?2021-2022中考數(shù)學(xué)模擬試卷
請(qǐng)考生注意：
1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。
2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題（每小題只有一個(gè)正確答案，每小題3分，滿分30分）
1．如圖，四邊形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC＝3，AC＝4，AD＝1．M是BD的中點(diǎn)，則CM的長(zhǎng)為（　?。?br />
A． B．2 C． D．3
2．有一圓形苗圃如圖1所示，中間有兩條交叉過(guò)道AB，CD，它們?yōu)槊缙缘闹睆剑褹B⊥CD．入口K 位于中點(diǎn)，園丁在苗圃圓周或兩條交叉過(guò)道上勻速行進(jìn).設(shè)該園丁行進(jìn)的時(shí)間為x，與入口K的距離為y，表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖2所示，則該園丁行進(jìn)的路線可能是（ ）

A．A→O→D B．C→A→O→ B C．D→O→C D．O→D→B→C
3．下列運(yùn)算正確的是（?? ）
A．a(chǎn)2·a3﹦a6? B．a(chǎn)3+ a3﹦a6? C．|－a2|﹦a2??? D．(－a2)3﹦a6
4．為了解當(dāng)?shù)貧鉁刈兓闆r，某研究小組記錄了寒假期間連續(xù)6天的最高氣溫，結(jié)果如下（單位：﹣6，﹣1，x，2，﹣1，1．若這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是﹣1，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　?。?br /> A．方差是8 B．極差是9 C．眾數(shù)是﹣1 D．平均數(shù)是﹣1
5．將一副三角板按如圖方式擺放，∠1與∠2不一定互補(bǔ)的是（ ）
A． B． C． D．
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，則sinA的值為（　?。?br /> A． B． C． D．
7．如圖，已知E，F(xiàn)分別為正方形ABCD的邊AB，BC的中點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)M，O為BD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM；⑤．其中正確結(jié)論的是（ ）

A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤
8．二次函數(shù)的圖像如圖所示，下列結(jié)論正確是( )

A． B． C． D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
9．式子有意義的x的取值范圍是（ ）
A．且x≠1 B．x≠1 C． D．且x≠1
10．下列等式從左到右的變形,屬于因式分解的是
A．8a2b=2a·4ab B．-ab3-2ab2-ab=-ab(b2+2b)
C．4x2+8x-4=4x D．4my-2=2(2my-1)
二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）
11．關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則________．
12．如圖，菱形ABCD中，AB=4，∠C=60°，菱形ABCD在直線l上向右作無(wú)滑動(dòng)的翻滾，每繞著一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°叫一次操作，則經(jīng)過(guò)6次這樣的操作菱形中心（對(duì)角線的交點(diǎn)）O所經(jīng)過(guò)的路徑總長(zhǎng)為_(kāi)____．

13．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＜AD，∠D=30°，CD=4，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)E，則陰影部分的面積為_(kāi)____．

14．將一張矩形紙片折疊成如圖所示的圖形，若AB=6cm，則AC= cm．

15．從長(zhǎng)度分別是3，4，5的三條線段中隨機(jī)抽出一條，與長(zhǎng)為2，3的兩條線段首尾順次相接，能構(gòu)成三角形的概率是_______．
16．如圖是我區(qū)某一天內(nèi)的氣溫變化圖，結(jié)合該圖給出的信息寫出一個(gè)正確的結(jié)論：________．

17．如圖，在△ABC 中，AB=AC，BC=8. 是△ABC的外接圓，其半徑為5. 若點(diǎn)A在優(yōu)弧BC上，則的值為_(kāi)____________.

三、解答題（共7小題，滿分69分）
18．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，，連結(jié)AC，過(guò)點(diǎn)C作直線l∥AB，點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線PA與⊙O交于另一點(diǎn)D，連結(jié)CD，設(shè)直線PB與直線AC交于點(diǎn)E．
求∠BAC的度數(shù)；當(dāng)點(diǎn)D在AB上方，且CD⊥BP時(shí)，求證：PC＝AC；在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中
①當(dāng)點(diǎn)A在線段PB的中垂線上或點(diǎn)B在線段PA的中垂線上時(shí)，求出所有滿足條件的∠ACD的度數(shù)；
②設(shè)⊙O的半徑為6，點(diǎn)E到直線l的距離為3，連結(jié)BD，DE，直接寫出△BDE的面積．
19．（5分）如圖，在中，，且，，為的中點(diǎn)，于點(diǎn)，連結(jié)，．

（1）求證：；
（2）當(dāng)為何值時(shí)，的值最大？并求此時(shí)的值．
20．（8分）今年 3 月 12 日植樹(shù)節(jié)期間， 學(xué)校預(yù)購(gòu)進(jìn) A、B 兩種樹(shù)苗，若購(gòu)進(jìn) A種樹(shù)苗 3 棵，B 種樹(shù)苗 5 棵，需 2100 元，若購(gòu)進(jìn) A 種樹(shù)苗 4 棵，B 種樹(shù)苗 10棵，需 3800 元．
（1）求購(gòu)進(jìn) A、B 兩種樹(shù)苗的單價(jià)；
（2）若該單位準(zhǔn)備用不多于 8000 元的錢購(gòu)進(jìn)這兩種樹(shù)苗共 30 棵，求 A 種樹(shù)苗至少需購(gòu)進(jìn)多少棵？
21．（10分）（1）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，∠MPN＝90°，且∠MPN的直角頂點(diǎn)在BC邊上，BP＝1．

①特殊情形：若MP過(guò)點(diǎn)A，NP過(guò)點(diǎn)D，則＝　 ?。?br /> ②類比探究：如圖2，將∠MPN繞點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使PM交AB邊于點(diǎn)E，PN交AD邊于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，停止旋轉(zhuǎn)．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）拓展探究：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AD⊥AB，⊙A的半徑為1，點(diǎn)E是⊙A上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥CE交AD于點(diǎn)F．請(qǐng)直接寫出當(dāng)△AEB為直角三角形時(shí)的值．
22．（10分）如圖，在頂點(diǎn)為P的拋物線y=a（x-h）2+k（a≠0）的對(duì)稱軸1的直線上取點(diǎn)A（h，k+），過(guò)A作BC⊥l交拋物線于B、C兩點(diǎn)（B在C的左側(cè)），點(diǎn)和點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，過(guò)A作直線m⊥l．又分別過(guò)點(diǎn)B，C作直線BE⊥m和CD⊥m，垂足為E，D．在這里，我們把點(diǎn)A叫此拋物線的焦點(diǎn)，BC叫此拋物線的直徑，矩形BCDE叫此拋物線的焦點(diǎn)矩形．
（1）直接寫出拋物線y=x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及直徑的長(zhǎng)．
（2）求拋物線y=x2-x+的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及直徑的長(zhǎng)．
（3）已知拋物線y=a（x-h）2+k（a≠0）的直徑為，求a的值．
（4）①已知拋物線y=a（x-h）2+k（a≠0）的焦點(diǎn)矩形的面積為2，求a的值．
②直接寫出拋物線y=x2-x+的焦點(diǎn)短形與拋物線y=x2-2mx+m2+1公共點(diǎn)個(gè)數(shù)分別是1個(gè)以及2個(gè)時(shí)m的值．

23．（12分）如圖，O為直線AB上一點(diǎn)，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．寫出圖中小于平角的角．求出∠BOD的度數(shù)．小明發(fā)現(xiàn)OE平分∠BOC，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算說(shuō)明道理．

24．（14分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別在AD、BC邊上，且AE=CF．
求證：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四邊形BFDE是平行四邊形．



參考答案

一、選擇題（每小題只有一個(gè)正確答案，每小題3分，滿分30分）
1、C
【解析】
延長(zhǎng)BC 到E 使BE＝AD，利用中點(diǎn)的性質(zhì)得到CM＝ DE＝AB，再利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答.
【詳解】
解：延長(zhǎng)BC 到E 使BE＝AD，∵BC//AD，∴四邊形ACED是平行四邊形，∴DE=AB，
∵BC＝3，AD＝1，
∴C是BE的中點(diǎn)，
∵M(jìn)是BD的中點(diǎn)，
∴CM＝ DE＝AB，
∵AC⊥BC，
∴AB＝＝，
∴CM＝ ，
故選：C．

【點(diǎn)睛】
此題考查平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，解題關(guān)鍵在于作輔助線.
2、B
【解析】
【分析】觀察圖象可知園丁與入口K的距離先減小，然后再增大，但是沒(méi)有到過(guò)入口的位置，據(jù)此逐項(xiàng)進(jìn)行分析即可得.
【詳解】A. A→O→D，園丁與入口的距離逐漸增大，逐漸減小，不符合；
B. C→A→O→ B，園丁與入口的距離逐漸減小，然后又逐漸增大，符合；
C. D→O→C，園丁與入口的距離逐漸增大，不符合；
D. O→D→B→C，園丁與入口的距離先逐漸變小，然后再逐漸變大，再逐漸變小，不符合，
故選B.
【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，看懂圖形，認(rèn)真分析是解題的關(guān)鍵.
3、C
【解析】
根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加；合并同類項(xiàng)，只把系數(shù)相加減，字母與字母的次數(shù)不變；同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變指數(shù)相減，對(duì)各選項(xiàng)計(jì)算后利用排除法求解．
【詳解】
a2·a3﹦a5，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；a3+ a3﹦2a3，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；a3+ a3﹦- a6，故D項(xiàng)錯(cuò)誤，選C.
【點(diǎn)睛】
本題考查同底數(shù)冪加減乘除及乘方，解題的關(guān)鍵是清楚運(yùn)算法則.
4、A
【解析】
根據(jù)題意可知x=-1，
平均數(shù)=（-6-1-1-1+2+1）÷6=-1，
∵數(shù)據(jù)-1出現(xiàn)兩次最多，
∴眾數(shù)為-1，
極差=1-（-6）=2，
方差= [（-6+1）2+（-1+1）2+（-1+1）2+（2+1）2+（-1+1）2+（1+1）2]=2．
故選A．
5、D
【解析】
A選項(xiàng)：

∠1+∠2=360°－90°×2=180°；
B選項(xiàng)：

∵∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°，
∴∠2=∠4，
∵∠1+∠4=180°，
∴∠1+∠2=180°；
C選項(xiàng)：

∵∠ABC=∠DEC=90°，∴AB∥DE，∴∠2=∠EFC，
∵∠1+∠EFC=180°，∴∠1+∠2=180°；
D選項(xiàng)：∠1和∠2不一定互補(bǔ).
故選D.
點(diǎn)睛：本題主要掌握平行線的性質(zhì)與判定定理，關(guān)鍵在于通過(guò)角度之間的轉(zhuǎn)化得出∠1和∠2的互補(bǔ)關(guān)系.
6、C
【解析】
先根據(jù)勾股定理求出BC得長(zhǎng)，再根據(jù)銳角三角函數(shù)正弦的定義解答即可．
【詳解】
如圖，根據(jù)勾股定理得，BC==12，
∴sinA=．
故選C．

【點(diǎn)睛】
本題考查了銳角三角函數(shù)的定義及勾股定理，熟知銳角三角函數(shù)正弦的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
7、D
【解析】
根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，再根據(jù)中點(diǎn)定義求出AE=BF，然后利用“邊角邊”證明△ABF和△DAE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BAF=∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，從而求出∠AMD=90°，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義可得∠AME=90°，從而判斷①正確；根據(jù)中線的定義判斷出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判斷出②錯(cuò)誤；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)判斷出△AED、△MAD、△MEA三個(gè)三角形相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得，然后求出MD=2AM=4EM，判斷出④正確，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a，利用勾股定理列式求出AF，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM=MF，判斷出⑤正確；過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AB于N，求出MN、NB，然后利用勾股定理列式求出BM，過(guò)點(diǎn)M作GH∥AB，過(guò)點(diǎn)O作OK⊥GH于K，然后求出OK、MK，再利用勾股定理列式求出MO，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出BO，然后利用勾股定理逆定理判斷出∠BMO=90°，從而判斷出③正確．
【詳解】
在正方形ABCD中，AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，
∵E、F分別為邊AB，BC的中點(diǎn)，
∴AE=BF=BC，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠BAF=∠ADE，
∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°，
∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，
∴∠AMD=180°-（∠ADE+∠DAF）=180°-90°=90°，
∴∠AME=180°-∠AMD=180°-90°=90°，故①正確；
∵DE是△ABD的中線，
∴∠ADE≠∠EDB，
∴∠BAF≠∠EDB，故②錯(cuò)誤；
∵∠BAD=90°，AM⊥DE，
∴△AED∽△MAD∽△MEA，
∴
∴AM=2EM，MD=2AM，
∴MD=2AM=4EM，故④正確；
設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a，則BF=a，
在Rt△ABF中，AF=
∵∠BAF=∠MAE，∠ABC=∠AME=90°，
∴△AME∽△ABF，
∴ ，
即，
解得AM=
∴MF=AF-AM=，

∴AM=MF，故⑤正確；
如圖，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AB于N，
則

即
解得MN=，AN=，
∴NB=AB-AN=2a-=，
根據(jù)勾股定理，BM=
過(guò)點(diǎn)M作GH∥AB，過(guò)點(diǎn)O作OK⊥GH于K，
則OK=a-=，MK=-a=，
在Rt△MKO中，MO=
根據(jù)正方形的性質(zhì)，BO=2a×，
∵BM2+MO2=

∴BM2+MO2=BO2，
∴△BMO是直角三角形，∠BMO=90°，故③正確；
綜上所述，正確的結(jié)論有①③④⑤共4個(gè)．
故選：D
【點(diǎn)睛】
本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，勾股定理逆定理的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，難度較大，仔細(xì)分析圖形并作出輔助線構(gòu)造出直角三角形與相似三角形是解題的關(guān)鍵．
8、C
【解析】
【分析】觀察圖象：開(kāi)口向下得到a＜0；對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)得到a、b異號(hào)，則b＞0；拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方得到c＞0，所以abc＜0；由對(duì)稱軸為x==1，可得2a+b=0；當(dāng)x=-1時(shí)圖象在x軸下方得到y(tǒng)=a-b+c＜0，結(jié)合b=-2a可得 3a+c＜0；觀察圖象可知拋物線的頂點(diǎn)為（1，3），可得方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，據(jù)此對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.
【詳解】觀察圖象：開(kāi)口向下得到a＜0；對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)得到a、b異號(hào)，則b＞0；拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方得到c＞0，所以abc＜0，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
∵對(duì)稱軸x==1，∴b=-2a，即2a+b=0，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
當(dāng)x=-1時(shí)， y=a-b+c＜0，又∵b=-2a，∴ 3a+c＜0，故C選項(xiàng)正確；
∵拋物線的頂點(diǎn)為（1，3），
∴的解為x1=x2=1，即方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，
故選C.
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象，當(dāng)a＞0，開(kāi)口向上，函數(shù)有最小值，a＜0，開(kāi)口向下，函數(shù)有最大值；對(duì)稱軸為直線x=，a與b同號(hào)，對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，a與b異號(hào)，對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)；當(dāng)c＞0，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方；當(dāng)△=b2-4ac＞0，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．
9、A
【解析】
根據(jù)二次根式被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)和分式分母不為0的條件，要使在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須且．故選A．
10、D
【解析】
根據(jù)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，可得答案．
【詳解】
解：A、是整式的乘法，故A不符合題意；
B、沒(méi)把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，故B不符合題意；
C、沒(méi)把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，故C不符合題意；
D、把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，故D符合題意；
故選D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了因式分解的意義，因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式．

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）
11、-1.
【解析】
根據(jù)根的判別式計(jì)算即可.
【詳解】
解：依題意得：
∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴= =4-41（-k）=4+4k=0
解得，k=-1.
故答案為：-1.
【點(diǎn)睛】
本題考查了一元二次方程根的判別式，當(dāng)=>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)==0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)=

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