2021-2022學年四川省成都市高新區(qū)八年級（下）期末數(shù)學試卷 一、選擇題（本大題共8小題，共32分）下列英文大寫正體字母中，是中心對稱圖形的選項是(    )A.  B.  C.  D. 如果，那么下列結(jié)論正確的是(    )A.  B.  C.  D. 若分式的值為，則的值為(    )A.  B.  C.  D. 下列等式由左邊到右邊的變形中，屬于因式分解的是(    )A.  B.
C.  D. 點先向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度得到的點坐標是(    )A.  B.  C.  D. 如圖，一次函數(shù)與的圖象交于點，則關(guān)于的不等式的解集是(    )
A.  B.  C.  D. 如圖，在中，，的垂直平分線交于點，交于點，的周長等于，則的長度為(    )A.
B.
C.
D.
 甲、乙兩人加工同一種零件，甲每小時比乙多加工個零件，甲加工個這種零件所用的時間和乙加工個這種零件所用的時間相等．如果設(shè)乙每小時加工這種零件個，那么可列方程為(    ) B.  C.  D. 二、填空題（本大題共10小題，共40分）若，則分式的值為______．已知一個邊形的內(nèi)角和是外角和的倍，則的值為______．關(guān)于的不等式的解集為，則的值為______．如圖，在?的對角線，交于點，點是的中點，的周長為，則的周長為______．
如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，若點恰好在的延長線上，則的度數(shù)為______．
若，則代數(shù)式的值為______．若關(guān)于的分式方程的解小于，則的取值范圍是______．定義：在一個三角形中，如果一個內(nèi)角度數(shù)是另一內(nèi)角度數(shù)，我們稱這樣的三角形為“半角三角形”若等腰為“半角三角形”，則的頂角度數(shù)為______．如圖，在平面直角坐標系中有，兩點．將直線：向上平移個單位長度得到直線，點在直線上，過點作直線的垂線，垂足為點，連接，，，則折線的長的最小值為______．
如圖，在邊長為的等邊三角形中，點是與平分線的交點，過點的直線分別與邊，交于點，點關(guān)于的對稱點為點，連接，，分別與交于點，，連接，，的度數(shù)為______，若，則的長為______．
三、解答題（本大題共8小題，共78分）解不等式組；
解方程：．先化簡，再求值：，其中．如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是個單位長度，建立平面直角坐標系，的三個頂點坐標分別為，，．
把向左平移個單位，再向上平移個單位，畫出平移后的；
畫出繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)后的圖形，并直接寫出對應點連線段的長度______．
如圖，在?中，對角線，交于點，，，垂足分別為，，連接，．
求證：四邊形為平行四邊形；
若，，，求四邊形的面積．
已知，與都是等腰直角三角形，，，連接，．
如圖，求證；
如圖，點在內(nèi)，，，三點在同一直線上，過點作的高，證明：；
如圖，點在內(nèi)，平分，的延長線與交于點，點恰好為中點，若，求線段的長．
 
小明和同學一起去書店買書，他們先用元買了一種科普書，又用元買了一種文學書．科普書的價格是文學書價格的倍，他們所買的科普書比所買的文學書少本．
這種科普書和這種文學書的價格分別為多少元？
學校圖書室計劃選購這兩種圖書共本，且購買這兩種圖書的總經(jīng)費不超過元，那么圖書室至少購買多少本文學書？平面直角坐標系中，直線：分別與軸，軸交于點，，點在直線上，且點的橫坐標為直線：經(jīng)過點，兩點，與軸交于點．
求直線的函數(shù)表達式；
如圖，點在軸下方的直線上，連接，若的面積等于的面積，求點的坐標；
如圖，點在直線上，連接，將線段繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)至，連接，若，求的度數(shù)．
 
如圖，在?中，過點分別向，作垂線，垂足分別為，，的平分線分別交，，于點，，．
求證：為等腰三角形；
若，求線段的長；
若，試探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：選項A、、都不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形．
選項C能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．
故選：．
根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．
本題考查的是中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)度后與自身重合．
 2.【答案】 【解析】解：、，
，
故A不符合題意；
B、，
，
故B符合題意；
C、，
，
故C不符合題意；
D、，
，
故D不符合題意；
故選：．
根據(jù)不等式的性質(zhì)，進行計算逐一判斷即可解答．
本題考查了不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】解：分式的值為，
，
解得：．
故選：．
直接利用分式的值為零，則分子為零，進而得出答案．
此題主要考查了分式的值為零的條件，正確掌握分式的值為零的條件值是解題關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】解：、符合因式分解的定義，故本選項符合題意；
B、等號左右兩邊式子不相等，故本選項不符合題意；
C、是整式的乘法，不是因式分解，故本選項不符合題意；
D、沒有把多項式化為幾個整式的積的形式，不是因式分解，故此選項不符合題意．
故選：．
利用因式分解的定義判斷即可．
此題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的定義是解本題的關(guān)鍵．分解因式的定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做分解因式．
 5.【答案】 【解析】解：點先向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度得到的點的坐標是，
即．
故選：．
根據(jù)平移的方法結(jié)合平移中點的坐標變換規(guī)律：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減，可以直接算出平移后點的坐標．
此題主要考查了點的平移規(guī)律，關(guān)鍵是掌握平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減．
 6.【答案】 【解析】解：由圖象可得，
當時，一次函數(shù)的圖象在的圖象的上方，
關(guān)于的不等式的解集是，
故選：．
根據(jù)函數(shù)圖象，可以發(fā)現(xiàn)當時，一次函數(shù)的圖象在的圖象的上方，從而可以得到不等式的解集．
本題考查一次函數(shù)與一元一次不等式、一次函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題是解答本題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：是的垂直平分線，
，
的周長等于，
，
，
，
故選：．
根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．
本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．
 8.【答案】 【解析】解：由題意可得，
，
故選：．
根據(jù)甲加工個這種零件所用的時間和乙加工個這種零件所用的時間相等，可以列出相應的分式方程．
本題考查由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應的方程．
 9.【答案】 【解析】解：，
，
則．
故答案為：．
由，可得，把代入分式中進行計算即可得出答案．
本題主要考查了分式的值，熟練掌握分式值的計算方法進行求解是解決本題的關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：設(shè)這個正多邊形的邊數(shù)為，由題意得：
，
解得．
故答案為：．
設(shè)這個正多邊形的邊數(shù)為，則內(nèi)角和為，再根據(jù)外角和等于列方程解答即可．
此題主要考查了多邊形的內(nèi)角和和外角和，關(guān)鍵是掌握內(nèi)角和為．
 11.【答案】 【解析】解：解不等式，
得，
又此不等式的解集是，
，
．
故答案為：．
首先整理不等式，用表示出不等式的解集，然后與比較，就可以得出的值．
此題主要考查了一元一次不等式的解法，利用表示出不等式的解集是解題關(guān)鍵，需要掌握解一元一次不等式的一般步驟：去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為．
 12.【答案】 【解析】解：四邊形是平行四邊形，
，
是中點，
又是中點，
是的中位線，
，
即的周長的周長，
的周長的周長．
的周長．
故答案是：．
根據(jù)平行四邊形的對邊相等和對角線互相平分可得，，，，點是的中點，可得是的中位線，可得從而得到結(jié)果．
本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及三角形中位線的性質(zhì)的應用，判斷出的周長的周長是解答本題的關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：由題意得，≌，，
，，
，
，
故答案為：．
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊對等角以及三角形內(nèi)角和定理，可以求得的度數(shù)，本題得以解決．
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對等角以及三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
14.【答案】 【解析】解：原式


．
故答案為：．
根據(jù)平方差公式因式分解，再整體代換即可求出答案．
本題考查因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練運用平方差公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．
 15.【答案】且 【解析】解：，
，
解得：，
關(guān)于的分式方程的解小于，且，
，且，
解得：且．
故答案為：且．
首先根據(jù)，用含的式子表示出；然后根據(jù)關(guān)于的分式方程的解小于，求出的取值范圍即可．
此題主要考查了解一元一次不等式的方法，以及分式方程的解，在解方程的過程中因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于的值，不是原分式方程的解．
 16.【答案】或 【解析】解：頂角度數(shù)是底角度數(shù)，
頂角：；
底角度數(shù)是頂角度數(shù)，
頂角：．
故的頂角度數(shù)為或．
故答案為：或．
分兩種情況討論：頂角度數(shù)是底角度數(shù)；底角度數(shù)是頂角度數(shù)；進行計算即可求解．
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，新定義，注意分類思想的應用．
 17.【答案】 【解析】解：如圖，將點沿軸向下平移個單位得到，以為斜邊，作等腰直角三角形，則點，連接，

是等腰直角三角形，
，，
將直線：向上平移個單位長度得到直線，
，，
，，
，
，，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
當點，點，點三點共線時，有最小值為的長，即有最小值，
點，點，
，
折線的長的最小值為，
故答案為：．
先證四邊形是平行四邊形，可得，則，即當點，點，點三點共線時，有最小值為的長，即有最小值，即可求解．
本題考查了軸對稱最短路線問題，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)的應用，添加恰當輔助線構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】  【解析】解：如圖，連接，，，

是等邊三角形，
，
點是與平分線的交點，
，
由折疊得：，，
，
過點作于，作于，作于，作于，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，，
過點作于，連接，
，
，
在中，，，
，
由勾股定理得：，
，，，
≌，
，
同理得：，
，
，
，
，
．
故答案為：，．
如圖，連接，，，由折疊得：，過點作于，作于，作于，作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和逆定理可得：≌，則，由三角形的內(nèi)角和定理可得，設(shè)，，作輔助線，構(gòu)建的直角三角形，計算，證明≌，由列方程可解答．
本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)等知識，有難度，正確作輔助線，靈活運用這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
  19.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式組的解集為：；
，
，
解得：，
檢驗：當時，，
是原方程的根． 【解析】按照解一元一次不等式組的步驟，進行計算即可解答；
按照解分式方程的步驟，進行計算即可解答．
本題考查了解分式方程，解一元一次不等式組，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．
 20.【答案】解：原式

，
當時，
原式
． 【解析】根據(jù)分式的加減運算以及乘除運算進行化簡，然后將的值代入原式即可求出答案．
本題考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的加減運算以及乘除運算，本題屬于基礎(chǔ)題型．
 21.【答案】 【解析】解：如圖，即為所求；
如圖，即為所求．線段的長度．
故答案為：．

利用平移變換的性質(zhì)分別作出，，的對應點，，即可；
利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出，，的對應點，，即可．
本題考查作圖旋轉(zhuǎn)變換，平移變換等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
 22.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
又，
四邊形為平行四邊形；
解：四邊形是平行四邊形，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
． 【解析】證≌，得，再由，即可得出結(jié)論；
由平行四邊形的性質(zhì)得，再由含角的直角三角形的性質(zhì)得，，則，然后求出，即可解決問題．
本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形面積等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 23.【答案】證明：與都是等腰直角三角形，，
，，，
≌，
；
證明：如圖，，，，
，
，
，
由知：，
點在內(nèi)，，，三點在同一直線上，
；
解：如圖，連接，

平分，，
，
，
，
，
設(shè)，則，，，
由知≌，
，
，，
，
，
是的中點，
，
，，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 【解析】由“”可證≌，可得；
同理知：，先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得，再由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得，最后由線段的和可得結(jié)論；
如圖，連接，設(shè)，則，，，由知≌，得，證明≌，得，計算，根據(jù)，列方程可解答．
本題是三角形的綜合問題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識點，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】解：設(shè)文學書的價格為元，則科普書的價格為元，
依題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，
．
答：這種科普書的價格為元，文學書的價格為元．
設(shè)購買本文學書，則購買本科普書，
依題意得：，
解得：．
答：圖書室至少購買本文學書． 【解析】設(shè)文學書的價格為元，則科普書的價格為元，利用數(shù)量總價單價，結(jié)合用元購買科普書的數(shù)量比用元購買文學書的數(shù)量少本，即可得出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可求出文學書的價格，再將其代入中即可求出科普書的價格；
設(shè)購買本文學書，則購買本科普書，利用總價單價數(shù)量，結(jié)合總價不超過元，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論．
本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關(guān)鍵是：找準等量關(guān)系，正確列出分式方程；根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
 25.【答案】解：直線：分別與軸，軸交于點，，
，，
點在直線上，且點的橫坐標為．
，
直線：經(jīng)過點，兩點，
則，
解得，
直線的解析式為；

直線的解析式為，
，
，，
，
設(shè)，
，
，解得，
點的坐標為；

如圖，過點作軸的平行線，分別過、作該平行線的垂線，垂足分別為、，

，，
，
，
，
，
≌，
，，
設(shè)，
，
，，
  ，
 ， ，
，，
，
，
，
 ，  ， ，
，，
，
，，
，
． 【解析】利用，兩點坐標代入，解方程組即可解決問題；
設(shè)，根據(jù)，解方程即可；
過點作軸的平行線，分別過、作該平行線的垂線，垂足分別為、，證明≌，可得，，設(shè)，可得  ，求出，，由得，則 ， 可得，，根據(jù)勾股定理的逆定理得，則，即可得．
本題是一次函數(shù)綜合題，考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、三角形的面積、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．
 26.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
為等腰三角形；
解：過點作于，

，
，，
，
，
，
，
，
，，，
，
平分，，，
，
設(shè)，，
，，，
≌，
，
，
，
，
，
；
解：線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為，
理由如下：在射線上截取，連接，

，，
，
，，
，
，
≌，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 【解析】由平行四邊形的性質(zhì)及角平分線的定義證出，則可得出結(jié)論；
過點作于，由平行四邊形的面積求出的長，由勾股定理求出的長，設(shè)，，證明≌，由全等三角形的性質(zhì)求出，由勾股定理可求出答案；
在射線上截取，連接，證明≌，由全等三角形的性質(zhì)證出，，由平行四邊形的性質(zhì)及角平分線的定義證出，則可得出結(jié)論．
本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 

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