?綜合練習題(二)
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出四個選項中，只有一項符合題目要求的．
1．已知全集U＝{x∈N|0≤x≤5}，?UA＝{1，2，5}，則集合A等于(　D　)
A．{0，1，2} B．{2，3，4}
C．{3，4} D．{0，3，4}
【解析】　因為全集U＝{x∈N|0≤x≤5}，
?UA＝{1，2，5}，
由補集的定義可知集合A＝{0，3，4}．故選D.
2．已知復數(shù)z滿足(2＋i)z＝|4-3i|(i為虛數(shù)單位)，則z＝(　B　)
A．2＋i　 B．2-i　
C．1＋2i　　 D．1-2i
【解析】　由(2＋i)z＝|4-3i|＝＝5，
得z＝＝＝＝2-i，故選B.
3．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則“Sn的最大值是S8”是“”的(　C　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件　
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【解析】　等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，
則“Sn的最大值是S8”?a8＞0，a9＜0.
則“”?.
∴“Sn的最大值是S8”是“”的充要條件．故選C.
4．候鳥每年都要隨季節(jié)的變化進行大規(guī)模的遷徙．研究某種鳥類的專家發(fā)現(xiàn)，該種鳥類的飛行速度v(單位：m/s)與其耗氧量Q之間的關系為v＝a＋log2(其中a是實數(shù))．據(jù)統(tǒng)計，該種鳥類在靜止的時候其耗氧量為20個單位，若這種鳥類為趕路程，飛行的速度不能低于2 m/s，其耗氧量至少需要(　)個單位．(　C　)
A．70　 B．60　
C．80　　 D．75
【解析】　由題意可得0＝a＋log2，解得a＝-1，
∴v＝-1＋log2，
∴-1＋log2≥2，解得Q≥80，故選C.
5．已知數(shù)列{an}是首項為a1，公差為d的等差數(shù)列，前n項和為Sn，滿足2a4＝a3＋5，則S9＝(　C　)
A．35　 B．40　
C．45　　 D．50
【解析】　∵2a4＝a3＋5，∴2(a5-d)＝a5-2d＋5，
∴a5＝5，
∴S9＝＝9a5＝5×9＝45，故選C.
6．某四棱錐的三視圖如圖所示，其側視圖是邊長為2的正方形，正視圖和俯視圖都是等腰直角三角形，則該四棱錐的體積為(　A　)

A．　 B．8　
C．　　 D．4
【解析】　由三視圖還原原幾何體如圖，

該幾何體是四棱錐P-ABCD，
底面ABCD為正方形，邊長為2，
側棱PA⊥底面ABCD，PA＝2，
則該四棱錐的體積V＝×2×2×2＝.
故選A．
7．已知在邊長為3的等邊△ABC中，＝＋，則在上的投影為(　C　)
A．　 B．-　
C． D．
【解析】?。?＝＋-＝-，
∴·＝·(-)
＝2-·＋2
＝×9-×3×3×＋×9＝，
∴在上的投影為＝＝.
故選C.
8．已知橢圓＋＝1(a>b>0)與直線-＝1交于A，B兩點，焦點F(0，-c)，其中c為半焦距，若△ABF是直角三角形，則該橢圓的離心率為(　A　)
A． B．
C. D．
【解析】　橢圓＋＝1(a>b>0)與直線-＝1交于A，B兩點，焦點F(0，-c)，其中c為半焦距，若△ABF是直角三角形，不妨設A(0，a)，B(-b，0)，則·＝0，解得b2＝ac，即a2-c2＝ac，即e2＋e-1＝0，e∈(0，1)，故e＝.故選A．
9．下列只有一個是函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a2-1)x＋1(a≠0)的導函數(shù)的圖象，則f(-1)＝(　A　)

A．- B．
C． D．-或
【解析】　因為f(x)＝x3＋ax2＋(a2-1)x＋1(a≠0)，
所以f′(x)＝x2＋2ax＋(a2-1)，
Δ＝4a2-4(a2-1)＝4＞0，開口向上，
故導函數(shù)圖象開口向上，與x軸有2個交點，
對稱軸是x＝-a，結合選項(3)符合，
由f′(0)＝a2-1＝0且-a＞0得a＝-1，
故f(-1)＝--1＋1＝-.故選A．
10．關于函數(shù)f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四個結論：
①f(x)是偶函數(shù)
②f(x)在區(qū)間單調遞增
③f(x)在[-π，π]有4個零點
④f(x)的最大值為2
其中所有正確結論的編號是(　C　)
A．①②④　 B．②④　
C．①④　　 D．①③
【解析】　f(-x)＝sin|-x|＋|sin(-x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)則函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，故①正確，
當x∈時，sin|x|＝sin x，|sin x|＝sin x，
則f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x為減函數(shù)，故②錯誤，

當0≤x≤π時，
f(x)＝sin|x|＋|sin x|＝sin x＋sin x＝2sin x，
由f(x)＝0得2sin x＝0得x＝0或x＝π，
由f(x)是偶函數(shù)，得在[-π，0)上還有一個零點x＝-π，即函數(shù)f(x)在[-π，π]有3個零點，故③錯誤，
當sin|x|＝1，|sin x|＝1時，f(x)取得最大值2，
故④正確，故正確是①④，故選C.
11．設a＝3π，b＝π3，c＝33，則(　C　)
A．b＞a＞c B．c＞a＞b
C．a＞b＞c D．b＞c＞a
【解析】　考查冪函數(shù)y＝x3在(0，＋∞)是單調增函數(shù)，
且π＞3，∴π3＞33，∴b＞c；
由y＝3x在R上遞增，可得3π＞33，
由a＝3π，b＝π3，
可得ln a＝πl(wèi)n 3，ln b＝3ln π，
考慮f(x)＝的導數(shù)f′(x)＝，
由x＞e可得f′(x)＜0，即f(x)遞減，
可得f(3)＞f(π)，即有＞，
即為πl(wèi)n 3＞3ln π，
即有3π＞π3，則a＞b＞c，故選C.
12．已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線-＝1(a>0，b>0)的左焦點和右焦點，過F2的直線l與雙曲線的右支交于A，B兩點，△AF1F2的內切圓半徑為r1，△BF1F2的內切圓半徑為r2，若r1＝2r2，則直線l的斜率為(　D　)
A．1 B．　
C．2　　 D．2
【解析】　記△AF1F2的內切圓圓心為C，
邊AF1、AF2、F1F2上的切點分別為M、N、E，
易見C、E橫坐標相等，
則|AM|＝|AN|，|F1M|＝|F1E|，|F2N|＝|F2E|，
由|AF1|-|AF2|＝2a，
即|AM|＋|MF1|-(|AN|＋|NF2|)＝2a，
得|MF1|-|NF2|＝2a，即|F1E|-|F2E|＝2a，
記C的橫坐標為x0，則E(x0，0)，
于是x0＋c-(c-x0)＝2a，得x0＝a，
同樣內心D的橫坐標也為a，則有CD⊥x軸，
設直線的傾斜角為θ，
則∠OF2D＝，∠CF2O＝90°-，
在△CEF2中，tan∠CF2O＝tan＝，
在△DEF2中，tan∠DF2O＝tan ＝，
由r1＝2r2，可得2tan ＝tan＝，
解得tan ＝，
則直線的斜率為tan θ＝＝＝2，
故選D.

二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡相應位置上．
13．若x，y滿足約束條件，則z＝x-2y的最大值為__2__.
【解析】　由z＝x-2y得y＝x-z，
作出x，y滿足約束條件對應的平面區(qū)域如圖(陰影部分)：

平移直線y＝x-z，
由圖形可知當直線經(jīng)過點B時，
直線y＝x-z的截距最小，
此時z最大，由，得B(-2，-2)．
代入目標函數(shù)z＝x-2y，得z＝-2-2×(-2)＝2，
故答案為2.
14．已知f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，滿足f(1＋x)＝f(1-x)，若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝__2__.
【解析】　根據(jù)題意，f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，
則f(-x)＝-f(x)，
又由f(x)滿足f(1＋x)＝f(1-x)，
則f(-x)＝f(2＋x)，則有f(x＋2)＝-f(x)，
變形可得：f(x＋4)＝f(x)，
即函數(shù)f(x)為周期為4的周期函數(shù)；
又由f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，則f(0)＝0，
則f(2)＝-f(0)＝0，f(3)＝-f(1)＝-2，f(4)＝f(0)＝0，
則f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0＋(-2)＋0＝0，
則有f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]×504＋f(2 017)＋f(2 018)＝f(1)＋f(2)＝2；
故答案為2.
15．已知sin α＝3sin ，則tan＝__-__.
【解析】　已知sin α＝3sin，
則sin＝3sin，
整理得：sin-cos＝3sin，
故：cos＝-sin，
解得：tan＝-，
則：tan＝tan
＝
＝-，
故答案為-.
16．設直三棱柱ABC-A1B1C1的所有頂點都在一個球面上，且球的體積是，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝120°，則此直三棱柱的高是__2__.
【解析】　設AB＝AC＝AA1＝2m.
∵∠BAC＝120°，∴∠ACB＝30°，
于是＝2r(r是△ABC外接圓的半徑)，r＝2m.
又球心到平面ABC的距離等于側棱長AA1的一半，
∴球的半徑為＝m.
∴球的體積為π×(m)3＝，
解得m＝.
于是直三棱柱的高是AA1＝2m＝2.
故答案為2.

三、解答題：本大題共5小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
(一)必考題：共60分
17．(本小題滿分12分)設a，b，c分別為△ABC內角A，B，C的對邊．已知acos B＝bcos A＋c，
(1)證明：△ABC是直角三角形；
(2)若D是AC邊上一點，且CD＝3，BD＝5，BC＝6，求△ABD的面積．
【解析】　(1)由正弦定理acos B＝bcos A＋c
化為：sin Acos B＝sin Bcos A＋sin C，
∴sin Acos B-sin Bcos A＝sin C，
∴sin(A-B)＝sin C，
∵A-B∈(-π，π)，C∈(0，π)，
∴A-B＝C或A-B＝π-C(舍)
∴A＝B＋C，∴A＝.
即△ABC是直角三角形．
(2)在△BCD中，CD＝3，BD＝5，BC＝6，
由余弦定理得cos C＝＝.
∴sin C＝.∴AC＝BC×cos C＝，
∴AD＝AC-CD＝，
又AB＝BC×sin C＝.
∴S△ABD＝AB×AD＝.
18．(本小題滿分12分)(理)某工廠A，B兩條相互獨立的生產線生產同款產品，在產量一樣的情況下通過日常監(jiān)控得知，A，B生產線生產的產品為合格品的概率分別為p和2p-1(0.5≤p≤1)．
(1)從A，B生產線上各抽檢一件產品，若使得至少有一件合格的概率不低于99.5%，求p的最小值p0；
(2)假設不合格的產品均可進行返工修復為合格品，以(1)中確定的p0作為p的值．
已知A，B生產線的不合格品返工后每件產品可分別挽回損失5元和3元，若從兩條生產線上各隨機抽檢1 000件產品，以挽回損失的平均數(shù)為判斷依據(jù)，估計哪條生產線的挽回損失較多？
(文)(2021·金安區(qū)模擬)某5G手機配件生產廠為了了解該廠生產同一型號配件的甲、乙兩車間的生產質量，質檢部門隨機從甲、乙兩車間各抽檢了100件配件，其檢測結果：
等級
一等品
二等品
三等品
甲車間配件頻數(shù)
55
33
12
乙車間配件頻數(shù)
65
27
6
其中一、二等品為正品．
(1)分別估計甲、乙車間生產出配件的正品的概率．
(2)該廠規(guī)定一等品每件的出廠價是二等品的出廠價的2倍，已知每件配件的生產成本為5元，根據(jù)環(huán)保要求需要處理費用為3元，廠家要求生產的每件配件的平均利潤不低于21.7元，求二等品每件的出廠的最低價．
【解析】　(理)(1)P＝1-(1-p)(1-(2p-1))＝1-2(1-p)2.
令1-2(1-p)2≥0.995，解得p≥0.95.
故p的最小值p0＝0.95.
(2)由(1)可知A，B生產線上的產品合格率分別為0.95，0.9.
即A，B生產線的不合格產品率分別為0.05和0.1.
故從A生產線抽檢的1 000件產品中不合格產品大約為1 000×0.05＝50件，
故挽回損失50×5＝250元，
從B生產線上抽檢1 000件產品，不合格產品大約為1 000×0.1＝100，
可挽回損失100×3＝300元，
∴從B生產線挽回的損失較多．
(文)(1)由數(shù)表知，甲車間生產出配件的正品的頻率是＝0.88.
所以甲車間生產配件的正品的概率估計值為0.88.
乙車間生產出的配件的正品的頻率是＝0.92.
所以，乙車間生產的配件的正品的概率估計為0.92.
(2)設二等品每件的出廠價為a元，則一等品每件的出廠價為2a元．
由題意知：[120(2a-5)＋60(a-5)-20×8]≥21.7，
整理得a-5.3≥21.7，
所以a≥18，
所以二等品每件的出廠的最低價為18元．
19．(本小題滿分12分)如圖所示，△ABC是等邊三角形，DE∥AC，DF∥BC，面ACDE⊥面ABC，AC＝CD＝AD＝DE＝2DF＝2.
(1)求證：EF⊥BC；
(2)求四面體FABC的體積．

【解析】　(1)證明：∵DE∥AC，DF∥BC，
又△ABC是等邊三角形，
∴∠EDF＝∠ACB＝60°，
又AC＝DE＝BC＝2DF＝2，
在△EDF中，由余弦定理可得，
EF＝＝，
∴EF2＋DF2＝DE2，故EF⊥DF，
又DF∥BC，∴EF⊥BC.
(2)取AC的中點O，連接DO，

由AD＝DC，得DO⊥AC，
又平面ACDE⊥平面ABC，
且平面ACDE∩平面ABC＝AC，
∴DO⊥平面ABC，且求得DO＝＝.
由DE∥AC，DF∥BC，且DE∩DF＝D，
可得平面DEF∥平面ABC，則F與D到底面ABC的距離相等，
則四面體FABC的體積V＝××2×2××＝1.
20．(本小題滿分12分)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)，過C的焦點F的直線l1與拋物線交于A、B兩點，當l1⊥x軸時，|AB|＝4.
(1)求拋物線C的方程；
(2)如圖，過點F的另一條直線l與C交于M、N兩點，設l1，l2的斜率分別為k1，k2，若k1＋k2＝0(k1＞0)，且3S△AMF＝S△BMN，求直線l1的方程．

【解析】　(1)根據(jù)題意可得F，
當l1⊥x軸時，直線l1的方程為x＝，
聯(lián)立，解得y＝±p，
所以A，B，
所以|AB|＝2p＝4，解得p＝2，
進而可得拋物線的方程為y2＝4x.
(2)由(1)可知F(1，0)，
設直線l1的方程為y＝k1(x-1)，
聯(lián)立，
得kx2-(2k＋4)x＋k＝0，
所以Δ＝(2k＋4)2-4k＝16k＋16＞0，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以x1＋x2＝，x1x2＝1，①
因為k1＋k2＝0，所以k1＝-k2，
因為直線l2與拋物線交于點M，N，所以A與N關于x軸對稱，M與B關于x軸對稱，
因為3S△AMF＝S△BMN，S△AMF＝S△BNF，
所以3S△AMF＝S△AMF＋S△BFM，
所以2S△AMF＝S△BFM，所以2|AF|＝|BF|，
由拋物線定義可得|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，
所以2x1＋2＝x2＋1，即x2＝2x1＋1，
代入①得(2x1＋1)x1＝1，解得x1＝或-1(舍去)，
所以x2＝2x1＋1＝2×＋1＝2，
所以x1＋x2＝＝2＋＝，
解得k＝8，即k1＝2，
所以直線l1的方程為y＝2(x-1)．
21．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝aln x＋x(a∈R)．
(1)若a＝-1，求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；
(2)若函數(shù)g(x)＝f(x)＋-xa，且g(x)≥0在x∈(1，＋∞)時恒成立，求實數(shù)a的最小值．
【解析】　(1)a＝-1時，f(x)＝-ln x＋x，
函數(shù)f(x)的定義域是(0，＋∞)，
則f′(x)＝-＋1＝，
令f′(x)＞0，解得：x＞1，
令f′(x)＜0，解得：0＜x＜1，
故f(x)的單調減區(qū)間為(0，1)，f(x)的單調增區(qū)間為(1，＋∞)．
(2)由g(x)≥0，可得e-x-(-x)≥xa-aln x，
即e-x-(-x)≥eln xa-aln x①，
令h(t)＝et-t，由h′(t)＝et-1得，
當t＜0時，h(t)遞減，當t＞0時，h(t)遞增，
所以①即為h(-x)≥h(aln x)，
由于求實數(shù)a的最小值，考慮化為a＜0，
所以-x≤aln x，即a≥-，
令l(x)＝-，則l′(x)＝-，
令l′(x)＞0，解得：0＜x＜e，
令l′(x)＜0，解得：x＞e，
故l(x)在(0，e)遞增，在(e，＋∞)遞減，
故可得l(x)的最大值為-e，所以a的最小值為-e.
(二)選考題：共10分．請考生在22、23題中任選一題作答．如果多做，按所做的第一題計分
22．(本小題滿分10分)[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]在平面直角坐標系xOy中，直線l的方程為x＋y-4＝0，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以O點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．
(1)求直線l和曲線C的極坐標方程；
(2)設射線θ＝α(ρ≥0，0≤α＜2π)與直線l和曲線C分別交于點M，N，求＋的最小值．
【解析】　(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，x2＋y2＝ρ2，
可得直線l的極坐標方程為ρcos θ＋ρsin θ-4＝0，
即有ρ＝；
曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，
可得sin2t＋cos2t＝＋x2＝1，
則ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＝1，
即為ρ2＝＝.
(2)設M(ρ1，α)，N(ρ2，α)，
其中0≤α＜或＜α＜2π，
則＋＝＋
＝＋
＝1＋＝1＋sin，
由sin＝-1即α＝時，
＋取得最小值1-.
23．(本小題滿分10分)[選修4-5：不等式選講]已知函數(shù)f(x)＝|x|.
(1)求不等式3f(x-1)-f(x＋1)＞2的解集；
(2)若不等式f(x-a)＋f(x＋2)≤f(x＋3)的解集包含[-2，-1]，求a的取值范圍．
【解析】　(1)∵f(x)＝|x|，
∴3f(x-1)-f(x＋1)＞2，即3|x-1|-|x＋1|＞2，
所以①，
或②，或③.
解①得x≤-1，解②得-1＜x＜0，
解③得x＞3，綜合可得x＜0或x＞3，
所以原不等式的解集為(-∞，0)∪(3，＋∞)．
(2)f(x-a)＋f(x＋2)≤f(x＋3)，
即|x-a|＋|x＋2|≤|x＋3|.
因為不等式f(x-a)＋f(x＋2)≤f(x＋3)的解集包含[-2，-1]，
所以，|x-a|＋|x＋2|≤|x＋3|對于x∈[-2，-1]恒成立．
因為x∈[-2，-1]，所以，x＋2≥0，x＋3≥0，
所以|x-a|＋|x＋2|≤|x＋3|等價于|x-a|＋x＋2≤x＋3，
即|x-a|≤1恒成立，
所以a-1≤x≤a＋1在[-2，-1]上恒成立，
所以，解得-2≤a≤-1，
即實數(shù)a的取值范圍為[-2，-1]．

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