＞0，函數(shù)f(x)＝sin的圖象在區(qū)間上有且僅有一條對稱軸，則實數(shù)ω的取值范圍是__∪∪__.【解析】　(1)y＝sin化解為y＝sin，故選D．(2)根據(jù)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分圖象，可得：＝·＝－，解得：ω＝3．再根據(jù)五點法作圖可得3·＋φ＝，可得：φ＝，故：f(x)＝Asin由于：f(0)＝Asin ＝A＝1，可得：A＝，可得f(x)＝sin.則f＝sin＝－1．故選A．(3)函數(shù)f(x)＝sin(ω>0)的圖象在內(nèi)有且僅有一條對稱軸，根據(jù)正弦函數(shù)的對稱軸性質(zhì)，可得ω·－<kπ＋<ωπ－?<ω<，k∈Z，①又因為：π－≤T＝?ω≤4；②∵ω>0；③因為有且僅有一條對稱軸；所以還需滿足：ωπ－≤(k＋1)π＋且(k－1)π－≤ω－；即≤ω≤④聯(lián)立①②③④解得：ω∈∪∪.(1)已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象求解析式時，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點、最低點或特殊點求A；由函數(shù)的周期確定ω；確定φ常根據(jù)“五點法”中的五個點求解，其中一般把第一個零點作為突破口，可以從圖象的升降找準第一個零點的位置．(2)在圖象變換過程中務(wù)必分清是先相位變換，還是先周期變換，變換只是相對于其中的自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1，就要把這個系數(shù)提取后再確定變換的單位長度數(shù)和方向．2．(1)(2020·四川省成都七中模擬)已知將函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)的圖象向左平移φ個單位長度后，得到函數(shù)g(x)的圖象．若g(x)是偶函數(shù)．則f＝(　A　)A．　　 B．　C．　　 D．1(2)(2020·四川省綿陽市二診)函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)的圖象如圖所示，則f(x)在區(qū)間[－π，π]上的零點之和為____.【解析】　(1)由題意可得：g(x)＝sin(2x＋3φ)，因為g(x)是偶函數(shù)，所以3φ＝＋kπ(π∈Z)，即φ＝＋(k∈Z)，又0<φ<，所以k＝0，故φ＝.所以f＝sin＝.故選A．(2)由題意T＝×＝π，∴ω＝＝2，又sin＝1且|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝sin.由sin＝0得2x＋＝kπ，x＝－，k∈Z，在[－π，π]內(nèi)有：－，－，，，它們的和為.考點三　三角函數(shù)的性質(zhì)及綜合應(yīng)用1．三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間y＝sin x的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z)，單調(diào)遞減區(qū)間是(k∈Z)；y＝cos x的單調(diào)遞增區(qū)間是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，單調(diào)遞減區(qū)間是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；y＝tan x的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z)．2．三角函數(shù)的奇偶性與對稱軸方程(1)y＝Asin(ωx＋φ)，當φ＝kπ(k∈Z)時為奇函數(shù)；當φ＝kπ＋(k∈Z)時為偶函數(shù)；對稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得．(2)y＝Acos(ωx＋φ)，當φ＝kπ＋(k∈Z)時為奇函數(shù)；當φ＝kπ(k∈Z)時為偶函數(shù)；對稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．(3)y＝Atan(ωx＋φ)，當φ＝kπ(k∈Z)時為奇函數(shù)．考向1　三角函數(shù)的值域、最值問題典例3　(1)(2020·浙江省杭州重點中學(xué)期中)若f(x)＝sinx＋cosx在[－a，a]是增函數(shù)，則a的最大值是(　A　)A．　　 B．　C．　　 D．π(2)(2020·重慶模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin 2x＋cos 2x，x∈R.①求函數(shù)f(x)的最小正周期；②求函數(shù)f(x)在x∈的最值．【解析】　(1)函數(shù)f(x)＝sinx＋cosx，所以f(x)＝sin.由正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間可知，f(x)＝sin的單調(diào)遞增區(qū)間為－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.因為在[－a，a]是增函數(shù)，且a>0．所以a的最大值是，故選A．(2)函數(shù)f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.①根據(jù)函數(shù)的解析式可知，函數(shù)的最小正周期為T＝＝π.②由于x∈，所以－≤2x＋≤，當2x＋＝－時，即x＝－時函數(shù)的最小值為2×＝－.當2x＋＝時，即x＝時，函數(shù)的最大值為2×1＝2．三角函數(shù)值域(最值)的三種求法(1)直接法：利用sin x，cos x的有界性直接求．(2)單調(diào)性法：化為y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，采用整體思想，求出ωx＋φ的范圍，根據(jù)y＝sin x的單調(diào)性求出函數(shù)的值域(最值)．(3)換元法：對于y＝asin2x＋bsin x＋c和y＝a(sin x＋cos x)＋bsin xcos x＋c型常用到換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在限定區(qū)間內(nèi)的最值問題．考向2　三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問題典例4　(2020·朝陽區(qū)模擬)已知f(x)＝2sin xcos x－2coscos.(1)求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當x∈[0，π]時，若f(x)∈(－1,1]，求x的取值范圍．【解析】　(1)f(x)＝2sin xcos x－2coscos＝sin 2x－2coscos＝sin 2x－2sincos＝sin 2x－sin＝sin 2x－cos 2x＝2sin，∴T＝＝π，由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為：，k∈Z，(2)∵f(x)∈(－1,1]，∴－1<2sin≤1，∴－<sin≤，∴－＋2kπ<2x－≤＋2kπ或＋2kπ≤2x－<＋2kπ，(k∈Z)∴kπ<x≤＋kπ或＋kπ≤x<＋kπ，(k∈Z)當k＝0時，0<x≤或≤x<，滿足x∈[0，π]，當k＝1時，不滿足x∈[0，π]，綜上所述x的范圍為∪.解決三角函數(shù)性質(zhì)綜合問題的三種意識(1)轉(zhuǎn)化意識：利用三角恒等變換將所求函數(shù)轉(zhuǎn)化為f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式．(2)整體意識：類比y＝sin x的性質(zhì)，只需將y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”，采用整體代入求解．(3)討論意識：當A為參數(shù)時，求最值應(yīng)分情況討論．3．設(shè)函數(shù)f(x)＝cos，則下列結(jié)論錯誤的是(　D　)A．f(x)的一個周期為－2πB．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱C．f(x＋π)的一個零點為x＝D．f(x)在單調(diào)遞減【解析】　方法一：f(x)的最小正周期為2π，易知A正確；f＝cos＝cos 3π＝－1，為f(x)的最小值．故B正確；∵f(x＋π)＝cos＝－cos，∴f＝－cos＝－cos＝0．故C正確；由于f＝cos＝cos π＝－1，為f(x)的最小值，故f(x)在上不單調(diào)．故D錯誤．方法二：y＝cos x的圖象向左平移個單位得y＝cos的圖象，觀察其圖象如圖所示．顯然在不單調(diào)．故選D． YI CUO QING LING MIAN SHI WU易錯清零·免失誤　1．求周期時用錯對稱中心與對稱軸典例1　已知函數(shù)f(x)＝sin(3π－ωx－φ)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為2π，則函數(shù)f(x)的最小正周期為__4π__，ω＝____.【錯解】　因為f(x)＝sin(3π－ωx－φ)所以f(x)＝sin(ωx＋φ)，因為其圖象相鄰兩條對稱軸的距離為2π，所以函數(shù)f(x)的最小正周期為2π，所以ω＝＝1．【剖析】　上述解法的錯誤，是誤以為f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為一個最小正周期，而導(dǎo)致錯誤，需要注意f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為半個最小正周期；另外，做此類題時還易搞混函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)的圖象的對稱中心與對稱軸對應(yīng)的x的值．【正解】　因為f(x)＝sin(3π－ωx－φ)，所以f(x)＝sin (ωx＋φ)，因為其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為2π，所以函數(shù)f(x)的最小正周期為4π，所以ω＝＝.2．對三角函數(shù)圖象變換時平移的方向和長度把握不準典例2　(2020·江西名校入學(xué)調(diào)研)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<)的圖象如圖所示，為了得到y(tǒng)＝f(x)的圖象，只需把函數(shù)g(x)＝sin ωx－cos ωx的圖象上的所有點(　B　)A．向左平移個單位長度B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度D．向右平移個單位長度【錯解】　由f(x)的圖象可知A＝1，T＝－，∴T＝π，∴ω＝＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)．又當x＝時，f(x)＝0，∴＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋(k∈Z)，又|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝sin.g(x)＝sin2x－cos 2x＝sin，由g(x)＝sin，得到f(x)＝sin，只需把g(x)＝sin的圖象上的點向右平移個單位，故選C．【剖析】　上述解法有兩處錯誤，一是在把g(x)＝sin平移得到f(x)＝sin時，平移方向錯誤，二是把平移的長度計算錯誤，從而導(dǎo)致選項錯誤．【正解】　由題意知A＝1，記f(x)的最小正周期為T，由于＝－＝，故T＝＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，g(x)＝sin 2x－cos 2x＝sin.由f＝sin＝0，解得φ＝，故f(x)＝sin＝sin 2.又g(x)＝sin＝sin 2，故將g(x)的圖象上的所有點向左平移個單位長度可得到f(x)的圖象．故選B． 3．由圖象求解析式時忽視φ的范圍導(dǎo)致錯解典例3　若函數(shù)f(x)＝sin(ωx－φ)(ω>0，|φ|<π)在區(qū)間上的圖象如圖所示，則f(x)的解析式為(　A　)A．f(x)＝sin　　 B．f(x)＝sinC．f(x)＝sin　　 D．f(x)＝sin【解析】　記f(x)的最小正周期為T.由圖知，＝－，所以T＝π，所以ω＝＝2．由圖知，當x＝，即x＝－時，f(x)＝－1，所以－×2－φ＝－＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝－2kπ(k∈Z)．又|φ|<π，所以φ＝，所以f(x)的解析式為f(x)＝sin，故選A．【剖析】　由圖象求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)的解析式時，可根據(jù)圖象的最高點或最低點求出A的值；由圖象得到函數(shù)的最小正周期T的值，再利用公式T＝求出ω的值；最后利用圖象過特殊點以及φ的范圍，即可求出φ的值，求φ值時，一般選圖象的最高點或最低點的坐標代入，?？杀荛_增解；若只有圖象與x軸的交點的坐標是已知的，將該點的坐標代入時，一定要數(shù)形結(jié)合，并注意φ的范圍，否則就易跳入命題人所設(shè)置的陷阱，產(chǎn)生增解．4．求解析式形如y＝Asin(ωx＋φ)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時忽略角的范圍典例4　函數(shù)f(x)＝sin的圖象向右平移個單位長度，所得圖象關(guān)于原點對稱，則f(x)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為(　A　)A．　　 B．C．　　 D．【解析】　因為f(x)＝sin，所以f(x)＝cos(2x＋φ)，函數(shù)f(x)＝cos(2x＋φ)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)的解析式為f1(x)＝cos＝cos.因為所得圖象關(guān)于原點對稱，所以φ－＝kπ＋(k∈Z)，解得φ＝kπ＋(k∈Z)．因為|φ|<，所以k＝－1，φ＝－，則原函數(shù)為f(x)＝cos.由2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，又x∈，所以－≤x≤，即f(x)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選A．【剖析】　求解此類題時的易錯點有三處：一是化簡出錯，記清誘導(dǎo)公式即可避開此類錯誤；二是函數(shù)的解析式求錯，三角函數(shù)的圖象變換后對應(yīng)的函數(shù)的解析式寫錯，需注意當ω≠1時，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的圖象向左(或向右)平移α(α>0)個單位長度，所得的圖象對應(yīng)的函數(shù)的解析式為y＝Asin[ω(x＋α)＋φ](ω>0)(或y＝Asin[ω(x－α)＋φ](ω>0))；三是忽視已知條件中的角的范圍，在求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時要注意與已知角的范圍結(jié)合．

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