?2021-2022中考數(shù)學模擬試卷
注意事項
1．考生要認真填寫考場號和座位序號。
2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。
3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）
1．某班同學畢業(yè)時都將自己的照片向全班其他同學各送一張表示留念，全班共送1035張照片，如果全班有x名同學，根據(jù)題意，列出方程為（ ）
A．x(x+1)=1035 B．x(x-1)=1035 C．x(x+1)=1035 D．x(x-1)=1035
2．在解方程－1＝時，兩邊同時乘6，去分母后，正確的是(　　)
A．3x－1－6＝2(3x＋1) B．(x－1)－1＝2(x＋1)
C．3(x－1)－1＝2(3x＋1) D．3(x－1)－6＝2(3x＋1)
3．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，下列四個結論：
①4a+c＜0；②m（am+b）+b＞a（m≠﹣1）；③關于x的一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c=0沒有實數(shù)根；④ak4+bk2＜a（k2+1）2+b（k2+1）（k為常數(shù)）．其中正確結論的個數(shù)是（　?。?br />
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
4．中國古代在利用“計里畫方”（比例縮放和直角坐標網(wǎng)格體系）的方法制作地圖時，會利用測桿、水準儀和照板來測量距離．在如圖所示的測量距離AB的示意圖中，記照板“內(nèi)芯”的高度為EF，觀測者的眼睛（圖中用點C表示）與BF在同一水平線上，則下列結論中，正確的是（　　）

A． B． C． D．
5．已知圓錐的側面積為10πcm2，側面展開圖的圓心角為36°，則該圓錐的母線長為（　?。?br /> A．100cm B．cm C．10cm D．cm
6．某微生物的直徑為0.000 005 035m，用科學記數(shù)法表示該數(shù)為（　?。?br /> A．5.035×10﹣6 B．50.35×10﹣5 C．5.035×106 D．5.035×10﹣5
7．A，B兩地相距48千米，一艘輪船從A地順流航行至B地，又立即從B地逆流返回A地，共用去9小時，已知水流速度為4千米/時，若設該輪船在靜水中的速度為x千米/時，則可列方程（　?。?br /> A． B．
C． +4＝9 D．
8．如圖1是2019年4月份的日歷，現(xiàn)用一長方形在日歷表中任意框出4個數(shù)(如圖2)，下列表示a，b，c，d之間關系的式子中不正確的是( )

A．a(chǎn)﹣d＝b﹣c B．a(chǎn)+c+2＝b+d C．a(chǎn)+b+14＝c+d D．a(chǎn)+d＝b+c
9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，以點C為圓心，CB的長為半徑畫弧，與AB邊交于點D，將 繞點D旋轉(zhuǎn)180°后點B與點A恰好重合，則圖中陰影部分的面積為（　?。?br />
A． B． C． D．
10．如圖1，在△ABC中，AB=BC，AC=m，D，E分別是AB，BC邊的中點，點P為AC邊上的一個動點，連接PD，PB，PE.設AP=x，圖1中某條線段長為y，若表示y與x的函數(shù)關系的圖象大致如圖2所示，則這條線段可能是（ ）

A．PD B．PB C．PE D．PC
11．若關于x的不等式組無解，則a的取值范圍是（　?。?br /> A．a(chǎn)≤﹣3 B．a(chǎn)＜﹣3 C．a(chǎn)＞3 D．a(chǎn)≥3
12．如圖，在⊙O中，直徑AB⊥弦CD，垂足為M，則下列結論一定正確的是（ ）

A．AC=CD B．OM=BM C．∠A=∠ACD D．∠A=∠BOD
二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）
13．如果一個三角形有一條邊上的高等于這條邊的一半，那么我們把這個三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜邊AB=5，則它的周長等于_____．
14．如圖，用圓心角為120°，半徑為6cm的扇形紙片卷成一個圓錐形無底紙帽，則這個紙帽的高是_____cm．

15．分解因式：ax2﹣2ax+a=___________．
16．2018年3月2日，大型記錄電影《厲害了，我的國》登陸全國各大院線．某影院針對這一影片推出了特惠活動：票價每人30元，團體購票超過10人，票價可享受八折優(yōu)惠，學校計劃組織全體教師觀看此影片．若觀影人數(shù)為a（a＞10），則應付票價總額為_____元．（用含a的式子表示）

17．分解因式：mx2﹣6mx+9m=_____．
18．解不等式組
請結合題意填空，完成本題的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得　 ?。?br /> （Ⅱ）解不等式②，得　 　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來：
（Ⅳ）原不等式組的解集為　 　．

三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
19．（6分）解方程：-=1
20．（6分）某車間的甲、乙兩名工人分別同時生產(chǎn)只同一型號的零件，他們生產(chǎn)的零件（只）與生產(chǎn)時間（分）的函數(shù)關系的圖象如圖所示．根據(jù)圖象提供的信息解答下列問題：

（1）甲每分鐘生產(chǎn)零件_______只；乙在提高生產(chǎn)速度之前已生產(chǎn)了零件_______只；
（2）若乙提高速度后，乙的生產(chǎn)速度是甲的倍，請分別求出甲、乙兩人生產(chǎn)全過程中，生產(chǎn)的零件（只）與生產(chǎn)時間（分）的函數(shù)關系式；
（3）當兩人生產(chǎn)零件的只數(shù)相等時，求生產(chǎn)的時間；并求出此時甲工人還有多少只零件沒有生產(chǎn)．
21．（6分）樓房AB后有一假山，其坡度為i=1：，山坡坡面上E點處有一休息亭，測得假山坡腳C與樓房水平距離BC=30米，與亭子距離CE=18米，小麗從樓房頂測得E點的俯角為45°，求樓房AB的高．（注：坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比）

22．（8分）近年來，新能源汽車以其舒適環(huán)保、節(jié)能經(jīng)濟的優(yōu)勢受到熱捧，隨之而來的就是新能汽車銷量的急速增加，當前市場上新能漂汽車從動力上分純電動和混合動力兩種，從用途上又分為乘用式和商用式兩種，據(jù)中國汽車工業(yè)協(xié)會提供的信息，2017年全年新能源乘用車的累計銷量為57.9萬輛，其中，純電動乘用車銷量為46.8萬輛，混合動力乘用車銷量為11.1萬輛； 2017年全年新能源商用車的累計銷量為19.8萬輛，其中，純電動商用車銷量為18.4萬輛，混合動力商用車銷量為1.4萬輛，請根據(jù)以上材料解答下列問題：
（1）請用統(tǒng)計表表示我國2017年新能源汽車各類車型銷量情況；
（2）小穎根據(jù)上述信息，計算出2017年我國新能源各類車型總銷量為77.7萬輛，并繪制了“2017年我國新能源汽車四類車型銷量比例”的扇形統(tǒng)計圖，如圖1，請你將該圖補充完整（其中的百分數(shù)精確到0.1%）；

（3）2017年我國新能源乘用車銷量最高的十個城市排名情況如圖2，請根據(jù)圖2中信息寫出這些城市新能源乘用車銷售情況的特點（寫出一條即可）；
（4）數(shù)據(jù)顯示，2018年1～3月的新能源乘用車總銷量排行榜上位居前四的廠家是比亞迪、北汽、上汽、江準，參加社會實踐的大學生小王想對其中兩個廠家進行深入調(diào)研，他將四個完全相同的乒乓球進行編號（用“1，2，3，4”依次對應上述四個廠家），并將乒乓球放入不透明的袋子中攪勻，從中一次拿出兩個乒乓球，根據(jù)乒乓球上的編號決定要調(diào)研的廠家．求小王恰好調(diào)研“比亞迪”和“江淮”這兩個廠家的概率．
23．（8分）如圖，在△ABC中，BC=6，AB=AC，E，F(xiàn)分別為AB，AC上的點（E，F(xiàn)不與A重合），且EF∥BC．將△AEF沿著直線EF向下翻折，得到△A′EF，再展開．
（1）請判斷四邊形AEA′F的形狀，并說明理由；
（2）當四邊形AEA′F是正方形，且面積是△ABC的一半時，求AE的長．

24．（10分）如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點A，交⊙O于點P，OA=5，AB與⊙O相切于點B，BP的延長線交直線l于點C.
（1）求證：AB=AC；
（2）若，求⊙O的半徑.

25．（10分）已知矩形ABCD，AB=4，BC=3，以AB為直徑的半圓O在矩形ABCD的外部（如圖），將半圓O繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α度（0°≤α≤180°）
（1）半圓的直徑落在對角線AC上時，如圖所示，半圓與AB的交點為M，求AM的長；
（2）半圓與直線CD相切時，切點為N，與線段AD的交點為P，如圖所示，求劣弧AP的長；
（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，半圓弧與直線CD只有一個交點時，設此交點與點C的距離為d，直接寫出d的取值范圍．

26．（12分）如圖，已知，請用尺規(guī)過點作一條直線，使其將分成面積比為兩部分．（保留作圖痕跡，不寫作法）

27．（12分）在矩形中,點在上,,⊥，垂足為.求證.若,且,求.




參考答案

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）
1、B
【解析】
試題分析：如果全班有x名同學，那么每名同學要送出（x-1）張，共有x名學生，那么總共送的張數(shù)應該是x（x-1）張，即可列出方程．
∵全班有x名同學，
∴每名同學要送出（x-1）張；
又∵是互送照片，
∴總共送的張數(shù)應該是x（x-1）=1．
故選B
考點：由實際問題抽象出一元二次方程．
2、D
【解析】
解： ，∴3（x﹣1）﹣6=2（3x+1），故選D．
點睛：本題考查了等式的性質(zhì)，解題的關鍵是正確理解等式的性質(zhì)，本題屬于基礎題型．
3、D
【解析】
①因為二次函數(shù)的對稱軸是直線x=﹣1，由圖象可得左交點的橫坐標大于﹣3，小于﹣2，
所以﹣=﹣1，可得b=2a，
當x=﹣3時，y＜0，
即9a﹣3b+c＜0，
9a﹣6a+c＜0，
3a+c＜0，
∵a＜0，
∴4a+c＜0，
所以①選項結論正確；
②∵拋物線的對稱軸是直線x=﹣1，
∴y=a﹣b+c的值最大，
即把x=m（m≠﹣1）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，
∴am2+bm＜a﹣b，
m（am+b）+b＜a，
所以此選項結論不正確；
③ax2+（b﹣1）x+c=0，
△=（b﹣1）2﹣4ac，
∵a＜0，c＞0，
∴ac＜0，
∴﹣4ac＞0，
∵（b﹣1）2≥0，
∴△＞0，
∴關于x的一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c=0有實數(shù)根；
④由圖象得：當x＞﹣1時，y隨x的增大而減小，
∵當k為常數(shù)時，0≤k2≤k2+1，
∴當x=k2的值大于x=k2+1的函數(shù)值，
即ak4+bk2+c＞a（k2+1）2+b（k2+1）+c，
ak4+bk2＞a（k2+1）2+b（k2+1），
所以此選項結論不正確；
所以正確結論的個數(shù)是1個，
故選D．
4、B
【解析】
分析：由平行得出相似，由相似得出比例，即可作出判斷.
詳解: ∵EF∥AB, ∴△CEF∽△CAB, ∴,故選B.
點睛：本題考查了相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關鍵.
5、C
【解析】
圓錐的側面展開圖是扇形，利用扇形的面積公式可求得圓錐的母線長．
【詳解】
設母線長為R，則
圓錐的側面積==10π，
∴R=10cm，
故選C．
【點睛】
本題考查了圓錐的計算，熟練掌握扇形面積是解題的關鍵.
6、A
【解析】
試題分析：0.000 005 035m，用科學記數(shù)法表示該數(shù)為5.035×10﹣6，故選A．
考點：科學記數(shù)法—表示較小的數(shù)．
7、A
【解析】
根據(jù)輪船在靜水中的速度為x千米/時可進一步得出順流與逆流速度，從而得出各自航行時間，然后根據(jù)兩次航行時間共用去9小時進一步列出方程組即可.
【詳解】
∵輪船在靜水中的速度為x千米/時，
∴順流航行時間為：，逆流航行時間為：，
∴可得出方程：，
故選：A．
【點睛】
本題主要考查了分式方程的應用，熟練掌握順流與逆流速度的性質(zhì)是解題關鍵．
8、A
【解析】
觀察日歷中的數(shù)據(jù)，用含a的代數(shù)式表示出b，c，d的值，再將其逐一代入四個選項中，即可得出結論．
【詳解】
解：依題意，得：b＝a+1，c＝a+7，d＝a+1．
A、∵a﹣d＝a﹣(a+1)＝﹣1，b﹣c＝a+1﹣(a+7)＝﹣6，
∴a﹣d≠b﹣c，選項A符合題意；
B、∵a+c+2＝a+(a+7)+2＝2a+9，b+d＝a+1+(a+1)＝2a+9，
∴a+c+2＝b+d，選項B不符合題意；
C、∵a+b+14＝a+(a+1)+14＝2a+15，c+d＝a+7+(a+1)＝2a+15，
∴a+b+14＝c+d，選項C不符合題意；
D、∵a+d＝a+(a+1)＝2a+1，b+c＝a+1+(a+7)＝2a+1，
∴a+d＝b+c，選項D不符合題意．
故選：A．
【點睛】
考查了列代數(shù)式，利用含a的代數(shù)式表示出b，c，d是解題的關鍵．
9、B
【解析】
陰影部分的面積=三角形的面積-扇形的面積，根據(jù)面積公式計算即可．
【詳解】
解：由旋轉(zhuǎn)可知AD=BD，
∵∠ACB=90°,AC=2，
∴CD=BD，
∵CB=CD，
∴△BCD是等邊三角形，
∴∠BCD=∠CBD=60°，
∴BC=AC=2，
∴陰影部分的面積=2×2÷2?=2?.
故選：B.
【點睛】
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與扇形面積的計算，解題的關鍵是熟練的掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與扇形面積的計算.
10、C
【解析】
觀察可得，點P在線段AC上由A到C的運動中，線段PE逐漸變短，當EP⊥AC時，PE最短，過垂直這個點后，PE又逐漸變長，當AP=m時，點P停止運動，符合圖像的只有線段PE，故選C.
點睛：本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，對于此類問題來說是典型的數(shù)形結合，圖象應用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力．用圖象解決問題時，要理清圖象的含義即會識圖．
11、A
【解析】
【分析】利用不等式組取解集的方法，根據(jù)不等式組無解求出a的取值范圍即可．
【詳解】∵不等式組無解，
∴a﹣4≥3a+2，
解得：a≤﹣3，
故選A．
【點睛】本題考查了一元一次不等式組的解集，熟知一元一次不等式組的解集的確定方法“同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無處找”是解題的關鍵.
12、D
【解析】
根據(jù)垂徑定理判斷即可．
【詳解】
連接DA．
∵直徑AB⊥弦CD，垂足為M，∴CM=MD，∠CAB=∠DAB．
∵2∠DAB=∠BOD，∴∠CAD=∠BOD．

故選D．
【點睛】
本題考查的是垂徑定理和圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解答此題的關鍵．

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）
13、5+3或5+5 ．
【解析】
分兩種情況討論：①Rt△ABC中，CD⊥AB，CD=AB=；②Rt△ABC中，AC=BC，分別依據(jù)勾股定理和三角形的面積公式，即可得到該三角形的周長為5+3或5+5．
【詳解】
由題意可知，存在以下兩種情況：
（1）當一條直角邊是另一條直角邊的一半時，這個直角三角形是半高三角形，此時設較短的直角邊為a，則較長的直角邊為2a，由勾股定理可得：，解得：，
∴此時較短的直角邊為，較長的直角邊為，
∴此時直角三角形的周長為：；
（2）當斜邊上的高是斜邊的一半是，這個直角三角形是半高三角形，此時設兩直角邊分別為x、y，
這有題意可得：①，②S△=，
∴③，
由①+③得：，即，
∴，
∴此時這個直角三角形的周長為：.
綜上所述，這個半高直角三角形的周長為：或.
故答案為或.
【點睛】
（1）讀懂題意，弄清“半高三角形”的含義是解題的基礎；（2）根據(jù)題意，若直角三角形是“半高三角形”，則存在兩種情況：①一條直角邊是另一條直角邊的一半；②斜邊上的高是斜邊的一半；解題時這兩種情況都要討論，不要忽略了其中一種.
14、
【解析】
先求出扇形弧長，再求出圓錐的底面半徑，再根據(jù)勾股定理 即可出圓錐的高.
【詳解】
圓心角為120°，半徑為6cm的扇形的弧長為4cm
∴圓錐的底面半徑為2，
故圓錐的高為=4cm
【點睛】
此題主要考查圓的弧長及圓錐的底面半徑，解題的關鍵是熟知圓的相關公式.
15、a（x-1）1．
【解析】
先提取公因式a，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續(xù)分解．
【詳解】
解：ax1-1ax+a，
=a（x1-1x+1），
=a（x-1）1．
【點睛】
本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．
16、24a
【解析】
根據(jù)題意列出代數(shù)式即可．
【詳解】
根據(jù)題意得：30a×0.8=24a，
則應付票價總額為24a元，
故答案為24a.
【點睛】
考查了列代數(shù)式，弄清題意是解本題的關鍵．
17、m（x﹣3）1．
【解析】
先把提出來，然后對括號里面的多項式用公式法分解即可。
【詳解】



【點睛】
解題的關鍵是熟練掌握因式分解的方法。
18、詳見解析.
【解析】
先根據(jù)不等式的性質(zhì)求出每個不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出來，根據(jù)數(shù)軸找出不等式組公共部分即可.
【詳解】
（Ⅰ）解不等式①，得：x＜1；
（Ⅱ）解不等式②，得：x≥﹣1；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來：

（Ⅳ）原不等式組的解集為：﹣1≤x＜1，
故答案為：x＜1、x≥﹣1、﹣1≤x＜1．
【點睛】
本題考查了解一元一次不等式組的概念.

三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
19、
【解析】
【分析】先去分母，把分式方程化為一元一次方程，解一元一次方程，再驗根.
【詳解】解：去分母得：
解得：
檢驗：把代入
所以：方程的解為
【點睛】本題考核知識點：解方式方程. 解題關鍵點：去分母，得到一元一次方程，.驗根是要點.
20、（1）25，150；（2）y甲=25x（0≤x≤20），；（3）x＝14，150
【解析】
解：（1）甲每分鐘生產(chǎn)＝25只；
提高生產(chǎn)速度之前乙的生產(chǎn)速度＝＝15只/分，
故乙在提高生產(chǎn)速度之前已生產(chǎn)了零件：15×10＝150只；
（2）結合后圖象可得：
甲：y甲＝25x（0≤x≤20）；
乙提速后的速度為50只/分，故乙生產(chǎn)完500只零件還需7分鐘，
乙：y乙＝15x（0≤x≤10），
當10＜x≤17時，設y乙＝kx＋b，把（10，150）、（17，500），代入可得：
10k＋b＝150，17k＋b＝500，
解得：k＝50，b＝?350，
故y乙＝50x?350（10≤x≤17）．
綜上可得：y甲＝25x（0≤x≤20）；
；
（3）令y甲＝y(tǒng)乙，得25x＝50x?350，
解得：x＝14，
此時y甲＝y(tǒng)乙＝350只，故甲工人還有150只未生產(chǎn)．
21、（39+9）米．
【解析】
過點E作EF⊥BC的延長線于F，EH⊥AB于點H，根據(jù)CE=20米，坡度為i=1：，分別求出EF、CF的長度，在Rt△AEH中求出AH，繼而可得樓房AB的高．
【詳解】
解：過點E作EF⊥BC的延長線于F，EH⊥AB于點H，
在Rt△CEF中，∵=tan∠ECF，
∴∠ECF=30°，
∴EF=CE=10米，CF=10米，
∴BH=EF=10米， HE=BF=BC+CF=（25+10）米，
在Rt△AHE中，∵∠HAE=45°，
∴AH=HE=（25+10）米，∴AB=AH+HB=（35+10）米．
答：樓房AB的高為（35+10）米．

【點睛】
本題考查解直角三角形的應用-仰角俯角問題；坡度坡角問題，掌握概念正確計算是本題的解題關鍵．
22、（1）統(tǒng)計表見解析；（2）補全圖形見解析；（3）總銷量越高，其個人購買量越大；
（4）.
【解析】
（1）認真讀題，找到題目中的相關信息量，列表統(tǒng)計即可；
（2）分別求出“混動乘用”和“純電動商用”的圓心角的度數(shù)，然后補扇形圖即可；
（3）根據(jù)圖表信息寫出一個符合條件的信息即可；
（4）利用樹狀圖確定求解概率.
【詳解】
（1）統(tǒng)計表如下：
2017年新能源汽車各類型車型銷量情況（單位：萬輛）
類型
純電動
混合動力
總計
新能源乘用車
46.8
11.1
57.9
新能源商用車
18.4
1.4
19.8
（2）混動乘用：×100%≈14.3%，14.3%×360°≈51.5°，
純電動商用：×100%≈23.7%，23.7%×360°≈85.3°，
補全圖形如下：

（3）總銷量越高，其個人購買量越大．
（4）畫樹狀圖如下：

∵一共有12種等可能的情況數(shù)，其中抽中1、4的情況有2種，
∴小王恰好調(diào)研“比亞迪”和“江淮”這兩個廠家的概率為=．
【點睛】
此題主要考查了數(shù)據(jù)的分析，利用統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖表示數(shù)據(jù)的關系，以及用列表法或樹狀圖法求概率，難度一般，注意認真閱讀題目信息是關鍵.
23、（1）四邊形AEA′F為菱形．理由見解析；（2）1．
【解析】
（1）先證明AE=AF，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得AE=A′E，AF=A′F，然后根據(jù)菱形的判定方法可判斷四邊形AEA′F為菱形；（2）四先利用四邊形AEA′F是正方形得到∠A=90°，則AB=AC=BC=6，然后利用正方形AEA′F的面積是△ABC的一半得到AE2=??6?6，然后利用算術平方根的定義求AE即可．
【詳解】
（1）四邊形AEA′F為菱形．
理由如下：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∵△AEF沿著直線EF向下翻折，得到△A′EF，
∴AE=A′E，AF=A′F，
∴AE=A′E=AF=A′F，
∴四邊形AEA′F為菱形；
（2）∵四邊形AEA′F是正方形，
∴∠A=90°，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴AB=AC=BC=×6=6，
∵正方形AEA′F的面積是△ABC的一半，
∴AE2=??6?6，
∴AE=1．
【點睛】
本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．
24、（1）證明見解析；（2）1．
【解析】
（1）由同圓半徑相等和對頂角相等得∠OBP=∠APC，由圓的切線性質(zhì)和垂直得∠ABP+∠OBP=90°和∠ACB+∠APC=90°，則∠ABP=∠ACB，根據(jù)等角對等邊得AB=AC；
（2）設⊙O的半徑為r，分別在Rt△AOB和Rt△ACP中根據(jù)勾股定理列等式，并根據(jù)AB=AC得52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2，求出r的值即可．
【詳解】
解：（1）連接OB，∵OB=OP，∴∠OPB=∠OBP，∵∠OPB=∠APC，
∴∠OBP=∠APC，∵AB與⊙O相切于點B，∴OB⊥AB，∴∠ABO=90°，
∴∠ABP+∠OBP=90°，∵OA⊥AC，∴∠OAC=90°，∴∠ACB+∠APC=90°，∴∠ABP=∠ACB，
∴AB=AC；
（2）設⊙O的半徑為r，在Rt△AOB中，AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2，
在Rt△ACP中，AC2=PC2﹣PA2，AC2=（2）2﹣（5﹣r）2，
∵AB=AC，∴52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2，解得：r=1，
則⊙O的半徑為1．

【點睛】
本題考查了圓的切線的性質(zhì)，圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；并利用勾股定理列等式，求圓的半徑；此類題的一般做法是：若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系；簡記作：見切點，連半徑，見垂直．
25、（2）AM=；（2）=π；（3）4-≤d＜4或d=4+．
【解析】
（2）連接B′M，則∠B′MA=90°，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AC的長度，由∠B=∠B′MA=90°、∠BCA=∠MAB′可得出△ABC∽△AMB′，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出AM的長度；
（2）連接OP、ON，過點O作OG⊥AD于點G，則四邊形DGON為矩形，進而可得出DG、AG的長度，在Rt△AGO中，由AO=2、AG=2可得出∠OAG=60°，進而可得出△AOP為等邊三角形，再利用弧長公式即可求出劣弧AP的長；
（3）由（2）可知：△AOP為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求出OG、DN的長度，進而可得出CN的長度，畫出點B′在直線CD上的圖形，在Rt△AB′D中（點B′在點D左邊），利用勾股定理可求出B′D的長度進而可得出CB′的長度，再結合圖形即可得出：半圓弧與直線CD只有一個交點時d的取值范圍．
【詳解】
（2）在圖2中，連接B′M，則∠B′MA=90°．

在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，
∴AC=2．
∵∠B=∠B′MA=90°，∠BCA=∠MAB′，
∴△ABC∽△AMB′，
∴=，即=，
∴AM=；
（2）在圖3中，連接OP、ON，過點O作OG⊥AD于點G，

∵半圓與直線CD相切，
∴ON⊥DN，
∴四邊形DGON為矩形，
∴DG=ON=2，
∴AG=AD-DG=2．
在Rt△AGO中，∠AGO=90°，AO=2，AG=2，
∴∠AOG=30°，∠OAG=60°．
又∵OA=OP，
∴△AOP為等邊三角形，
∴==π．
（3）由（2）可知：△AOP為等邊三角形，
∴DN=GO=OA=，
∴CN=CD+DN=4+．
當點B′在直線CD上時，如圖4所示，

在Rt△AB′D中（點B′在點D左邊），AB′=4，AD=3，
∴B′D==，
∴CB′=4-．
∵AB′為直徑，
∴∠ADB′=90°，
∴當點B′在點D右邊時，半圓交直線CD于點D、B′．
∴當半圓弧與直線CD只有一個交點時，4-≤d＜4或d=4+．
【點睛】
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理以及切線的性質(zhì)，解題的關鍵是：（2）利用相似三角形的性質(zhì)求出AM的長度；（2）通過解直角三角形找出∠OAG=60°；（3）依照題意畫出圖形，利用數(shù)形結合求出d的取值范圍．
26、詳見解析
【解析】
先作出AB的垂直平分線，而AB的垂直平分線交AB于D，再作出AD的垂直平分線，而AD的垂直平分線交AD于E，即可得到答案.
【詳解】
如圖

作出AB的垂直平分線，而AB的垂直平分線交AB于D，再作出AD的垂直平分線，而AD的垂直平分線交AD于E，故AE＝AD，AD＝BD，故AE＝AB，而BE＝AB，而△AEC與△CEB在AB邊上的高相同，所以△CEB的面積是△AEC的面積的3倍，即S△AEC∶S△CEB＝1∶3.
【點睛】
本題主要考查了三角形的基本概念和尺規(guī)作圖，解本題的要點在于找到AB的四分之一點，即可得到答案.
27、（1）證明見解析；（2）1
【解析】
分析：（1）利用“AAS”證△ADF≌△EAB即可得；
（2）由∠ADF+∠FDC=90°、∠DAF+∠ADF=90°得∠FDC=∠DAF=30°，據(jù)此知AD=2DF，根據(jù)DF=AB可得答案．
詳解：（1）證明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAF，
又∵DF⊥AE，
∴∠DFA=90°，
∴∠DFA=∠B，
又∵AD=EA，
∴△ADF≌△EAB，
∴DF=AB．
（2）∵∠ADF+∠FDC=90°，∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠FDC=∠DAF=30°，
∴AD=2DF，
∵DF=AB，
∴AD=2AB=1．
點睛：本題主要考查矩形的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)．

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