專題四　概率與統(tǒng)計(理科)第1講　概率、隨機變量及其分布列JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解題策略·明方向　⊙︱考情分析︱1．古典概型、幾何概型的考查多以選擇或填空的形式命題，中低檔難度．2．概率模型多考查獨立重復試驗、相互獨立事件、互斥事件及對立事件等；對離散型隨機變量的分布列及期望的考查是重點中的“熱點”，?？疾楠毩⑹录母怕?、正態(tài)分布，超幾何分布和二項分布的期望等．⊙︱真題分布︱(理科)年份卷別題號考查角度分值2020Ⅰ卷19獨立事件、對立事件的概率求法及其應用12Ⅱ卷3概率的應用5Ⅲ卷18(1)古典概型42019Ⅰ卷6、5、21古典概型，獨立重復試驗，隨機變量的分布列、等比數(shù)列22Ⅱ卷18互斥事件、獨立事件、離散型隨機變量的分布列12Ⅲ卷   2018Ⅰ卷10,20幾何概型，二項分布，隨機變量的數(shù)學期望，決策性問題17Ⅱ卷8古典概型5Ⅲ卷8相互獨立事件及二項分布5KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考點分類·析重點　考點一　古典概型與幾何概型1．古典概型的概率公式P(A)＝＝2．幾何概型的適用條件及求解關(guān)鍵當構(gòu)成試驗的結(jié)果的區(qū)域為長度、面積、體積、弧長、夾角等時，應考慮使用幾何概型求解．典例1　(1)(2020·江蘇省南京市高三聯(lián)考)現(xiàn)有三張卡片，分別寫有“1”、“2”、“3”這三個數(shù)字．將這三張卡片隨機排序組成一個三位數(shù)，則該三位數(shù)是偶數(shù)的概率是____.(2)(2020·南通模擬)已知區(qū)域A＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2}和B＝{(x，y)|x＞0，y＞0，x＋y≤2}，若在區(qū)域A內(nèi)隨機取一點，則該點恰好落在區(qū)域B內(nèi)的概率為____.【解析】　(1)將這三張卡片隨機排序組成一個三位數(shù)如下：123,132,213,231,312,321，共6種，其中偶數(shù)有2種，所以該三位數(shù)是偶數(shù)的概率是＝.(2)因為A＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2}表示的區(qū)域是以4為邊長的正方形，面積為16，由B＝{(x，y)|x＞0，y＞0，x＋y≤2}可知，其區(qū)域為如圖所示的陰影部分，面積S＝×2×2＝2，故在區(qū)域A內(nèi)隨機取一點，則該點恰好落在區(qū)域B內(nèi)的概率P＝＝.1．古典概型求解的關(guān)鍵點(1)正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)，這常常用到排列、組合的有關(guān)知識．(2)對于較復雜的題目計數(shù)時要正確分類，分類時應不重不漏．2．解決幾何概型問題的關(guān)鍵尋找構(gòu)成試驗全部結(jié)果的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域是關(guān)鍵，有時需要設(shè)出變量，在坐標系中表示所需要的區(qū)域．1．(1)(2019·莆田質(zhì)檢)中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點生活或配合其他民俗活動的民間藝術(shù)，蘊涵了極致的數(shù)學美和豐富的傳統(tǒng)文化信息．現(xiàn)有一幅剪紙的設(shè)計圖，其中的4個小圓均過正方形的中心，且內(nèi)切于正方形的兩鄰邊．若在正方形內(nèi)隨機取一點，則該點取自黑色部分的概率為(　A　)A．　　 B．C．　　 D．(2)(2020·四川省綿陽市二診)甲、乙、丙三位客人在參加中國(綿陽)科技城國際科技博覽會期間，計劃到綿陽的九皇山、七曲山大廟兩個景點去參觀考察，由于時間關(guān)系，每個人只能選擇一個景點，則甲、乙、丙三人恰好到同一景點旅游參觀的概率為(　B　)A．　　 B．　C．　　 D．【解析】　(1)由圖形對稱可知，原題中陰影部分面積與下圖中陰影部分面積一致，則陰影部分面積為一個小圓的面積設(shè)OB＝r，則OC＝AB＝r，OA＝r，∴AC＝(＋1)r?AD＝(2＋2)r，∴正方形面積S＝×(2＋2)r×(2＋2)r＝(6＋4)r2，陰影部分面積S′＝π·OB2＝πr2，∴所求概率P＝＝＝.故選A．(2)兩景點用1,2表示，三人選擇景點的各種情形為：甲1乙1丙1，甲1乙1丙2，甲1乙2丙1，甲2乙1丙1，甲2乙2丙1，甲2乙1丙2，甲1乙2丙2，甲2乙2丙2共8種，其中三人去同一景點的有甲1乙1丙1和甲2乙2丙2兩種，所以概率為P＝＝.故選B．考點二　互斥事件、相互獨立事件和獨立重復試驗1．條件概率在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率：P(B|A)＝.2．相互獨立事件同時發(fā)生的概率P(AB)＝P(A)P(B)．3．獨立重復試驗、二項分布如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是p，那么它在n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.典例2　(1)(2020·遼寧省沈陽市實驗中學月考)每場足球比賽的時間長度為90分鐘，若比賽過程中體力消耗過大，運動員腿部會發(fā)生抽筋現(xiàn)象，無法繼續(xù)投入到比賽之中了．某足球運動員在比賽前70分鐘抽筋的概率為20%，比賽結(jié)束前發(fā)生抽筋的概率為50%.若某場比賽中該運動員已經(jīng)順利完成了前70分鐘的比賽，那么他能順利完成90分鐘比賽的概率為(　C　)A．　　 B．　C．　　 D．(2)(2020·開封三模)某地有A，B，C，D四人先后感染了傳染性肺炎，其中只有A到過疫區(qū)，B確定是受A感染的．對于C因為難以判定是受A還是受B感染的，于是假定他受A和B感染的概率都是.同樣也假定D受A，B和C感染的概率都是.在這種假定下，B，C，D中恰有兩人直接受A感染的概率是(　C　)A．　　 B．　C．　　 D．(3)(2020·聊城模擬)在2019年女排世界杯比賽中，中國隊以十一連勝的驕人成績奪得了冠軍，成功衛(wèi)冕，收到習近平總書記的賀電，團結(jié)協(xié)作、頑強拼搏是中國女排精神，為學習女排精神，A、B兩校排球隊進行排球友誼賽，采取五局三勝制，每局都要分出勝負，根據(jù)以往經(jīng)驗，單局比賽中A校排球隊勝B校排球隊的概率為，設(shè)各局比賽相互間沒有影響，則在此次比賽中，四局結(jié)束比賽的概率為(　D　)A．　　 B．　C．　　 D．【解析】　(1)設(shè)事件A＝某足球運動員在比賽前70分鐘不抽筋，事件B＝某足球運動員在比賽結(jié)束前20分鐘不抽筋，則P(A)＝0.8，P(AB)＝0.5．所以他能順利完成90分鐘比賽的概率為P(B|A)＝＝＝.故選C．(2)某地有A，B，C，D四人先后感染了傳染性肺炎，其中只有A到過疫區(qū)，B確定是受A感染的．對于C因為難以判定是受A還是受B感染的，于是假定他受A和B感染的概率都是.同樣也假定D受A，B和C感染的概率都是.在這種假定下，B，C，D中恰有兩人直接受A感染包含的情況有3種：①B，C兩人直接由A感染，D由B感染；②B，D兩人直接由A感染，C由B感染；③B，C兩人直接由A感染，D由C感染．∴在這種假定下，B，C，D中恰有兩人直接受A感染的概率是：P＝×＋×＋×＝.故選C．(3)為學習女排精神，A、B兩校排球隊進行排球友誼賽，采取五局三勝制，每局都要分出勝負，根據(jù)以往經(jīng)驗，單局比賽中A校排球隊勝B校排球隊的概率為，設(shè)各局比賽相互間沒有影響，在此次比賽中，四局結(jié)束比賽包含兩種情況：①前3局A兩勝一負，第四局A勝；②前3局A一勝兩負，第四局A負．則在此次比賽中，四局結(jié)束比賽的概率為：P＝C2＋C2＝.故選D．求相互獨立事件的概率的兩種方法(1)直接法：正確分析復雜事件的構(gòu)成，將復雜事件轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥的事件的和事件或幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積事件或獨立重復試驗問題，然后用相應概率公式求解．(2)間接法：當復雜事件正面情況較多，反面情況較少時，可利用其對立事件進行求解．“至少”“至多”等問題往往也用這種方法求解．條件概率的求法(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝，這是通用的求條件概率的方法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)，即n(AB)，得P(B|A)＝.2．(1)(2020·沈陽三模)2020年初，新型冠狀肺炎在歐洲爆發(fā)后，我國第一時間內(nèi)向相關(guān)國家捐助醫(yī)療物資，并派出由醫(yī)療專家組成的醫(yī)療小組奔赴相關(guān)國家．現(xiàn)有四個醫(yī)療小組甲、乙、丙、丁，和有4個需要援助的國家可供選擇，每個醫(yī)療小組只去一個國家，設(shè)事件A＝“4個醫(yī)療小組去的國家各不相同”，事件B＝“小組甲獨自去一個國家”，則P(A|B)＝(　A　)A．　　 B．　C．　　 D．(2)(2020·長春四模)田徑比賽跳高項目中，在橫桿高度設(shè)定后，運動員有三次試跳機會，只要有一次試跳成功即完成本輪比賽．在某學校運動會跳高決賽中，某跳高運動員成功越過現(xiàn)有高度即可成為本次比賽的冠軍，結(jié)合平時訓練數(shù)據(jù)，每次試跳他能成功越過這個高度的概率為0.8(每次試跳之間互不影響)，則本次比賽他獲得冠軍的概率是(　D　)A．0.832　　 B．0.920　C．0.960　　 D．0.992【解析】　(1)事件A＝“4個醫(yī)療小組去的國家各不相同”，事件B＝“小組甲獨自去一個國家”，則P(AB)＝＝，P(B)＝＝，P(A|B)＝＝，故選A．(2)每次試跳他能成功越過這個高度的概率為0.8，則本次比賽他獲得冠軍的概率P＝0.8＋0.2×0.8＋0.22×0.8＝0.8＋0.16＋0.032＝0.992．故選D．考點三　隨機變量的分布列、均值與方差1．均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b為實數(shù))．(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為實數(shù))．2．兩點分布與二項分布的均值、方差(1)若X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．典例3　(1)(2020·浙江模擬)已知a，b，c是不相等的實數(shù)，且a＋b＝8，隨機變量X的分布列為：XabcP則下列說法正確的是(　C　)A．E(X)＝1，D(X)＞1　　 B．E(X)＝1,0＜D(X)＜1C．E(X)＝3，D(X)＞1　　 D．E(X)＝3,0＜D(X)＜1(2)(2020·江蘇模擬)五個自然數(shù)1、2、3、4、5按照一定的順序排成一列．①求2和4不相鄰的概率；②定義：若兩個數(shù)的和為6且相鄰，稱這兩個數(shù)為一組“友好數(shù)”．隨機變量X表示上述五個自然數(shù)組成的一個排列中“友好數(shù)”的組數(shù)，求X的概率分布和數(shù)學期望E(X)．【解析】　(1)由X的分布列可知，E(X)＝a·＋b·＋c·＝3，E(X2)＝a2·＋b2·＋c2·＝a＋b＋c＝8＋c，∴D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝8＋c－9＝c－1，∵＋＋＝1，∴＝1－＝1－＝1－≤1－＝1－＝，當且僅當a＝b時取等號，∵a≠b，∴c＞2，∴D(X)＝c－1＞2－1＝1，故選C．(2)①記“2和4不相鄰”為事件A，則P(A)＝＝，所以2和4不相鄰的概率為.②X的所有可能取值為0,1,2，P(X＝2)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝0)＝＝(先確定3的位置)，或(P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝)．所以X的分布列為X012P數(shù)學期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.隨機變量分布列問題的兩個關(guān)鍵點(1)求離散型隨機變量分布列的關(guān)鍵是正確理解隨機變量取每一個值所表示的具體事件，然后綜合應用各類概率公式求概率．(2)求隨機變量均值與方差的關(guān)鍵是正確求出隨機變量的分布列，若隨機變量服從二項分布，則可直接使用公式法求解．3．(2020·北京房山區(qū)期末)某貧困縣在政府“精準扶貧”的政策指引下，充分利用自身資源，大力發(fā)展養(yǎng)茶業(yè)．該縣農(nóng)科所為了對比A，B兩種不同品種茶葉的產(chǎn)量，在試驗田上分別種植了A，B兩種茶葉各20畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù)(單位：千克)如下：A：41.3,47.3,48.1,49.2,51.2,51.3,52.7,53.3,54.2，55.3，56.4,57.6,58.9,59.3,59.6,59.7,60.6,60.7,61.1,62.2；B：46.3,48.2,48.3,48.9,49.2,50.1,50.2,50.3,50.7,51.5,52.3,52.5,52.6,52.7,53.4,54.9,55.6,56.7,56.9,58.7．(1)從A，B兩種茶葉畝產(chǎn)數(shù)據(jù)中各任取1個，求這兩個數(shù)據(jù)都不低于55的概率；(2)從B品種茶葉的畝產(chǎn)數(shù)據(jù)中任取2個，記這兩個數(shù)據(jù)中不低于55的個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望；(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為選擇該縣應種植茶葉A還是茶葉B？說明理由．【解析】　(1)從A種茶葉畝產(chǎn)數(shù)據(jù)中任取一個，不低于55的有11個，從B種茶葉畝產(chǎn)數(shù)據(jù)中任取一個，不低于55的有4個，設(shè)“所取兩個數(shù)據(jù)都不低于55”為事件A，則P(A)＝×＝.(2)X的所有可能取值為0,1,2P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，∴X的分布列為X012P∴期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.(3)如果選擇A可從A的畝產(chǎn)數(shù)據(jù)的中位數(shù)或平均數(shù)比B高等方面敘述理由．如果選擇B，可從B的畝產(chǎn)數(shù)據(jù)比A的方差小，產(chǎn)量比較穩(wěn)定等方面敘述理由．考點四　正態(tài)分布1．一般地，如果對于任何實數(shù)a<b，隨機變量X滿足P(a<X≤B)＝φμ，σ(x)dx，則稱X的分布為正態(tài)分布(normal distribution)．正態(tài)分布完全由參數(shù)μ和σ確定，因此正態(tài)分布常記作N(μ，σ2)．如果隨機變量 X 服從正態(tài)分布，則記為X～N(μ，σ2) 2．正態(tài)曲線的特點(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱；(3)曲線在x＝μ處達到峰值；(4)曲線與x軸之間的面積為1；(5)當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；(6)當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．3．正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù)(1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6；(2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4；(3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4．典例4　從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中隨機抽取100件，測量其尺寸(單位：cm)，得到如下頻數(shù)分布表：分組[67.5，72.5)[72.5，77.5)[77.5，82.5)[82.5，87.5)[87.5，92.5)[92.5，97.5)[97.5，102.5)頻數(shù)2922332482(1)求這100件產(chǎn)品尺寸的平均數(shù)x和方差s2；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)(2)若該產(chǎn)品的尺寸服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差s2，公司規(guī)定，尺寸在(72.8,97.2]內(nèi)的產(chǎn)品為正品，其余的產(chǎn)品均為次品．企業(yè)每生產(chǎn)一件該種產(chǎn)品，若是正品，則獲利100元，若是次品，則虧損40元．記X(單位：元)為該企業(yè)生產(chǎn)1 000件該種產(chǎn)品的利潤，利用正態(tài)分布，求X的數(shù)學期望．附：37.5≈6.1，若隨機變量Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ <Z≤μ＋3σ)≈0.997 3．【解析】　(1)樣本平均數(shù)x＝70×0.02＋75×0.09＋80×0.22＋85×0.33＋90×0.24＋95×0.08＋100×0.02＝85．樣本方差s2＝225×0.02＋100×0.09＋25×0.22＋0×0.33＋25×0.24＋100×0.08＋225×0.02＝37.5．(2)因為該產(chǎn)品的尺寸服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，μ＝x＝85，σ＝≈6.1，所以μ－2σ＝85－2×6.1＝72.8，μ＋2σ＝85＋2×6.1＝97.2．由正態(tài)分布可知，每生產(chǎn)一件該種產(chǎn)品，尺寸在(72.8,97.2]內(nèi)的概率P≈0.954 5，即每生產(chǎn)一件該種產(chǎn)品，該產(chǎn)品是正品的概率是0.954 5．設(shè)該企業(yè)每生產(chǎn)一件該種產(chǎn)品的利潤為Y，則Y的可能取值為100，－40，則P(Y＝100)＝0.954 5，P(Y＝－40)＝1－0.954 5＝0.045 5，則該企業(yè)每生產(chǎn)一件該種產(chǎn)品的利潤的期望為E(Y)＝100×0.954 5－40×0.045 5＝93.63．該企業(yè)生產(chǎn)1 000件該種產(chǎn)品的利潤X＝1 000Y，則X的數(shù)學期望E(X)＝1 000E(Y)＝93 630．正態(tài)分布下2類常見的概率計算(1)利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，曲線與x軸之間的面積為1．(2)利用3σ原則求概率問題時，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進行對比聯(lián)系，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一個．4．(2020·武漢模擬)已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝P(ξ>6)＝0.15，則P(2≤ξ<4)等于(　B　)A．0.3　　 B．0.35　C．0.5　　 D．0.7【解析】　∵P(ξ<2)＝P(ξ>6)＝0.15，∴μ＝＝4．又P(2≤ξ≤6)＝1－P(ξ<2)－P(ξ>6)＝0.7，∴P(2≤ξ<4)＝＝0.35，故選B．5．某校在一次月考中有900人參加考試，數(shù)學考試的成績服從正態(tài)分布X～N(90，a2)(a>0，試卷滿分150分)，統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學考試成績在70分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次月考中數(shù)學考試成績不低于110分的學生約有__180__人．【解析】　因為數(shù)學成績服從正態(tài)分布X～N(90，a2)，所以其正態(tài)分布曲線關(guān)于直線x＝90對稱，又因為成績在70分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，由對稱性知成績在110分以上的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的×＝，所以此次數(shù)學考試成績不低于110分的學生約有×900＝180(人)．YI CUO QING LING MIAN SHI WU易錯清零·免失誤　1．概念理解不清致錯典例1　某人拋擲一枚均勻骰子，構(gòu)造數(shù)列{an}，使an＝，記Sn＝a1＋a2＋…＋an求Si≥0(i＝1,2,3,4)且S8＝2的概率．【錯解】　記事件A：S8＝2，即前8項中，5項取值1，另3項取值－1∴S8＝2的概率P(A)＝C·8記事件B：Si≥0(i＝1,2,3,4)，將Si≥0(i＝1,2,3,4)分為兩種情形：(1)若第1、2項取值為1，則3,4項的取值任意(2)若第1項為1，第2項為－1，則第3項必為1第四項任意∴P(B)＝2＋3＝，∴所求事件的概率為P＝P(A)·P(B)＝·C·8．【剖析】　Si≥0且S8＝2是同一事件的兩個關(guān)聯(lián)的條件，而不是兩個相互獨立事件．Si≥0對S8＝2的概率是有影響的，所以解答應為：【正解】　∵Si≥0(i＝1,2,3,4)，∴前4項的取值分為兩種情形①若1、3項為1；則余下6項中3項為1，另3項為－1即可．即P1＝C·8；②若1、2項為1，為避免與第①類重復，則第3項必為－1，則后5項中只須3項為1，余下2項為－1，即P2＝C·8，∴所求事件的概率為P＝(C＋C)·8＝2．混淆“互斥”與“獨立”出錯典例2　甲投籃命中概率為0.8，乙投籃命中概率為0.7，每人投3次，兩人恰好都命中2次的概率是多少？【錯解】　設(shè)“甲恰好投中2次”為事件A，“乙恰好投中2次”為事件B，則兩人恰好投中2次為A＋B.所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝C0.82×0.2＋C0.72×0.3＝0.825．【剖析】　本題解答錯誤的原因是把相互獨立同時發(fā)生的事件當成互斥事件來考慮．將兩人都恰好投中2次理解為“甲恰好投中2次”與“乙恰好投中2次”的和．【正解】　設(shè)“甲恰好投中2次”為事件A，“乙恰好投中2次”為事件B，則兩人恰好都投中2次為AB.所以P(AB)＝P(A)×P(B)＝C0.82×0.2×C0.72×0.3＝0.169．3．混淆有放回與不放回致錯典例3　某產(chǎn)品有3只次品，7只正品，每次取1只測試，取后不放回，求：(1)恰好到第5次3只次品全部被測出的概率；(2)恰好到第k次3只次品全部被測出的概率f(k)的最大值和最小值．【錯解】　(1)P(A)＝····＝.(2)P5(3)＝C·2＝0.21．【剖析】　錯解(1)的錯誤的原因在于忽視了“不放回摸球”問題的每一次摸球是不獨立的；而錯解(2)的錯誤的原因則在于忽視了“不放回摸球”問題的每一次摸球袋內(nèi)球的總數(shù)是變的(比前一次少一個)．【正解】　(1)P＝＝.(2)P＝＝(k－1)(k－2)，(3≤k≤10，k∈Z)，當k＝3時，[f(k)]min＝f(3)＝；當k＝10時，[f(k)]max＝f(10)＝.  

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