一、選擇題(本題共8小題,每小題6分,共48分。1～5小題為單選,6～8小題為多選)
1．對(duì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)來(lái)講，以下說(shuō)法中正確的是 ( )
A．加速度恒定的運(yùn)動(dòng)可能是曲線運(yùn)動(dòng)
B．運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)任何觀察者來(lái)說(shuō)都是不變的
C．當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的加速度逐漸減小時(shí)，其速度也一定逐漸減小
D．作用在質(zhì)點(diǎn)上的所有力消失后，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度將不斷減小
【解析】選A。加速度恒定的運(yùn)動(dòng)可能是曲線運(yùn)動(dòng)，如平拋運(yùn)動(dòng)，A正確；運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)不同的觀察者來(lái)說(shuō)可能不同，如從勻速水平飛行的飛機(jī)上落下的物體，相對(duì)地面做平拋運(yùn)動(dòng)，相對(duì)飛機(jī)上的觀察者做自由落體運(yùn)動(dòng)，B錯(cuò)誤；當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的速度方向與加速度方向同向時(shí)，即使加速度減小，速度仍增加，C錯(cuò)誤；作用于質(zhì)點(diǎn)上的所有力消失后，質(zhì)點(diǎn)的速度將不變，D錯(cuò)誤。
2．一小船在靜水中的速度為3 m/s，它在一條河寬150 m、水流速度為4 m/s的河流中渡河，則該小船( )
A．過(guò)河路徑可以垂直于河岸，即能到達(dá)正對(duì)岸
B．以最短位移渡河時(shí)，位移大小為150 m
C．渡河的時(shí)間可能少于50 s
D．以最短時(shí)間渡河時(shí)，它沿水流方向的位移大小為200 m
【解析】選D。
因?yàn)榇陟o水中的速度小于河水的流速，由平行四邊形定則求合速度不可能垂直河岸，小船不可能垂直河岸正達(dá)對(duì)岸，故A錯(cuò)誤；由三角形的相似得最短位移為s＝ eq \f(vs,vc) d＝ eq \f(4,3) ×150 m＝200 m，故B錯(cuò)誤；當(dāng)船在靜水中的速度垂直河岸時(shí)渡河時(shí)間最短，tmin＝ eq \f(d,vc) ＝ eq \f(150,3) s＝50 s，則渡河的時(shí)間不可能小于50 s，故C錯(cuò)誤；以最短時(shí)間渡河時(shí)，它沿水流方向的位移大小為x＝vstmin＝4×50 m＝
200 m，故D正確；故選D。
3．如圖甲所示，在木箱內(nèi)粗糙斜面上靜止放置著一個(gè)質(zhì)量為m的物體，木箱豎直向上運(yùn)動(dòng)的速度v與時(shí)間t的變化規(guī)律如圖乙所示，物體始終相對(duì)斜面靜止。斜面對(duì)物體的支持力和摩擦力分別為N和f，則下列說(shuō)法正確的是 ( )
A.在0～t1時(shí)間內(nèi)，N增大，f減小
B．在0～t1時(shí)間內(nèi)，N減小，f增大
C．在t1～t2時(shí)間內(nèi)，N增大，f增大
D．在t1～t2時(shí)間內(nèi)，N減小，f減小
【解析】選D。在0～t1時(shí)間內(nèi)，由圖乙可知，物體做加速運(yùn)動(dòng)，加速度逐漸減小，設(shè)斜面傾角為θ，對(duì)物體受力分析，在豎直方向上有N cs θ＋f sin θ－mg＝ma1，在水平方向上有N sin θ＝f cs θ，因加速度減小，則支持力N和摩擦力f均減小。在t1～t2時(shí)間內(nèi)，由圖乙可知，物體做減速運(yùn)動(dòng)，加速度逐漸增大，對(duì)物體受力分析，在豎直方向上有mg－(N cs θ＋f sin θ)＝ma2，在水平方向上有N sin θ＝f cs θ，因加速度增大，則支持力N和摩擦力f均減小，故選項(xiàng)D正確。
4.(2020·南昌模擬)如圖所示，質(zhì)量相同的兩個(gè)小球a、b分別從斜面頂端A和斜面中點(diǎn)B沿水平方向拋出。恰好都落在斜面底端。不計(jì)空氣阻力，下列說(shuō)法正確的是 ( )
A．小球a、b做平拋的初速度大小之比為2∶1
B．小球a、b到達(dá)斜面底端時(shí)的位移大小之比為1∶1
C．小球a、b運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度變化量的方向不相同
D．小球a、b到達(dá)斜面底端的速度方向與斜面的夾角相同
【解析】選D。因?yàn)閍、b兩球下落的高度之比為2∶1，據(jù)h＝ eq \f(1,2) gt2得t＝ eq \r(\f(2h,g)) ，可知a、b兩球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比是 eq \r(2) ∶1；又因?yàn)閮汕蜻\(yùn)動(dòng)的水平位移之比為2∶1，根據(jù)v0＝ eq \f(x,t) 得初速度之比為 eq \r(2) ∶1，故A、B錯(cuò)誤；設(shè)斜面的傾角為θ，根據(jù)幾何關(guān)系可得小球的位移為s＝ eq \f(x,cs θ) ，兩小球的水平位移大小之比為2∶1，故兩小球的位移大小之比為2∶1，故B錯(cuò)誤；根據(jù)Δv＝gt，知速度變化量的方向與重力加速度的方向相同，即豎直向下；a、b兩球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度變化量的方向相同，故C錯(cuò)誤；設(shè)小球落在斜面上時(shí)，速度方向與水平方向的夾角為α，位移與水平方向的夾角為θ，則tan α＝ eq \f(gt,v0) ，tan θ＝ eq \f(gt,2v0) ，可知
tan α＝2tan θ，因?yàn)樾∏蚵湓谛泵嫔蠒r(shí)，位移與水平方向的夾角為定值，所以速度與水平方向的夾角為定值，假設(shè)速度與斜面的夾角為β，根據(jù)角度關(guān)系可知α＝θ＋β，則a、b兩球到達(dá)斜面底端的速度與斜面的夾角相同，故D正確。故選D。
【加固訓(xùn)練】
如圖所示，“跳一跳”游戲需要操作者控制棋子離開平臺(tái)時(shí)的速度，使其能跳到旁邊等高平臺(tái)上。棋子在某次跳躍過(guò)程中的軌跡為拋物線，經(jīng)最高點(diǎn)時(shí)速度為v0，此時(shí)離平臺(tái)的高度為h。棋子質(zhì)量為m，空氣阻力不計(jì)，重力加速度為g。則此跳躍過(guò)程( )
A.所用時(shí)間t=
B.水平位移大小x=2v0
C.初速度的豎直分量大小為2
D.初速度大小為
【解析】選B。豎直方向由h=gt2，可得t=，該斜拋運(yùn)動(dòng)等效為兩個(gè)完全相同的平拋運(yùn)動(dòng)，時(shí)間是2，故A錯(cuò)誤；水平位移x=v0·2t=2v0，故B正確；初速度的豎直分量大小為vy=gt=，故C錯(cuò)誤；根據(jù)速度的合成得，初速度大小為v=，故D錯(cuò)誤。
5.(2020·麗江模擬)隨著航天技術(shù)的發(fā)展,人類已經(jīng)有能力到太空去探索未知天體。假設(shè)某宇宙飛船繞一行星表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng),已知運(yùn)行周期為T,宇航員在離該行星表面附近h處自由釋放一小球,測(cè)得其落到行星表面的時(shí)間為t,則這顆行星的半徑為( )
A.B.C.D.
【解析】選B。小球在行星表面做自由落體運(yùn)動(dòng),h=gt2,解得行星表面的重力加速度g=,宇宙飛船繞行星表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng),萬(wàn)有引力提供向心力,= mR,根據(jù)黃金代換式可知,GM=gR2,聯(lián)立解得:R=,故選項(xiàng)B正確,A、C、D錯(cuò)誤。
6．如圖所示，水平光滑平面上平鋪著半徑為R的半圓形光滑軌道ABC，并固定，AOC為半圓形軌道的直徑，一質(zhì)量為m的小球放置在A點(diǎn)。某時(shí)刻，給小球施加一方向垂直AC、大小為F的水平恒力，且軌道始終固定，在以后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是 ( )
A.小球達(dá)到C點(diǎn)時(shí)的速度不為0
B．小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大速度為 eq \f(\r(2FRm),m)
C．小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中對(duì)軌道壓力的最大值為3F
D．小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)
【解析】選B、C。由動(dòng)能定理可知，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)小球在力F的方向上的位移為0，力F做功為0，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度恰好為0，故A錯(cuò)誤；當(dāng)小球向右運(yùn)動(dòng)的位移最大時(shí)，小球的動(dòng)能最大，速度最大，小球從A到B點(diǎn)由動(dòng)能定理得FR
＝ eq \f(1,2) mv2，則最大速度為v＝ eq \f(\r(2FRm),m) ，故B正確；當(dāng)小球的速度最大時(shí)對(duì)軌道的壓力最大，在B點(diǎn)，由水平方向受力分析可知FN－F＝m eq \f(v2,R) ，解得FN＝3F，由牛頓第三定律可知小球?qū)壍缐毫Φ淖畲笾禐?F，故C正確；由以上分析可知，小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度大小發(fā)生變化，非勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故D錯(cuò)誤。
7．(2021·太原模擬)2022年左右我國(guó)將建成載人空間站，軌道高度距地面約
400 km，在軌運(yùn)營(yíng)10年以上，它將成為中國(guó)空間科學(xué)和新技術(shù)研究實(shí)驗(yàn)的重要基地。設(shè)該空間站繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)周期為T，軌道半徑為r，萬(wàn)有引力常量為G，地球半徑為R，地球表面重力加速度為g。下列說(shuō)法正確的是 ( )
A.地球的質(zhì)量為M＝ eq \f(4π2r3,GT2)
B．空間站的線速度大小為v＝ eq \r(gr)
C．空間站的向心加速度為a＝ eq \f(gR2,r2)
D．空間站的運(yùn)行周期小于地球自轉(zhuǎn)周期
【解析】選A、C、D。由萬(wàn)有引力等于向心力G eq \f(Mm,r2) ＝m eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T))) eq \s\up12(2) r，可得M＝ eq \f(4π2r3,GT2) ，故A正確；由在地表g＝ eq \f(GM,R2) ，空間站a＝ eq \f(GM,r2) ＝ eq \f(v2,r) ＝ eq \f(4π2,T2) r，聯(lián)立可得v＝ eq \r(\f(R2,r)g) ，a＝ eq \f(gR2,r2) ，故B錯(cuò)誤，C正確；因?yàn)榭臻g站軌道半徑小于同步衛(wèi)星軌道半徑，根據(jù)開普勒第三定律可知，空間站的運(yùn)行周期小于地球自轉(zhuǎn)周期，故D正確。
8.(2020·吉安模擬)質(zhì)量為m的小球由輕繩a和b分別系于一輕質(zhì)細(xì)桿的A點(diǎn)和B點(diǎn)，如圖所示，繩a與水平方向成θ角，繩b在水平方向且長(zhǎng)為l，當(dāng)輕桿繞軸AB以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法正確的是( )
A．a(chǎn)繩的張力不可能為零
B．a(chǎn)繩的張力隨角速度的增大而增大
C．當(dāng)角速度ω> eq \r(\f(g,l tan θ)) ，b繩將出現(xiàn)彈力
D．若b繩突然被剪斷，則a繩的彈力一定發(fā)生變化
【解析】選A、C。小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，所以a繩在豎直方向上的分力與重力相等，可知a繩的張力不可能為零，故A正確；根據(jù)豎直方向上平衡得，F(xiàn)a sin θ＝mg，解得Fa＝ eq \f(mg,sin θ) ，可知a繩的拉力不變，故B錯(cuò)誤；當(dāng)b繩拉力為零時(shí)，有： eq \f(mg,tan θ) ＝mlω2，解得ω＝ eq \r(\f(g,l tan θ)) ，可知當(dāng)角速度ω> eq \r(\f(g,l tan θ)) 時(shí)，b繩將出現(xiàn)彈力，故C正確；由于b繩可能沒(méi)有彈力，故b繩突然被剪斷，a繩的彈力可能不變，故D錯(cuò)誤。故選A、C。
二、實(shí)驗(yàn)題(12分)
9．(2020·張家界模擬)(1)在“研究平拋物體運(yùn)動(dòng)”的實(shí)驗(yàn)中，可以描繪平拋物體運(yùn)動(dòng)軌跡和求物體的平拋初速度。實(shí)驗(yàn)簡(jiǎn)要步驟如下：
A．安裝好器材，注意調(diào)整斜槽末端水平和平板豎直，記下斜槽末端O點(diǎn)和過(guò)O點(diǎn)的豎直線
B．測(cè)出曲線上某點(diǎn)的坐標(biāo)x、y，用v0＝x eq \r(\f(g,2y)) 即可算出該小球平拋運(yùn)動(dòng)的初速度，實(shí)驗(yàn)需要對(duì)多個(gè)點(diǎn)求v0的值，然后求它們的平均值
C．取下白紙，以O(shè)為原點(diǎn)，以豎直線為y軸，水平線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，用平滑曲線連接畫出小球的平拋運(yùn)動(dòng)軌跡
D．讓小球多次從同一位置由靜止?jié)L下，記下小球穿過(guò)卡片孔的一系列位置
你認(rèn)為該實(shí)驗(yàn)合理的實(shí)驗(yàn)步驟順序應(yīng)為：(只填寫步驟順序的代表字母)____________。
(2)該實(shí)驗(yàn)中，下列措施中能減小實(shí)驗(yàn)誤差的措施有__________。(選填序號(hào))
A．斜槽軌道末端切線必須水平
B．斜槽軌道必須光滑
C．每次要平衡摩擦力
D．小球每次應(yīng)從斜槽同一位置由靜止釋放
(3)在該實(shí)驗(yàn)中，若一名同學(xué)以拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別沿水平方向和豎直方向?yàn)閤軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，從軌跡上量出某點(diǎn)A的坐標(biāo)為(14.0 cm，20.0 cm)，重力加速度g取10 m/s2，則該小球拋出時(shí)的水平初速度大小為__________m/s；若軌跡上某點(diǎn)的x坐標(biāo)為7.0 cm時(shí)，則該點(diǎn)的y坐標(biāo)為__________cm。
【解析】(1)根據(jù)先安裝器材，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，數(shù)據(jù)處理的順序可知，合理的實(shí)驗(yàn)步驟順序應(yīng)為ADCB。
(2)為了保證小球的初速度水平，斜槽末端需切線水平，故A正確；為了保證小球初速度相等，每次讓小球從斜槽的同一位置由靜止釋放，斜槽軌道不一定光滑，不需要平衡摩擦力，故B、C錯(cuò)誤，D正確。故選A、D。
(3)根據(jù)y＝ eq \f(1,2) gt2得t＝ eq \r(\f(2y,g)) ＝ eq \r(\f(2×0.2,10)) s＝0.2 s，則小球平拋運(yùn)動(dòng)的初速度為v0＝ eq \f(x,t) ＝ eq \f(0.14,0.2) m/s＝0.7 m/s，當(dāng)x＝7.0 cm時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t′＝ eq \f(x,v0) ＝ eq \f(0.07,0.7) s＝0.1 s，則y的坐標(biāo)為y＝ eq \f(1,2) gt′2＝ eq \f(1,2) ×10×0.01 m＝0.05 m＝5 cm。
答案：(1)ADCB (2)A、D (3)0.7 5
三、計(jì)算題(本題共2小題，共40分。需寫出規(guī)范的解題步驟)
10.(18分)地面上有一個(gè)半徑為R的圓形跑道，高為h的平臺(tái)邊緣上的P點(diǎn)在地面上P′點(diǎn)的正上方，P′與跑道圓心O的距離為L(zhǎng)(L＞R)，如圖所示，跑道上停有一輛小車，現(xiàn)從P點(diǎn)水平拋出小沙袋，使其落入小車中(沙袋所受空氣阻力不計(jì))。問(wèn)：
(1)當(dāng)小車分別位于A點(diǎn)和B點(diǎn)時(shí)(∠AOB＝90°)，沙袋被拋出時(shí)的初速度各為多大？
(2)要使沙袋落在跑道上，則沙袋被拋出時(shí)的初速度在什么范圍內(nèi)？
(3)若小車沿跑道順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小車恰好經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，將沙袋拋出，為使沙袋能在B處落入小車中，小車的速率v應(yīng)滿足什么條件？
【解析】(1)沙袋從P點(diǎn)被拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，
設(shè)它的落地時(shí)間為t，
則h＝ eq \f(1,2) gt2解得t＝ eq \r(\f(2h,g)) ①
當(dāng)小車位于A點(diǎn)時(shí)，有xA＝vAt＝L－R②
由①②得vA＝(L－R) eq \r(\f(g,2h))
當(dāng)小車位于B點(diǎn)時(shí)，有xB＝vBt＝ eq \r(L2＋R2) ③
由①③得vB＝ eq \r(\f(g（L2＋R2）,2h))
(2)若小車在跑道上運(yùn)動(dòng)，要使沙袋落入小車，最小的拋出速度為v0min＝vA＝(L－R) eq \r(\f(g,2h)) ④
若當(dāng)小車經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)沙袋剛好落入，拋出時(shí)的初速度最大，有xC＝v0maxt＝L＋R⑤
由①⑤得v0max＝(L＋R) eq \r(\f(g,2h))
所以沙袋被拋出時(shí)的初速度范圍為
(L－R) eq \r(\f(g,2h)) ≤v0≤(L＋R) eq \r(\f(g,2h))
(3)小車運(yùn)動(dòng)到B處所需的時(shí)間為
tAB＝(n＋ eq \f(1,4) ) eq \f(2πR,v) (n＝0，1，2，3…)⑥
要使沙袋能在B處落入小車中，小車運(yùn)動(dòng)的時(shí)間應(yīng)與沙袋下落時(shí)間相同
所以tAB＝t＝ eq \r(\f(2h,g))
解得v＝ eq \f(1,2) (4n＋1)πR eq \r(\f(g,2h)) (n＝0，1，2，3…)。
答案：(1)(L－R) eq \r(\f(g,2h)) eq \r(\f(g（L2＋R2）,2h))
(2)(L－R) eq \r(\f(g,2h)) ≤v0≤(L＋R) eq \r(\f(g,2h))
(3)v＝ eq \f(1,2) (4n＋1)πR eq \r(\f(g,2h)) (n＝0，1，2，3…)
11．(22分)(2020·成都模擬)如圖所示，在水平軌道右側(cè)安放半徑為R的豎直圓形光滑軌道，水平軌道的PQ段鋪設(shè)特殊材料，調(diào)節(jié)其初始長(zhǎng)度為l。水平軌道左側(cè)有一輕質(zhì)彈簧左端固定，彈簧處于自然伸長(zhǎng)狀態(tài)。小物塊A(可視為質(zhì)點(diǎn))從軌道右側(cè)以初速度v0沖上軌道，通過(guò)圓形軌道、水平軌道后壓縮彈簧并被彈簧以原速率彈回，經(jīng)水平軌道返回圓形軌道。已知R＝0.2 m，l＝1.0 m，v0＝
2 eq \r(3) m/s，物塊A質(zhì)量為m＝1 kg，與PQ段間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ＝0.2，軌道其他部分摩擦不計(jì)，g取10 m/s2。求：
(1)物塊A與彈簧剛接觸時(shí)的速度大小；
(2)物塊A被彈簧以原速率彈回后能達(dá)到圓形軌道的高度；
(3)調(diào)節(jié)PQ段的長(zhǎng)度l，A仍以v0從軌道右側(cè)沖上軌道，當(dāng)l滿足什么條件時(shí)，物塊A能第一次返回圓形軌道且能沿軌道運(yùn)動(dòng)而不會(huì)脫離軌道。
【解析】(1)物塊A沖上圓形軌道后回到最低點(diǎn)速度為v0＝2 eq \r(3) m/s，
與彈簧接觸瞬間，－μmgl＝ eq \f(1,2) mv eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) － eq \f(1,2) mv eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ，
可得，物塊A與彈簧剛接觸時(shí)的速度大小
v1＝2 eq \r(2) m/s；
(2)A被彈簧以原速率v1彈回，向右經(jīng)過(guò)PQ段，有v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) －v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝－2μgl；
解得A到達(dá)圓形軌道底部的速度v2＝2 m/s，
A滑上圓形軌道，
有－mgh＝0－ eq \f(1,2) mv eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ，
可得，返回到圓形軌道的高度為h＝0.2 m＝R，符合實(shí)際；
(3)物塊A以v0沖上軌道直到回到PQ段右側(cè)，
有v′ eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝－2μg×2l，
可得，A回到右側(cè)速度：v′ eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝(12－8l)(m/s)2，
要使A能返回圓形軌道且能沿軌道運(yùn)動(dòng)而不脫離軌道，則有：
①若A沿軌道上滑至最大高度h時(shí)，速度減為0，則h滿足：0＜h≤R，
根據(jù)機(jī)械能守恒： eq \f(1,2) mv′ eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝mgh
聯(lián)立可得，1.0 m≤l＜1.5 m；
②若A能沿軌道上滑至最高點(diǎn)，則滿足：
eq \f(1,2) mv′ eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝mg×2R＋ eq \f(1,2) mv′ eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2))
且m eq \f(v′ eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,R) ≥mg，
聯(lián)立得l≤0.25 m，
綜上所述，要使物塊A能第一次返回圓形軌道并沿軌道運(yùn)動(dòng)而不脫離軌道，l滿足的條件是1.0 m≤l＜1.5 m或l≤0.25 m。
答案：(1)2 eq \r(2) m/s (2)0.2 m
(3)1.0 m≤l＜1.5 m或l≤0.25 m
【總結(jié)提升】分析豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)臨界問(wèn)題的思路

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