第一講　數(shù)列、等差數(shù)列與等比數(shù)列
導(dǎo)航立前沿?考點啟方向
自主先熱身?真題定乾坤
核心拔頭籌?考點巧突破
明晰易錯點?高考零失誤
1．對等差、等比數(shù)列基本量的考查，常以客觀題的形式出現(xiàn)，考查利用通項公式、前n項和公式建立方程組求解．2．對等差、等比數(shù)列性質(zhì)的考查主要以客觀題出現(xiàn)，具有“新、巧、活”的特點，考查利用性質(zhì)解決有關(guān)計算問題．3．對等差、等比數(shù)列的判斷與證明，主要出現(xiàn)在解答題的第一問，是為求數(shù)列的通項公式而準(zhǔn)備的，因此是解決問題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)．
2．(2021·全國卷甲卷)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn.設(shè)甲：q>0，乙：{Sn}是遞增數(shù)列，則(　　)A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
7．(2021·全國新高考卷Ⅱ卷)記Sn是公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和，若a3＝S5，a2a4＝S4.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；(2)求使Sn>an成立的n的最小值．
(文科)1．(2021·全國卷甲卷)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若S2＝4，S4＝6，則S6＝(　　)A．7B．8　C．9　D．10【解析】　∵Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，S2＝4，S4＝6，由等比數(shù)列的性質(zhì)，可知S2，S4-S2，S6-S4成等比數(shù)列，∴4，2，S6-6成等比數(shù)列，∴22＝4(S6-6)，解得S6＝7.故選A．
2．(2020·全國卷Ⅰ卷)設(shè){an}是等比數(shù)列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，則a6＋a7＋a8＝(　　)A．12B．24　C．30　D．32【解析】　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝1，a2＋a3＋a4＝a1q＋a1q2＋a1q3＝a1q(1＋q＋q2)＝q＝2，因此，a6＋a7＋a8＝a1q5＋a1q6＋a1q7＝a1q5(1＋q＋q2)＝q5＝32.故選D.
7．(2020·全國卷Ⅲ卷)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝4，a3-a1＝8.(1)求{an}的通項公式；(2)記Sn為數(shù)列{lg3an}的前n項和．若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m.
8．(2021·全國新高考卷Ⅱ卷)記Sn是公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和，若a3＝S5，a2a41．＝S4.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；(2)求使Sn>an成立的n的最小值．
【解析】　(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：S5＝5a3，則：a3＝5a3，∴a3＝0，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，從而有：a2a4＝(a3-d)(a3＋d)＝-d2，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a3-2d)＋(a3-d)＋a3＋(a3-d)＝-2d，從而：-d2＝-2d，由于公差不為零，故d＝2，數(shù)列的通項公式為：an＝a3＋(n-3)d＝2n-6.
高考主要考查兩種基本數(shù)列(等差數(shù)列、等比數(shù)列)，該部分以選擇題、填空題為主，在4～7題的位置或17～19題的位置，難度不大，以兩類數(shù)列的基本運算和基本性質(zhì)為主．
考點一　等差、等比數(shù)列的基本運算
1．(2021·全國高三模擬)在等差數(shù)列{an}中，已知3a1-2a2＝a3-8，則公差d＝(　　)A．1B．2　C．-2　D．-1【解析】　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，根據(jù)等差數(shù)列通項公式計算可得．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因為3a1-2a2＝a3-8，所以3a1-2(a1＋d)＝a1＋2d-8，解得d＝2，故選B.
2．在各項為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，S2＝9，S3＝21，則a5＋a6＝(　　)A．144B．121　C．169　D．148
3．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2＋a7＋a9＝15，則S8-S3＝(　　)A．30B．25　C．20　D．15【解析】　因為a2＋a7＋a9＝a1＋d＋a1＋6d＋a1＋8d＝3(a1＋5d)＝15，所以a1＋5d＝5，即a6＝5，所以S8-S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝25，故選B.
4．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項和為15，且a5＝3a3＋4a1，則a3＝(　　)A．16B．8　C．4　D．2
5．(2021·吉林市高三三模)《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數(shù)列，前三個節(jié)氣日影長之和為28.5尺，最后三個節(jié)氣日影長之和為1.5尺，今年3月20日17時37分為春分時節(jié)，其日影長為(　　)A．4.5尺B．3.5尺C．2.5尺D．1.5尺
6．(情境創(chuàng)新)河南洛陽的龍門石窟是中國石刻藝術(shù)寶庫之一，現(xiàn)為世界文化遺產(chǎn)，龍門石窟與莫高窟、云岡石窟、麥積山石窟并稱中國四大石窟．現(xiàn)有一石窟的某處浮雕共7層，每上層的數(shù)量是下層的2倍，總共有1 016個浮雕，這些浮雕構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案，若從最下層往上，浮雕的數(shù)量構(gòu)成一個數(shù)列{an}，則lg2(a3a5)的值為(　　)A．8B．10　C．12　D．16
(1)在等差(比)數(shù)列中，首項a1和公差d(公比q)是兩個最基本的元素，在進行等差(比)數(shù)列項與和的運算時，若條件和結(jié)論間的聯(lián)系不明顯，則均可化成關(guān)于a1和d(q)的方程組求解，但要注意消元法及整體計算，以減少計算量．
(2)解決數(shù)列與數(shù)學(xué)文化相交匯問題的關(guān)鍵：一是讀懂題意，即會“脫去”數(shù)學(xué)文化的背景，提取關(guān)鍵信息；二是構(gòu)造模型，即由題意構(gòu)建等差數(shù)列或等比數(shù)列或遞推關(guān)系式的模型；三是“解?！?，即把文字語言轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的相關(guān)信息，如求指定項、公比(或公差)、項數(shù)、通項公式或前n項和等．
1．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為(　　)A．1B．2　C．4　D．8
3．(2021·四川遂寧市高三其他模擬)等比數(shù)列{an}公比為2，a1＋a2＝3，則a2＋a3＝______.【解析】　因為a2＝a1q，a3＝a2q，所以a2＋a3＝q(a1＋a2)＝2×3＝6，故答案為6.
1．等差數(shù)列的性質(zhì)(1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq，若m＋n＝2k，則am＋an＝2ak；(2)an＝am＋(n-m)d；(3)Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍成等差數(shù)列．
考點二　等差、等比數(shù)列的性質(zhì)
1．(2021·陜西高三模擬)已知數(shù)列{an}中，a2＝4，am＋n＝am＋an，則a11＋a12＋a13＋…＋a19＝(　　)A．95B．145　C．270　D．520
2．(2021·全國高三模擬)等比數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝6，則{an}的前12項和為(　　)A．90B．60　C．45　D．32
3．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其前n項和為Sn，若a2＋a8-a4＝6，則S11＝(　　)A．132B．108　C．66　D．不能確定
4．在等比數(shù)列{an}中，a3＝2，a7＝8，則a5＝(　　)A．4B．-4　C．±4　D．5
6．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S5＝1，S10＝3，則S15的值是______，S100的值是__________.
應(yīng)用等差、等比數(shù)列性質(zhì)解題時的2個注意點(1)在解決等差、等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq，am·an＝ap·aq”，可以減少運算量，提高解題速度．(2)在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時需要進行適當(dāng)變形．此外，解題時注意設(shè)而不求思想的運用．
4．已知數(shù)列{an}的任意連續(xù)三項的和是18，并且a5＝5，a13＝9，那么a2 019＝(　　)A．10B．9　C．5　D．4
【解析】　∵數(shù)列{an}的任意連續(xù)三項的和是18，∴數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列．∵a5＝5，∴a2＝a5＝5，∵a13＝9，∴a1＝a13＝9，∵a1＋a2＋a3＝18，∴a3＝4，∵2 019＝673×3，∴a2 019＝a3＝4，故選D.
5．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若對任意的正整數(shù)n，Sn＋2＝4Sn＋3恒成立，則a1的值為(　　)A．-3B．1C．-3或1D．1或3
6．(2021·全國高三模擬)在等比數(shù)列{an}中，a6＋a7＝8(a3＋a4)，則{an}的公比等于____________.【解析】　設(shè){an}的公比為q，因為a6＋a7＝8(a3＋a4)，所以a3q3＋a4q3＝8(a3＋a4)，即(a3＋a4)(q3-8)＝0，可得a3＋a4＝0或q3-8＝0，所以q＝-1或q＝2.故答案為-1或2.
考點三　等差、等比數(shù)列的判定與證明
【解析】　(1)證明：由a1＝1，及Sn＋1＝4an＋2，有a1＋a2＝4a1＋2，a2＝3a1＋2＝5，∴b1＝a2-2a1＝3.由Sn＋1＝4an＋2①知當(dāng)n≥2時，有Sn＝4an-1＋2②①-②得an＋1＝4an-4an-1，∴an＋1-2an＝2(an-2an-1)又∵bn＝an＋1-2an，∴bn＝2bn-1，∴{bn}是首項b1＝3，公比為2的等比數(shù)列．
等差、等比數(shù)列的判定與證明應(yīng)注意的兩點(1)判斷一個數(shù)列是等差(比)數(shù)列，也可以利用通項公式及前n項和公式的特征，但不能作為證明方法．(2)a＝an-1an＋1(n≥2)是數(shù)列{an}為等比數(shù)列的必要不充分條件，判斷時還要看各項是否為零．
【解析】　(理)(1)因為a1＝2，且a1、a2、a3-8成等差數(shù)列，所以2a2＝a1＋a3-8，即2a1q＝a1＋a1q2-8，所以q2-2q-3＝0，所以q＝3或q＝-1，又q>1，所以q＝3，所以an＝2·3n-1(n∈N*)；
(2021·安徽蕪湖檢測)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＋a5＝-16，S9＝-36，則Sn的最小值是__________.
易錯點一：忽視數(shù)列項數(shù)n的范圍
易錯點二：錯用等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)
【易錯釋疑】　應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)時常見的錯誤為am＋an＝am＋n；應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)時的錯誤是經(jīng)常把下標(biāo)應(yīng)用錯誤．在等差數(shù)列{an}中，當(dāng)m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)時，am＋an＝ap＋aq；在等比數(shù)列{bn}中，當(dāng)m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)時，bmbn＝bpbq.這兩個性質(zhì)不能混用．
易錯點三：忽視公比q的取值范圍

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